Theorem symgsssg 16093

Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	|- G = ( SymGrp ` D )
symgsssg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
symgsssg	|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   D( x)   V( x)

Proof of Theorem symgsssg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2455	. 2 |- ( D e. V -> ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) = ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) )
2		eqidd 2455	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) )
3		eqidd 2455	. 2 |- ( D e. V -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
4		ssrab2 3546	. . . 4 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ B
5		symgsssg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6	4, 5	sseqtri 3497	. . 3 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G ) )
8		symgsssg.g	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` D )
9	8	symggrp 16025	. . . 4 |- ( D e. V -> G e. Grp )
10		eqid 2454	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
11	5, 10	grpidcl 15686	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
12	9, 11	syl 16	. . 3 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. B )
13	8	symgid 16026	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
14	13	difeq1d 3582	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( _I |` D ) \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
15	14	dmeqd 5151	. . . 4 |- ( D e. V -> dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
16		resss 5243	. . . . . . . 8 |- ( _I |` D ) C_ _I
17		ssdif0 3846	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` D ) C_ _I <-> ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/) )
18	16, 17	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
19	18	dmeqi 5150	. . . . . 6 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom (/)
20		dm0 5162	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
21	19, 20	eqtri 2483	. . . . 5 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
22		0ss 3775	. . . . 5 |- (/) C_ X
23	21, 22	eqsstri 3495	. . . 4 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) C_ X
24	15, 23	syl6eqssr 3516	. . 3 |- ( D e. V -> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X )
25		difeq1 3576	. . . . . 6 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
26	25	dmeqd 5151	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` G ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
27	26	sseq1d 3492	. . . 4 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
28	27	elrab 3224	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( 0g ` G ) e. B /\ dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
29	12, 24, 28	sylanbrc 664	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
30		biid 236	. . 3 |- ( D e. V <-> D e. V )
31		difeq1 3576	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x \ _I ) = ( y \ _I ) )
32	31	dmeqd 5151	. . . . 5 |- ( x = y -> dom ( x \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
33	32	sseq1d 3492	. . . 4 |- ( x = y -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( y \ _I ) C_ X ) )
34	33	elrab 3224	. . 3 |- ( y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) )
35		difeq1 3576	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x \ _I ) = ( z \ _I ) )
36	35	dmeqd 5151	. . . . 5 |- ( x = z -> dom ( x \ _I ) = dom ( z \ _I ) )
37	36	sseq1d 3492	. . . 4 |- ( x = z -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( z \ _I ) C_ X ) )
38	37	elrab 3224	. . 3 |- ( z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) )
39	9	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
40		simp2l 1014	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
41		simp3l 1016	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> z e. B )
42		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
43	5, 42	grpcl 15671	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
44	39, 40, 41, 43	syl3anc 1219	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
45	8, 5, 42	symgov 16015	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
47	46	difeq1d 3582	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = ( ( y o. z ) \ _I ) )
48	47	dmeqd 5151	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = dom ( ( y o. z ) \ _I ) )
49		mvdco 16071	. . . . . 6 |- dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) )
50		simp2r 1015	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
51		simp3r 1017	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( z \ _I ) C_ X )
52	50, 51	unssd 3641	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) ) C_ X )
53	49, 52	syl5ss 3476	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ X )
54	48, 53	eqsstrd 3499	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X )
55		difeq1 3576	. . . . . . 7 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x \ _I ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
56	55	dmeqd 5151	. . . . . 6 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
57	56	sseq1d 3492	. . . . 5 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
58	57	elrab 3224	. . . 4 |- ( ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. B /\ dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
59	44, 54, 58	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
60	30, 34, 38, 59	syl3anb 1262	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } /\ z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
61	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
62		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
63		eqid 2454	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
64	5, 63	grpinvcl 15703	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
65	61, 62, 64	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
66	8, 5, 63	symginv 16027	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
67	66	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
68	67	difeq1d 3582	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = ( `' y \ _I ) )
69	68	dmeqd 5151	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( `' y \ _I ) )
70	8, 5	elsymgbas2 16006	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( y e. B <-> y : D -1-1-onto-> D ) )
71	70	ibi 241	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y : D -1-1-onto-> D )
72	71	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y : D -1-1-onto-> D )
73		f1omvdcnv 16070	. . . . . . 7 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
75	69, 74	eqtrd 2495	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
76		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
77	75, 76	eqsstrd 3499	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X )
78		difeq1 3576	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( x \ _I ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
79	78	dmeqd 5151	. . . . . 6 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
80	79	sseq1d 3492	. . . . 5 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
81	80	elrab 3224	. . . 4 |- ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. B /\ dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
82	65, 77, 81	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
83	34, 82	sylan2b 475	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
84	1, 2, 3, 7, 29, 60, 83, 9	issubgrpd2 15817	1 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   {crab 2803   \ cdif 3434   u. cun 3435   C_ wss 3437   (/)c0 3746   _I cid 4740   `'ccnv 4948   dom cdm 4949   |` cres 4951   o. ccom 4953   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   ↾_s cress 14294   +g cplusg 14358   0gc0g 14498   Grpcgrp 15530   invgcminusg 15531  SubGrpcsubg 15795   SymGrpcsymg 16002

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-tset 14377  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-symg 16003

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  16120