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Theorem t0sep 18933
Description: Any two topologically indistinguishable points in a T0 space are identical. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
ist0.1  |-  X  = 
U. J
Assertion
Ref Expression
t0sep  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) )
Distinct variable groups:    x, A    x, B    x, J    x, X

Proof of Theorem t0sep
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ist0.1 . . . 4  |-  X  = 
U. J
21ist0 18929 . . 3  |-  ( J  e.  Kol2  <->  ( J  e. 
Top  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) ) )
32simprbi 464 . 2  |-  ( J  e.  Kol2  ->  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) )
4 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( y  =  A  ->  (
y  e.  x  <->  A  e.  x ) )
54bibi1d 319 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
( y  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
) ) )
65ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
) ) )
7 eqeq1 2449 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  (
y  =  z  <->  A  =  z ) )
86, 7imbi12d 320 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  (
( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x
)  ->  y  =  z )  <->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  A  =  z ) ) )
9 eleq1 2503 . . . . . . 7  |-  ( z  =  B  ->  (
z  e.  x  <->  B  e.  x ) )
109bibi2d 318 . . . . . 6  |-  ( z  =  B  ->  (
( A  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
) ) )
1110ralbidv 2740 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x )  <->  A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
) ) )
12 eqeq2 2452 . . . . 5  |-  ( z  =  B  ->  ( A  =  z  <->  A  =  B ) )
1311, 12imbi12d 320 . . . 4  |-  ( z  =  B  ->  (
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  z  e.  x
)  ->  A  =  z )  <->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) ) )
148, 13rspc2va 3085 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  X  /\  B  e.  X
)  /\  A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  (
y  e.  x  <->  z  e.  x )  ->  y  =  z ) )  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
)  ->  A  =  B ) )
1514ancoms 453 . 2  |-  ( ( A. y  e.  X  A. z  e.  X  ( A. x  e.  J  ( y  e.  x  <->  z  e.  x )  -> 
y  =  z )  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X ) )  -> 
( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x
)  ->  A  =  B ) )
163, 15sylan 471 1  |-  ( ( J  e.  Kol2  /\  ( A  e.  X  /\  B  e.  X )
)  ->  ( A. x  e.  J  ( A  e.  x  <->  B  e.  x )  ->  A  =  B ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   U.cuni 4096   Topctop 18503   Kol2ct0 18915
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ral 2725  df-rex 2726  df-rab 2729  df-v 2979  df-uni 4097  df-t0 18922
This theorem is referenced by:  t0dist  18934  cnt0  18955
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