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Theorem symgfixf1 17029
Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is a 1-1 function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.h  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgfixf1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    N, q    Q, q    S, q
Allowed substitution hint:    H( q)

Proof of Theorem symgfixf1
Dummy variables  g  p  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
2 symgfixf.q . . 3  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
3 symgfixf.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
4 symgfixf.h . . 3  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
51, 2, 3, 4symgfixf 17028 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q --> S )
64fvtresfn 5966 . . . . . 6  |-  ( g  e.  Q  ->  ( H `  g )  =  ( g  |`  ( N  \  { K } ) ) )
74fvtresfn 5966 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Q  ->  ( H `  p )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) )
86, 7eqeqan12d 2452 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  ->  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  <-> 
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) )
98adantl 467 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  <->  ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) )
10 vex 3090 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
111, 2symgfixelq 17025 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) )
13 vex 3090 . . . . . . 7  |-  p  e. 
_V
141, 2symgfixelq 17025 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  _V  ->  (
p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )
1612, 15anbi12i 701 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  <->  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
17 f1ofn 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g  Fn  N )
1817adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g  Fn  N
)
19 f1ofn 5832 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p  Fn  N )
2019adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p  Fn  N
)
2118, 20anim12i 568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
) )
22 difss 3598 . . . . . . . . 9  |-  ( N 
\  { K }
)  C_  N
2321, 22jctir 540 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N )  /\  ( N  \  { K }
)  C_  N )
)
2423adantl 467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N ) )
25 fvreseq 5999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N )  -> 
( ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
27 f1of 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g : N
--> N )
2827adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g : N --> N )
29 f1of 5831 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
3029adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p : N --> N )
31 fdm 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N --> N  ->  dom  g  =  N
)
32 fdm 5750 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N --> N  ->  dom  p  =  N )
3331, 32anim12i 568 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N --> N  /\  p : N --> N )  ->  ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
3428, 30, 33syl2an 479 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
35 eqtr3 2457 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N )  ->  dom  g  =  dom  p )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
3736ad2antlr 731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
38 simpr 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
39 eqtr3 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g `  K
)  =  K  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
4039ad2ant2l 750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g `  K
)  =  ( p `
 K ) )
4140ad2antlr 731 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
42 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  K  ->  (
g `  i )  =  ( g `  K ) )
43 fveq2 5881 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  K  ->  (
p `  i )  =  ( p `  K ) )
4442, 43eqeq12d 2451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  K  ->  (
( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) )
4544ralunsn 4210 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  N  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4645adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4746adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  /\  ( g `  K
)  =  ( p `
 K ) ) ) )
4838, 41, 47mpbir2and 930 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
49 f1odm 5835 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  dom  g  =  N )
5049adantr 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  dom  g  =  N )
5150adantr 466 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  N
)
52 difsnid 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
5352eqcomd 2437 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
5451, 53sylan9eqr 2492 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } ) )
5554adantr 466 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) )
5655raleqdv 3038 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  dom  g ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
5748, 56mpbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) )
58 f1ofun 5833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  g )
5958adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  Fun  g )
60 f1ofun 5833 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  p )
6160adantr 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  Fun  p )
6259, 61anim12i 568 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( Fun  g  /\  Fun  p ) )
6362ad2antlr 731 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( Fun  g  /\  Fun  p ) )
64 eqfunfv 5996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  g  /\  Fun  p )  ->  (
g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g
( g `  i
)  =  ( p `
 i ) ) ) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) ) ) )
6637, 57, 65mpbir2and 930 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  g  =  p )
6766ex 435 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( N  \  { K }
) ( g `  i )  =  ( p `  i )  ->  g  =  p ) )
6826, 67sylbid 218 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
6916, 68sylan2b 477 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
709, 69sylbid 218 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) )
7170ralrimivva 2853 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  ->  g  =  p ) )
72 dff13 6174 . 2  |-  ( H : Q -1-1-> S  <->  ( H : Q --> S  /\  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) ) )
735, 71, 72sylanbrc 668 1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 187    /\ wa 370    = wceq 1437    e. wcel 1870   A.wral 2782   {crab 2786   _Vcvv 3087    \ cdif 3439    u. cun 3440    C_ wss 3442   {csn 4002    |-> cmpt 4484   dom cdm 4854    |` cres 4856   Fun wfun 5595    Fn wfn 5596   -->wf 5597   -1-1->wf1 5598   -1-1-onto->wf1o 5600   ` cfv 5601   Basecbs 15084   SymGrpcsymg 16969
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-oadd 7194  df-er 7371  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-fz 11783  df-struct 15086  df-ndx 15087  df-slot 15088  df-base 15089  df-plusg 15165  df-tset 15171  df-symg 16970
This theorem is referenced by:  symgfixf1o  17032
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