MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symginv Structured version   Unicode version

Theorem symginv 16544
Description: The group inverse in the symmetric group corresponds to the functional inverse. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 2-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symggrp.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symginv.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symginv.3  |-  N  =  ( invg `  G )
Assertion
Ref Expression
symginv  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )

Proof of Theorem symginv
StepHypRef Expression
1 symggrp.1 . . . . . . . 8  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symginv.2 . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2elsymgbas2 16523 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  e.  B  <->  F : A
-1-1-onto-> A ) )
43ibi 241 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  F : A -1-1-onto-> A )
5 f1ocnv 5736 . . . . . 6  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
64, 5syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  `' F : A -1-1-onto-> A )
7 cnvexg 6645 . . . . . 6  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  _V )
81, 2elsymgbas2 16523 . . . . . 6  |-  ( `' F  e.  _V  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
97, 8syl 16 . . . . 5  |-  ( F  e.  B  ->  ( `' F  e.  B  <->  `' F : A -1-1-onto-> A ) )
106, 9mpbird 232 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  `' F  e.  B )
11 eqid 2382 . . . . 5  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
121, 2, 11symgov 16532 . . . 4  |-  ( ( F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( F
( +g  `  G ) `' F )  =  ( F  o.  `' F
) )
1310, 12mpdan 666 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( F  o.  `' F ) )
14 f1ococnv2 5750 . . . 4  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  ( F  o.  `' F )  =  (  _I  |`  A )
)
154, 14syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  ( F  o.  `' F
)  =  (  _I  |`  A ) )
161, 2elbasfv 14683 . . . 4  |-  ( F  e.  B  ->  A  e.  _V )
171symgid 16543 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1816, 17syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
1913, 15, 183eqtrd 2427 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) )
201symggrp 16542 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
2116, 20syl 16 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  G  e.  Grp )
22 id 22 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F  e.  B )
23 eqid 2382 . . . 4  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
24 symginv.3 . . . 4  |-  N  =  ( invg `  G )
252, 11, 23, 24grpinvid1 16215 . . 3  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  F  e.  B  /\  `' F  e.  B
)  ->  ( ( N `  F )  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G ) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2621, 22, 10, 25syl3anc 1226 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  (
( N `  F
)  =  `' F  <->  ( F ( +g  `  G
) `' F )  =  ( 0g `  G ) ) )
2719, 26mpbird 232 1  |-  ( F  e.  B  ->  ( N `  F )  =  `' F )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1399    e. wcel 1826   _Vcvv 3034    _I cid 4704   `'ccnv 4912    |` cres 4915    o. ccom 4917   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847   Grpcgrp 16170   invgcminusg 16171   SymGrpcsymg 16519
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-plusg 14715  df-tset 14721  df-0g 14849  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-symg 16520
This theorem is referenced by:  symgsssg  16609  symgfisg  16610  symgtrinv  16614  psgninv  18709  zrhpsgninv  18712  evpmodpmf1o  18723  mdetleib2  19175  symgtgp  20685
  Copyright terms: Public domain W3C validator