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Theorem symgtgp 21194
Description: The symmetric group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symgtgp.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symgtgp  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )

Proof of Theorem symgtgp
Dummy variables  t 
f  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtgp.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21symggrp 17119 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 grpmnd 16756 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
42, 3syl 17 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Mnd )
5 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
61, 5symgtopn 17124 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  =  ( TopOpen `  G )
)
7 distopon 20089 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )
8 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
98pttoponconst 20689 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
107, 9mpdan 681 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
111, 5elsymgbas 17101 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
12 f1of 5828 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
13 elmapg 7503 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
1413anidms 657 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
1512, 14syl5ibr 229 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
1611, 15sylbid 223 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  ->  x  e.  ( A  ^m  A
) ) )
1716ssrdv 3424 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
18 resttopon 20254 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) )  /\  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A
) )  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
1910, 17, 18syl2anc 673 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
206, 19eqeltrrd 2550 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( TopOpen
`  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
21 eqid 2471 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
225, 21istps 20028 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2320, 22sylibr 217 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopSp )
24 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
251, 5, 24symgplusg 17108 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )
26 eqid 2471 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  =  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )
27 distop 20088 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
28 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( ~P A  ^ko  ~P A
)
2928xkotopon 20692 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e.  Top )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
3027, 27, 29syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
31 cndis 20384 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ~P A  Cn  ~P A )  =  ( A  ^m  A ) )
327, 31mpdan 681 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  Cn  ~P A
)  =  ( A  ^m  A ) )
3317, 32sseqtr4d 3455 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )
34 disllycmp 20590 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. Locally  Comp )
35 llynlly 20569 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  e. Locally  Comp  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
37 eqid 2471 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
)  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )
3837xkococn 20752 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e. 𝑛Locally  Comp  /\  ~P A  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
3927, 36, 27, 38syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
4026, 30, 33, 26, 30, 33, 39cnmpt2res 20769 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4125, 40syl5eqel 2553 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
42 xkopt 20747 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) )
4327, 42mpancom 682 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
4443oveq1d 6323 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) ) )
4544, 6eqtrd 2505 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  (
TopOpen `  G ) )
4645, 45oveq12d 6326 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )  tX  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) ) )
4746oveq1d 6323 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4841, 47eleqtrd 2551 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
49 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
50 vex 3034 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
5149, 50coex 6764 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  y )  e. 
_V
5225, 51fnmpt2i 6881 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
53 eqid 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
545, 24, 53plusfeq 16573 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +g  `  G )  Fn  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  ->  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G ) )
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G
)
5655eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +f `  G
)
575, 56grpplusf 16761 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
58 frn 5747 . . . . . . 7  |-  ( ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ran  ( +g  `  G )  C_  ( Base `  G ) )
592, 57, 583syl 18 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( +g  `  G ) 
C_  ( Base `  G
) )
60 cnrest2 20379 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( +g  `  G
)  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( +g  `  G
)  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6130, 59, 33, 60syl3anc 1292 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6248, 61mpbid 215 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) )
6345oveq2d 6324 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6462, 63eleqtrd 2551 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6556, 21istmd 21167 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
664, 23, 64, 65syl3anbrc 1214 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e. TopMnd )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
68 fconst6g 5785 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Top  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
6927, 68syl 17 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
7011biimpa 492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
71 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A )
72 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A --> A )
7370, 71, 723syl 18 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x : A --> A )
7473ffvelrnda 6037 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
7574an32s 821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
76 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
7775, 76fmptd 6061 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
7877adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
79 cnveq 5013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  f  ->  `' x  =  `' f
)
8079fveq1d 5881 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  f  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) )
81 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f `  y )  e.  _V
8280, 76, 81fvmpt 5963 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( Base `  G
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `
 y ) )
8382ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `  y
) )
8483eleq1d 2533 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
85 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )
8685mptiniseg 5336 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } )
8750, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }
88 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )
8910ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
9017ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
91 toponuni 20019 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A
) )  ->  ( A  ^m  A )  = 
U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
92 mpteq1 4476 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
9389, 91, 923syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
94 simpll 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A  e.  V )
9569ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A  X.  { ~P A }
) : A --> Top )
961, 5elsymgbas 17101 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  G )  <->  f : A
-1-1-onto-> A ) )
9796adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( f  e.  (
Base `  G )  <->  f : A -1-1-onto-> A ) )
9897biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f : A
-1-1-onto-> A )
99 f1ocnv 5840 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> A )
100 f1of 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( `' f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A --> A )
10198, 99, 1003syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  `' f : A --> A )
102 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  A )
103101, 102ffvelrnd 6038 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' f `  y )  e.  A )
104 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
105104, 8ptpjcn 20703 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top  /\  ( `' f `
 y )  e.  A )  ->  (
u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10694, 95, 103, 105syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10727ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  Top )
108 fvconst2g 6134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  ( `' f `  y )  e.  A
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
109107, 103, 108syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
110109oveq2d 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
111106, 110eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11293, 111eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11388, 89, 90, 112cnmpt1res 20768 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  (
Base `  G )
)  Cn  ~P A
) )
1146oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
115114ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
116113, 115eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
117 snelpwi 4645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
118117ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { y }  e.  ~P A
)
119 cnima 20358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  /\  { y }  e.  ~P A
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
120116, 118, 119syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
12187, 120syl5eqelr 2554 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
122121adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
123 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  ( Base `  G
) )
12498adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f : A -1-1-onto-> A )
125 simpllr 777 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  y  e.  A )
126 f1ocnvfv2 6194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  ( `' f `  y
) )  =  y )
127124, 125, 126syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
f `  ( `' f `  y )
)  =  y )
128 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  f  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 y ) ) )
129128eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  f  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( f `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
130129elrab 3184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  <->  ( f  e.  ( Base `  G
)  /\  ( f `  ( `' f `  y ) )  =  y ) )
131123, 127, 130sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )
132 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
)
13411ad3antrrr 744 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
135134biimpa 492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
136103ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  A )
137 f1ocnvfv 6195 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x : A -1-1-onto-> A  /\  ( `' f `  y
)  e.  A )  ->  ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) ) )
138135, 136, 137syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
) ) )
139 simplrr 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  t )
140 eleq1 2537 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y )  -> 
( ( `' x `  y )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
141139, 140syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
)  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
142138, 141syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
143142ralrimiva 2809 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
144 fveq1 5878 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  x  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( x `
 ( `' f `
 y ) ) )
145144eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  x  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
146145ralrab 3188 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
147143, 146sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t )
148 ssrab 3493 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  { x  e.  ( Base `  G
)  |  ( `' x `  y )  e.  t }  <->  ( {
u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( Base `  G
)  /\  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t ) )
149133, 147, 148sylanbrc 677 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  { x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t } )
15076mptpreima 5335 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
t )  =  {
x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t }
151149, 150syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) )
152 funmpt 5625 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
153 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' x `  y )  e.  _V
154153, 76dmmpti 5717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( Base `  G )
155133, 154syl6sseqr 3465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  dom  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) )
156 funimass3 6013 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  /\  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  dom  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) ) )
157152, 155, 156sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " t ) ) )
158151, 157mpbird 240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
)
159 eleq2 2538 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( f  e.  v  <->  f  e.  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } ) )
160 imaeq2 5170 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  =  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } ) )
161160sseq1d 3445 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t  <->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )
162159, 161anbi12d 725 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
)  <->  ( f  e. 
{ u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t ) ) )
163162rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )  /\  (
f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
164122, 131, 158, 163syl12anc 1290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
165164expr 626 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( `' f `
 y )  e.  t  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16684, 165sylbid 223 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
167166ralrimiva 2809 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A. t  e.  ~P  A ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16820ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
1697ad2antrr 740 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A )
)
170 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f  e.  ( Base `  G )
)
171 iscnp 20330 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G ) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
17378, 167, 172mpbir2and 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
174173ralrimiva 2809 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  A. f  e.  (
Base `  G )
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
175 cncnp 20373 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17620, 7, 175syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
177176adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17877, 174, 177mpbir2and 936 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
179 fvconst2g 6134 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
)  =  ~P A
)
18027, 179sylan 479 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 y )  =  ~P A )
181180oveq2d 6324 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ~P A ) )
182178, 181eleqtrrd 2552 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) ) )
1838, 20, 67, 69, 182ptcn 20719 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
184 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1855, 184grpinvf 16788 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
1862, 185syl 17 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
187186feqmptd 5932 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )
1881, 5, 184symginv 17121 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  =  `' x )
189188adantl 473 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  `' x
)
19073feqmptd 5932 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x  =  (
y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
191189, 190eqtrd 2505 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
192191mpteq2dva 4482 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( invg `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
193187, 192eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
19443oveq2d 6324 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
195183, 193, 1943eltr4d 2564 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
196 frn 5747 . . . . . 6  |-  ( ( invg `  G
) : ( Base `  G ) --> ( Base `  G )  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
1972, 185, 1963syl 18 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
198 cnrest2 20379 . . . . 5  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( invg `  G )  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
19930, 197, 33, 198syl3anc 1292 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
200195, 199mpbid 215 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) ) )
20145oveq2d 6324 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( TopOpen `  G ) ) )
202200, 201eleqtrd 2551 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) )
20321, 184istgp 21170 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
2042, 66, 202, 203syl3anbrc 1214 1  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   {csn 3959   U.cuni 4190    |-> cmpt 4454    X. cxp 4837   `'ccnv 4838   dom cdm 4839   ran crn 4840   "cima 4842    o. ccom 4843   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    ^m cmap 7490   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   ↾t crest 15397   TopOpenctopn 15398   Xt_cpt 15415   +fcplusf 16563   Mndcmnd 16613   Grpcgrp 16747   invgcminusg 16748   SymGrpcsymg 17096   Topctop 19994  TopOnctopon 19995   TopSpctps 19996    Cn ccn 20317    CnP ccnp 20318   Compccmp 20478  Locally clly 20556  𝑛Locally cnlly 20557    tX ctx 20652    ^ko cxko 20653  TopMndctmd 21163   TopGrpctgp 21164
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fi 7943  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-plusf 16565  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-symg 17097  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-ntr 20112  df-nei 20191  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-cmp 20479  df-lly 20558  df-nlly 20559  df-tx 20654  df-xko 20655  df-tmd 21165  df-tgp 21166
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