MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgga Structured version   Unicode version

Theorem symgga 16303
Description: The symmetric group induces a group action on its base set. (Contributed by Mario Carneiro, 24-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgga.g  |-  G  =  ( SymGrp `  X )
symgga.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
symgga.f  |-  F  =  ( f  e.  B ,  x  e.  X  |->  ( f `  x
) )
Assertion
Ref Expression
symgga  |-  ( X  e.  V  ->  F  e.  ( G  GrpAct  X ) )
Distinct variable groups:    x, f, B    f, G, x    f, V, x    f, X, x
Allowed substitution hints:    F( x, f)

Proof of Theorem symgga
StepHypRef Expression
1 symgga.g . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  X )
21symggrp 16297 . 2  |-  ( X  e.  V  ->  G  e.  Grp )
3 symgga.b . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
43idghm 16154 . 2  |-  ( G  e.  Grp  ->  (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G ) )
5 symgga.f . . . 4  |-  F  =  ( f  e.  B ,  x  e.  X  |->  ( f `  x
) )
6 fvresi 6098 . . . . . . 7  |-  ( f  e.  B  ->  (
(  _I  |`  B ) `
 f )  =  f )
76adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( f  e.  B  /\  x  e.  X )  ->  ( (  _I  |`  B ) `
 f )  =  f )
87fveq1d 5874 . . . . 5  |-  ( ( f  e.  B  /\  x  e.  X )  ->  ( ( (  _I  |`  B ) `  f
) `  x )  =  ( f `  x ) )
98mpt2eq3ia 6357 . . . 4  |-  ( f  e.  B ,  x  e.  X  |->  ( ( (  _I  |`  B ) `
 f ) `  x ) )  =  ( f  e.  B ,  x  e.  X  |->  ( f `  x
) )
105, 9eqtr4i 2499 . . 3  |-  F  =  ( f  e.  B ,  x  e.  X  |->  ( ( (  _I  |`  B ) `  f
) `  x )
)
113, 1, 10lactghmga 16301 . 2  |-  ( (  _I  |`  B )  e.  ( G  GrpHom  G )  ->  F  e.  ( G  GrpAct  X ) )
122, 4, 113syl 20 1  |-  ( X  e.  V  ->  F  e.  ( G  GrpAct  X ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    _I cid 4796    |` cres 5007   ` cfv 5594  (class class class)co 6295    |-> cmpt2 6297   Basecbs 14507   Grpcgrp 15925    GrpHom cghm 16136    GrpAct cga 16199   SymGrpcsymg 16274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-ghm 16137  df-ga 16200  df-symg 16275
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator