MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t1conperf Structured version   Unicode version

Theorem t1conperf 18999
Description: A connected T1 space is perfect, unless it is the topology of a singleton. (Contributed by Mario Carneiro, 26-Dec-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
t1conperf.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t1conperf  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )

Proof of Theorem t1conperf
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 t1conperf.1 . . . . . . . 8  |-  X  = 
U. J
2 simplr 749 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  J  e.  Con )
3 simprr 751 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  J )
4 vex 2973 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
54snnz 3990 . . . . . . . . 9  |-  { x }  =/=  (/)
65a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =/=  (/) )
71t1sncld 18889 . . . . . . . . 9  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  x  e.  X )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
87ad2ant2r 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  e.  ( Clsd `  J )
)
91, 2, 3, 6, 8conclo 18978 . . . . . . 7  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  { x }  =  X )
104ensn1 7369 . . . . . . 7  |-  { x }  ~~  1o
119, 10syl6eqbrr 4327 . . . . . 6  |-  ( ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  /\  ( x  e.  X  /\  { x }  e.  J ) )  ->  X  ~~  1o )
1211rexlimdvaa 2840 . . . . 5  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( E. x  e.  X  { x }  e.  J  ->  X  ~~  1o ) )
1312con3d 133 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  -.  E. x  e.  X  { x }  e.  J )
)
14 ralnex 2723 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J  <->  -. 
E. x  e.  X  { x }  e.  J )
1513, 14syl6ibr 227 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
16 t1top 18893 . . . . 5  |-  ( J  e.  Fre  ->  J  e.  Top )
1716adantr 462 . . . 4  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  J  e.  Top )
181isperf3 18716 . . . . 5  |-  ( J  e. Perf 
<->  ( J  e.  Top  /\ 
A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
1918baib 891 . . . 4  |-  ( J  e.  Top  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J ) )
2017, 19syl 16 . . 3  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( J  e. Perf  <->  A. x  e.  X  -.  { x }  e.  J )
)
2115, 20sylibrd 234 . 2  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con )  ->  ( -.  X  ~~  1o  ->  J  e. Perf )
)
22213impia 1179 1  |-  ( ( J  e.  Fre  /\  J  e.  Con  /\  -.  X  ~~  1o )  ->  J  e. Perf )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 960    = wceq 1364    e. wcel 1761    =/= wne 2604   A.wral 2713   E.wrex 2714   (/)c0 3634   {csn 3874   U.cuni 4088   class class class wbr 4289   ` cfv 5415   1oc1o 6909    ~~ cen 7303   Topctop 18457   Clsdccld 18579  Perfcperf 18698   Frect1 18870   Conccon 18974
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-id 4632  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-1o 6916  df-en 7307  df-top 18462  df-cld 18582  df-ntr 18583  df-cls 18584  df-lp 18699  df-perf 18700  df-t1 18877  df-con 18975
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator