MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfolem1 Structured version   Unicode version

Theorem symgfixfolem1 16252
Description: Lemma 1 for symgfixfo 16253. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.h  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
symgfixfo.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgfixfolem1  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  Q )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    N, q    Q, q    S, q    x, E    x, K    x, N    x, S    x, V    x, Z
Allowed substitution hints:    P( x)    Q( x)    E( q)    H( x, q)    V( q)    Z( q)

Proof of Theorem symgfixfolem1
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
2 symgfixfo.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
31, 2symgextf1o 16236 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
433adant1 1009 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
5 simp2 992 . . 3  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  K  e.  N )
6 iftrue 3938 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  if ( x  =  K ,  K ,  ( Z `
 x ) )  =  K )
76, 2fvmptg 5939 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  K
)  =  K )
85, 5, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  K
)  =  K )
9 mptexg 6121 . . . . 5  |-  ( N  e.  V  ->  (
x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K ,  ( Z `  x ) ) )  e.  _V )
1093ad2ant1 1012 . . . 4  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )  e. 
_V )
112, 10syl5eqel 2552 . . 3  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  _V )
12 symgfixf.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
13 symgfixf.q . . . 4  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
1412, 13symgfixelq 16246 . . 3  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  e.  Q  <->  ( E : N -1-1-onto-> N  /\  ( E `
 K )  =  K ) ) )
1511, 14syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E  e.  Q  <->  ( E : N -1-1-onto-> N  /\  ( E `  K )  =  K ) ) )
164, 8, 15mpbir2and 915 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 968    = wceq 1374    e. wcel 1762   {crab 2811   _Vcvv 3106    \ cdif 3466   ifcif 3932   {csn 4020    |-> cmpt 4498    |` cres 4994   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579   Basecbs 14479   SymGrpcsymg 16190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-tset 14563  df-symg 16191
This theorem is referenced by:  symgfixfo  16253
  Copyright terms: Public domain W3C validator