MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggen2 Structured version   Unicode version

Theorem symggen2 16369
Description: A finite permutation group is generated by the transpositions, see also Theorem 3.4 in [Rotman] p. 31. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  B )

Proof of Theorem symggen2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrf.t . . 3  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 symgtrf.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 symgtrf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 symggen.k . . 3  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
51, 2, 3, 4symggen 16368 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
6 difss 3636 . . . . . . 7  |-  ( x 
\  _I  )  C_  x
7 dmss 5208 . . . . . . 7  |-  ( ( x  \  _I  )  C_  x  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  dom  x )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
x  \  _I  )  C_ 
dom  x
92, 3elsymgbas2 16278 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  B  <->  x : D
-1-1-onto-> D ) )
109ibi 241 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  x : D -1-1-onto-> D )
11 f1odm 5826 . . . . . . 7  |-  ( x : D -1-1-onto-> D  ->  dom  x  =  D )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  dom  x  =  D )
138, 12syl5sseq 3557 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )
14 ssfi 7752 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1513, 14sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1615ralrimiva 2881 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  A. x  e.  B  dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin )
17 rabid2 3044 . . 3  |-  ( B  =  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  A. x  e.  B  dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin )
1816, 17sylibr 212 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  B  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
195, 18eqtr4d 2511 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2817   {crab 2821    \ cdif 3478    C_ wss 3481    _I cid 4796   dom cdm 5005   ran crn 5006   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Fincfn 7528   Basecbs 14507  mrClscmrc 14855  SubMndcsubmnd 15838   SymGrpcsymg 16274  pmTrspcpmtr 16339
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-iin 4334  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-card 8332  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-0g 14714  df-mre 14858  df-mrc 14859  df-acs 14861  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-submnd 15840  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-symg 16275  df-pmtr 16340
This theorem is referenced by:  psgnfitr  16415  mdetunilem7  18989
  Copyright terms: Public domain W3C validator