MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfolem1 Structured version   Unicode version

Theorem symgfixfolem1 16048
Description: Lemma 1 for symgfixfo 16049. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.h  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
symgfixfo.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgfixfolem1  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  Q )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    N, q    Q, q    S, q    x, E    x, K    x, N    x, S    x, V    x, Z
Allowed substitution hints:    P( x)    Q( x)    E( q)    H( x, q)    V( q)    Z( q)

Proof of Theorem symgfixfolem1
StepHypRef Expression
1 symgfixf.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
2 symgfixfo.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
31, 2symgextf1o 16032 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
433adant1 1006 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-onto-> N )
5 simp2 989 . . 3  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  K  e.  N )
6 iftrue 3897 . . . 4  |-  ( x  =  K  ->  if ( x  =  K ,  K ,  ( Z `
 x ) )  =  K )
76, 2fvmptg 5873 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  K  e.  N )  ->  ( E `  K
)  =  K )
85, 5, 7syl2anc 661 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  K
)  =  K )
9 mptexg 6048 . . . . 5  |-  ( N  e.  V  ->  (
x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K ,  ( Z `  x ) ) )  e.  _V )
1093ad2ant1 1009 . . . 4  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )  e. 
_V )
112, 10syl5eqel 2543 . . 3  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  _V )
12 symgfixf.p . . . 4  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
13 symgfixf.q . . . 4  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
1412, 13symgfixelq 16042 . . 3  |-  ( E  e.  _V  ->  ( E  e.  Q  <->  ( E : N -1-1-onto-> N  /\  ( E `
 K )  =  K ) ) )
1511, 14syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E  e.  Q  <->  ( E : N -1-1-onto-> N  /\  ( E `  K )  =  K ) ) )
164, 8, 15mpbir2and 913 1  |-  ( ( N  e.  V  /\  K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  e.  Q )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758   {crab 2799   _Vcvv 3070    \ cdif 3425   ifcif 3891   {csn 3977    |-> cmpt 4450    |` cres 4942   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518   Basecbs 14278   SymGrpcsymg 15986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4503  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-tset 14361  df-symg 15987
This theorem is referenced by:  symgfixfo  16049
  Copyright terms: Public domain W3C validator