MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  t0kq Structured version   Unicode version

Theorem t0kq 19391
Description: A topological space is T0 iff the quotient map is a homeomorphism onto the space's Kolmogorov quotient. (Contributed by Mario Carneiro, 25-Aug-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
t0kq.1  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
Assertion
Ref Expression
t0kq  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J Homeo (KQ `  J
) ) ) )
Distinct variable groups:    x, y, J    x, X, y
Allowed substitution hints:    F( x, y)

Proof of Theorem t0kq
StepHypRef Expression
1 simpl 457 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  J  e.  (TopOn `  X )
)
2 t0kq.1 . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  X  |->  { y  e.  J  |  x  e.  y } )
32ist0-4 19302 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F : X -1-1-> _V ) )
43biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F : X -1-1-> _V )
51, 4qtopf1 19389 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J Homeo ( J qTop 
F ) ) )
62kqval 19299 . . . . 5  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  =  ( J qTop 
F ) )
76adantr 465 . . . 4  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  (KQ `  J )  =  ( J qTop  F ) )
87oveq2d 6107 . . 3  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  ( J Homeo (KQ `  J
) )  =  ( J Homeo ( J qTop  F
) ) )
95, 8eleqtrrd 2520 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  J  e.  Kol2 )  ->  F  e.  ( J Homeo (KQ `  J ) ) )
10 hmphi 19350 . . . . 5  |-  ( F  e.  ( J Homeo (KQ
`  J ) )  ->  J  ~=  (KQ `  J ) )
11 hmphsym 19355 . . . . 5  |-  ( J  ~=  (KQ `  J
)  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
1210, 11syl 16 . . . 4  |-  ( F  e.  ( J Homeo (KQ
`  J ) )  ->  (KQ `  J
)  ~=  J )
132kqt0lem 19309 . . . 4  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  (KQ `  J
)  e.  Kol2 )
14 t0hmph 19363 . . . 4  |-  ( (KQ
`  J )  ~=  J  ->  ( (KQ `  J )  e.  Kol2  ->  J  e.  Kol2 ) )
1512, 13, 14syl2im 38 . . 3  |-  ( F  e.  ( J Homeo (KQ
`  J ) )  ->  ( J  e.  (TopOn `  X )  ->  J  e.  Kol2 )
)
1615impcom 430 . 2  |-  ( ( J  e.  (TopOn `  X )  /\  F  e.  ( J Homeo (KQ `  J ) ) )  ->  J  e.  Kol2 )
179, 16impbida 828 1  |-  ( J  e.  (TopOn `  X
)  ->  ( J  e.  Kol2  <->  F  e.  ( J Homeo (KQ `  J
) ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2719   _Vcvv 2972   class class class wbr 4292    e. cmpt 4350   -1-1->wf1 5415   ` cfv 5418  (class class class)co 6091   qTop cqtop 14441  TopOnctopon 18499   Kol2ct0 18910  KQckq 19266   Homeochmeo 19326    ~= chmph 19327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-op 3884  df-uni 4092  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-id 4636  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-1o 6920  df-map 7216  df-qtop 14445  df-top 18503  df-topon 18506  df-cn 18831  df-t0 18917  df-kq 19267  df-hmeo 19328  df-hmph 19329
This theorem is referenced by:  kqhmph  19392
  Copyright terms: Public domain W3C validator