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Theorem symggen 16284
Description: The span of the transpositions is the subgroup that moves finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 28-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgtrf.t  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
symgtrf.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgtrf.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symggen.k  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
Assertion
Ref Expression
symggen  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Distinct variable groups:    x, B    x, T    x, K    x, D    x, G    x, V

Proof of Theorem symggen
Dummy variables  u  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 3115 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  D  e.  _V )
2 symgtrf.g . . . . . . 7  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
32symggrp 16213 . . . . . 6  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Grp )
4 grpmnd 15856 . . . . . 6  |-  ( G  e.  Grp  ->  G  e.  Mnd )
53, 4syl 16 . . . . 5  |-  ( D  e.  _V  ->  G  e.  Mnd )
6 symgtrf.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  G
)
76submacs 15799 . . . . 5  |-  ( G  e.  Mnd  ->  (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B ) )
8 acsmre 14896 . . . . 5  |-  ( (SubMnd `  G )  e.  (ACS
`  B )  -> 
(SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
95, 7, 83syl 20 . . . 4  |-  ( D  e.  _V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
101, 9syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B ) )
11 symgtrf.t . . . . . 6  |-  T  =  ran  (pmTrsp `  D
)
1211, 2, 6symgtrf 16283 . . . . 5  |-  T  C_  B
1312a1i 11 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_  B )
14 2onn 7279 . . . . . 6  |-  2o  e.  om
15 nnfi 7700 . . . . . 6  |-  ( 2o  e.  om  ->  2o  e.  Fin )
1614, 15ax-mp 5 . . . . 5  |-  2o  e.  Fin
17 eqid 2460 . . . . . . . . 9  |-  (pmTrsp `  D )  =  (pmTrsp `  D )
1817, 11pmtrfb 16279 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  T  <->  ( D  e.  _V  /\  x : D -1-1-onto-> D  /\  dom  (
x  \  _I  )  ~~  2o ) )
1918simp3bi 1008 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  T  ->  dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o )
20 enfi 7726 . . . . . . 7  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  ~~  2o  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2119, 20syl 16 . . . . . 6  |-  ( x  e.  T  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  2o  e.  Fin ) )
2221adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  ( dom  ( x 
\  _I  )  e. 
Fin 
<->  2o  e.  Fin )
)
2316, 22mpbiri 233 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  T )  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )
2413, 23ssrabdv 3572 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  T  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
252, 6symgfisg 16282 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
26 subgsubm 16011 . . . 4  |-  ( { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G )  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G
) )
2725, 26syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )
28 symggen.k . . . 4  |-  K  =  (mrCls `  (SubMnd `  G
) )
2928mrcsscl 14864 . . 3  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubMnd `  G ) )  ->  ( K `  T )  C_  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
3010, 24, 27, 29syl3anc 1223 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  C_ 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
31 vex 3109 . . . . . . 7  |-  x  e. 
_V
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  x  e.  _V )
33 finnum 8318 . . . . . 6  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  dom  ( x  \  _I  )  e.  dom  card )
34 domfi 7731 . . . . . . . 8  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
352, 6elsymgbas2 16194 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
3635ibi 241 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
3736adantl 466 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  y : D -1-1-onto-> D
)
38 f1ofn 5808 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y  Fn  D )
39 fnnfpeq0 6083 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  Fn  D  ->  ( dom  ( y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D ) ) )
4037, 38, 393syl 20 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  <->  y  =  (  _I  |`  D )
) )
412, 6elbasfv 14526 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( y  e.  B  ->  D  e.  _V )
4241adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  D  e.  _V )
432symgid 16214 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( D  e.  _V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G ) )
4542, 9syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )
)
4628mrccl 14855 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
4745, 12, 46sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G ) )
48 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
4948subm0cl 15786 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5047, 49syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( 0g `  G )  e.  ( K `  T ) )
5144, 50eqeltrd 2548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T ) )
52 eleq1a 2543 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (  _I  |`  D )  e.  ( K `  T
)  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5351, 52syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( y  =  (  _I  |`  D )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5440, 53sylbid 215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
56 n0 3787 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  =/=  (/)  <->  E. u  u  e. 
dom  ( y  \  _I  ) )
5742adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  D  e.  _V )
58 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
59 f1omvdmvd 16257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y : D -1-1-onto-> D  /\  u  e.  dom  ( y 
\  _I  ) )  ->  ( y `  u )  e.  ( dom  ( y  \  _I  )  \  { u } ) )
6037, 59sylan 471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  ( dom  ( y 
\  _I  )  \  { u } ) )
6160eldifad 3481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  dom  ( y  \  _I  ) )
62 prssi 4176 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  dom  (
y  \  _I  )  /\  ( y `  u
)  e.  dom  (
y  \  _I  )
)  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
6358, 61, 62syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
64 difss 3624 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y 
\  _I  )  C_  y
65 dmss 5193 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  \  _I  )  C_  y  ->  dom  ( y 
\  _I  )  C_  dom  y )
6664, 65ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  y
67 f1odm 5811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  y  =  D )
6837, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  y  =  D )
6966, 68syl5sseq 3545 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7069adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  D )
7163, 70sstrd 3507 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  C_  D )
7237adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7372, 38syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  Fn  D )
7469sselda 3497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  e.  D )
75 fnelnfp 6082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( u  e.  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  ( y `  u
)  =/=  u ) )
7673, 74, 75syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
u  e.  dom  (
y  \  _I  )  <->  ( y `  u )  =/=  u ) )
7758, 76mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  =/=  u )
7877necomd 2731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  u  =/=  ( y `  u
) )
79 vex 3109 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  u  e. 
_V
80 fvex 5867 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( y `
 u )  e. 
_V
81 pr2nelem 8371 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( u  e.  _V  /\  ( y `  u
)  e.  _V  /\  u  =/=  ( y `  u ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8279, 80, 81mp3an12 1309 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( u  =/=  ( y `  u )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8378, 82syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  { u ,  ( y `  u ) }  ~~  2o )
8417, 11pmtrrn 16271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  -> 
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T )
8557, 71, 83, 84syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T
)
8612, 85sseldi 3495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B
)
87 simplr 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  B )
88 eqid 2460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
892, 6, 88symgov 16203 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9086, 87, 89syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )
9190oveq2d 6291 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) ) )
9242, 3syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  G  e.  Grp )
9392adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  G  e.  Grp )
946, 88grpcl 15857 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  y  e.  B
)  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B )
9593, 86, 87, 94syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
9690, 95eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )
972, 6, 88symgov 16203 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  B  /\  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
9886, 96, 97syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) ) )
99 coass 5517 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) )
10017, 11pmtrfinv 16275 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  T  ->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
10185, 100syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  =  (  _I  |`  D )
)
102101coeq1d 5155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  ( (  _I  |`  D )  o.  y ) )
103 f1of 5807 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  y : D
--> D )
104 fcoi2 5751 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( y : D --> D  -> 
( (  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
10572, 103, 1043syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(  _I  |`  D )  o.  y )  =  y )
106102, 105eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) )  o.  y
)  =  y )
10799, 106syl5eqr 2515 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) )  =  y )
10891, 98, 1073eqtrd 2505 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
109108adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  =  y )
11047ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( K `  T )  e.  (SubMnd `  G )
)
11128mrcssid 14861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( (SubMnd `  G )  e.  (Moore `  B )  /\  T  C_  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
11245, 12, 111sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  ->  T  C_  ( K `  T )
)
113112adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  T  C_  ( K `  T
) )
114113, 85sseldd 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
115114adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T ) )
11690difeq1d 3614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
117116dmeqd 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) )
118 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
119 mvdco 16259 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )
12017pmtrmvd 16270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  { u ,  ( y `
 u ) } 
C_  D  /\  {
u ,  ( y `
 u ) } 
~~  2o )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
12157, 71, 83, 120syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  =  { u ,  ( y `  u ) } )
122121, 63eqsstrd 3531 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  ) )
123 ssid 3516 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  dom  (
y  \  _I  )  C_ 
dom  ( y  \  _I  )
124123a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  C_  dom  ( y 
\  _I  ) )
125122, 124unssd 3673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  \  _I  )  u.  dom  ( y  \  _I  ) )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
126119, 125syl5ss 3508 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C_  dom  ( y  \  _I  ) )
127 fvco2 5933 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( y  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
12873, 74, 127syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) `  ( y `
 u ) ) )
129 prcom 4098 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  { u ,  ( y `  u ) }  =  { ( y `  u ) ,  u }
130129fveq2i 5860 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  =  ( (pmTrsp `  D ) `  {
( y `  u
) ,  u }
)
131130fveq1i 5858 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `  (
y `  u )
)  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)
13270, 61sseldd 3498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
y `  u )  e.  D )
13317pmtrprfv 16267 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( D  e.  _V  /\  ( ( y `  u )  e.  D  /\  u  e.  D  /\  ( y `  u
)  =/=  u ) )  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { ( y `  u ) ,  u } ) `  (
y `  u )
)  =  u )
13457, 132, 74, 77, 133syl13anc 1225 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { (
y `  u ) ,  u } ) `  ( y `  u
) )  =  u )
135131, 134syl5eq 2513 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) `
 ( y `  u ) )  =  u )
136128, 135eqtrd 2501 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u )
1372, 6elsymgbas2 16194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D ) )
138137ibi 241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
) : D -1-1-onto-> D )
139 f1ofn 5808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) : D -1-1-onto-> D  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  Fn  D )
14096, 138, 1393syl 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  Fn  D )
141 fnelnfp 6082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
u  e.  dom  (
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  <->  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y ) `  u )  =/=  u
) )
142141necon2bbid 2716 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y )  Fn  D  /\  u  e.  D )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
143140, 74, 142syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) `
 u )  =  u  <->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  ) ) )
144136, 143mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  -.  u  e.  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y )  \  _I  ) )
145126, 58, 144ssnelpssd 3884 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  C.  dom  ( y  \  _I  ) )
146 php3 7693 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  o.  y
)  \  _I  )  C. 
dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
147118, 145, 146syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } )  o.  y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) )
148117, 147eqbrtrd 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
149148adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )
)
15095adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B )
151 ovex 6300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  _V
152 difeq1 3608 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  \  _I  )  =  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
153152dmeqd 5196 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  ->  dom  ( z  \  _I  )  =  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  ) )
154153breq1d 4450 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) 
<->  dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y ) 
\  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  ) ) )
155 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  B  <->  ( ( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B ) )
156 eleq1 2532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( z  e.  ( K `  T )  <-> 
( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) )
157155, 156imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) )  <->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  B  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) ) ) )
158154, 157imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  -> 
( ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  <->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) ) )
159151, 158spcv 3197 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( dom  ( (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
160159ad2antlr 726 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  ( dom  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  B  ->  ( (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G ) y )  e.  ( K `  T ) ) ) )
161149, 150, 160mp2d 45 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )
16288submcl 15787 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K `  T
)  e.  (SubMnd `  G )  /\  (
(pmTrsp `  D ) `  { u ,  ( y `  u ) } )  e.  ( K `  T )  /\  ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y )  e.  ( K `  T
) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
163110, 115, 161, 162syl3anc 1223 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  (
( (pmTrsp `  D
) `  { u ,  ( y `  u ) } ) ( +g  `  G
) ( ( (pmTrsp `  D ) `  {
u ,  ( y `
 u ) } ) ( +g  `  G
) y ) )  e.  ( K `  T ) )
164109, 163eqeltrrd 2549 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  /\  u  e.  dom  ( y  \  _I  ) )  ->  y  e.  ( K `  T
) )
165164ex 434 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( u  e. 
dom  ( y  \  _I  )  ->  y  e.  ( K `  T
) ) )
166165exlimdv 1695 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( E. u  u  e.  dom  ( y 
\  _I  )  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) )
16756, 166syl5bi 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  =/=  (/)  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
16855, 167pm2.61dne 2777 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin  /\  y  e.  B )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) )
169168exp31 604 . . . . . . . . 9  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
y  e.  B  -> 
( A. z ( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  (
y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) )  ->  y  e.  ( K `  T ) ) ) )
170169com23 78 . . . . . . . 8  |-  ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  ->  ( A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) )  -> 
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
17134, 170syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  ) )  ->  ( A. z
( dom  ( z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T ) ) )  ->  (
y  e.  B  -> 
y  e.  ( K `
 T ) ) ) )
1721713impia 1188 . . . . . 6  |-  ( ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( y  \  _I  )  ~<_  dom  ( x 
\  _I  )  /\  A. z ( dom  (
z  \  _I  )  ~<  dom  ( y  \  _I  )  ->  ( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `  T
) ) ) )  ->  ( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `  T ) ) )
173 eleq1 2532 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  B  <->  z  e.  B ) )
174 eleq1 2532 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  z  e.  ( K `  T ) ) )
175173, 174imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( z  e.  B  ->  z  e.  ( K `
 T ) ) ) )
176 eleq1 2532 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  B  <->  x  e.  B ) )
177 eleq1 2532 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  e.  ( K `
 T )  <->  x  e.  ( K `  T ) ) )
178176, 177imbi12d 320 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  (
( y  e.  B  ->  y  e.  ( K `
 T ) )  <-> 
( x  e.  B  ->  x  e.  ( K `
 T ) ) ) )
179 difeq1 3608 . . . . . . 7  |-  ( y  =  z  ->  (
y  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
180179dmeqd 5196 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( z 
\  _I  ) )
181 difeq1 3608 . . . . . . 7  |-  ( y  =  x  ->  (
y  \  _I  )  =  ( x  \  _I  ) )
182181dmeqd 5196 . . . . . 6  |-  ( y  =  x  ->  dom  ( y  \  _I  )  =  dom  ( x 
\  _I  ) )
18332, 33, 172, 175, 178, 180, 182indcardi 8411 . . . . 5  |-  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  ->  (
x  e.  B  ->  x  e.  ( K `  T ) ) )
184183impcom 430 . . . 4  |-  ( ( x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
1851843adant1 1009 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  x  e.  B  /\  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin )  ->  x  e.  ( K `
 T ) )
186185rabssdv 3573 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( K `  T )
)
18730, 186eqssd 3514 1  |-  ( D  e.  V  ->  ( K `  T )  =  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369   A.wal 1372    = wceq 1374   E.wex 1591    e. wcel 1762    =/= wne 2655   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466    u. cun 3467    C_ wss 3469    C. wpss 3470   (/)c0 3778   {csn 4020   {cpr 4022   class class class wbr 4440    _I cid 4783   dom cdm 4992   ran crn 4993    |` cres 4994    o. ccom 4996    Fn wfn 5574   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   omcom 6671   2oc2o 7114    ~~ cen 7503    ~<_ cdom 7504    ~< csdm 7505   Fincfn 7506   Basecbs 14479   +g cplusg 14544   0gc0g 14684  Moorecmre 14826  mrClscmrc 14827  ACScacs 14829   Mndcmnd 15715   Grpcgrp 15716  SubMndcsubmnd 15769  SubGrpcsubg 15983   SymGrpcsymg 16190  pmTrspcpmtr 16255
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-card 8309  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-tset 14563  df-0g 14686  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-grp 15851  df-minusg 15852  df-subg 15986  df-symg 16191  df-pmtr 16256
This theorem is referenced by:  symggen2  16285  psgneldm2  16318
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