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Theorem symggen 17160
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Distinct variable groups:    x, B    x, T    x, K    x, D    x, G    x, V

Proof of Theorem symggen
Dummy variables  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3066 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
2 symgtrf.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
32symggrp 17090 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
4 grpmnd 16727 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 17 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Mnd )
6 symgtrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76submacs 16661 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
8 acsmre 15607 . . . . 5  |-  ( (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
95, 7, 83syl 18 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
101, 9syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
11 symgtrf.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
1211, 2, 6symgtrf 17159 . . . . 5  |-  T  C_  B
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_  B )
14 2onn 7367 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
15 nnfi 7791 . . . . . 6  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
17 eqid 2462 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
1817, 11pmtrfb 17155 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  x : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
x  \  _I  )  ~~  2o ) )
1918simp3bi 1031 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  T  ->  dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o )
20 enfi 7814 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2119, 20syl 17 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2221adantl 472 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  ( dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
2316, 22mpbiri 241 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
2413, 23ssrabdv 3520 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
252, 6symgfisg 17158 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
26 subgsubm 16888 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G )  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G
) )
2725, 26syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )
28 symggen.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
2928mrcsscl 15575 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )  ->  ( K `  T )  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
3010, 24, 27, 29syl3anc 1276 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
31 vex 3060 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
33 finnum 8408 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  dom  card )
34 domfi 7819 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
352, 6symgbasf1o 17073 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
3635adantl 472 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  y : D -1-1-onto-> D
)
37 f1ofn 5838 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y  Fn  D )
38 fnnfpeq0 6119 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  Fn  D  ->  ( dom  ( y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D ) ) )
3936, 37, 383syl 18 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D )
) )
402, 6elbasfv 15219 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  B  ->  D  e.  _V )
4140adantl 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  _V )
422symgid 17091 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  _V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
4341, 42syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
4441, 9syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4528mrccl 15566 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
4644, 12, 45sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
47 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4847subm0cl 16648 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
4946, 48syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5043, 49eqeltrd 2540 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T ) )
51 eleq1a 2535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T
)  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5250, 51syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5339, 52sylbid 223 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5453adantr 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
55 n0 3753 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. u  u  e. 
dom  ( y  \  _I  ) )
5641adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  D  e.  _V )
57 simpr 467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
58 f1omvdmvd 17133 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y : D -1-1-onto-> D  /\  u  e.  dom  ( y 
\  _I  ) )  ->  ( y `  u )  e.  ( dom  ( y  \  _I  )  \  { u } ) )
5936, 58sylan 478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  ( dom  ( y 
\  _I  )  \  { u } ) )
6059eldifad 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
61 prssi 4141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  dom  (
y  \  _I  )  /\  ( y `  u
)  e.  dom  (
y  \  _I  )
)  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
6257, 60, 61syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
63 difss 3572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y 
\  _I  )  C_  y
64 dmss 5053 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  \  _I  )  C_  y  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  dom  y )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  y
66 f1odm 5841 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  y  =  D )
6736, 66syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  y  =  D )
6865, 67syl5sseq 3492 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
6968adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7062, 69sstrd 3454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  D )
7136adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7271, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  Fn  D )
7368sselda 3444 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  D )
74 fnelnfp 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( u  e.  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  ( y `  u
)  =/=  u ) )
7572, 73, 74syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
u  e.  dom  (
y  \  _I  )  <->  ( y `  u )  =/=  u ) )
7657, 75mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  =/=  u )
7776necomd 2691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  =/=  ( y `  u
) )
78 vex 3060 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  u  e. 
_V
79 fvex 5898 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y `
 u )  e. 
_V
80 pr2nelem 8461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( y `  u
)  e.  _V  /\  u  =/=  ( y `  u ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8178, 79, 80mp3an12 1363 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =/=  ( y `  u )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8277, 81syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8317, 11pmtrrn 17147 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  -> 
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T )
8456, 70, 82, 83syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T
)
8512, 84sseldi 3442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B
)
86 simplr 767 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  B )
87 eqid 2462 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
882, 6, 87symgov 17080 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
8985, 86, 88syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9089oveq2d 6331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) ) )
9141, 3syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
9291adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  G  e.  Grp )
936, 87grpcl 16728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B )
9492, 85, 86, 93syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
9589, 94eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )
962, 6, 87symgov 17080 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
9785, 95, 96syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
98 coass 5373 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) )
9917, 11pmtrfinv 17151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
10084, 99syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
101100coeq1d 5015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  y ) )
102 f1of 5837 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y : D
--> D )
103 fcoi2 5781 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
10471, 102, 1033syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
105101, 104eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  y )
10698, 105syl5eqr 2510 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  y )
10790, 97, 1063eqtrd 2500 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
108107adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
10946ad2antrr 737 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G )
)
11028mrcssid 15572 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
11144, 12, 110sylancl 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
112111adantr 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  T  C_  ( K `  T
) )
113112, 84sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
114113adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
11589difeq1d 3562 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
116115dmeqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
117 simpll 765 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
118 mvdco 17135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )
11917pmtrmvd 17146 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
12056, 70, 82, 119syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
121120, 62eqsstrd 3478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  ) )
122 ssid 3463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  dom  ( y 
\  _I  ) )
124121, 123unssd 3622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
125118, 124syl5ss 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
126 fvco2 5963 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
12772, 73, 126syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
128 prcom 4063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { u ,  ( y `  u ) }  =  { ( y `  u ) ,  u }
129128fveq2i 5891 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  =  ( (pmTrsp `  D ) `  {
( y `  u
) ,  u }
)
130129fveq1i 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `  (
y `  u )
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)
13169, 60sseldd 3445 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  D )
13217pmtrprfv 17143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  ( ( y `  u )  e.  D  /\  u  e.  D  /\  ( y `  u
)  =/=  u ) )  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)  =  u )
13356, 131, 73, 76, 132syl13anc 1278 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { (
y `  u ) ,  u } ) `  ( y `  u
) )  =  u )
134130, 133syl5eq 2508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `
 ( y `  u ) )  =  u )
135127, 134eqtrd 2496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u )
1362, 6symgbasf1o 17073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
) : D -1-1-onto-> D )
137 f1ofn 5838 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  Fn  D )
13895, 136, 1373syl 18 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  Fn  D )
139 fnelnfp 6118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
u  e.  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  <->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) `  u )  =/=  u
) )
140139necon2bbid 2679 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
141138, 73, 140syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
142135, 141mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  \  _I  ) )
143125, 57, 142ssnelpssd 3842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C.  dom  ( y  \  _I  ) )
144 php3 7784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  \  _I  )  C. 
dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
145117, 143, 144syl2anc 671 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
146116, 145eqbrtrd 4437 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
147146adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
14894adantlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
149 ovex 6343 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  _V
150 difeq1 3556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  \  _I  )  =  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
151150dmeqd 5056 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  ->  dom  ( z  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
152151breq1d 4426 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) ) )
153 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B ) )
154 eleq1 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  ( K `  T )  <-> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) )
155153, 154imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) )  <->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) ) )
156152, 155imbi12d 326 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  <->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) ) )
157149, 156spcv 3152 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( dom  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
158157ad2antlr 738 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
159147, 148, 158mp2d 46 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )
16087submcl 16649 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K `  T
)  e.  (SubMnd `  G )  /\  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T )  /\  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
161109, 114, 159, 160syl3anc 1276 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
162108, 161eqeltrrd 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  ( K `  T
) )
163162ex 440 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( u  e. 
dom  ( y  \  _I  )  ->  y  e.  ( K `  T
) ) )
164163exlimdv 1790 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( E. u  u  e.  dom  ( y 
\  _I  )  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) )
16555, 164syl5bi 225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
16654, 165pm2.61dne 2722 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) )
167166exp31 613 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
y  e.  B  -> 
( A. z ( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) ) )
168167com23 81 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
16934, 168syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  ( A. z
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
1701693impia 1212 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
171 eleq1 2528 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
172 eleq1 2528 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  z  e.  ( K `  T ) ) )
173171, 172imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) ) )
174 eleq1 2528 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
175 eleq1 2528 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  x  e.  ( K `  T ) ) )
176174, 175imbi12d 326 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( x  e.  B  ->  x  e.  ( K `
 T ) ) ) )
177 difeq1 3556 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
178177dmeqd 5056 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( z 
\  _I  ) )
179 difeq1 3556 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  \  _I  )  =  ( x  \  _I  ) )
180179dmeqd 5056 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( x 
\  _I  ) )
18132, 33, 170, 173, 176, 178, 180indcardi 8498 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( K `  T ) ) )
182181impcom 436 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
1831823adant1 1032 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
184183rabssdv 3521 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( K `  T )
)
18530, 184eqssd 3461 1  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 375   A.wal 1453    = wceq 1455   E.wex 1674    e. wcel 1898    =/= wne 2633   {crab 2753   _Vcvv 3057    \ cdif 3413    u. cun 3414    C_ wss 3416    C. wpss 3417   (/)c0 3743   {csn 3980   {cpr 3982   class class class wbr 4416    _I cid 4763   dom cdm 4853   ran crn 4854    |` cres 4855    o. ccom 4857    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601  (class class class)co 6315   omcom 6719   2oc2o 7202    ~~ cen 7592    ~<_ cdom 7593    ~< csdm 7594   Fincfn 7595   Basecbs 15170   +g cplusg 15239   0gc0g 15387  Moorecmre 15537  mrClscmrc 15538  ACScacs 15540   Mndcmnd 16584  SubMndcsubmnd 16630   Grpcgrp 16718  SubGrpcsubg 16860   SymGrpcsymg 17067  pmTrspcpmtr 17131
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1680  ax-4 1693  ax-5 1769  ax-6 1816  ax-7 1862  ax-8 1900  ax-9 1907  ax-10 1926  ax-11 1931  ax-12 1944  ax-13 2102  ax-ext 2442  ax-rep 4529  ax-sep 4539  ax-nul 4548  ax-pow 4595  ax-pr 4653  ax-un 6610  ax-cnex 9621  ax-resscn 9622  ax-1cn 9623  ax-icn 9624  ax-addcl 9625  ax-addrcl 9626  ax-mulcl 9627  ax-mulrcl 9628  ax-mulcom 9629  ax-addass 9630  ax-mulass 9631  ax-distr 9632  ax-i2m1 9633  ax-1ne0 9634  ax-1rid 9635  ax-rnegex 9636  ax-rrecex 9637  ax-cnre 9638  ax-pre-lttri 9639  ax-pre-lttrn 9640  ax-pre-ltadd 9641  ax-pre-mulgt0 9642
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 376  df-an 377  df-3or 992  df-3an 993  df-tru 1458  df-ex 1675  df-nf 1679  df-sb 1809  df-eu 2314  df-mo 2315  df-clab 2449  df-cleq 2455  df-clel 2458  df-nfc 2592  df-ne 2635  df-nel 2636  df-ral 2754  df-rex 2755  df-reu 2756  df-rmo 2757  df-rab 2758  df-v 3059  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3744  df-if 3894  df-pw 3965  df-sn 3981  df-pr 3983  df-tp 3985  df-op 3987  df-uni 4213  df-int 4249  df-iun 4294  df-iin 4295  df-br 4417  df-opab 4476  df-mpt 4477  df-tr 4512  df-eprel 4764  df-id 4768  df-po 4774  df-so 4775  df-fr 4812  df-se 4813  df-we 4814  df-xp 4859  df-rel 4860  df-cnv 4861  df-co 4862  df-dm 4863  df-rn 4864  df-res 4865  df-ima 4866  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6277  df-ov 6318  df-oprab 6319  df-mpt2 6320  df-om 6720  df-1st 6820  df-2nd 6821  df-wrecs 7054  df-recs 7116  df-rdg 7154  df-1o 7208  df-2o 7209  df-oadd 7212  df-er 7389  df-map 7500  df-en 7596  df-dom 7597  df-sdom 7598  df-fin 7599  df-card 8399  df-pnf 9703  df-mnf 9704  df-xr 9705  df-ltxr 9706  df-le 9707  df-sub 9888  df-neg 9889  df-nn 10638  df-2 10696  df-3 10697  df-4 10698  df-5 10699  df-6 10700  df-7 10701  df-8 10702  df-9 10703  df-n0 10899  df-z 10967  df-uz 11189  df-fz 11814  df-struct 15172  df-ndx 15173  df-slot 15174  df-base 15175  df-sets 15176  df-ress 15177  df-plusg 15252  df-tset 15258  df-0g 15389  df-mre 15541  df-mrc 15542  df-acs 15544  df-mgm 16537  df-sgrp 16576  df-mnd 16586  df-submnd 16632  df-grp 16722  df-minusg 16723  df-subg 16863  df-symg 17068  df-pmtr 17132
This theorem is referenced by:  symggen2  17161  psgneldm2  17194
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