Theorem symggrpi 10205

Description: The symmetry group on A is a group (inference version). (Contributed by Paul Chapman, 4-Jun-2008.)

Hypothesis

Ref	Expression
symggrpi.1	|- A e. _V

Assertion

Ref	Expression
symggrpi	|- (SymGrp` A) e. Grp

Proof of Theorem symggrpi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		symggrpi.1	. . 3 |- A e. _V
2		equid 1484	. . . . . 6 |- x = x
3	2	biantru 793	. . . . 5 |- (x:A-1-1-onto->A <-> (x:A-1-1-onto->A /\ x = x))
4	3	abbii 2006	. . . 4 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | (x:A-1-1-onto->A /\ x = x)}
5	4	f1oabexg 4650	. . 3 |- ((A e. _V /\ A e. _V) -> {x | x:A-1-1-onto->A} e. _V)
6	1, 1, 5	mp2an 761	. 2 |- {x | x:A-1-1-onto->A} e. _V
7		eqid 1884	. . 3 |- {x | x:A-1-1-onto->A} = {x | x:A-1-1-onto->A}
8	1, 7	symgf 10204	. 2 |- (SymGrp` A):({x | x:A-1-1-onto->A} X. {x | x:A-1-1-onto->A})-->{x | x:A-1-1-onto->A}
9		coass 4415	. . 3 |- ((f o. g) o. h) = (f o. (g o. h))
10	1, 7	symgoprv 10203	. . . . . 6 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)g) = (f o. g))
11	10	3adant3 896	. . . . 5 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)g) = (f o. g))
12	11	opreq1d 4897	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g)(SymGrp` A)h))
13	1, 7	symgoprv 10203	. . . . . 6 |- (((f o. g) e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
14		f1oco 4661	. . . . . . 7 |- ((f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A) -> (f o. g):A-1-1-onto->A)
15	1, 7	elsymgrn 10200	. . . . . . . 8 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> f:A-1-1-onto->A)
16	1, 7	elsymgrn 10200	. . . . . . . 8 |- (g e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> g:A-1-1-onto->A)
17	15, 16	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) <-> (f:A-1-1-onto->A /\ g:A-1-1-onto->A))
18	1, 7	elsymgrn 10200	. . . . . . 7 |- ((f o. g) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> (f o. g):A-1-1-onto->A)
19	14, 17, 18	3imtr4i 236	. . . . . 6 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f o. g) e. {x | x:A-1-1-onto->A})
20	13, 19	sylan 497	. . . . 5 |- (((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A}) /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
21	20	3impa 1062	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f o. g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
22	12, 21	eqtrd 1925	. . 3 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = ((f o. g) o. h))
23	1, 7	symgoprv 10203	. . . . . 6 |- ((g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (g(SymGrp` A)h) = (g o. h))
24	23	3adant1 894	. . . . 5 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (g(SymGrp` A)h) = (g o. h))
25	24	opreq2d 4898	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)) = (f(SymGrp` A)(g o. h)))
26	1, 7	symgoprv 10203	. . . . . 6 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ (g o. h) e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
27		f1oco 4661	. . . . . . 7 |- ((g:A-1-1-onto->A /\ h:A-1-1-onto->A) -> (g o. h):A-1-1-onto->A)
28	1, 7	elsymgrn 10200	. . . . . . . 8 |- (h e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> h:A-1-1-onto->A)
29	16, 28	anbi12i 540	. . . . . . 7 |- ((g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) <-> (g:A-1-1-onto->A /\ h:A-1-1-onto->A))
30	1, 7	elsymgrn 10200	. . . . . . 7 |- ((g o. h) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> (g o. h):A-1-1-onto->A)
31	27, 29, 30	3imtr4i 236	. . . . . 6 |- ((g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (g o. h) e. {x | x:A-1-1-onto->A})
32	26, 31	sylan2 500	. . . . 5 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ (g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A})) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
33	32	3impb 1063	. . . 4 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g o. h)) = (f o. (g o. h)))
34	25, 33	eqtrd 1925	. . 3 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)) = (f o. (g o. h)))
35	9, 22, 34	3eqtr4a 1954	. 2 |- ((f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ g e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ h e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> ((f(SymGrp` A)g)(SymGrp` A)h) = (f(SymGrp` A)(g(SymGrp` A)h)))
36		f1oi 4671	. . 3 |- ( _I |` A):A-1-1-onto->A
37	1, 7	elsymgrn 10200	. . 3 |- (( _I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> ( _I |` A):A-1-1-onto->A)
38	36, 37	mpbir 207	. 2 |- ( _I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A}
39	1, 7	symgoprv 10203	. . . 4 |- ((( _I |` A) e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ f e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (( _I |` A)(SymGrp` A)f) = (( _I |` A) o. f))
40	38, 39	mpan 759	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (( _I |` A)(SymGrp` A)f) = (( _I |` A) o. f))
41		f1of 4635	. . . . 5 |- (f:A-1-1-onto->A -> f:A-->A)
42		fcoi2 4586	. . . . 5 |- (f:A-->A -> (( _I |` A) o. f) = f)
43	41, 42	syl 12	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->A -> (( _I |` A) o. f) = f)
44	15, 43	sylbi 216	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (( _I |` A) o. f) = f)
45	40, 44	eqtrd 1925	. 2 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (( _I |` A)(SymGrp` A)f) = f)
46		f1ocnv 4651	. . 3 |- (f:A-1-1-onto->A -> `'f:A-1-1-onto->A)
47	1, 7	elsymgrn 10200	. . 3 |- (`'f e. {x | x:A-1-1-onto->A} <-> `'f:A-1-1-onto->A)
48	46, 15, 47	3imtr4i 236	. 2 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> `'f e. {x | x:A-1-1-onto->A})
49	1, 7	symgoprv 10203	. . . 4 |- ((`'f e. {x | x:A-1-1-onto->A} /\ f e. {x | x:A-1-1-onto->A}) -> (`'f(SymGrp` A)f) = (`'f o. f))
50	48, 49	mpancom 769	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (`'f(SymGrp` A)f) = (`'f o. f))
51		f1ococnv1 4663	. . . 4 |- (f:A-1-1-onto->A -> (`'f o. f) = ( _I |` A))
52	15, 51	sylbi 216	. . 3 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (`'f o. f) = ( _I |` A))
53	50, 52	eqtrd 1925	. 2 |- (f e. {x | x:A-1-1-onto->A} -> (`'f(SymGrp` A)f) = ( _I |` A))
54	6, 8, 35, 38, 45, 48, 53	isgrpi 9322	1 |- (SymGrp` A) e. Grp

Syntax hints:   /\ wa 240   /\ w3a 858   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871  _Vcvv 2292   _I cid 3582  `'ccnv 3985   |` cres 3988   o. ccom 3990  -->wf 3994  -1-1-onto->wf1o 3997  ` cfv 3998  (class class class)co 4884  Grpcgr 9311  SymGrpcsymgrp 10198

This theorem is referenced by:  symgidi 10206  symggrp 13640  cayleylem2 13642  cayleylem3 13643  symgfo 14730  curgrpact 14735

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-13 1311  ax-14 1312  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865  ax-rep 3428  ax-sep 3438  ax-nul 3445  ax-pow 3481  ax-pr 3524  ax-un 3790

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-3an 860  df-ex 1327  df-sb 1536  df-eu 1775  df-mo 1776  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-ne 2019  df-ral 2109  df-rex 2110  df-v 2294  df-sbc 2454  df-csb 2541  df-dif 2597  df-un 2600  df-in 2603  df-ss 2605  df-nul 2876  df-pw 3035  df-sn 3049  df-pr 3050  df-op 3053  df-uni 3178  df-br 3339  df-opab 3396  df-id 3586  df-xp 4000  df-rel 4001  df-cnv 4002  df-co 4003  df-dm 4004  df-rn 4005  df-res 4006  df-ima 4007  df-fun 4008  df-fn 4009  df-f 4010  df-f1 4011  df-fo 4012  df-f1o 4013  df-fv 4014  df-opr 4886  df-oprab 4887  df-1st 5020  df-2nd 5021  df-grp 9316  df-symgrp 10199

Copyright terms: Public domain