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Theorem symggrp 16297
Description: The symmetric group on a set  A is a group. (Contributed by Paul Chapman, 25-Feb-2008.) (Revised by Mario Carneiro, 13-Jan-2015.)
Hypothesis
Ref Expression
symggrp.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
Assertion
Ref Expression
symggrp  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )

Proof of Theorem symggrp
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  G
) )
2 eqidd 2468 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
3 symggrp.1 . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
4 eqid 2467 . . . 4  |-  ( Base `  G )  =  (
Base `  G )
5 eqid 2467 . . . 4  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
63, 4, 5symgcl 16288 . . 3  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
763adant1 1014 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  e.  ( Base `  G
) )
8 coass 5532 . . . 4  |-  ( ( x  o.  y )  o.  z )  =  ( x  o.  (
y  o.  z ) )
9 simpr1 1002 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  ->  x  e.  ( Base `  G ) )
10 simpr2 1003 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
y  e.  ( Base `  G ) )
113, 4, 5symgov 16287 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) y )  =  ( x  o.  y
) )
129, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  =  ( x  o.  y ) )
1312coeq1d 5170 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  o.  z
)  =  ( ( x  o.  y )  o.  z ) )
14 simpr3 1004 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
z  e.  ( Base `  G ) )
153, 4, 5symgov 16287 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  =  ( y  o.  z
) )
1610, 14, 15syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
1716coeq2d 5171 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x  o.  (
y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x  o.  ( y  o.  z
) ) )
188, 13, 173eqtr4a 2534 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y )  o.  z
)  =  ( x  o.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
199, 10, 6syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
) )
203, 4, 5symgov 16287 . . . 4  |-  ( ( ( x ( +g  `  G ) y )  e.  ( Base `  G
)  /\  z  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (
x ( +g  `  G
) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( x ( +g  `  G ) y )  o.  z ) )
2119, 14, 20syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( ( x ( +g  `  G
) y )  o.  z ) )
223, 4, 5symgcl 16288 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )
2310, 14, 22syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  ( Base `  G
) )
243, 4, 5symgov 16287 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( Base `  G )  /\  (
y ( +g  `  G
) z )  e.  ( Base `  G
) )  ->  (
x ( +g  `  G
) ( y ( +g  `  G ) z ) )  =  ( x  o.  (
y ( +g  `  G
) z ) ) )
259, 23, 24syl2anc 661 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G
) z ) )  =  ( x  o.  ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
2618, 21, 253eqtr4d 2518 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  ( x  e.  ( Base `  G )  /\  y  e.  ( Base `  G )  /\  z  e.  ( Base `  G
) ) )  -> 
( ( x ( +g  `  G ) y ) ( +g  `  G ) z )  =  ( x ( +g  `  G ) ( y ( +g  `  G ) z ) ) )
27 f1oi 5857 . . 3  |-  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A
283, 4elsymgbas 16279 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
(  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
)  <->  (  _I  |`  A ) : A -1-1-onto-> A ) )
2927, 28mpbiri 233 . 2  |-  ( A  e.  V  ->  (  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
) )
303, 4, 5symgov 16287 . . . 4  |-  ( ( (  _I  |`  A )  e.  ( Base `  G
)  /\  x  e.  ( Base `  G )
)  ->  ( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G ) x )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  x ) )
3129, 30sylan 471 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) x )  =  ( (  _I  |`  A )  o.  x ) )
323, 4elsymgbas 16279 . . . . 5  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  <->  x : A
-1-1-onto-> A ) )
3332biimpa 484 . . . 4  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  x : A -1-1-onto-> A )
34 f1of 5822 . . . 4  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
35 fcoi2 5766 . . . 4  |-  ( x : A --> A  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  x )  =  x )
3633, 34, 353syl 20 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( (  _I  |`  A )  o.  x )  =  x )
3731, 36eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( (  _I  |`  A ) ( +g  `  G
) x )  =  x )
38 f1ocnv 5834 . . . . 5  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A )
3938a1i 11 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  `' x : A -1-1-onto-> A ) )
403, 4elsymgbas 16279 . . . 4  |-  ( A  e.  V  ->  ( `' x  e.  ( Base `  G )  <->  `' x : A -1-1-onto-> A ) )
4139, 32, 403imtr4d 268 . . 3  |-  ( A  e.  V  ->  (
x  e.  ( Base `  G )  ->  `' x  e.  ( Base `  G ) ) )
4241imp 429 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  ->  `' x  e.  ( Base `  G ) )
433, 4, 5symgov 16287 . . . 4  |-  ( ( `' x  e.  ( Base `  G )  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x ( +g  `  G ) x )  =  ( `' x  o.  x
) )
4442, 43sylancom 667 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x ( +g  `  G ) x )  =  ( `' x  o.  x
) )
45 f1ococnv1 5850 . . . 4  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  ( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  A ) )
4633, 45syl 16 . . 3  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x  o.  x )  =  (  _I  |`  A )
)
4744, 46eqtrd 2508 . 2  |-  ( ( A  e.  V  /\  x  e.  ( Base `  G ) )  -> 
( `' x ( +g  `  G ) x )  =  (  _I  |`  A )
)
481, 2, 7, 26, 29, 37, 42, 47isgrpd 15947 1  |-  ( A  e.  V  ->  G  e.  Grp )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767    _I cid 4796   `'ccnv 5004    |` cres 5007    o. ccom 5009   -->wf 5590   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Basecbs 14507   +g cplusg 14572   Grpcgrp 15925   SymGrpcsymg 16274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-symg 16275
This theorem is referenced by:  symgid  16298  symginv  16299  galactghm  16300  symgga  16303  pgrpsubgsymgbi  16304  pgrpsubgsymg  16305  idressubgsymg  16307  gsumccatsymgsn  16323  symgsssg  16365  symgfisg  16366  symggen  16368  symgtrinv  16370  psgnunilem5  16392  psgnunilem2  16393  psgnuni  16397  psgneldm2  16402  psgnfitr  16415  psgnghm  18485  zrhpsgninv  18490  evpmodpmf1o  18501  mdetleib2  18959  mdetdiag  18970  mdetralt  18979  mdetunilem7  18989  symgtgp  20468  pgrple2abl  32438
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