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Theorem symgfixf1 16277
Description: The mapping of a permutation of a set fixing an element to a permutation of the set without the fixed element is a 1-1 function. (Contributed by AV, 4-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgfixf.p  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
symgfixf.q  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
symgfixf.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgfixf.h  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgfixf1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Distinct variable groups:    K, q    P, q    N, q    Q, q    S, q
Allowed substitution hint:    H( q)

Proof of Theorem symgfixf1
Dummy variables  g  p  i are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgfixf.p . . 3  |-  P  =  ( Base `  ( SymGrp `
 N ) )
2 symgfixf.q . . 3  |-  Q  =  { q  e.  P  |  ( q `  K )  =  K }
3 symgfixf.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
4 symgfixf.h . . 3  |-  H  =  ( q  e.  Q  |->  ( q  |`  ( N  \  { K }
) ) )
51, 2, 3, 4symgfixf 16276 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q --> S )
61, 2, 3, 4symgfixfvh 16275 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  Q  ->  ( H `  g )  =  ( g  |`  ( N  \  { K } ) ) )
71, 2, 3, 4symgfixfvh 16275 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Q  ->  ( H `  p )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) )
86, 7eqeqan12d 2490 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  ->  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  <-> 
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) ) ) )
98adantl 466 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  <->  ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) ) ) )
10 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  g  e. 
_V
111, 2symgfixelq 16272 . . . . . . . 8  |-  ( g  e.  _V  ->  (
g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) ) )
1210, 11ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( g  e.  Q  <->  ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K ) )
13 vex 3116 . . . . . . . 8  |-  p  e. 
_V
141, 2symgfixelq 16272 . . . . . . . 8  |-  ( p  e.  _V  ->  (
p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
1513, 14ax-mp 5 . . . . . . 7  |-  ( p  e.  Q  <->  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )
1612, 15anbi12i 697 . . . . . 6  |-  ( ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q )  <->  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) ) )
17 f1ofn 5817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g  Fn  N )
1817adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g  Fn  N
)
19 f1ofn 5817 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p  Fn  N )
2019adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p  Fn  N
)
2118, 20anim12i 566 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
) )
22 difss 3631 . . . . . . . . . 10  |-  ( N 
\  { K }
)  C_  N
2321, 22jctir 538 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N )  /\  ( N  \  { K }
)  C_  N )
)
2423adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N ) )
25 fvreseq 5984 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( g  Fn  N  /\  p  Fn  N
)  /\  ( N  \  { K } ) 
C_  N )  -> 
( ( g  |`  ( N  \  { K } ) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K }
) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
27 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  g : N
--> N )
2827adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  g : N --> N )
29 f1of 5816 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  p : N
--> N )
3029adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  p : N --> N )
31 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : N --> N  ->  dom  g  =  N
)
32 fdm 5735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p : N --> N  ->  dom  p  =  N )
3331, 32anim12i 566 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : N --> N  /\  p : N --> N )  ->  ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
3428, 30, 33syl2an 477 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N ) )
35 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( dom  g  =  N  /\  dom  p  =  N )  ->  dom  g  =  dom  p )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
3736ad2antlr 726 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  dom  p )
38 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
39 eqtr3 2495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g `  K
)  =  K  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
4039ad2ant2l 745 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( g `  K
)  =  ( p `
 K ) )
4140ad2antlr 726 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) )
42 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  K  ->  (
g `  i )  =  ( g `  K ) )
43 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( i  =  K  ->  (
p `  i )  =  ( p `  K ) )
4442, 43eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( i  =  K  ->  (
( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) )
4544ralunsn 4233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4645adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  /\  ( g `  K )  =  ( p `  K ) ) ) )
4746adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  <->  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i )  /\  ( g `  K
)  =  ( p `
 K ) ) ) )
4838, 41, 47mpbir2and 920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) )
49 f1odm 5820 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  dom  g  =  N )
5049adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  dom  g  =  N )
5150adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  ->  dom  g  =  N
)
52 difsnid 4173 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
5352eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
5451, 53sylan9eqr 2530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K }
)  u.  { K } ) )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  dom  g  =  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) )
5655raleqdv 3064 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( A. i  e.  dom  g ( g `
 i )  =  ( p `  i
)  <->  A. i  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ( g `
 i )  =  ( p `  i
) ) )
5748, 56mpbird 232 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) )
58 f1ofun 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( g : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  g )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  ->  Fun  g )
60 f1ofun 5818 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( p : N -1-1-onto-> N  ->  Fun  p )
6160adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K )  ->  Fun  p )
6259, 61anim12i 566 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `  K
)  =  K )  /\  ( p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `
 K )  =  K ) )  -> 
( Fun  g  /\  Fun  p ) )
6362ad2antlr 726 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( Fun  g  /\  Fun  p ) )
64 eqfunfv 5981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( Fun  g  /\  Fun  p )  ->  (
g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g
( g `  i
)  =  ( p `
 i ) ) ) )
6563, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  ( g  =  p  <->  ( dom  g  =  dom  p  /\  A. i  e.  dom  g ( g `  i )  =  ( p `  i ) ) ) )
6637, 57, 65mpbir2and 920 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( g `  i
)  =  ( p `
 i ) )  ->  g  =  p )
6766ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  ( A. i  e.  ( N  \  { K }
) ( g `  i )  =  ( p `  i )  ->  g  =  p ) )
6826, 67sylbid 215 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( ( g : N -1-1-onto-> N  /\  ( g `
 K )  =  K )  /\  (
p : N -1-1-onto-> N  /\  ( p `  K
)  =  K ) ) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
6916, 68sylan2b 475 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( g  |`  ( N  \  { K }
) )  =  ( p  |`  ( N  \  { K } ) )  ->  g  =  p ) )
709, 69sylbid 215 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  ( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
) )  ->  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) )
7170ex 434 . . 3  |-  ( K  e.  N  ->  (
( g  e.  Q  /\  p  e.  Q
)  ->  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  ->  g  =  p ) ) )
7271ralrimivv 2884 . 2  |-  ( K  e.  N  ->  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  ( ( H `  g )  =  ( H `  p )  ->  g  =  p ) )
73 dff13 6155 . 2  |-  ( H : Q -1-1-> S  <->  ( H : Q --> S  /\  A. g  e.  Q  A. p  e.  Q  (
( H `  g
)  =  ( H `
 p )  -> 
g  =  p ) ) )
745, 72, 73sylanbrc 664 1  |-  ( K  e.  N  ->  H : Q -1-1-> S )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   A.wral 2814   {crab 2818   _Vcvv 3113    \ cdif 3473    u. cun 3474    C_ wss 3476   {csn 4027    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999    |` cres 5001   Fun wfun 5582    Fn wfn 5583   -->wf 5584   -1-1->wf1 5585   -1-1-onto->wf1o 5587   ` cfv 5588   Basecbs 14493   SymGrpcsymg 16216
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6577  ax-cnex 9549  ax-resscn 9550  ax-1cn 9551  ax-icn 9552  ax-addcl 9553  ax-addrcl 9554  ax-mulcl 9555  ax-mulrcl 9556  ax-mulcom 9557  ax-addass 9558  ax-mulass 9559  ax-distr 9560  ax-i2m1 9561  ax-1ne0 9562  ax-1rid 9563  ax-rnegex 9564  ax-rrecex 9565  ax-cnre 9566  ax-pre-lttri 9567  ax-pre-lttrn 9568  ax-pre-ltadd 9569  ax-pre-mulgt0 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6246  df-ov 6288  df-oprab 6289  df-mpt2 6290  df-om 6686  df-1st 6785  df-2nd 6786  df-recs 7043  df-rdg 7077  df-1o 7131  df-oadd 7135  df-er 7312  df-map 7423  df-en 7518  df-dom 7519  df-sdom 7520  df-fin 7521  df-pnf 9631  df-mnf 9632  df-xr 9633  df-ltxr 9634  df-le 9635  df-sub 9808  df-neg 9809  df-nn 10538  df-2 10595  df-3 10596  df-4 10597  df-5 10598  df-6 10599  df-7 10600  df-8 10601  df-9 10602  df-n0 10797  df-z 10866  df-uz 11084  df-fz 11674  df-struct 14495  df-ndx 14496  df-slot 14497  df-base 14498  df-plusg 14571  df-tset 14577  df-symg 16217
This theorem is referenced by:  symgfixf1o  16280
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