MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgplusg Structured version   Unicode version

Theorem symgplusg 16016
Description: The group operation of a symmetric group is the function composition. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgplusg.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgplusg.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symgplusg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
symgplusg  |-  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )
Distinct variable groups:    f, g, A    B, f, g
Allowed substitution hints:    .+ ( f, g)    G( f, g)

Proof of Theorem symgplusg
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgplusg.1 . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symgplusg.2 . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2symgbas 16007 . . . . 5  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
4 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )
5 eqid 2454 . . . . 5  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
61, 3, 4, 5symgval 16006 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } )
76fveq2d 5806 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } ) )
8 symgplusg.3 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
9 fvex 5812 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
102, 9eqeltri 2538 . . . . 5  |-  B  e. 
_V
1110, 10mpt2ex 6763 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V
12 eqid 2454 . . . . 5  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  B >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. }
1312topgrpplusg 14451 . . . 4  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } ) )
1411, 13ax-mp 5 . . 3  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  ( +g  `  { <. ( Base `  ndx ) ,  B >. , 
<. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
>. } )
157, 8, 143eqtr4g 2520 . 2  |-  ( A  e.  _V  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) ) )
16 fvprc 5796 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
SymGrp `  A )  =  (/) )
171, 16syl5eq 2507 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  G  =  (/) )
1817fveq2d 5806 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  (/) ) )
19 plusgid 14395 . . . . 5  |-  +g  = Slot  ( +g  `  ndx )
2019str0 14333 . . . 4  |-  (/)  =  ( +g  `  (/) )
2118, 8, 203eqtr4g 2520 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  .+  =  (/) )
22 vex 3081 . . . . . . 7  |-  f  e. 
_V
23 vex 3081 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
2422, 23coex 6642 . . . . . 6  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
254, 24fnmpt2i 6756 . . . . 5  |-  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  ( B  X.  B )
2617fveq2d 5806 . . . . . . . . 9  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  ( Base `  (/) ) )
27 base0 14334 . . . . . . . . 9  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
2826, 2, 273eqtr4g 2520 . . . . . . . 8  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  B  =  (/) )
2928xpeq2d 4975 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  ( B  X.  (/) ) )
30 xp0 5367 . . . . . . 7  |-  ( B  X.  (/) )  =  (/)
3129, 30syl6eq 2511 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( B  X.  B )  =  (/) )
3231fneq2d 5613 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )  Fn  ( B  X.  B )  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/) ) )
3325, 32mpbii 211 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/) )
34 fn0 5641 . . . 4  |-  ( ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  Fn  (/)  <->  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  (/) )
3533, 34sylib 196 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( f  e.  B , 
g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) )  =  (/) )
3621, 35eqtr4d 2498 . 2  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g ) ) )
3715, 36pm2.61i 164 1  |-  .+  =  ( f  e.  B ,  g  e.  B  |->  ( f  o.  g
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3078   (/)c0 3748   ~Pcpw 3971   {csn 3988   {ctp 3992   <.cop 3994    X. cxp 4949    o. ccom 4955    Fn wfn 5524   ` cfv 5529    |-> cmpt2 6205   ndxcnx 14292   Basecbs 14295   +g cplusg 14360  TopSetcts 14366   Xt_cpt 14499   SymGrpcsymg 16004
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1955  ax-ext 2432  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4532  ax-pow 4581  ax-pr 4642  ax-un 6485  ax-cnex 9452  ax-resscn 9453  ax-1cn 9454  ax-icn 9455  ax-addcl 9456  ax-addrcl 9457  ax-mulcl 9458  ax-mulrcl 9459  ax-mulcom 9460  ax-addass 9461  ax-mulass 9462  ax-distr 9463  ax-i2m1 9464  ax-1ne0 9465  ax-1rid 9466  ax-rnegex 9467  ax-rrecex 9468  ax-cnre 9469  ax-pre-lttri 9470  ax-pre-lttrn 9471  ax-pre-ltadd 9472  ax-pre-mulgt0 9473
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2650  df-nel 2651  df-ral 2804  df-rex 2805  df-reu 2806  df-rab 2808  df-v 3080  df-sbc 3295  df-csb 3399  df-dif 3442  df-un 3444  df-in 3446  df-ss 3453  df-pss 3455  df-nul 3749  df-if 3903  df-pw 3973  df-sn 3989  df-pr 3991  df-tp 3993  df-op 3995  df-uni 4203  df-int 4240  df-iun 4284  df-br 4404  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4497  df-eprel 4743  df-id 4747  df-po 4752  df-so 4753  df-fr 4790  df-we 4792  df-ord 4833  df-on 4834  df-lim 4835  df-suc 4836  df-xp 4957  df-rel 4958  df-cnv 4959  df-co 4960  df-dm 4961  df-rn 4962  df-res 4963  df-ima 4964  df-iota 5492  df-fun 5531  df-fn 5532  df-f 5533  df-f1 5534  df-fo 5535  df-f1o 5536  df-fv 5537  df-riota 6164  df-ov 6206  df-oprab 6207  df-mpt2 6208  df-om 6590  df-1st 6690  df-2nd 6691  df-recs 6945  df-rdg 6979  df-1o 7033  df-oadd 7037  df-er 7214  df-map 7329  df-en 7424  df-dom 7425  df-sdom 7426  df-fin 7427  df-pnf 9534  df-mnf 9535  df-xr 9536  df-ltxr 9537  df-le 9538  df-sub 9711  df-neg 9712  df-nn 10437  df-2 10494  df-3 10495  df-4 10496  df-5 10497  df-6 10498  df-7 10499  df-8 10500  df-9 10501  df-n0 10694  df-z 10761  df-uz 10976  df-fz 11558  df-struct 14297  df-ndx 14298  df-slot 14299  df-base 14300  df-plusg 14373  df-tset 14379  df-symg 16005
This theorem is referenced by:  symgov  16017  symgtset  16026  pgrpsubgsymg  16035  symgtgp  19807
  Copyright terms: Public domain W3C validator