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Theorem symgtgp 19672
Description: The symmetric group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symgtgp.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symgtgp  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )

Proof of Theorem symgtgp
Dummy variables  t 
f  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtgp.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21symggrp 15905 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 grpmnd 15550 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Mnd )
5 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
61, 5symgtopn 15910 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  =  ( TopOpen `  G )
)
7 distopon 18601 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )
8 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
98pttoponconst 19170 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
107, 9mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
111, 5elsymgbas 15887 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
12 f1of 5641 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
13 elmapg 7227 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
1413anidms 645 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
1512, 14syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
1611, 15sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  ->  x  e.  ( A  ^m  A
) ) )
1716ssrdv 3362 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
18 resttopon 18765 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) )  /\  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A
) )  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
1910, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
206, 19eqeltrrd 2518 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( TopOpen
`  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
21 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
225, 21istps 18541 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2320, 22sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopSp )
24 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
251, 5, 24symgplusg 15894 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )
26 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  =  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )
27 distop 18600 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
28 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( ~P A  ^ko  ~P A
)
2928xkotopon 19173 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e.  Top )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
3027, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
31 cndis 18895 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ~P A  Cn  ~P A )  =  ( A  ^m  A ) )
327, 31mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  Cn  ~P A
)  =  ( A  ^m  A ) )
3317, 32sseqtr4d 3393 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )
34 disllycmp 19102 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. Locally  Comp )
35 llynlly 19081 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  e. Locally  Comp  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
37 eqid 2443 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
)  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )
3837xkococn 19233 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e. 𝑛Locally  Comp  /\  ~P A  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
3927, 36, 27, 38syl3anc 1218 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
4026, 30, 33, 26, 30, 33, 39cnmpt2res 19250 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4125, 40syl5eqel 2527 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
42 xkopt 19228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) )
4327, 42mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
4443oveq1d 6106 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) ) )
4544, 6eqtrd 2475 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  (
TopOpen `  G ) )
4645, 45oveq12d 6109 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )  tX  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) ) )
4746oveq1d 6106 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4841, 47eleqtrd 2519 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
49 vex 2975 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
50 vex 2975 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
5149, 50coex 6529 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  y )  e. 
_V
5225, 51fnmpt2i 6643 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
53 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
545, 24, 53plusfeq 15429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +g  `  G )  Fn  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  ->  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G ) )
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G
)
5655eqcomi 2447 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +f `  G
)
575, 56grpplusf 15555 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
58 frn 5565 . . . . . . 7  |-  ( ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ran  ( +g  `  G )  C_  ( Base `  G ) )
592, 57, 583syl 20 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( +g  `  G ) 
C_  ( Base `  G
) )
60 cnrest2 18890 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( +g  `  G
)  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( +g  `  G
)  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6130, 59, 33, 60syl3anc 1218 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6248, 61mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) )
6345oveq2d 6107 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6462, 63eleqtrd 2519 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6556, 21istmd 19645 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
664, 23, 64, 65syl3anbrc 1172 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e. TopMnd )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
68 fconst6g 5599 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Top  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
6927, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
7011biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
71 f1ocnv 5653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A )
72 f1of 5641 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A --> A )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x : A --> A )
7473ffvelrnda 5843 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
7574an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
76 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
7775, 76fmptd 5867 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
7877adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
79 cnveq 5013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  f  ->  `' x  =  `' f
)
8079fveq1d 5693 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  f  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) )
81 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f `  y )  e.  _V
8280, 76, 81fvmpt 5774 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( Base `  G
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `
 y ) )
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `  y
) )
8483eleq1d 2509 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
85 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )
8685mptiniseg 5332 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } )
8750, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }
88 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )
8910ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
9017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
91 toponuni 18532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A
) )  ->  ( A  ^m  A )  = 
U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
92 mpteq1 4372 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
9389, 91, 923syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
94 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A  e.  V )
9569ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A  X.  { ~P A }
) : A --> Top )
961, 5elsymgbas 15887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  G )  <->  f : A
-1-1-onto-> A ) )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( f  e.  (
Base `  G )  <->  f : A -1-1-onto-> A ) )
9897biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f : A
-1-1-onto-> A )
99 f1ocnv 5653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> A )
100 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( `' f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A --> A )
10198, 99, 1003syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  `' f : A --> A )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  A )
103101, 102ffvelrnd 5844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' f `  y )  e.  A )
104 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
105104, 8ptpjcn 19184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top  /\  ( `' f `
 y )  e.  A )  ->  (
u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10694, 95, 103, 105syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10727ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  Top )
108 fvconst2g 5931 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  ( `' f `  y )  e.  A
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
109107, 103, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
110109oveq2d 6107 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
111106, 110eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11293, 111eqeltrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11388, 89, 90, 112cnmpt1res 19249 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  (
Base `  G )
)  Cn  ~P A
) )
1146oveq1d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
116113, 115eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
117 snelpwi 4537 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { y }  e.  ~P A
)
119 cnima 18869 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  /\  { y }  e.  ~P A
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
120116, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
12187, 120syl5eqelr 2528 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
123 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  ( Base `  G
) )
12498adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f : A -1-1-onto-> A )
125 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  y  e.  A )
126 f1ocnvfv2 5984 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  ( `' f `  y
) )  =  y )
127124, 125, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
f `  ( `' f `  y )
)  =  y )
128 fveq1 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  f  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 y ) ) )
129128eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  f  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( f `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
130129elrab 3117 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  <->  ( f  e.  ( Base `  G
)  /\  ( f `  ( `' f `  y ) )  =  y ) )
131123, 127, 130sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )
132 ssrab2 3437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
)
13411ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
135134biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
136103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  A )
137 f1ocnvfv 5985 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x : A -1-1-onto-> A  /\  ( `' f `  y
)  e.  A )  ->  ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) ) )
138135, 136, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
) ) )
139 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  t )
140 eleq1 2503 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y )  -> 
( ( `' x `  y )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
141139, 140syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
)  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
142138, 141syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
143142ralrimiva 2799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
144 fveq1 5690 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  x  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( x `
 ( `' f `
 y ) ) )
145144eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  x  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
146145ralrab 3121 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
147143, 146sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t )
148 ssrab 3430 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  { x  e.  ( Base `  G
)  |  ( `' x `  y )  e.  t }  <->  ( {
u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( Base `  G
)  /\  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t ) )
149133, 147, 148sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  { x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t } )
15076mptpreima 5331 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
t )  =  {
x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t }
151149, 150syl6sseqr 3403 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) )
152 funmpt 5454 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
153 fvex 5701 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' x `  y )  e.  _V
154153, 76dmmpti 5540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( Base `  G )
155133, 154syl6sseqr 3403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  dom  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) )
156 funimass3 5819 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  /\  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  dom  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) ) )
157152, 155, 156sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " t ) ) )
158151, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
)
159 eleq2 2504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( f  e.  v  <->  f  e.  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } ) )
160 imaeq2 5165 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  =  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } ) )
161160sseq1d 3383 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t  <->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )
162159, 161anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
)  <->  ( f  e. 
{ u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t ) ) )
163162rspcev 3073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )  /\  (
f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
164122, 131, 158, 163syl12anc 1216 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
165164expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( `' f `
 y )  e.  t  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16684, 165sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
167166ralrimiva 2799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A. t  e.  ~P  A ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16820ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
1697ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A )
)
170 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f  e.  ( Base `  G )
)
171 iscnp 18841 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1218 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G ) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
17378, 167, 172mpbir2and 913 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
174173ralrimiva 2799 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  A. f  e.  (
Base `  G )
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
175 cncnp 18884 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17620, 7, 175syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
177176adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17877, 174, 177mpbir2and 913 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
179 fvconst2g 5931 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
)  =  ~P A
)
18027, 179sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 y )  =  ~P A )
181180oveq2d 6107 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ~P A ) )
182178, 181eleqtrrd 2520 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) ) )
1838, 20, 67, 69, 182ptcn 19200 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
184 eqid 2443 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1855, 184grpinvf 15582 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
1862, 185syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
187186feqmptd 5744 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )
1881, 5, 184symginv 15907 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  =  `' x )
189188adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  `' x
)
19073feqmptd 5744 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x  =  (
y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
191189, 190eqtrd 2475 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
192191mpteq2dva 4378 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( invg `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
193187, 192eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
19443oveq2d 6107 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
195183, 193, 1943eltr4d 2524 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
196 frn 5565 . . . . . 6  |-  ( ( invg `  G
) : ( Base `  G ) --> ( Base `  G )  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
1972, 185, 1963syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
198 cnrest2 18890 . . . . 5  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( invg `  G )  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
19930, 197, 33, 198syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
200195, 199mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) ) )
20145oveq2d 6107 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( TopOpen `  G ) ) )
202200, 201eleqtrd 2519 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) )
20321, 184istgp 19648 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
2042, 66, 202, 203syl3anbrc 1172 1  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   E.wrex 2716   {crab 2719   _Vcvv 2972    C_ wss 3328   ~Pcpw 3860   {csn 3877   U.cuni 4091    e. cmpt 4350    X. cxp 4838   `'ccnv 4839   dom cdm 4840   ran crn 4841   "cima 4843    o. ccom 4844   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418  (class class class)co 6091    e. cmpt2 6093    ^m cmap 7214   Basecbs 14174   +g cplusg 14238   ↾t crest 14359   TopOpenctopn 14360   Xt_cpt 14377   Mndcmnd 15409   Grpcgrp 15410   invgcminusg 15411   +fcplusf 15412   SymGrpcsymg 15882   Topctop 18498  TopOnctopon 18499   TopSpctps 18501    Cn ccn 18828    CnP ccnp 18829   Compccmp 18989  Locally clly 19068  𝑛Locally cnlly 19069    tX ctx 19133    ^ko cxko 19134  TopMndctmd 19641   TopGrpctgp 19642
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4403  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rmo 2723  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-iin 4174  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-2o 6921  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-ixp 7264  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-fi 7661  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-tset 14257  df-rest 14361  df-topn 14362  df-0g 14380  df-topgen 14382  df-pt 14383  df-mnd 15415  df-plusf 15416  df-grp 15545  df-minusg 15546  df-symg 15883  df-top 18503  df-bases 18505  df-topon 18506  df-topsp 18507  df-ntr 18624  df-nei 18702  df-cn 18831  df-cnp 18832  df-cmp 18990  df-lly 19070  df-nlly 19071  df-tx 19135  df-xko 19136  df-tmd 19643  df-tgp 19644
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