MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symggen2 Structured version   Unicode version

Theorem symggen2 15976
Description: A finite permutation group is generated by the transpositions, see also Theorem 3.4 in [Rotman] p. 31. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  B )

Proof of Theorem symggen2
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgtrf.t . . 3  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
2 symgtrf.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
3 symgtrf.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
4 symggen.k . . 3  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
51, 2, 3, 4symggen 15975 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
6 difss 3482 . . . . . . 7  |-  ( x 
\  _I  )  C_  x
7 dmss 5038 . . . . . . 7  |-  ( ( x  \  _I  )  C_  x  ->  dom  ( x 
\  _I  )  C_  dom  x )
86, 7ax-mp 5 . . . . . 6  |-  dom  (
x  \  _I  )  C_ 
dom  x
92, 3elsymgbas2 15885 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  B  ->  (
x  e.  B  <->  x : D
-1-1-onto-> D ) )
109ibi 241 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  B  ->  x : D -1-1-onto-> D )
11 f1odm 5644 . . . . . . 7  |-  ( x : D -1-1-onto-> D  ->  dom  x  =  D )
1210, 11syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  B  ->  dom  x  =  D )
138, 12syl5sseq 3403 . . . . 5  |-  ( x  e.  B  ->  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )
14 ssfi 7532 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  dom  ( x  \  _I  )  C_  D )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1513, 14sylan2 474 . . . 4  |-  ( ( D  e.  Fin  /\  x  e.  B )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
1615ralrimiva 2798 . . 3  |-  ( D  e.  Fin  ->  A. x  e.  B  dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin )
17 rabid2 2897 . . 3  |-  ( B  =  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  A. x  e.  B  dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin )
1816, 17sylibr 212 . 2  |-  ( D  e.  Fin  ->  B  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
195, 18eqtr4d 2477 1  |-  ( D  e.  Fin  ->  ( K `  T )  =  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2714   {crab 2718    \ cdif 3324    C_ wss 3327    _I cid 4630   dom cdm 4839   ran crn 4840   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417   Fincfn 7309   Basecbs 14173  mrClscmrc 14520  SubMndcsubmnd 15462   SymGrpcsymg 15881  pmTrspcpmtr 15946
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4402  ax-sep 4412  ax-nul 4420  ax-pow 4469  ax-pr 4530  ax-un 6371  ax-cnex 9337  ax-resscn 9338  ax-1cn 9339  ax-icn 9340  ax-addcl 9341  ax-addrcl 9342  ax-mulcl 9343  ax-mulrcl 9344  ax-mulcom 9345  ax-addass 9346  ax-mulass 9347  ax-distr 9348  ax-i2m1 9349  ax-1ne0 9350  ax-1rid 9351  ax-rnegex 9352  ax-rrecex 9353  ax-cnre 9354  ax-pre-lttri 9355  ax-pre-lttrn 9356  ax-pre-ltadd 9357  ax-pre-mulgt0 9358
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2429  df-cleq 2435  df-clel 2438  df-nfc 2567  df-ne 2607  df-nel 2608  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 2973  df-sbc 3186  df-csb 3288  df-dif 3330  df-un 3332  df-in 3334  df-ss 3341  df-pss 3343  df-nul 3637  df-if 3791  df-pw 3861  df-sn 3877  df-pr 3879  df-tp 3881  df-op 3883  df-uni 4091  df-int 4128  df-iun 4172  df-iin 4173  df-br 4292  df-opab 4350  df-mpt 4351  df-tr 4385  df-eprel 4631  df-id 4635  df-po 4640  df-so 4641  df-fr 4678  df-se 4679  df-we 4680  df-ord 4721  df-on 4722  df-lim 4723  df-suc 4724  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-iota 5380  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-isom 5426  df-riota 6051  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6831  df-rdg 6865  df-1o 6919  df-2o 6920  df-oadd 6923  df-er 7100  df-map 7215  df-en 7310  df-dom 7311  df-sdom 7312  df-fin 7313  df-card 8108  df-pnf 9419  df-mnf 9420  df-xr 9421  df-ltxr 9422  df-le 9423  df-sub 9596  df-neg 9597  df-nn 10322  df-2 10379  df-3 10380  df-4 10381  df-5 10382  df-6 10383  df-7 10384  df-8 10385  df-9 10386  df-n0 10579  df-z 10646  df-uz 10861  df-fz 11437  df-struct 14175  df-ndx 14176  df-slot 14177  df-base 14178  df-sets 14179  df-ress 14180  df-plusg 14250  df-tset 14256  df-0g 14379  df-mre 14523  df-mrc 14524  df-acs 14526  df-mnd 15414  df-submnd 15464  df-grp 15544  df-minusg 15545  df-subg 15677  df-symg 15882  df-pmtr 15947
This theorem is referenced by:  psgnfitr  16022  mdetunilem7  18423
  Copyright terms: Public domain W3C validator