MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1conperf Structured version   Unicode version

Theorem t1conperf 20229
Description: A connected T1 space is perfect, unless it is the topology of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
t1conperf.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1conperf  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )

Proof of Theorem t1conperf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1conperf.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
2 simplr 754 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  J  e.  Con )
3 simprr 758 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  J )
4 vex 3062 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
54snnz 4090 . . . . . . . . 9  |-  { x }  =/=  (/)
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =/=  (/) )
71t1sncld 20120 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
87ad2ant2r 745 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
91, 2, 3, 6, 8conclo 20208 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =  X )
104ensn1 7617 . . . . . . 7  |-  { x }  ~~  1o
119, 10syl6eqbrr 4433 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  X  ~~  1o )
1211rexlimdvaa 2897 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( E. x  e.  X  { x }  e.  J  ->  X  ~~  1o ) )
1312con3d 133 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  -.  E. x  e.  X  { x }  e.  J )
)
14 ralnex 2850 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J  <->  -. 
E. x  e.  X  { x }  e.  J )
1513, 14syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
16 t1top 20124 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
1716adantr 463 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  J  e.  Top )
181isperf3 19947 . . . . 5  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
1918baib 904 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
2017, 19syl 17 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
2115, 20sylibrd 234 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  J  e. Perf )
)
22213impia 1194 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   A.wral 2754   E.wrex 2755   (/)c0 3738   {csn 3972   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   ` cfv 5569   1oc1o 7160    ~~ cen 7551   Topctop 19686   Clsdccld 19809  Perfcperf 19929   Frect1 20101   Conccon 20204
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-id 4738  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-1o 7167  df-en 7555  df-top 19691  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-lp 19930  df-perf 19931  df-t1 20108  df-con 20205
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator