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Theorem symgfixf1 15943
Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is a 1-1 function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.h  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgfixf1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    N, q    Q, q    S, q
Allowed substitution hint:    H( q)

Proof of Theorem symgfixf1
Dummy variables  g  p  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
2 symgfixf.q . . 3  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
3 symgfixf.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
4 symgfixf.h . . 3  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
51, 2, 3, 4symgfixf 15942 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q --> S )
61, 2, 3, 4symgfixfvh 15941 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  Q  ->  ( H `  g )  =  ( g  |`  ( N  \  { K } ) ) )
71, 2, 3, 4symgfixfvh 15941 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Q  ->  ( H `  p )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) )
86, 7eqeqan12d 2458 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  ->  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  <-> 
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  <->  ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) )
10 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
111, 2symgfixelq 15938 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) )
13 vex 2975 . . . . . . . 8  |-  p  e. 
_V
141, 2symgfixelq 15938 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  _V  ->  (
p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )
1612, 15anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  <->  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
17 f1ofn 5642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g  Fn  N )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g  Fn  N
)
19 f1ofn 5642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p  Fn  N )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p  Fn  N
)
2118, 20anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
) )
22 difss 3483 . . . . . . . . . 10  |-  ( N 
\  { K }
)  C_  N
2321, 22jctir 538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N )  /\  ( N  \  { K }
)  C_  N )
)
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N ) )
25 fvreseq 5805 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N )  -> 
( ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
27 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g : N
--> N )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g : N --> N )
29 f1of 5641 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p : N --> N )
31 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : N --> N  ->  dom  g  =  N
)
32 fdm 5563 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p : N --> N  ->  dom  p  =  N )
3331, 32anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : N --> N  /\  p : N --> N )  ->  ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
3428, 30, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
35 eqtr3 2462 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N )  ->  dom  g  =  dom  p )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
39 eqtr3 2462 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g `  K
)  =  K  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
4039ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g `  K
)  =  ( p `
 K ) )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
42 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  K  ->  (
g `  i )  =  ( g `  K ) )
43 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  K  ->  (
p `  i )  =  ( p `  K ) )
4442, 43eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  K  ->  (
( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) )
4544ralunsn 4079 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  /\  ( g `  K
)  =  ( p `
 K ) ) ) )
4838, 41, 47mpbir2and 913 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
49 f1odm 5645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  dom  g  =  N )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  dom  g  =  N )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  N
)
52 difsnid 4019 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
5352eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
5451, 53sylan9eqr 2497 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) )
5655raleqdv 2923 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  dom  g ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
5748, 56mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) )
58 f1ofun 5643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  g )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  Fun  g )
60 f1ofun 5643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  p )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  Fun  p )
6259, 61anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( Fun  g  /\  Fun  p ) )
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( Fun  g  /\  Fun  p ) )
64 eqfunfv 5802 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  g  /\  Fun  p )  ->  (
g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g
( g `  i
)  =  ( p `
 i ) ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) ) ) )
6637, 57, 65mpbir2and 913 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  g  =  p )
6766ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( N  \  { K }
) ( g `  i )  =  ( p `  i )  ->  g  =  p ) )
6826, 67sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
6916, 68sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
709, 69sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) )
7170ex 434 . . 3  |-  ( K  e.  N  ->  (
( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
)  ->  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  ->  g  =  p ) ) )
7271ralrimivv 2807 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  ->  g  =  p ) )
73 dff13 5971 . 2  |-  ( H : Q -1-1-> S  <->  ( H : Q --> S  /\  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) ) )
745, 72, 73sylanbrc 664 1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2715   {crab 2719   _Vcvv 2972    \ cdif 3325    u. cun 3326    C_ wss 3328   {csn 3877    e. cmpt 4350   dom cdm 4840    |` cres 4842   Fun wfun 5412    Fn wfn 5413   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   Basecbs 14174   SymGrpcsymg 15882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-tset 14257  df-symg 15883
This theorem is referenced by:  symgfixf1o  15946
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