Theorem symgsssg 15964

Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	|- G = ( SymGrp ` D )
symgsssg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
symgsssg	|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   D( x)   V( x)

Proof of Theorem symgsssg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2439	. 2 |- ( D e. V -> ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) = ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) )
2		eqidd 2439	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) )
3		eqidd 2439	. 2 |- ( D e. V -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
4		ssrab2 3432	. . . 4 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ B
5		symgsssg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6	4, 5	sseqtri 3383	. . 3 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G ) )
8		symgsssg.g	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` D )
9	8	symggrp 15896	. . . 4 |- ( D e. V -> G e. Grp )
10		eqid 2438	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
11	5, 10	grpidcl 15557	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
12	9, 11	syl 16	. . 3 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. B )
13	8	symgid 15897	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
14	13	difeq1d 3468	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( _I |` D ) \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
15	14	dmeqd 5037	. . . 4 |- ( D e. V -> dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
16		resss 5129	. . . . . . . 8 |- ( _I |` D ) C_ _I
17		ssdif0 3732	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` D ) C_ _I <-> ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/) )
18	16, 17	mpbi 208	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
19	18	dmeqi 5036	. . . . . 6 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom (/)
20		dm0 5048	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
21	19, 20	eqtri 2458	. . . . 5 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
22		0ss 3661	. . . . 5 |- (/) C_ X
23	21, 22	eqsstri 3381	. . . 4 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) C_ X
24	15, 23	syl6eqssr 3402	. . 3 |- ( D e. V -> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X )
25		difeq1 3462	. . . . . 6 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
26	25	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` G ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
27	26	sseq1d 3378	. . . 4 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
28	27	elrab 3112	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( 0g ` G ) e. B /\ dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
29	12, 24, 28	sylanbrc 664	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
30		biid 236	. . 3 |- ( D e. V <-> D e. V )
31		difeq1 3462	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x \ _I ) = ( y \ _I ) )
32	31	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( x = y -> dom ( x \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
33	32	sseq1d 3378	. . . 4 |- ( x = y -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( y \ _I ) C_ X ) )
34	33	elrab 3112	. . 3 |- ( y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) )
35		difeq1 3462	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x \ _I ) = ( z \ _I ) )
36	35	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( x = z -> dom ( x \ _I ) = dom ( z \ _I ) )
37	36	sseq1d 3378	. . . 4 |- ( x = z -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( z \ _I ) C_ X ) )
38	37	elrab 3112	. . 3 |- ( z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) )
39	9	3ad2ant1 1009	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
40		simp2l 1014	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
41		simp3l 1016	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> z e. B )
42		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
43	5, 42	grpcl 15542	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
44	39, 40, 41, 43	syl3anc 1218	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
45	8, 5, 42	symgov 15886	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
47	46	difeq1d 3468	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = ( ( y o. z ) \ _I ) )
48	47	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = dom ( ( y o. z ) \ _I ) )
49		mvdco 15942	. . . . . 6 |- dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) )
50		simp2r 1015	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
51		simp3r 1017	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( z \ _I ) C_ X )
52	50, 51	unssd 3527	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) ) C_ X )
53	49, 52	syl5ss 3362	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ X )
54	48, 53	eqsstrd 3385	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X )
55		difeq1 3462	. . . . . . 7 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x \ _I ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
56	55	dmeqd 5037	. . . . . 6 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
57	56	sseq1d 3378	. . . . 5 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
58	57	elrab 3112	. . . 4 |- ( ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. B /\ dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
59	44, 54, 58	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
60	30, 34, 38, 59	syl3anb 1261	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } /\ z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
61	9	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
62		simprl 755	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
63		eqid 2438	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
64	5, 63	grpinvcl 15574	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
65	61, 62, 64	syl2anc 661	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
66	8, 5, 63	symginv 15898	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
67	66	ad2antrl 727	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
68	67	difeq1d 3468	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = ( `' y \ _I ) )
69	68	dmeqd 5037	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( `' y \ _I ) )
70	8, 5	elsymgbas2 15877	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( y e. B <-> y : D -1-1-onto-> D ) )
71	70	ibi 241	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y : D -1-1-onto-> D )
72	71	ad2antrl 727	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y : D -1-1-onto-> D )
73		f1omvdcnv 15941	. . . . . . 7 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
74	72, 73	syl 16	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
75	69, 74	eqtrd 2470	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
76		simprr 756	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
77	75, 76	eqsstrd 3385	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X )
78		difeq1 3462	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( x \ _I ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
79	78	dmeqd 5037	. . . . . 6 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
80	79	sseq1d 3378	. . . . 5 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
81	80	elrab 3112	. . . 4 |- ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. B /\ dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
82	65, 77, 81	sylanbrc 664	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
83	34, 82	sylan2b 475	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
84	1, 2, 3, 7, 29, 60, 83, 9	issubgrpd2 15688	1 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1369   e. wcel 1756   {crab 2714   \ cdif 3320   u. cun 3321   C_ wss 3323   (/)c0 3632   _I cid 4626   `'ccnv 4834   dom cdm 4835   |` cres 4837   o. ccom 4839   -1-1-onto->wf1o 5412   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   Basecbs 14166   ↾_s cress 14167   +g cplusg 14230   0gc0g 14370   Grpcgrp 15402   invgcminusg 15403  SubGrpcsubg 15666   SymGrpcsymg 15873

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-oadd 6916  df-er 7093  df-map 7208  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-n0 10572  df-z 10639  df-uz 10854  df-fz 11430  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-tset 14249  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-subg 15669  df-symg 15874

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  15991