Theorem symgsssg 17108

Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
symgsssg.g	|- G = ( SymGrp ` D )
symgsssg.b	|- B = ( Base ` G )

Assertion

Ref	Expression
symgsssg	|- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Distinct variable groups:   x, B   x, G   x, X

Allowed substitution hints:   D( x)   V( x)

Proof of Theorem symgsssg

Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqidd 2452	. 2 |- ( D e. V -> ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) = ( G ↾s { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) )
2		eqidd 2452	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` G ) )
3		eqidd 2452	. 2 |- ( D e. V -> ( +g ` G ) = ( +g ` G ) )
4		ssrab2 3514	. . . 4 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ B
5		symgsssg.b	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
6	4, 5	sseqtri 3464	. . 3 |- { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G )
7	6	a1i 11	. 2 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } C_ ( Base ` G ) )
8		symgsssg.g	. . . . 5 |- G = ( SymGrp ` D )
9	8	symggrp 17041	. . . 4 |- ( D e. V -> G e. Grp )
10		eqid 2451	. . . . 5 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
11	5, 10	grpidcl 16694	. . . 4 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. B )
12	9, 11	syl 17	. . 3 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. B )
13	8	symgid 17042	. . . . . 6 |- ( D e. V -> ( _I |` D ) = ( 0g ` G ) )
14	13	difeq1d 3550	. . . . 5 |- ( D e. V -> ( ( _I |` D ) \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
15	14	dmeqd 5037	. . . 4 |- ( D e. V -> dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
16		resss 5128	. . . . . . . 8 |- ( _I |` D ) C_ _I
17		ssdif0 3823	. . . . . . . 8 |- ( ( _I |` D ) C_ _I <-> ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/) )
18	16, 17	mpbi 212	. . . . . . 7 |- ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
19	18	dmeqi 5036	. . . . . 6 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = dom (/)
20		dm0 5048	. . . . . 6 |- dom (/) = (/)
21	19, 20	eqtri 2473	. . . . 5 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) = (/)
22		0ss 3763	. . . . 5 |- (/) C_ X
23	21, 22	eqsstri 3462	. . . 4 |- dom ( ( _I |` D ) \ _I ) C_ X
24	15, 23	syl6eqssr 3483	. . 3 |- ( D e. V -> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X )
25		difeq1 3544	. . . . . 6 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( x \ _I ) = ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
26	25	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( x = ( 0g ` G ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) )
27	26	sseq1d 3459	. . . 4 |- ( x = ( 0g ` G ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
28	27	elrab 3196	. . 3 |- ( ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( 0g ` G ) e. B /\ dom ( ( 0g ` G ) \ _I ) C_ X ) )
29	12, 24, 28	sylanbrc 670	. 2 |- ( D e. V -> ( 0g ` G ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
30		biid 240	. . 3 |- ( D e. V <-> D e. V )
31		difeq1 3544	. . . . . 6 |- ( x = y -> ( x \ _I ) = ( y \ _I ) )
32	31	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( x = y -> dom ( x \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
33	32	sseq1d 3459	. . . 4 |- ( x = y -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( y \ _I ) C_ X ) )
34	33	elrab 3196	. . 3 |- ( y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) )
35		difeq1 3544	. . . . . 6 |- ( x = z -> ( x \ _I ) = ( z \ _I ) )
36	35	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( x = z -> dom ( x \ _I ) = dom ( z \ _I ) )
37	36	sseq1d 3459	. . . 4 |- ( x = z -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( z \ _I ) C_ X ) )
38	37	elrab 3196	. . 3 |- ( z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) )
39	9	3ad2ant1 1029	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
40		simp2l 1034	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
41		simp3l 1036	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> z e. B )
42		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( +g ` G ) = ( +g ` G )
43	5, 42	grpcl 16679	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
44	39, 40, 41, 43	syl3anc 1268	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. B )
45	8, 5, 42	symgov 17031	. . . . . . . 8 |- ( ( y e. B /\ z e. B ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
46	40, 41, 45	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) = ( y o. z ) )
47	46	difeq1d 3550	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = ( ( y o. z ) \ _I ) )
48	47	dmeqd 5037	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) = dom ( ( y o. z ) \ _I ) )
49		mvdco 17086	. . . . . 6 |- dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) )
50		simp2r 1035	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
51		simp3r 1037	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( z \ _I ) C_ X )
52	50, 51	unssd 3610	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( dom ( y \ _I ) u. dom ( z \ _I ) ) C_ X )
53	49, 52	syl5ss 3443	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y o. z ) \ _I ) C_ X )
54	48, 53	eqsstrd 3466	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X )
55		difeq1 3544	. . . . . . 7 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( x \ _I ) = ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
56	55	dmeqd 5037	. . . . . 6 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) )
57	56	sseq1d 3459	. . . . 5 |- ( x = ( y ( +g ` G ) z ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
58	57	elrab 3196	. . . 4 |- ( ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( y ( +g ` G ) z ) e. B /\ dom ( ( y ( +g ` G ) z ) \ _I ) C_ X ) )
59	44, 54, 58	sylanbrc 670	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) /\ ( z e. B /\ dom ( z \ _I ) C_ X ) ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
60	30, 34, 38, 59	syl3anb 1311	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } /\ z e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( y ( +g ` G ) z ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
61	9	adantr 467	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> G e. Grp )
62		simprl 764	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y e. B )
63		eqid 2451	. . . . . 6 |- ( invg ` G ) = ( invg ` G )
64	5, 63	grpinvcl 16711	. . . . 5 |- ( ( G e. Grp /\ y e. B ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
65	61, 62, 64	syl2anc 667	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. B )
66	8, 5, 63	symginv 17043	. . . . . . . . 9 |- ( y e. B -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
67	66	ad2antrl 734	. . . . . . . 8 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) = `' y )
68	67	difeq1d 3550	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = ( `' y \ _I ) )
69	68	dmeqd 5037	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( `' y \ _I ) )
70	8, 5	symgbasf1o 17024	. . . . . . . 8 |- ( y e. B -> y : D -1-1-onto-> D )
71	70	ad2antrl 734	. . . . . . 7 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> y : D -1-1-onto-> D )
72		f1omvdcnv 17085	. . . . . . 7 |- ( y : D -1-1-onto-> D -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
73	71, 72	syl 17	. . . . . 6 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( `' y \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
74	69, 73	eqtrd 2485	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) = dom ( y \ _I ) )
75		simprr 766	. . . . 5 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( y \ _I ) C_ X )
76	74, 75	eqsstrd 3466	. . . 4 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X )
77		difeq1 3544	. . . . . . 7 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( x \ _I ) = ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
78	77	dmeqd 5037	. . . . . 6 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> dom ( x \ _I ) = dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) )
79	78	sseq1d 3459	. . . . 5 |- ( x = ( ( invg ` G ) ` y ) -> ( dom ( x \ _I ) C_ X <-> dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
80	79	elrab 3196	. . . 4 |- ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } <-> ( ( ( invg ` G ) ` y ) e. B /\ dom ( ( ( invg ` G ) ` y ) \ _I ) C_ X ) )
81	65, 76, 80	sylanbrc 670	. . 3 |- ( ( D e. V /\ ( y e. B /\ dom ( y \ _I ) C_ X ) ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
82	34, 81	sylan2b 478	. 2 |- ( ( D e. V /\ y e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } ) -> ( ( invg ` G ) ` y ) e. { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } )
83	1, 2, 3, 7, 29, 60, 82, 9	issubgrpd2 16833	1 |- ( D e. V -> { x e. B | dom ( x \ _I ) C_ X } e. (SubGrp ` G ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 371   /\ w3a 985   = wceq 1444   e. wcel 1887   {crab 2741   \ cdif 3401   u. cun 3402   C_ wss 3404   (/)c0 3731   _I cid 4744   `'ccnv 4833   dom cdm 4834   |` cres 4836   o. ccom 4838   -1-1-onto->wf1o 5581   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   Basecbs 15121   ↾_s cress 15122   +g cplusg 15190   0gc0g 15338   Grpcgrp 16669   invgcminusg 16670  SubGrpcsubg 16811   SymGrpcsymg 17018

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-oadd 7186  df-er 7363  df-map 7474  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11785  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-tset 15209  df-0g 15340  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-grp 16673  df-minusg 16674  df-subg 16814  df-symg 17019

This theorem is referenced by:  psgnunilem5  17135