MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfvne Structured version   Unicode version

Theorem symgfvne 16980
Description: The function values of a permutation for different arguments are different. (Contributed by AV, 8-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgbas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgfvne  |-  ( ( F  e.  B  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( F `  X )  =  Z  ->  ( Y  =/= 
X  ->  ( F `  Y )  =/=  Z
) ) )

Proof of Theorem symgfvne
StepHypRef Expression
1 symgbas.1 . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symgbas.2 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2symgbasf1o 16975 . . 3  |-  ( F  e.  B  ->  F : A -1-1-onto-> A )
4 f1of1 5830 . . 3  |-  ( F : A -1-1-onto-> A  ->  F : A -1-1-> A )
5 eqeq2 2444 . . . . . . . 8  |-  ( Z  =  ( F `  X )  ->  (
( F `  Y
)  =  Z  <->  ( F `  Y )  =  ( F `  X ) ) )
65eqcoms 2441 . . . . . . 7  |-  ( ( F `  X )  =  Z  ->  (
( F `  Y
)  =  Z  <->  ( F `  Y )  =  ( F `  X ) ) )
76adantl 467 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( F `  X )  =  Z )  ->  ( ( F `  Y )  =  Z  <->  ( F `  Y )  =  ( F `  X ) ) )
8 simp1 1005 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  F : A -1-1-> A )
9 simp3 1007 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  Y  e.  A )
10 simp2 1006 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  X  e.  A )
11 f1veqaeq 6176 . . . . . . . 8  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  ( Y  e.  A  /\  X  e.  A
) )  ->  (
( F `  Y
)  =  ( F `
 X )  ->  Y  =  X )
)
128, 9, 10, 11syl12anc 1262 . . . . . . 7  |-  ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  ->  ( ( F `  Y )  =  ( F `  X )  ->  Y  =  X ) )
1312adantr 466 . . . . . 6  |-  ( ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( F `  X )  =  Z )  ->  ( ( F `  Y )  =  ( F `  X )  ->  Y  =  X ) )
147, 13sylbid 218 . . . . 5  |-  ( ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( F `  X )  =  Z )  ->  ( ( F `  Y )  =  Z  ->  Y  =  X ) )
1514necon3d 2655 . . . 4  |-  ( ( ( F : A -1-1-> A  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A
)  /\  ( F `  X )  =  Z )  ->  ( Y  =/=  X  ->  ( F `  Y )  =/=  Z
) )
16153exp1 1221 . . 3  |-  ( F : A -1-1-> A  -> 
( X  e.  A  ->  ( Y  e.  A  ->  ( ( F `  X )  =  Z  ->  ( Y  =/= 
X  ->  ( F `  Y )  =/=  Z
) ) ) ) )
173, 4, 163syl 18 . 2  |-  ( F  e.  B  ->  ( X  e.  A  ->  ( Y  e.  A  -> 
( ( F `  X )  =  Z  ->  ( Y  =/= 
X  ->  ( F `  Y )  =/=  Z
) ) ) ) )
18173imp 1199 1  |-  ( ( F  e.  B  /\  X  e.  A  /\  Y  e.  A )  ->  ( ( F `  X )  =  Z  ->  ( Y  =/= 
X  ->  ( F `  Y )  =/=  Z
) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1870    =/= wne 2625   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   Basecbs 15084   SymGrpcsymg 16969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-tset 15171  df-symg 16970
This theorem is referenced by:  gsummatr01lem4  19614
  Copyright terms: Public domain W3C validator