Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0kq Structured version   Unicode version

Theorem t0kq 20445
 Description: A topological space is T0 iff the quotient map is a homeomorphism onto the space's Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t0kq.1
Assertion
Ref Expression
t0kq TopOn KQ
Distinct variable groups:   ,,   ,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem t0kq
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4 TopOn TopOn
2 t0kq.1 . . . . . 6
32ist0-4 20356 . . . . 5 TopOn
43biimpa 484 . . . 4 TopOn
51, 4qtopf1 20443 . . 3 TopOn qTop
62kqval 20353 . . . . 5 TopOn KQ qTop
76adantr 465 . . . 4 TopOn KQ qTop
87oveq2d 6312 . . 3 TopOn KQ qTop
95, 8eleqtrrd 2548 . 2 TopOn KQ
10 hmphi 20404 . . . . 5 KQ KQ
11 hmphsym 20409 . . . . 5 KQ KQ
1210, 11syl 16 . . . 4 KQ KQ
132kqt0lem 20363 . . . 4 TopOn KQ
14 t0hmph 20417 . . . 4 KQ KQ
1512, 13, 14syl2im 38 . . 3 KQ TopOn
1615impcom 430 . 2 TopOn KQ
179, 16impbida 832 1 TopOn KQ
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819  crab 2811  cvv 3109   class class class wbr 4456   cmpt 4515  wf1 5591  cfv 5594  (class class class)co 6296   qTop cqtop 14920  TopOnctopon 19522  ct0 19934  KQckq 20320  chmeo 20380   chmph 20381 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-id 4804  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-1o 7148  df-map 7440  df-qtop 14924  df-top 19526  df-topon 19529  df-cn 19855  df-t0 19941  df-kq 20321  df-hmeo 20382  df-hmph 20383 This theorem is referenced by:  kqhmph  20446
 Copyright terms: Public domain W3C validator