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Theorem symgsssg 16093
Description: The symmetric group has subgroups restricting the set of non-fixed points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgsssg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G    x, X
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgsssg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2455 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } ) )
2 eqidd 2455 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2455 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3546 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3497 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G )
76a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 16025 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 15686 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 16026 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3582 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 5151 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 5243 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3846 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 5150 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 5162 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2483 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0ss 3775 . . . . 5  |-  (/)  C_  X
2321, 22eqsstri 3495 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  C_  X
2415, 23syl6eqssr 3516 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  C_  X )
25 difeq1 3576 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 5151 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726sseq1d 3492 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  C_  X ) )
2827elrab 3224 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  C_  X ) )
2912, 24, 28sylanbrc 664 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
30 biid 236 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3576 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 5151 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332sseq1d 3492 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X ) )
3433elrab 3224 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  C_  X ) )
35 difeq1 3576 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 5151 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736sseq1d 3492 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( z 
\  _I  )  C_  X ) )
3837elrab 3224 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )
3993ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 1016 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 15671 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1219 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 16015 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3582 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 5151 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 mvdco 16071 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
50 simp2r 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )
51 simp3r 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  C_  X )
5250, 51unssd 3641 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  C_  X
)
5349, 52syl5ss 3476 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  X )
5448, 53eqsstrd 3499 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X )
55 difeq1 3576 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5655dmeqd 5151 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5756sseq1d 3492 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  C_  X ) )
5857elrab 3224 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  C_  X ) )
5944, 54, 58sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  C_  X ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  C_  X } )
6030, 34, 38, 59syl3anb 1262 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
619adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  G  e.  Grp )
62 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y  e.  B )
63 eqid 2454 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
645, 63grpinvcl 15703 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
6561, 62, 64syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e.  B )
668, 5, 63symginv 16027 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
6766ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  =  `' y )
6867difeq1d 3582 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
6968dmeqd 5151 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( `' y 
\  _I  ) )
708, 5elsymgbas2 16006 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
7170ibi 241 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7271ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  y : D
-1-1-onto-> D )
73 f1omvdcnv 16070 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7472, 73syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7569, 74eqtrd 2495 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
76 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  X )
7775, 76eqsstrd 3499 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  C_  X )
78 difeq1 3576 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
7978dmeqd 5151 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8079sseq1d 3492 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  C_  X  <->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8180elrab 3224 . . . 4  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  C_  X ) )
8265, 77, 81sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  C_  X ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 y )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }
)
8334, 82sylan2b 475 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X } )
841, 2, 3, 7, 29, 60, 83, 9issubgrpd2 15817 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  C_  X }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2803    \ cdif 3434    u. cun 3435    C_ wss 3437   (/)c0 3746    _I cid 4740   `'ccnv 4948   dom cdm 4949    |` cres 4951    o. ccom 4953   -1-1-onto->wf1o 5526   ` cfv 5527  (class class class)co 6201   Basecbs 14293   ↾s cress 14294   +g cplusg 14358   0gc0g 14498   Grpcgrp 15530   invgcminusg 15531  SubGrpcsubg 15795   SymGrpcsymg 16002
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4512  ax-sep 4522  ax-nul 4530  ax-pow 4579  ax-pr 4640  ax-un 6483  ax-cnex 9450  ax-resscn 9451  ax-1cn 9452  ax-icn 9453  ax-addcl 9454  ax-addrcl 9455  ax-mulcl 9456  ax-mulrcl 9457  ax-mulcom 9458  ax-addass 9459  ax-mulass 9460  ax-distr 9461  ax-i2m1 9462  ax-1ne0 9463  ax-1rid 9464  ax-rnegex 9465  ax-rrecex 9466  ax-cnre 9467  ax-pre-lttri 9468  ax-pre-lttrn 9469  ax-pre-ltadd 9470  ax-pre-mulgt0 9471
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rmo 2807  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3747  df-if 3901  df-pw 3971  df-sn 3987  df-pr 3989  df-tp 3991  df-op 3993  df-uni 4201  df-int 4238  df-iun 4282  df-br 4402  df-opab 4460  df-mpt 4461  df-tr 4495  df-eprel 4741  df-id 4745  df-po 4750  df-so 4751  df-fr 4788  df-we 4790  df-ord 4831  df-on 4832  df-lim 4833  df-suc 4834  df-xp 4955  df-rel 4956  df-cnv 4957  df-co 4958  df-dm 4959  df-rn 4960  df-res 4961  df-ima 4962  df-iota 5490  df-fun 5529  df-fn 5530  df-f 5531  df-f1 5532  df-fo 5533  df-f1o 5534  df-fv 5535  df-riota 6162  df-ov 6204  df-oprab 6205  df-mpt2 6206  df-om 6588  df-1st 6688  df-2nd 6689  df-recs 6943  df-rdg 6977  df-1o 7031  df-oadd 7035  df-er 7212  df-map 7327  df-en 7422  df-dom 7423  df-sdom 7424  df-fin 7425  df-pnf 9532  df-mnf 9533  df-xr 9534  df-ltxr 9535  df-le 9536  df-sub 9709  df-neg 9710  df-nn 10435  df-2 10492  df-3 10493  df-4 10494  df-5 10495  df-6 10496  df-7 10497  df-8 10498  df-9 10499  df-n0 10692  df-z 10759  df-uz 10974  df-fz 11556  df-struct 14295  df-ndx 14296  df-slot 14297  df-base 14298  df-sets 14299  df-ress 14300  df-plusg 14371  df-tset 14377  df-0g 14500  df-mnd 15535  df-grp 15665  df-minusg 15666  df-subg 15798  df-symg 16003
This theorem is referenced by:  psgnunilem5  16120
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