Theorem symgsssg 16619

Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	|- G = ( SymGrp ` D )
symgsssg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
symgsssg	|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   D( x)   V( x)

Proof of Theorem symgsssg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2458	. 2 |- ( D e. V -> ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) = ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) )
2		eqidd 2458	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) )
3		eqidd 2458	. 2 |- ( D e. V -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
4		ssrab2 3581	. . . 4 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ B
5		symgsssg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6	4, 5	sseqtri 3531	. . 3 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G ) )
8		symgsssg.g	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` D )
9	8	symggrp 16552	. . . 4 |- ( D e. V -> G e. Grp )
10		eqid 2457	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
11	5, 10	grpidcl 16205	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
12	9, 11	syl 16	. . 3 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. B )
13	8	symgid 16553	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
14	13	difeq1d 3617	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( _I |` D ) \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
15	14	dmeqd 5215	. . . 4 |- ( D e. V -> dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
16		resss 5307	. . . . . . . 8 |- ( _I |` D ) C_ _I
17		ssdif0 3888	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` D ) C_ _I <-> ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/) )
18	16, 17	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
19	18	dmeqi 5214	. . . . . 6 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom (/)
20		dm0 5226	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
21	19, 20	eqtri 2486	. . . . 5 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
22		0ss 3823	. . . . 5 |- (/) C_ X
23	21, 22	eqsstri 3529	. . . 4 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) C_ X
24	15, 23	syl6eqssr 3550	. . 3 |- ( D e. V -> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X )
25		difeq1 3611	. . . . . 6 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
26	25	dmeqd 5215	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` G ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
27	26	sseq1d 3526	. . . 4 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
28	27	elrab 3257	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( 0g ` G ) e. B /\ dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
29	12, 24, 28	sylanbrc 664	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
30		biid 236	. . 3 |- ( D e. V <-> D e. V )
31		difeq1 3611	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x \ _I ) = ( y \ _I ) )
32	31	dmeqd 5215	. . . . 5 |- ( x = y -> dom ( x \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
33	32	sseq1d 3526	. . . 4 |- ( x = y -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( y \ _I ) C_ X ) )
34	33	elrab 3257	. . 3 |- ( y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) )
35		difeq1 3611	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x \ _I ) = ( z \ _I ) )
36	35	dmeqd 5215	. . . . 5 |- ( x = z -> dom ( x \ _I ) = dom ( z \ _I ) )
37	36	sseq1d 3526	. . . 4 |- ( x = z -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( z \ _I ) C_ X ) )
38	37	elrab 3257	. . 3 |- ( z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) )
39	9	3ad2ant1 1017	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
40		simp2l 1022	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
41		simp3l 1024	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> z e. B )
42		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
43	5, 42	grpcl 16190	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
44	39, 40, 41, 43	syl3anc 1228	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
45	8, 5, 42	symgov 16542	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
47	46	difeq1d 3617	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = ( ( y o. z ) \ _I ) )
48	47	dmeqd 5215	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = dom ( ( y o. z ) \ _I ) )
49		mvdco 16597	. . . . . 6 |- dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) )
50		simp2r 1023	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
51		simp3r 1025	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( z \ _I ) C_ X )
52	50, 51	unssd 3676	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) ) C_ X )
53	49, 52	syl5ss 3510	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ X )
54	48, 53	eqsstrd 3533	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X )
55		difeq1 3611	. . . . . . 7 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x \ _I ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
56	55	dmeqd 5215	. . . . . 6 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
57	56	sseq1d 3526	. . . . 5 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
58	57	elrab 3257	. . . 4 |- ( ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. B /\ dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
59	44, 54, 58	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
60	30, 34, 38, 59	syl3anb 1271	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } /\ z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
61	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
62		simprl 756	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
63		eqid 2457	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
64	5, 63	grpinvcl 16222	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
65	61, 62, 64	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
66	8, 5, 63	symginv 16554	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
67	66	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
68	67	difeq1d 3617	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = ( `' y \ _I ) )
69	68	dmeqd 5215	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( `' y \ _I ) )
70	8, 5	symgbasf1o 16535	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y : D -1-1-onto-> D )
71	70	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y : D -1-1-onto-> D )
72		f1omvdcnv 16596	. . . . . . 7 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
73	71, 72	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
74	69, 73	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
75		simprr 757	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
76	74, 75	eqsstrd 3533	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X )
77		difeq1 3611	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( x \ _I ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
78	77	dmeqd 5215	. . . . . 6 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
79	78	sseq1d 3526	. . . . 5 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
80	79	elrab 3257	. . . 4 |- ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. B /\ dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
81	65, 76, 80	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
82	34, 81	sylan2b 475	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
83	1, 2, 3, 7, 29, 60, 82, 9	issubgrpd2 16344	1 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1395   e. wcel 1819   {crab 2811   \ cdif 3468   u. cun 3469   C_ wss 3471   (/)c0 3793   _I cid 4799   `'ccnv 5007   dom cdm 5008   |` cres 5010   o. ccom 5012   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Basecbs 14644   ↾_s cress 14645   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   invgcminusg 16181  SubGrpcsubg 16322   SymGrpcsymg 16529

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-symg 16530

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  16646