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Theorem symgsssg 17108
Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgsssg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgsssg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2452 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } ) )
2 eqidd 2452 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2452 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3514 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3464 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G )
76a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 17041 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 16694 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 17042 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3550 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 5037 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 5128 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3823 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 212 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 5036 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 5048 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2473 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0ss 3763 . . . . 5  |-  (/)  C_  X
2321, 22eqsstri 3462 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  C_  X
2415, 23syl6eqssr 3483 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  C_  X )
25 difeq1 3544 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726sseq1d 3459 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
2827elrab 3196 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  C_  X ) )
2912, 24, 28sylanbrc 670 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
30 biid 240 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3544 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332sseq1d 3459 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X ) )
3433elrab 3196 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  C_  X ) )
35 difeq1 3544 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736sseq1d 3459 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( z 
\  _I  )  C_  X ) )
3837elrab 3196 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )
3993ad2ant1 1029 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 1034 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 1036 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 16679 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1268 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 17031 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 667 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3550 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 5037 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 mvdco 17086 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
50 simp2r 1035 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )
51 simp3r 1037 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  C_  X )
5250, 51unssd 3610 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  C_  X
)
5349, 52syl5ss 3443 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  X )
5448, 53eqsstrd 3466 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X )
55 difeq1 3544 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5655dmeqd 5037 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5756sseq1d 3459 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  C_  X ) )
5857elrab 3196 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X ) )
5944, 54, 58sylanbrc 670 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X } )
6030, 34, 38, 59syl3anb 1311 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
619adantr 467 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
62 simprl 764 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y  e.  B )
63 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
645, 63grpinvcl 16711 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
6561, 62, 64syl2anc 667 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  B )
668, 5, 63symginv 17043 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
6766ad2antrl 734 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  =  `' y )
6867difeq1d 3550 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
6968dmeqd 5037 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( `' y 
\  _I  ) )
708, 5symgbasf1o 17024 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7170ad2antrl 734 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y : D
-1-1-onto-> D )
72 f1omvdcnv 17085 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7371, 72syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7469, 73eqtrd 2485 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
75 simprr 766 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X )
7674, 75eqsstrd 3466 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  C_  X )
77 difeq1 3544 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
7877dmeqd 5037 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
7978sseq1d 3459 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8079elrab 3196 . . . 4  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8165, 76, 80sylanbrc 670 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
8234, 81sylan2b 478 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
831, 2, 3, 7, 29, 60, 82, 9issubgrpd2 16833 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 371    /\ w3a 985    = wceq 1444    e. wcel 1887   {crab 2741    \ cdif 3401    u. cun 3402    C_ wss 3404   (/)c0 3731    _I cid 4744   `'ccnv 4833   dom cdm 4834    |` cres 4836    o. ccom 4838   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   ↾s cress 15122   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   invgcminusg 16670  SubGrpcsubg 16811   SymGrpcsymg 17018
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-symg 17019
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  17135
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