MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symginv Structured version   Unicode version

Theorem symginv 16009
Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symggrp.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symginv.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symginv.3  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
symginv  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )

Proof of Theorem symginv
StepHypRef Expression
1 symggrp.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symginv.2 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2elsymgbas2 15988 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  e.  B  <->  F : A
-1-1-onto-> A ) )
43ibi 241 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  F : A -1-1-onto-> A )
5 f1ocnv 5751 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
7 cnvexg 6624 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  _V )
81, 2elsymgbas2 15988 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
106, 9mpbird 232 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  B )
11 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
121, 2, 11symgov 15997 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( F
( +g  `  G ) `' F )  =  ( F  o.  `' F
) )
1310, 12mpdan 668 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( F  o.  `' F ) )
14 f1ococnv2 5765 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
154, 14syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  `' F
)  =  (  _I  |`  A ) )
161, 2elbasfv 14323 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A  e.  _V )
171symgid 16008 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1913, 15, 183eqtrd 2496 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) )
201symggrp 16007 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  G  e.  Grp )
22 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  B )
23 eqid 2451 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
24 symginv.3 . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
252, 11, 23, 24grpinvid1 15688 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( ( N `  F )  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G ) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2621, 22, 10, 25syl3anc 1219 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  (
( N `  F
)  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2719, 26mpbird 232 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   _Vcvv 3068    _I cid 4729   `'ccnv 4937    |` cres 4940    o. ccom 4942   -1-1-onto->wf1o 5515   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   0gc0g 14480   Grpcgrp 15512   invgcminusg 15513   SymGrpcsymg 15984
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-oadd 7024  df-er 7201  df-map 7316  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-n0 10681  df-z 10748  df-uz 10963  df-fz 11539  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-plusg 14353  df-tset 14359  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-symg 15985
This theorem is referenced by:  symgsssg  16075  symgfisg  16076  symgtrinv  16080  psgninv  18121  zrhpsgninv  18124  evpmodpmf1o  18135  mdetleib2  18510  symgtgp  19788
  Copyright terms: Public domain W3C validator