Theorem t0dist 15541

Description: Any two distinct points in a T0 space are topologically distinguishable.

Hypothesis

Ref	Expression
t0dist.1	|- X = U.J

Assertion

Ref	Expression
t0dist	|- ((J e. Kol2 /\ (A e. X /\ B e. X /\ A =/= B)) -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o))

Distinct variable groups:   A,o   B,o   o,J   o,X

Proof of Theorem t0dist

Step	Hyp	Ref	Expression
1		t0dist.1	. . . . 5 |- X = U.J
2	1	ist0 15538	. . . 4 |- (J e. Kol2 <-> (J e. Top /\ A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o))))
3	2	simprbi 353	. . 3 |- (J e. Kol2 -> A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o)))
4		neeq1 2024	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (x =/= y <-> A =/= y))
5		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (x = A -> (x e. o <-> A e. o))
6	5	bibi1d 681	. . . . . . . . . 10 |- (x = A -> ((x e. o <-> y e. o) <-> (A e. o <-> y e. o)))
7	6	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (x = A -> (-. (x e. o <-> y e. o) <-> -. (A e. o <-> y e. o)))
8	7	rexbidv 2124	. . . . . . . 8 |- (x = A -> (E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o) <-> E.o e. J -. (A e. o <-> y e. o)))
9	4, 8	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (x = A -> ((x =/= y -> E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o)) <-> (A =/= y -> E.o e. J -. (A e. o <-> y e. o))))
10		neeq2 2025	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (A =/= y <-> A =/= B))
11		eleq1 1957	. . . . . . . . . . 11 |- (y = B -> (y e. o <-> B e. o))
12	11	bibi2d 680	. . . . . . . . . 10 |- (y = B -> ((A e. o <-> y e. o) <-> (A e. o <-> B e. o)))
13	12	notbid 673	. . . . . . . . 9 |- (y = B -> (-. (A e. o <-> y e. o) <-> -. (A e. o <-> B e. o)))
14	13	rexbidv 2124	. . . . . . . 8 |- (y = B -> (E.o e. J -. (A e. o <-> y e. o) <-> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o)))
15	10, 14	imbi12d 688	. . . . . . 7 |- (y = B -> ((A =/= y -> E.o e. J -. (A e. o <-> y e. o)) <-> (A =/= B -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o))))
16	9, 15	rcla42v 2384	. . . . . 6 |- ((A e. X /\ B e. X) -> (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o)) -> (A =/= B -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o))))
17	16	com12 14	. . . . 5 |- (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o)) -> ((A e. X /\ B e. X) -> (A =/= B -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o))))
18	17	exp3a 405	. . . 4 |- (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o)) -> (A e. X -> (B e. X -> (A =/= B -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o)))))
19	18	3impd 1082	. . 3 |- (A.x e. X A.y e. X (x =/= y -> E.o e. J -. (x e. o <-> y e. o)) -> ((A e. X /\ B e. X /\ A =/= B) -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o)))
20	3, 19	syl 12	. 2 |- (J e. Kol2 -> ((A e. X /\ B e. X /\ A =/= B) -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o)))
21	20	imp 377	1 |- ((J e. Kol2 /\ (A e. X /\ B e. X /\ A =/= B)) -> E.o e. J -. (A e. o <-> B e. o))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 163   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300   =/= wne 2017  A.wral 2105  E.wrex 2106  U.cuni 3177  Topctop 8857  Kol2ct0ALT 15532

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-rab 2112  df-v 2294  df-uni 3178  df-t0ALT 15535

Copyright terms: Public domain