MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgid Structured version   Unicode version

Theorem symgid 16993
Description: The group identity element of the symmetric group on a set  A. (Contributed by Paul Chapman, 25-Jul-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symgid  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )

Proof of Theorem symgid
StepHypRef Expression
1 f1oi 5866 . . . . . 6  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
2 symggrp.1 . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
3 eqid 2429 . . . . . . 7  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
42, 3elsymgbas 16974 . . . . . 6  |-  ( A  e.  V  ->  (
(  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
)  <->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A ) )
51, 4mpbiri 236 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
) )
6 eqid 2429 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
72, 3, 6symgov 16982 . . . . 5  |-  ( ( (  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
)  /\  (  _I  |`  A )  e.  (
Base `  G )
)  ->  ( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G ) (  _I  |`  A ) )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  (  _I  |`  A ) ) )
85, 5, 7syl2anc 665 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
(  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) (  _I  |`  A ) )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  (  _I  |`  A ) ) )
9 f1of 5831 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A  ->  (  _I  |`  A ) : A --> A )
10 fcoi1 5774 . . . . 5  |-  ( (  _I  |`  A ) : A --> A  ->  (
(  _I  |`  A )  o.  (  _I  |`  A ) )  =  (  _I  |`  A ) )
111, 9, 10mp2b 10 . . . 4  |-  ( (  _I  |`  A )  o.  (  _I  |`  A ) )  =  (  _I  |`  A )
128, 11syl6eq 2486 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
(  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) (  _I  |`  A ) )  =  (  _I  |`  A ) )
132symggrp 16992 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
14 eqid 2429 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
153, 6, 14grpid 16652 . . . 4  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  (  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) (  _I  |`  A ) )  =  (  _I  |`  A )  <->  ( 0g `  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
1613, 5, 15syl2anc 665 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) (  _I  |`  A ) )  =  (  _I  |`  A )  <->  ( 0g `  G )  =  (  _I  |`  A )
) )
1712, 16mpbid 213 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  (  _I  |`  A ) )
1817eqcomd 2437 1  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  A )  =  ( 0g `  G
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    = wceq 1437    e. wcel 1870    _I cid 4764    |` cres 4856    o. ccom 4858   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6305   Basecbs 15084   +g cplusg 15152   0gc0g 15297   Grpcgrp 16620   SymGrpcsymg 16969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-tset 15171  df-0g 15299  df-mgm 16439  df-sgrp 16478  df-mnd 16488  df-grp 16624  df-symg 16970
This theorem is referenced by:  symginv  16994  lactghmga  16996  idressubgsymg  17002  cayleylem2  17005  gsmsymgrfix  17020  gsmsymgreq  17024  symgsssg  17059  symgfisg  17060  symggen  17062  psgnunilem2  17087  psgnuni  17091  psgn0fv0  17103  psgnsn  17112  psgnprfval1  17114  madetsumid  19417  mdetdiag  19555  mdetunilem7  19574  psgnid  28449
  Copyright terms: Public domain W3C validator