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Theorem symgtgp 20363
Description: The symmetric group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symgtgp.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symgtgp  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )

Proof of Theorem symgtgp
Dummy variables  t 
f  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtgp.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21symggrp 16230 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 grpmnd 15872 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Mnd )
5 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
61, 5symgtopn 16235 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  =  ( TopOpen `  G )
)
7 distopon 19292 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )
8 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
98pttoponconst 19861 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
107, 9mpdan 668 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
111, 5elsymgbas 16212 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
12 f1of 5816 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
13 elmapg 7433 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
1413anidms 645 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
1512, 14syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
1611, 15sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  ->  x  e.  ( A  ^m  A
) ) )
1716ssrdv 3510 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
18 resttopon 19456 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) )  /\  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A
) )  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
1910, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
206, 19eqeltrrd 2556 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( TopOpen
`  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
21 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
225, 21istps 19232 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2320, 22sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopSp )
24 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
251, 5, 24symgplusg 16219 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )
26 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  =  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )
27 distop 19291 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
28 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( ~P A  ^ko  ~P A
)
2928xkotopon 19864 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e.  Top )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
3027, 27, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
31 cndis 19586 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ~P A  Cn  ~P A )  =  ( A  ^m  A ) )
327, 31mpdan 668 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  Cn  ~P A
)  =  ( A  ^m  A ) )
3317, 32sseqtr4d 3541 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )
34 disllycmp 19793 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. Locally  Comp )
35 llynlly 19772 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  e. Locally  Comp  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
37 eqid 2467 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
)  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )
3837xkococn 19924 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e. 𝑛Locally  Comp  /\  ~P A  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
3927, 36, 27, 38syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
4026, 30, 33, 26, 30, 33, 39cnmpt2res 19941 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4125, 40syl5eqel 2559 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
42 xkopt 19919 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) )
4327, 42mpancom 669 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
4443oveq1d 6299 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) ) )
4544, 6eqtrd 2508 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  (
TopOpen `  G ) )
4645, 45oveq12d 6302 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )  tX  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) ) )
4746oveq1d 6299 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4841, 47eleqtrd 2557 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
49 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
50 vex 3116 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
5149, 50coex 6736 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  y )  e. 
_V
5225, 51fnmpt2i 6853 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
53 eqid 2467 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
545, 24, 53plusfeq 15746 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +g  `  G )  Fn  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  ->  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G ) )
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G
)
5655eqcomi 2480 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +f `  G
)
575, 56grpplusf 15877 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
58 frn 5737 . . . . . . 7  |-  ( ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ran  ( +g  `  G )  C_  ( Base `  G ) )
592, 57, 583syl 20 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( +g  `  G ) 
C_  ( Base `  G
) )
60 cnrest2 19581 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( +g  `  G
)  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( +g  `  G
)  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6130, 59, 33, 60syl3anc 1228 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6248, 61mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) )
6345oveq2d 6300 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6462, 63eleqtrd 2557 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6556, 21istmd 20336 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
664, 23, 64, 65syl3anbrc 1180 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e. TopMnd )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
68 fconst6g 5774 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Top  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
6927, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
7011biimpa 484 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
71 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A )
72 f1of 5816 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A --> A )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x : A --> A )
7473ffvelrnda 6021 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
7574an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
76 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
7775, 76fmptd 6045 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
7877adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
79 cnveq 5176 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  f  ->  `' x  =  `' f
)
8079fveq1d 5868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  f  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) )
81 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f `  y )  e.  _V
8280, 76, 81fvmpt 5950 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( Base `  G
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `
 y ) )
8382ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `  y
) )
8483eleq1d 2536 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
85 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )
8685mptiniseg 5501 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } )
8750, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }
88 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )
8910ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
9017ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
91 toponuni 19223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A
) )  ->  ( A  ^m  A )  = 
U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
92 mpteq1 4527 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
9389, 91, 923syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
94 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A  e.  V )
9569ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A  X.  { ~P A }
) : A --> Top )
961, 5elsymgbas 16212 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  G )  <->  f : A
-1-1-onto-> A ) )
9796adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( f  e.  (
Base `  G )  <->  f : A -1-1-onto-> A ) )
9897biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f : A
-1-1-onto-> A )
99 f1ocnv 5828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> A )
100 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( `' f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A --> A )
10198, 99, 1003syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  `' f : A --> A )
102 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  A )
103101, 102ffvelrnd 6022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' f `  y )  e.  A )
104 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
105104, 8ptpjcn 19875 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top  /\  ( `' f `
 y )  e.  A )  ->  (
u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10694, 95, 103, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10727ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  Top )
108 fvconst2g 6114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  ( `' f `  y )  e.  A
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
109107, 103, 108syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
110109oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
111106, 110eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11293, 111eqeltrd 2555 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11388, 89, 90, 112cnmpt1res 19940 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  (
Base `  G )
)  Cn  ~P A
) )
1146oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
115114ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
116113, 115eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
117 snelpwi 4692 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
118117ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { y }  e.  ~P A
)
119 cnima 19560 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  /\  { y }  e.  ~P A
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
120116, 118, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
12187, 120syl5eqelr 2560 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
122121adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
123 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  ( Base `  G
) )
12498adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f : A -1-1-onto-> A )
125 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  y  e.  A )
126 f1ocnvfv2 6171 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  ( `' f `  y
) )  =  y )
127124, 125, 126syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
f `  ( `' f `  y )
)  =  y )
128 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  f  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 y ) ) )
129128eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  f  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( f `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
130129elrab 3261 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  <->  ( f  e.  ( Base `  G
)  /\  ( f `  ( `' f `  y ) )  =  y ) )
131123, 127, 130sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )
132 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
)
13411ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
135134biimpa 484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
136103ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  A )
137 f1ocnvfv 6172 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x : A -1-1-onto-> A  /\  ( `' f `  y
)  e.  A )  ->  ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) ) )
138135, 136, 137syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
) ) )
139 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  t )
140 eleq1 2539 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y )  -> 
( ( `' x `  y )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
141139, 140syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
)  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
142138, 141syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
143142ralrimiva 2878 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
144 fveq1 5865 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  x  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( x `
 ( `' f `
 y ) ) )
145144eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  x  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
146145ralrab 3265 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
147143, 146sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t )
148 ssrab 3578 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  { x  e.  ( Base `  G
)  |  ( `' x `  y )  e.  t }  <->  ( {
u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( Base `  G
)  /\  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t ) )
149133, 147, 148sylanbrc 664 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  { x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t } )
15076mptpreima 5500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
t )  =  {
x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t }
151149, 150syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) )
152 funmpt 5624 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
153 fvex 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' x `  y )  e.  _V
154153, 76dmmpti 5710 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( Base `  G )
155133, 154syl6sseqr 3551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  dom  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) )
156 funimass3 5997 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  /\  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  dom  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) ) )
157152, 155, 156sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " t ) ) )
158151, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
)
159 eleq2 2540 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( f  e.  v  <->  f  e.  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } ) )
160 imaeq2 5333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  =  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } ) )
161160sseq1d 3531 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t  <->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )
162159, 161anbi12d 710 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
)  <->  ( f  e. 
{ u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t ) ) )
163162rspcev 3214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )  /\  (
f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
164122, 131, 158, 163syl12anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
165164expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( `' f `
 y )  e.  t  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16684, 165sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
167166ralrimiva 2878 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A. t  e.  ~P  A ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16820ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
1697ad2antrr 725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A )
)
170 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f  e.  ( Base `  G )
)
171 iscnp 19532 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G ) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
17378, 167, 172mpbir2and 920 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
174173ralrimiva 2878 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  A. f  e.  (
Base `  G )
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
175 cncnp 19575 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17620, 7, 175syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
177176adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17877, 174, 177mpbir2and 920 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
179 fvconst2g 6114 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
)  =  ~P A
)
18027, 179sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 y )  =  ~P A )
181180oveq2d 6300 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ~P A ) )
182178, 181eleqtrrd 2558 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) ) )
1838, 20, 67, 69, 182ptcn 19891 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
184 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1855, 184grpinvf 15904 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
1862, 185syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
187186feqmptd 5920 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )
1881, 5, 184symginv 16232 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  =  `' x )
189188adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  `' x
)
19073feqmptd 5920 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x  =  (
y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
191189, 190eqtrd 2508 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
192191mpteq2dva 4533 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( invg `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
193187, 192eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
19443oveq2d 6300 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
195183, 193, 1943eltr4d 2570 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
196 frn 5737 . . . . . 6  |-  ( ( invg `  G
) : ( Base `  G ) --> ( Base `  G )  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
1972, 185, 1963syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
198 cnrest2 19581 . . . . 5  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( invg `  G )  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
19930, 197, 33, 198syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
200195, 199mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) ) )
20145oveq2d 6300 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( TopOpen `  G ) ) )
202200, 201eleqtrd 2557 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) )
20321, 184istgp 20339 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
2042, 66, 202, 203syl3anbrc 1180 1  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   ~Pcpw 4010   {csn 4027   U.cuni 4245    |-> cmpt 4505    X. cxp 4997   `'ccnv 4998   dom cdm 4999   ran crn 5000   "cima 5002    o. ccom 5003   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286    ^m cmap 7420   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   ↾t crest 14676   TopOpenctopn 14677   Xt_cpt 14694   Mndcmnd 15726   Grpcgrp 15727   invgcminusg 15728   +fcplusf 15729   SymGrpcsymg 16207   Topctop 19189  TopOnctopon 19190   TopSpctps 19192    Cn ccn 19519    CnP ccnp 19520   Compccmp 19680  Locally clly 19759  𝑛Locally cnlly 19760    tX ctx 19824    ^ko cxko 19825  TopMndctmd 20332   TopGrpctgp 20333
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-iin 4328  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-map 7422  df-ixp 7470  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-fi 7871  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-4 10596  df-5 10597  df-6 10598  df-7 10599  df-8 10600  df-9 10601  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-struct 14492  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-plusg 14568  df-tset 14574  df-rest 14678  df-topn 14679  df-0g 14697  df-topgen 14699  df-pt 14700  df-mnd 15732  df-plusf 15733  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-symg 16208  df-top 19194  df-bases 19196  df-topon 19197  df-topsp 19198  df-ntr 19315  df-nei 19393  df-cn 19522  df-cnp 19523  df-cmp 19681  df-lly 19761  df-nlly 19762  df-tx 19826  df-xko 19827  df-tmd 20334  df-tgp 20335
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