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Theorem symggen 16612
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Distinct variable groups:    x, B    x, T    x, K    x, D    x, G    x, V

Proof of Theorem symggen
Dummy variables  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3043 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
2 symgtrf.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
32symggrp 16542 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
4 grpmnd 16179 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Mnd )
6 symgtrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76submacs 16113 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
8 acsmre 15059 . . . . 5  |-  ( (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
95, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
11 symgtrf.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
1211, 2, 6symgtrf 16611 . . . . 5  |-  T  C_  B
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_  B )
14 2onn 7207 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
15 nnfi 7629 . . . . . 6  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
17 eqid 2382 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
1817, 11pmtrfb 16607 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  x : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
x  \  _I  )  ~~  2o ) )
1918simp3bi 1011 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  T  ->  dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o )
20 enfi 7652 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2221adantl 464 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  ( dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
2316, 22mpbiri 233 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
2413, 23ssrabdv 3493 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
252, 6symgfisg 16610 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
26 subgsubm 16340 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G )  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G
) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )
28 symggen.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
2928mrcsscl 15027 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )  ->  ( K `  T )  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
3010, 24, 27, 29syl3anc 1226 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
31 vex 3037 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
33 finnum 8242 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  dom  card )
34 domfi 7657 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
352, 6symgbasf1o 16525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
3635adantl 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  y : D -1-1-onto-> D
)
37 f1ofn 5725 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y  Fn  D )
38 fnnfpeq0 6004 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  Fn  D  ->  ( dom  ( y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D ) ) )
3936, 37, 383syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D )
) )
402, 6elbasfv 14683 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  B  ->  D  e.  _V )
4140adantl 464 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  _V )
422symgid 16543 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  _V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
4441, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4528mrccl 15018 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
4644, 12, 45sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
47 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4847subm0cl 16100 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
4946, 48syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5043, 49eqeltrd 2470 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T ) )
51 eleq1a 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T
)  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5250, 51syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5339, 52sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5453adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
55 n0 3721 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. u  u  e. 
dom  ( y  \  _I  ) )
5641adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  D  e.  _V )
57 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
58 f1omvdmvd 16585 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y : D -1-1-onto-> D  /\  u  e.  dom  ( y 
\  _I  ) )  ->  ( y `  u )  e.  ( dom  ( y  \  _I  )  \  { u } ) )
5936, 58sylan 469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  ( dom  ( y 
\  _I  )  \  { u } ) )
6059eldifad 3401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
61 prssi 4100 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  dom  (
y  \  _I  )  /\  ( y `  u
)  e.  dom  (
y  \  _I  )
)  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
6257, 60, 61syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
63 difss 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y 
\  _I  )  C_  y
64 dmss 5115 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  \  _I  )  C_  y  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  dom  y )
6563, 64ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  y
66 f1odm 5728 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  y  =  D )
6736, 66syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  y  =  D )
6865, 67syl5sseq 3465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
6968adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7062, 69sstrd 3427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  D )
7136adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7271, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  Fn  D )
7368sselda 3417 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  D )
74 fnelnfp 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( u  e.  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  ( y `  u
)  =/=  u ) )
7572, 73, 74syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
u  e.  dom  (
y  \  _I  )  <->  ( y `  u )  =/=  u ) )
7657, 75mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  =/=  u )
7776necomd 2653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  =/=  ( y `  u
) )
78 vex 3037 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  u  e. 
_V
79 fvex 5784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y `
 u )  e. 
_V
80 pr2nelem 8295 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( y `  u
)  e.  _V  /\  u  =/=  ( y `  u ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8178, 79, 80mp3an12 1312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =/=  ( y `  u )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8277, 81syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8317, 11pmtrrn 16599 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  -> 
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T )
8456, 70, 82, 83syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T
)
8512, 84sseldi 3415 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B
)
86 simplr 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  B )
87 eqid 2382 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
882, 6, 87symgov 16532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
8985, 86, 88syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9089oveq2d 6212 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) ) )
9141, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
9291adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  G  e.  Grp )
936, 87grpcl 16180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B )
9492, 85, 86, 93syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
9589, 94eqeltrrd 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )
962, 6, 87symgov 16532 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
9785, 95, 96syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
98 coass 5434 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) )
9917, 11pmtrfinv 16603 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
10084, 99syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
101100coeq1d 5077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  y ) )
102 f1of 5724 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y : D
--> D )
103 fcoi2 5668 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
10471, 102, 1033syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
105101, 104eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  y )
10698, 105syl5eqr 2437 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  y )
10790, 97, 1063eqtrd 2427 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
108107adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
10946ad2antrr 723 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G )
)
11028mrcssid 15024 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
11144, 12, 110sylancl 660 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
112111adantr 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  T  C_  ( K `  T
) )
113112, 84sseldd 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
114113adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
11589difeq1d 3535 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
116115dmeqd 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
117 simpll 751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
118 mvdco 16587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )
11917pmtrmvd 16598 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
12056, 70, 82, 119syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
121120, 62eqsstrd 3451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  ) )
122 ssid 3436 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  )
123122a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  dom  ( y 
\  _I  ) )
124121, 123unssd 3594 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
125118, 124syl5ss 3428 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
126 fvco2 5849 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
12772, 73, 126syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
128 prcom 4022 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { u ,  ( y `  u ) }  =  { ( y `  u ) ,  u }
129128fveq2i 5777 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  =  ( (pmTrsp `  D ) `  {
( y `  u
) ,  u }
)
130129fveq1i 5775 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `  (
y `  u )
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)
13169, 60sseldd 3418 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  D )
13217pmtrprfv 16595 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  ( ( y `  u )  e.  D  /\  u  e.  D  /\  ( y `  u
)  =/=  u ) )  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)  =  u )
13356, 131, 73, 76, 132syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { (
y `  u ) ,  u } ) `  ( y `  u
) )  =  u )
134130, 133syl5eq 2435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `
 ( y `  u ) )  =  u )
135127, 134eqtrd 2423 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u )
1362, 6symgbasf1o 16525 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
) : D -1-1-onto-> D )
137 f1ofn 5725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  Fn  D )
13895, 136, 1373syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  Fn  D )
139 fnelnfp 6003 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
u  e.  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  <->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) `  u )  =/=  u
) )
140139necon2bbid 2638 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
141138, 73, 140syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
142135, 141mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  \  _I  ) )
143125, 57, 142ssnelpssd 3807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C.  dom  ( y  \  _I  ) )
144 php3 7622 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  \  _I  )  C. 
dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
145117, 143, 144syl2anc 659 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
146116, 145eqbrtrd 4387 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
147146adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
14894adantlr 712 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
149 ovex 6224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  _V
150 difeq1 3529 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  \  _I  )  =  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
151150dmeqd 5118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  ->  dom  ( z  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
152151breq1d 4377 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) ) )
153 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B ) )
154 eleq1 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  ( K `  T )  <-> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) )
155153, 154imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) )  <->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) ) )
156152, 155imbi12d 318 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  <->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) ) )
157149, 156spcv 3125 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( dom  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
158157ad2antlr 724 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
159147, 148, 158mp2d 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )
16087submcl 16101 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K `  T
)  e.  (SubMnd `  G )  /\  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T )  /\  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
161109, 114, 159, 160syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
162108, 161eqeltrrd 2471 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  ( K `  T
) )
163162ex 432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( u  e. 
dom  ( y  \  _I  )  ->  y  e.  ( K `  T
) ) )
164163exlimdv 1732 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( E. u  u  e.  dom  ( y 
\  _I  )  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) )
16555, 164syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
16654, 165pm2.61dne 2699 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) )
167166exp31 602 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
y  e.  B  -> 
( A. z ( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) ) )
168167com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
16934, 168syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  ( A. z
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
1701693impia 1191 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
171 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
172 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  z  e.  ( K `  T ) ) )
173171, 172imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) ) )
174 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
175 eleq1 2454 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  x  e.  ( K `  T ) ) )
176174, 175imbi12d 318 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( x  e.  B  ->  x  e.  ( K `
 T ) ) ) )
177 difeq1 3529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
178177dmeqd 5118 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( z 
\  _I  ) )
179 difeq1 3529 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  \  _I  )  =  ( x  \  _I  ) )
180179dmeqd 5118 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( x 
\  _I  ) )
18132, 33, 170, 173, 176, 178, 180indcardi 8335 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( K `  T ) ) )
182181impcom 428 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
1831823adant1 1012 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
184183rabssdv 3494 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( K `  T )
)
18530, 184eqssd 3434 1  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367   A.wal 1397    = wceq 1399   E.wex 1620    e. wcel 1826    =/= wne 2577   {crab 2736   _Vcvv 3034    \ cdif 3386    u. cun 3387    C_ wss 3389    C. wpss 3390   (/)c0 3711   {csn 3944   {cpr 3946   class class class wbr 4367    _I cid 4704   dom cdm 4913   ran crn 4914    |` cres 4915    o. ccom 4917    Fn wfn 5491   -->wf 5492   -1-1-onto->wf1o 5495   ` cfv 5496  (class class class)co 6196   omcom 6599   2oc2o 7042    ~~ cen 7432    ~<_ cdom 7433    ~< csdm 7434   Fincfn 7435   Basecbs 14634   +g cplusg 14702   0gc0g 14847  Moorecmre 14989  mrClscmrc 14990  ACScacs 14992   Mndcmnd 16036  SubMndcsubmnd 16082   Grpcgrp 16170  SubGrpcsubg 16312   SymGrpcsymg 16519  pmTrspcpmtr 16583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1626  ax-4 1639  ax-5 1712  ax-6 1755  ax-7 1798  ax-8 1828  ax-9 1830  ax-10 1845  ax-11 1850  ax-12 1862  ax-13 2006  ax-ext 2360  ax-rep 4478  ax-sep 4488  ax-nul 4496  ax-pow 4543  ax-pr 4601  ax-un 6491  ax-cnex 9459  ax-resscn 9460  ax-1cn 9461  ax-icn 9462  ax-addcl 9463  ax-addrcl 9464  ax-mulcl 9465  ax-mulrcl 9466  ax-mulcom 9467  ax-addass 9468  ax-mulass 9469  ax-distr 9470  ax-i2m1 9471  ax-1ne0 9472  ax-1rid 9473  ax-rnegex 9474  ax-rrecex 9475  ax-cnre 9476  ax-pre-lttri 9477  ax-pre-lttrn 9478  ax-pre-ltadd 9479  ax-pre-mulgt0 9480
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1621  df-nf 1625  df-sb 1748  df-eu 2222  df-mo 2223  df-clab 2368  df-cleq 2374  df-clel 2377  df-nfc 2532  df-ne 2579  df-nel 2580  df-ral 2737  df-rex 2738  df-reu 2739  df-rmo 2740  df-rab 2741  df-v 3036  df-sbc 3253  df-csb 3349  df-dif 3392  df-un 3394  df-in 3396  df-ss 3403  df-pss 3405  df-nul 3712  df-if 3858  df-pw 3929  df-sn 3945  df-pr 3947  df-tp 3949  df-op 3951  df-uni 4164  df-int 4200  df-iun 4245  df-iin 4246  df-br 4368  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4461  df-eprel 4705  df-id 4709  df-po 4714  df-so 4715  df-fr 4752  df-se 4753  df-we 4754  df-ord 4795  df-on 4796  df-lim 4797  df-suc 4798  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5460  df-fun 5498  df-fn 5499  df-f 5500  df-f1 5501  df-fo 5502  df-f1o 5503  df-fv 5504  df-isom 5505  df-riota 6158  df-ov 6199  df-oprab 6200  df-mpt2 6201  df-om 6600  df-1st 6699  df-2nd 6700  df-recs 6960  df-rdg 6994  df-1o 7048  df-2o 7049  df-oadd 7052  df-er 7229  df-map 7340  df-en 7436  df-dom 7437  df-sdom 7438  df-fin 7439  df-card 8233  df-pnf 9541  df-mnf 9542  df-xr 9543  df-ltxr 9544  df-le 9545  df-sub 9720  df-neg 9721  df-nn 10453  df-2 10511  df-3 10512  df-4 10513  df-5 10514  df-6 10515  df-7 10516  df-8 10517  df-9 10518  df-n0 10713  df-z 10782  df-uz 11002  df-fz 11594  df-struct 14636  df-ndx 14637  df-slot 14638  df-base 14639  df-sets 14640  df-ress 14641  df-plusg 14715  df-tset 14721  df-0g 14849  df-mre 14993  df-mrc 14994  df-acs 14996  df-mgm 15989  df-sgrp 16028  df-mnd 16038  df-submnd 16084  df-grp 16174  df-minusg 16175  df-subg 16315  df-symg 16520  df-pmtr 16584
This theorem is referenced by:  symggen2  16613  psgneldm2  16646
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