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Theorem symgtgp 19572
Description: The symmetric group is a topological group. (Contributed by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symgtgp.g  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symgtgp  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )

Proof of Theorem symgtgp
Dummy variables  t 
f  u  v  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtgp.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
21symggrp 15898 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 grpmnd 15543 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Mnd )
5 eqid 2441 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
61, 5symgtopn 15903 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  =  ( TopOpen `  G )
)
7 distopon 18501 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A
) )
8 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
98pttoponconst 19070 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
107, 9mpdan 663 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
111, 5elsymgbas 15880 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
12 f1of 5638 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
13 elmapg 7223 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  A  e.  V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
1413anidms 640 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
1512, 14syl5ibr 221 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
1611, 15sylbid 215 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  ->  x  e.  ( A  ^m  A
) ) )
1716ssrdv 3359 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
18 resttopon 18665 . . . . . 6  |-  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) )  /\  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A
) )  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
1910, 17, 18syl2anc 656 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
206, 19eqeltrrd 2516 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( TopOpen
`  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
21 eqid 2441 . . . . 5  |-  ( TopOpen `  G )  =  (
TopOpen `  G )
225, 21istps 18441 . . . 4  |-  ( G  e.  TopSp 
<->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) ) )
2320, 22sylibr 212 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopSp )
24 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
251, 5, 24symgplusg 15887 . . . . . . 7  |-  ( +g  `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )
26 eqid 2441 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  =  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )
27 distop 18500 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e.  Top )
28 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( ~P A  ^ko  ~P A
)
2928xkotopon 19073 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e.  Top )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
3027, 27, 29syl2anc 656 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) ) )
31 cndis 18795 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A  e.  V  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ~P A  Cn  ~P A )  =  ( A  ^m  A ) )
327, 31mpdan 663 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  Cn  ~P A
)  =  ( A  ^m  A ) )
3317, 32sseqtr4d 3390 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )
34 disllycmp 19002 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. Locally  Comp )
35 llynlly 18981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ~P A  e. Locally  Comp  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  ~P A  e. 𝑛Locally  Comp )
37 eqid 2441 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
)  |->  ( x  o.  y ) )  =  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )
3837xkococn 19133 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\ 
~P A  e. 𝑛Locally  Comp  /\  ~P A  e.  Top )  ->  ( x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A ) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
3927, 36, 27, 38syl3anc 1213 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( ~P A  Cn  ~P A
) ,  y  e.  ( ~P A  Cn  ~P A )  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )  tX  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
4026, 30, 33, 26, 30, 33, 39cnmpt2res 19150 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G ) ,  y  e.  ( Base `  G
)  |->  ( x  o.  y ) )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4125, 40syl5eqel 2525 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
42 xkopt 19128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  A  e.  V )  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) )
4327, 42mpancom 664 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  V  ->  ( ~P A  ^ko  ~P A )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
4443oveq1d 6105 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) ) )
4544, 6eqtrd 2473 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) )  =  (
TopOpen `  G ) )
4645, 45oveq12d 6108 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) )  tX  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) ) )
4746oveq1d 6105 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) )  tX  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) ) )
4841, 47eleqtrd 2517 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
49 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  x  e. 
_V
50 vex 2973 . . . . . . . . . . . 12  |-  y  e. 
_V
5149, 50coex 6528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  o.  y )  e. 
_V
5225, 51fnmpt2i 6642 . . . . . . . . . 10  |-  ( +g  `  G )  Fn  (
( Base `  G )  X.  ( Base `  G
) )
53 eqid 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( +f `  G )  =  ( +f `  G )
545, 24, 53plusfeq 15425 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( +g  `  G )  Fn  ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) )  ->  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G ) )
5552, 54ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( +f `  G )  =  ( +g  `  G
)
5655eqcomi 2445 . . . . . . . 8  |-  ( +g  `  G )  =  ( +f `  G
)
575, 56grpplusf 15548 . . . . . . 7  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G
)  X.  ( Base `  G ) ) --> (
Base `  G )
)
58 frn 5562 . . . . . . 7  |-  ( ( +g  `  G ) : ( ( Base `  G )  X.  ( Base `  G ) ) --> ( Base `  G
)  ->  ran  ( +g  `  G )  C_  ( Base `  G ) )
592, 57, 583syl 20 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( +g  `  G ) 
C_  ( Base `  G
) )
60 cnrest2 18790 . . . . . 6  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( +g  `  G
)  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( +g  `  G
)  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6130, 59, 33, 60syl3anc 1213 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) )  <-> 
( +g  `  G )  e.  ( ( (
TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen `  G )
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
6248, 61mpbid 210 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) )
6345oveq2d 6106 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( TopOpen `  G
)  tX  ( TopOpen `  G ) )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6462, 63eleqtrd 2517 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) )
6556, 21istmd 19545 . . 3  |-  ( G  e. TopMnd 
<->  ( G  e.  Mnd  /\  G  e.  TopSp  /\  ( +g  `  G )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  tX  ( TopOpen
`  G ) )  Cn  ( TopOpen `  G
) ) ) )
664, 23, 64, 65syl3anbrc 1167 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  G  e. TopMnd )
67 id 22 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  A  e.  V )
68 fconst6g 5596 . . . . . . 7  |-  ( ~P A  e.  Top  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
6927, 68syl 16 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top )
7011biimpa 481 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
71 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A )
72 f1of 5638 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( `' x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A --> A )
7370, 71, 723syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x : A --> A )
7473ffvelrnda 5840 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  /\  y  e.  A
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
7574an32s 797 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' x `  y )  e.  A )
76 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
7775, 76fmptd 5864 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
7877adantr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A )
79 cnveq 5009 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  =  f  ->  `' x  =  `' f
)
8079fveq1d 5690 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  =  f  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) )
81 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( `' f `  y )  e.  _V
8280, 76, 81fvmpt 5771 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( f  e.  ( Base `  G
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `
 y ) )
8382ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  =  ( `' f `  y
) )
8483eleq1d 2507 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
85 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )
8685mptiniseg 5329 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  _V  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } )
8750, 86ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) ) " { y } )  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }
88 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )t  ( Base `  G
) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )
8910ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A ) ) )
9017ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( Base `  G )  C_  ( A  ^m  A ) )
91 toponuni 18432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) )  e.  (TopOn `  ( A  ^m  A
) )  ->  ( A  ^m  A )  = 
U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) )
92 mpteq1 4369 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( A  ^m  A )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
9389, 91, 923syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) )
94 simpll 748 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A  e.  V )
9569ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( A  X.  { ~P A }
) : A --> Top )
961, 5elsymgbas 15880 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( A  e.  V  ->  (
f  e.  ( Base `  G )  <->  f : A
-1-1-onto-> A ) )
9796adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( f  e.  (
Base `  G )  <->  f : A -1-1-onto-> A ) )
9897biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f : A
-1-1-onto-> A )
99 f1ocnv 5650 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A -1-1-onto-> A )
100 f1of 5638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( `' f : A -1-1-onto-> A  ->  `' f : A --> A )
10198, 99, 1003syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  `' f : A --> A )
102 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  y  e.  A )
103101, 102ffvelrnd 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' f `  y )  e.  A )
104 eqid 2441 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
105104, 8ptpjcn 19084 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( A  X.  { ~P A } ) : A --> Top  /\  ( `' f `
 y )  e.  A )  ->  (
u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10694, 95, 103, 105syl3anc 1213 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 ( `' f `
 y ) ) ) )
10727ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  Top )
108 fvconst2g 5928 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  ( `' f `  y )  e.  A
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
109107, 103, 108syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) )  =  ~P A )
110109oveq2d 6106 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  ( `' f `  y
) ) )  =  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
111106, 110eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  U. ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11293, 111eqeltrd 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( A  ^m  A
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  Cn 
~P A ) )
11388, 89, 90, 112cnmpt1res 19149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  (
Base `  G )
)  Cn  ~P A
) )
1146oveq1d 6105 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( A  e.  V  ->  (
( ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
115114ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )t  ( Base `  G ) )  Cn 
~P A )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
116113, 115eleqtrd 2517 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( u  e.  ( Base `  G
)  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
117 snelpwi 4534 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( y  e.  A  ->  { y }  e.  ~P A
)
118117ad2antlr 721 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { y }  e.  ~P A
)
119 cnima 18769 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( u  e.  (
Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y
) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  /\  { y }  e.  ~P A
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
120116, 118, 119syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( `' ( u  e.  ( Base `  G )  |->  ( u `  ( `' f `  y ) ) ) " {
y } )  e.  ( TopOpen `  G )
)
12187, 120syl5eqelr 2526 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
122121adantr 462 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )
)
123 simplr 749 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  ( Base `  G
) )
12498adantr 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f : A -1-1-onto-> A )
125 simpllr 753 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  y  e.  A )
126 f1ocnvfv2 5981 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( f : A -1-1-onto-> A  /\  y  e.  A )  ->  ( f `  ( `' f `  y
) )  =  y )
127124, 125, 126syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
f `  ( `' f `  y )
)  =  y )
128 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( u  =  f  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( f `
 ( `' f `
 y ) ) )
129128eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( u  =  f  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( f `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
130129elrab 3114 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  <->  ( f  e.  ( Base `  G
)  /\  ( f `  ( `' f `  y ) )  =  y ) )
131123, 127, 130sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  f  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )
132 ssrab2 3434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
133132a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( Base `  G )
)
13411ad3antrrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
135134biimpa 481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
136103ad2antrr 720 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  A )
137 f1ocnvfv 5982 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( x : A -1-1-onto-> A  /\  ( `' f `  y
)  e.  A )  ->  ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y ) ) )
138135, 136, 137syl2anc 656 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
) ) )
139 simplrr 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  ( `' f `  y
)  e.  t )
140 eleq1 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( `' x `  y )  =  ( `' f `
 y )  -> 
( ( `' x `  y )  e.  t  <-> 
( `' f `  y )  e.  t ) )
141139, 140syl5ibrcom 222 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( `' x `  y )  =  ( `' f `  y
)  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
142138, 141syld 44 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  /\  x  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
143142ralrimiva 2797 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
144 fveq1 5687 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( u  =  x  ->  (
u `  ( `' f `  y )
)  =  ( x `
 ( `' f `
 y ) ) )
145144eqeq1d 2449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( u  =  x  ->  (
( u `  ( `' f `  y
) )  =  y  <-> 
( x `  ( `' f `  y
) )  =  y ) )
146145ralrab 3118 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. x  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t  <->  A. x  e.  ( Base `  G
) ( ( x `
 ( `' f `
 y ) )  =  y  ->  ( `' x `  y )  e.  t ) )
147143, 146sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t )
148 ssrab 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  { x  e.  ( Base `  G
)  |  ( `' x `  y )  e.  t }  <->  ( {
u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( Base `  G
)  /\  A. x  e.  { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  ( `' x `  y )  e.  t ) )
149133, 147, 148sylanbrc 659 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  { x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t } )
15076mptpreima 5328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( `' ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
t )  =  {
x  e.  ( Base `  G )  |  ( `' x `  y )  e.  t }
151149, 150syl6sseqr 3400 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) )
152 funmpt 5451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  Fun  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )
153 fvex 5698 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( `' x `  y )  e.  _V
154153, 76dmmpti 5537 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  dom  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  =  ( Base `  G )
155133, 154syl6sseqr 3400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  dom  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) )
156 funimass3 5816 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( Fun  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  /\  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  dom  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) )  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
t ) ) )
157152, 155, 156sylancr 658 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t  <->  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } 
C_  ( `' ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " t ) ) )
158151, 157mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
)
159 eleq2 2502 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( f  e.  v  <->  f  e.  { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y ) )  =  y } ) )
160 imaeq2 5162 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  =  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } ) )
161160sseq1d 3380 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t  <->  ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )
162159, 161anbi12d 705 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( v  =  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  ->  ( ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
)  <->  ( f  e. 
{ u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y } ) 
C_  t ) ) )
163162rspcev 3070 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( { u  e.  (
Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y }  e.  ( TopOpen `  G )  /\  (
f  e.  { u  e.  ( Base `  G
)  |  ( u `
 ( `' f `
 y ) )  =  y }  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) " { u  e.  ( Base `  G )  |  ( u `  ( `' f `  y
) )  =  y } )  C_  t
) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
164122, 131, 158, 163syl12anc 1211 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  (
t  e.  ~P A  /\  ( `' f `  y )  e.  t ) )  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) )
165164expr 612 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( `' f `
 y )  e.  t  ->  E. v  e.  ( TopOpen `  G )
( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16684, 165sylbid 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  /\  t  e.  ~P A )  -> 
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
167166ralrimiva 2797 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  A. t  e.  ~P  A ( ( ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) )
16820ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G
) ) )
1697ad2antrr 720 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ~P A  e.  (TopOn `  A )
)
170 simpr 458 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  f  e.  ( Base `  G )
)
171 iscnp 18741 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A )  /\  f  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
172168, 169, 170, 171syl3anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f )  <->  ( (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G ) --> A  /\  A. t  e.  ~P  A
( ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) `  f )  e.  t  ->  E. v  e.  (
TopOpen `  G ) ( f  e.  v  /\  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) "
v )  C_  t
) ) ) ) )
17378, 167, 172mpbir2and 908 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A
)  /\  f  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
174173ralrimiva 2797 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  A. f  e.  (
Base `  G )
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) )
175 cncnp 18784 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( TopOpen `  G )  e.  (TopOn `  ( Base `  G ) )  /\  ~P A  e.  (TopOn `  A ) )  -> 
( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17620, 7, 175syl2anc 656 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  V  ->  (
( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
177176adantr 462 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
)  <->  ( ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) ) : ( Base `  G
) --> A  /\  A. f  e.  ( Base `  G ) ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( ( TopOpen `  G )  CnP  ~P A ) `  f
) ) ) )
17877, 174, 177mpbir2and 908 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ~P A
) )
179 fvconst2g 5928 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ~P A  e.  Top  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
)  =  ~P A
)
18027, 179sylan 468 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( A  X.  { ~P A } ) `
 y )  =  ~P A )
181180oveq2d 6106 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ~P A ) )
182178, 181eleqtrrd 2518 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  y  e.  A )  ->  ( x  e.  (
Base `  G )  |->  ( `' x `  y ) )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( A  X.  { ~P A } ) `  y
) ) )
1838, 20, 67, 69, 182ptcn 19100 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
184 eqid 2441 . . . . . . . . 9  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1855, 184grpinvf 15575 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
1862, 185syl 16 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G ) : ( Base `  G
) --> ( Base `  G
) )
187186feqmptd 5741 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( ( invg `  G ) `
 x ) ) )
1881, 5, 184symginv 15900 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( Base `  G
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 x )  =  `' x )
189188adantl 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  `' x
)
19073feqmptd 5741 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x  =  (
y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
191189, 190eqtrd 2473 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( ( invg `  G ) `  x
)  =  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) )
192191mpteq2dva 4375 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  |->  ( ( invg `  G
) `  x )
)  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
193187, 192eqtrd 2473 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  =  ( x  e.  ( Base `  G
)  |->  ( y  e.  A  |->  ( `' x `  y ) ) ) )
19443oveq2d 6106 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  =  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) ) ) )
195183, 193, 1943eltr4d 2522 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A ) ) )
196 frn 5562 . . . . . 6  |-  ( ( invg `  G
) : ( Base `  G ) --> ( Base `  G )  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
1972, 185, 1963syl 20 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  ran  ( invg `  G
)  C_  ( Base `  G ) )
198 cnrest2 18790 . . . . 5  |-  ( ( ( ~P A  ^ko  ~P A
)  e.  (TopOn `  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  /\  ran  ( invg `  G )  C_  ( Base `  G )  /\  ( Base `  G )  C_  ( ~P A  Cn  ~P A ) )  -> 
( ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
19930, 197, 33, 198syl3anc 1213 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( ~P A  ^ko  ~P A
) )  <->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G ) ) ) ) )
200195, 199mpbid 210 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  (
( ~P A  ^ko  ~P A
)t  ( Base `  G
) ) ) )
20145oveq2d 6106 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( TopOpen `  G )  Cn  ( ( ~P A  ^ko  ~P A )t  ( Base `  G
) ) )  =  ( ( TopOpen `  G
)  Cn  ( TopOpen `  G ) ) )
202200, 201eleqtrd 2517 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) )
20321, 184istgp 19548 . 2  |-  ( G  e.  TopGrp 
<->  ( G  e.  Grp  /\  G  e. TopMnd  /\  ( invg `  G )  e.  ( ( TopOpen `  G )  Cn  ( TopOpen
`  G ) ) ) )
2042, 66, 202, 203syl3anbrc 1167 1  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  TopGrp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1364    e. wcel 1761   A.wral 2713   E.wrex 2714   {crab 2717   _Vcvv 2970    C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   {csn 3874   U.cuni 4088    e. cmpt 4347    X. cxp 4834   `'ccnv 4835   dom cdm 4836   ran crn 4837   "cima 4839    o. ccom 4840   Fun wfun 5409    Fn wfn 5410   -->wf 5411   -1-1-onto->wf1o 5414   ` cfv 5415  (class class class)co 6090    e. cmpt2 6092    ^m cmap 7210   Basecbs 14170   +g cplusg 14234   ↾t crest 14355   TopOpenctopn 14356   Xt_cpt 14373   Mndcmnd 15405   Grpcgrp 15406   invgcminusg 15407   +fcplusf 15408   SymGrpcsymg 15875   Topctop 18398  TopOnctopon 18399   TopSpctps 18401    Cn ccn 18728    CnP ccnp 18729   Compccmp 18889  Locally clly 18968  𝑛Locally cnlly 18969    tX ctx 19033    ^ko cxko 19034  TopMndctmd 19541   TopGrpctgp 19542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2263  df-mo 2264  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-iin 4171  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-map 7212  df-ixp 7260  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-fi 7657  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-3 10377  df-4 10378  df-5 10379  df-6 10380  df-7 10381  df-8 10382  df-9 10383  df-n0 10576  df-z 10643  df-uz 10858  df-fz 11434  df-struct 14172  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-plusg 14247  df-tset 14253  df-rest 14357  df-topn 14358  df-0g 14376  df-topgen 14378  df-pt 14379  df-mnd 15411  df-plusf 15412  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-symg 15876  df-top 18403  df-bases 18405  df-topon 18406  df-topsp 18407  df-ntr 18524  df-nei 18602  df-cn 18731  df-cnp 18732  df-cmp 18890  df-lly 18970  df-nlly 18971  df-tx 19035  df-xko 19036  df-tmd 19543  df-tgp 19544
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