Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfixfo Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem symgfixfo 17092
 Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p
symgfixf.q
symgfixf.s
symgfixf.h
Assertion
Ref Expression
symgfixfo
Distinct variable groups:   ,   ,   ,   ,   ,
Allowed substitution hints:   ()   ()

Proof of Theorem symgfixfo
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . . 4
2 symgfixf.q . . . 4
3 symgfixf.s . . . 4
4 symgfixf.h . . . 4
51, 2, 3, 4symgfixf 17089 . . 3
7 eqeq1 2457 . . . . . . . . . 10
8 fveq2 5870 . . . . . . . . . 10
97, 8ifbieq2d 3908 . . . . . . . . 9
109cbvmptv 4498 . . . . . . . 8
111, 2, 3, 4, 10symgfixfolem1 17091 . . . . . . 7
12113expa 1209 . . . . . 6
13 simpr 463 . . . . . . . . . . . . 13
1413anim1i 572 . . . . . . . . . . . 12
1514adantl 468 . . . . . . . . . . 11
16 eqid 2453 . . . . . . . . . . . 12
173, 16symgextres 17078 . . . . . . . . . . 11
1815, 17syl 17 . . . . . . . . . 10
1918eqcomd 2459 . . . . . . . . 9
20 reseq1 5102 . . . . . . . . . . 11
2120eqeq2d 2463 . . . . . . . . . 10
2221adantr 467 . . . . . . . . 9
2319, 22mpbird 236 . . . . . . . 8
2423ex 436 . . . . . . 7
2524adantl 468 . . . . . 6
2612, 25rspcimedv 3154 . . . . 5
2726pm2.43i 49 . . . 4
284fvtresfn 5955 . . . . . . 7
2928eqeq2d 2463 . . . . . 6
3029adantl 468 . . . . 5
3130rexbidva 2900 . . . 4
3227, 31mpbird 236 . . 3
3332ralrimiva 2804 . 2
34 dffo3 6042 . 2
356, 33, 34sylanbrc 671 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1446   wcel 1889  wral 2739  wrex 2740  crab 2743   cdif 3403  cif 3883  csn 3970   cmpt 4464   cres 4839  wf 5581  wfo 5583  cfv 5585  cbs 15133  csymg 17030 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-1o 7187  df-oadd 7191  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-2 10675  df-3 10676  df-4 10677  df-5 10678  df-6 10679  df-7 10680  df-8 10681  df-9 10682  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-fz 11792  df-struct 15135  df-ndx 15136  df-slot 15137  df-base 15138  df-plusg 15215  df-tset 15221  df-symg 17031 This theorem is referenced by:  symgfixf1o  17093
 Copyright terms: Public domain W3C validator