Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgtrinv Structured version   Unicode version

Theorem symgtrinv 16713
 Description: To invert a permutation represented as a sequence of transpositions, reverse the sequence. (Contributed by Stefan O'Rear, 27-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrinv.t pmTrsp
symgtrinv.g
symgtrinv.i
Assertion
Ref Expression
symgtrinv Word g g reverse

Proof of Theorem symgtrinv
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrinv.g . . . . 5
21symggrp 16641 . . . 4
3 eqid 2402 . . . . 5 oppg oppg
4 symgtrinv.i . . . . 5
53, 4invoppggim 16611 . . . 4 GrpIso oppg
6 gimghm 16528 . . . 4 GrpIso oppg oppg
7 ghmmhm 16493 . . . 4 oppg MndHom oppg
82, 5, 6, 74syl 21 . . 3 MndHom oppg
9 symgtrinv.t . . . . . 6 pmTrsp
10 eqid 2402 . . . . . 6
119, 1, 10symgtrf 16710 . . . . 5
12 sswrd 12513 . . . . 5 Word Word
1311, 12ax-mp 5 . . . 4 Word Word
1413sseli 3437 . . 3 Word Word
1510gsumwmhm 16229 . . 3 MndHom oppg Word g oppg g
168, 14, 15syl2an 475 . 2 Word g oppg g
1710, 4grpinvf 16310 . . . . . . . 8
182, 17syl 17 . . . . . . 7
1918adantr 463 . . . . . 6 Word
20 wrdf 12510 . . . . . . . 8 Word ..^
2120adantl 464 . . . . . . 7 Word ..^
22 fss 5678 . . . . . . 7 ..^ ..^
2321, 11, 22sylancl 660 . . . . . 6 Word ..^
24 fco 5680 . . . . . 6 ..^ ..^
2519, 23, 24syl2anc 659 . . . . 5 Word ..^
26 ffn 5670 . . . . 5 ..^ ..^
2725, 26syl 17 . . . 4 Word ..^
28 ffn 5670 . . . . 5 ..^ ..^
2921, 28syl 17 . . . 4 Word ..^
30 fvco2 5880 . . . . . 6 ..^ ..^
3129, 30sylan 469 . . . . 5 Word ..^
3221ffvelrnda 5965 . . . . . . 7 Word ..^
3311, 32sseldi 3439 . . . . . 6 Word ..^
341, 10, 4symginv 16643 . . . . . 6
3533, 34syl 17 . . . . 5 Word ..^
36 eqid 2402 . . . . . . 7 pmTrsp pmTrsp
3736, 9pmtrfcnv 16705 . . . . . 6
3832, 37syl 17 . . . . 5 Word ..^
3931, 35, 383eqtrd 2447 . . . 4 Word ..^
4027, 29, 39eqfnfvd 5918 . . 3 Word
4140oveq2d 6250 . 2 Word oppg g oppg g
42 grpmnd 16278 . . . 4
432, 42syl 17 . . 3
4410, 3gsumwrev 16617 . . 3 Word oppg g g reverse
4543, 14, 44syl2an 475 . 2 Word oppg g g reverse
4616, 41, 453eqtrd 2447 1 Word g g reverse
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 367   wceq 1405   wcel 1842   wss 3413  ccnv 4941   crn 4943   ccom 4946   wfn 5520  wf 5521  cfv 5525  (class class class)co 6234  cc0 9442  ..^cfzo 11767  chash 12359  Word cword 12490  reversecreverse 12496  cbs 14733   g cgsu 14947  cmnd 16135   MndHom cmhm 16180  cgrp 16269  cminusg 16270   cghm 16480   GrpIso cgim 16521  oppgcoppg 16596  csymg 16618  pmTrspcpmtr 16682 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-tpos 6912  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-er 7268  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-card 8272  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-4 10557  df-5 10558  df-6 10559  df-7 10560  df-8 10561  df-9 10562  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-seq 12062  df-hash 12360  df-word 12498  df-lsw 12499  df-concat 12500  df-s1 12501  df-substr 12502  df-reverse 12504  df-struct 14735  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-tset 14820  df-0g 14948  df-gsum 14949  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-mhm 16182  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-ghm 16481  df-gim 16523  df-oppg 16597  df-symg 16619  df-pmtr 16683 This theorem is referenced by:  psgnuni  16740
 Copyright terms: Public domain W3C validator