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Theorem symgfixf1 17156
Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is a 1-1 function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.h  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgfixf1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    N, q    Q, q    S, q
Allowed substitution hint:    H( q)

Proof of Theorem symgfixf1
Dummy variables  g  p  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
2 symgfixf.q . . 3  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
3 symgfixf.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
4 symgfixf.h . . 3  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
51, 2, 3, 4symgfixf 17155 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q --> S )
64fvtresfn 5965 . . . . . 6  |-  ( g  e.  Q  ->  ( H `  g )  =  ( g  |`  ( N  \  { K } ) ) )
74fvtresfn 5965 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Q  ->  ( H `  p )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) )
86, 7eqeqan12d 2487 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  ->  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  <-> 
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) )
98adantl 473 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  <->  ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) )
10 vex 3034 . . . . . . 7  |-  g  e. 
_V
111, 2symgfixelq 17152 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) )
13 vex 3034 . . . . . . 7  |-  p  e. 
_V
141, 2symgfixelq 17152 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  _V  ->  (
p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )
1612, 15anbi12i 711 . . . . 5  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  <->  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
17 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g  Fn  N )
1817adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g  Fn  N
)
19 f1ofn 5829 . . . . . . . . . . 11  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p  Fn  N )
2019adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p  Fn  N
)
2118, 20anim12i 576 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
) )
22 difss 3549 . . . . . . . . 9  |-  ( N 
\  { K }
)  C_  N
2321, 22jctir 547 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N )  /\  ( N  \  { K }
)  C_  N )
)
2423adantl 473 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N ) )
25 fvreseq 5999 . . . . . . 7  |-  ( ( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N )  -> 
( ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
2624, 25syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
27 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g : N
--> N )
2827adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g : N --> N )
29 f1of 5828 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
3029adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p : N --> N )
31 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N --> N  ->  dom  g  =  N
)
32 fdm 5745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N --> N  ->  dom  p  =  N )
3331, 32anim12i 576 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N --> N  /\  p : N --> N )  ->  ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
3428, 30, 33syl2an 485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
35 eqtr3 2492 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N )  ->  dom  g  =  dom  p )
3634, 35syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
3736ad2antlr 741 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
38 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
39 eqtr3 2492 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g `  K
)  =  K  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
4039ad2ant2l 760 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g `  K
)  =  ( p `
 K ) )
4140ad2antlr 741 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
42 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  K  ->  (
g `  i )  =  ( g `  K ) )
43 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  K  ->  (
p `  i )  =  ( p `  K ) )
4442, 43eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( i  =  K  ->  (
( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) )
4544ralunsn 4178 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  N  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4645adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4746adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  /\  ( g `  K
)  =  ( p `
 K ) ) ) )
4838, 41, 47mpbir2and 936 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
49 f1odm 5832 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  dom  g  =  N )
5049adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  dom  g  =  N )
5150adantr 472 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  N
)
52 difsnid 4109 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
5352eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
5451, 53sylan9eqr 2527 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } ) )
5554adantr 472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) )
5655raleqdv 2979 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  dom  g ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
5748, 56mpbird 240 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) )
58 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  g )
5958adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  Fun  g )
60 f1ofun 5830 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  p )
6160adantr 472 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  Fun  p )
6259, 61anim12i 576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( Fun  g  /\  Fun  p ) )
6362ad2antlr 741 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( Fun  g  /\  Fun  p ) )
64 eqfunfv 5996 . . . . . . . . 9  |-  ( ( Fun  g  /\  Fun  p )  ->  (
g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g
( g `  i
)  =  ( p `
 i ) ) ) )
6563, 64syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) ) ) )
6637, 57, 65mpbir2and 936 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  g  =  p )
6766ex 441 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( N  \  { K }
) ( g `  i )  =  ( p `  i )  ->  g  =  p ) )
6826, 67sylbid 223 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
6916, 68sylan2b 483 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
709, 69sylbid 223 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) )
7170ralrimivva 2814 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  ->  g  =  p ) )
72 dff13 6177 . 2  |-  ( H : Q -1-1-> S  <->  ( H : Q --> S  /\  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) ) )
735, 71, 72sylanbrc 677 1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   A.wral 2756   {crab 2760   _Vcvv 3031    \ cdif 3387    u. cun 3388    C_ wss 3390   {csn 3959    |-> cmpt 4454   dom cdm 4839    |` cres 4841   Fun wfun 5583    Fn wfn 5584   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589   Basecbs 15199   SymGrpcsymg 17096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-symg 17097
This theorem is referenced by:  symgfixf1o  17159
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