MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfolem1 Structured version   Unicode version

Theorem symgfixfolem1 16787
Description: Lemma 1 for symgfixfo 16788. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.h  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
symgfixfo.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgfixfolem1  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  Q )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    N, q    Q, q    S, q    x, E    x, K    x, N    x, S    x, V    x, Z
Allowed substitution hints:    P( x)    Q( x)    E( q)    H( x, q)    V( q)    Z( q)

Proof of Theorem symgfixfolem1
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
2 symgfixfo.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
31, 2symgextf1o 16772 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
433adant1 1015 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
5 simp2 998 . . 3  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  K  e.  N )
6 iftrue 3891 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  if ( x  =  K ,  K ,  ( Z `
 x ) )  =  K )
76, 2fvmptg 5930 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  K
)  =  K )
85, 5, 7syl2anc 659 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  K
)  =  K )
9 mptexg 6123 . . . . 5  |-  ( N  e.  V  ->  (
x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K ,  ( Z `  x ) ) )  e.  _V )
1093ad2ant1 1018 . . . 4  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )  e. 
_V )
112, 10syl5eqel 2494 . . 3  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  _V )
12 symgfixf.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
13 symgfixf.q . . . 4  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
1412, 13symgfixelq 16782 . . 3  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  e.  Q  <->  ( E : N -1-1-onto-> N  /\  ( E `
 K )  =  K ) ) )
1511, 14syl 17 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E  e.  Q  <->  ( E : N -1-1-onto-> N  /\  ( E `  K )  =  K ) ) )
164, 8, 15mpbir2and 923 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842   {crab 2758   _Vcvv 3059    \ cdif 3411   ifcif 3885   {csn 3972    |-> cmpt 4453    |` cres 4825   -1-1-onto->wf1o 5568   ` cfv 5569   Basecbs 14841   SymGrpcsymg 16726
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-oadd 7171  df-er 7348  df-map 7459  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-n0 10837  df-z 10906  df-uz 11128  df-fz 11727  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-plusg 14922  df-tset 14928  df-symg 16727
This theorem is referenced by:  symgfixfo  16788
  Copyright terms: Public domain W3C validator