MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symginv Structured version   Unicode version

Theorem symginv 16222
Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symggrp.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symginv.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symginv.3  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
symginv  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )

Proof of Theorem symginv
StepHypRef Expression
1 symggrp.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symginv.2 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2elsymgbas2 16201 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  e.  B  <->  F : A
-1-1-onto-> A ) )
43ibi 241 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  F : A -1-1-onto-> A )
5 f1ocnv 5826 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
7 cnvexg 6727 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  _V )
81, 2elsymgbas2 16201 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
106, 9mpbird 232 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  B )
11 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
121, 2, 11symgov 16210 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( F
( +g  `  G ) `' F )  =  ( F  o.  `' F
) )
1310, 12mpdan 668 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( F  o.  `' F ) )
14 f1ococnv2 5840 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
154, 14syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  `' F
)  =  (  _I  |`  A ) )
161, 2elbasfv 14533 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A  e.  _V )
171symgid 16221 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1913, 15, 183eqtrd 2512 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) )
201symggrp 16220 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  G  e.  Grp )
22 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  B )
23 eqid 2467 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
24 symginv.3 . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
252, 11, 23, 24grpinvid1 15899 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( ( N `  F )  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G ) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2621, 22, 10, 25syl3anc 1228 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  (
( N `  F
)  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2719, 26mpbird 232 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1379    e. wcel 1767   _Vcvv 3113    _I cid 4790   `'ccnv 4998    |` cres 5001    o. ccom 5003   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586  (class class class)co 6282   Basecbs 14486   +g cplusg 14551   0gc0g 14691   Grpcgrp 15723   invgcminusg 15724   SymGrpcsymg 16197
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-tset 14570  df-0g 14693  df-mnd 15728  df-grp 15858  df-minusg 15859  df-symg 16198
This theorem is referenced by:  symgsssg  16288  symgfisg  16289  symgtrinv  16293  psgninv  18385  zrhpsgninv  18388  evpmodpmf1o  18399  mdetleib2  18857  symgtgp  20335
  Copyright terms: Public domain W3C validator