MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgfisg Structured version   Unicode version

Theorem symgfisg 17052
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgfisg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2429 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } ) )
2 eqidd 2429 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2429 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3489 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3439 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G )
76a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 16984 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2428 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 16637 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 17 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 16985 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3525 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 4999 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 5090 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3796 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 211 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 4998 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 5010 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2450 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0fin 7752 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
2321, 22eqeltri 2502 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  e. 
Fin
2415, 23syl6eqelr 2515 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  e.  Fin )
25 difeq1 3519 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 4999 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726eleq1d 2490 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
2827elrab 3171 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  e.  Fin ) )
2912, 24, 28sylanbrc 668 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
30 biid 239 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3519 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 4999 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332eleq1d 2490 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3433elrab 3171 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin ) )
35 difeq1 3519 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 4999 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736eleq1d 2490 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( z 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3837elrab 3171 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )
3993ad2ant1 1026 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 1031 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 1033 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2428 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 16622 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1264 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 16974 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 665 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3525 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 4999 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 simp2r 1032 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
50 simp3r 1034 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )
51 unfi 7791 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
5249, 50, 51syl2anc 665 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
53 mvdco 17029 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
54 ssfi 7745 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  ( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z 
\  _I  ) ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  )  e. 
Fin )
5552, 53, 54sylancl 666 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  e.  Fin )
5648, 55eqeltrd 2506 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  e.  Fin )
57 difeq1 3519 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5857dmeqd 4999 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5958eleq1d 2490 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6059elrab 3171 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <-> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6144, 56, 60sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
6230, 34, 38, 61syl3anb 1307 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
639adantr 466 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
64 simprl 762 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  B )
65 eqid 2428 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
665, 65grpinvcl 16654 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
6763, 64, 66syl2anc 665 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
688, 5, 65symginv 16986 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
6968ad2antrl 732 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
7069difeq1d 3525 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
7170dmeqd 4999 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( `' y  \  _I  )
)
728, 5symgbasf1o 16967 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7372ad2antrl 732 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
74 f1omvdcnv 17028 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7573, 74syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7671, 75eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
77 simprr 764 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
7876, 77eqeltrd 2506 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin )
79 difeq1 3519 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8079dmeqd 4999 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8180eleq1d 2490 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8281elrab 3171 . . . 4  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8367, 78, 82sylanbrc 668 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
8434, 83sylan2b 477 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
851, 2, 3, 7, 29, 62, 84, 9issubgrpd2 16776 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 370    /\ w3a 982    = wceq 1437    e. wcel 1872   {crab 2718    \ cdif 3376    u. cun 3377    C_ wss 3379   (/)c0 3704    _I cid 4706   `'ccnv 4795   dom cdm 4796    |` cres 4798    o. ccom 4800   -1-1-onto->wf1o 5543   ` cfv 5544  (class class class)co 6249   Fincfn 7524   Basecbs 15064   ↾s cress 15065   +g cplusg 15133   0gc0g 15281   Grpcgrp 16612   invgcminusg 16613  SubGrpcsubg 16754   SymGrpcsymg 16961
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1663  ax-4 1676  ax-5 1752  ax-6 1798  ax-7 1843  ax-8 1874  ax-9 1876  ax-10 1891  ax-11 1896  ax-12 1909  ax-13 2063  ax-ext 2408  ax-rep 4479  ax-sep 4489  ax-nul 4498  ax-pow 4545  ax-pr 4603  ax-un 6541  ax-cnex 9546  ax-resscn 9547  ax-1cn 9548  ax-icn 9549  ax-addcl 9550  ax-addrcl 9551  ax-mulcl 9552  ax-mulrcl 9553  ax-mulcom 9554  ax-addass 9555  ax-mulass 9556  ax-distr 9557  ax-i2m1 9558  ax-1ne0 9559  ax-1rid 9560  ax-rnegex 9561  ax-rrecex 9562  ax-cnre 9563  ax-pre-lttri 9564  ax-pre-lttrn 9565  ax-pre-ltadd 9566  ax-pre-mulgt0 9567
This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-ex 1658  df-nf 1662  df-sb 1791  df-eu 2280  df-mo 2281  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2558  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2719  df-rex 2720  df-reu 2721  df-rmo 2722  df-rab 2723  df-v 3024  df-sbc 3243  df-csb 3339  df-dif 3382  df-un 3384  df-in 3386  df-ss 3393  df-pss 3395  df-nul 3705  df-if 3855  df-pw 3926  df-sn 3942  df-pr 3944  df-tp 3946  df-op 3948  df-uni 4163  df-int 4199  df-iun 4244  df-br 4367  df-opab 4426  df-mpt 4427  df-tr 4462  df-eprel 4707  df-id 4711  df-po 4717  df-so 4718  df-fr 4755  df-we 4757  df-xp 4802  df-rel 4803  df-cnv 4804  df-co 4805  df-dm 4806  df-rn 4807  df-res 4808  df-ima 4809  df-pred 5342  df-ord 5388  df-on 5389  df-lim 5390  df-suc 5391  df-iota 5508  df-fun 5546  df-fn 5547  df-f 5548  df-f1 5549  df-fo 5550  df-f1o 5551  df-fv 5552  df-riota 6211  df-ov 6252  df-oprab 6253  df-mpt2 6254  df-om 6651  df-1st 6751  df-2nd 6752  df-wrecs 6983  df-recs 7045  df-rdg 7083  df-1o 7137  df-oadd 7141  df-er 7318  df-map 7429  df-en 7525  df-dom 7526  df-sdom 7527  df-fin 7528  df-pnf 9628  df-mnf 9629  df-xr 9630  df-ltxr 9631  df-le 9632  df-sub 9813  df-neg 9814  df-nn 10561  df-2 10619  df-3 10620  df-4 10621  df-5 10622  df-6 10623  df-7 10624  df-8 10625  df-9 10626  df-n0 10821  df-z 10889  df-uz 11111  df-fz 11736  df-struct 15066  df-ndx 15067  df-slot 15068  df-base 15069  df-sets 15070  df-ress 15071  df-plusg 15146  df-tset 15152  df-0g 15283  df-mgm 16431  df-sgrp 16470  df-mnd 16480  df-grp 16616  df-minusg 16617  df-subg 16757  df-symg 16962
This theorem is referenced by:  symggen  17054  psgndmsubg  17086
  Copyright terms: Public domain W3C validator