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Theorem symgfisg 16620
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgfisg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2458 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } ) )
2 eqidd 2458 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2458 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3581 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3531 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G )
76a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 16552 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 16205 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 16553 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3617 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 5215 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 5307 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3888 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 5214 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 5226 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2486 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0fin 7766 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
2321, 22eqeltri 2541 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  e. 
Fin
2415, 23syl6eqelr 2554 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  e.  Fin )
25 difeq1 3611 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 5215 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
2827elrab 3257 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  e.  Fin ) )
2912, 24, 28sylanbrc 664 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
30 biid 236 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3611 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 5215 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3433elrab 3257 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin ) )
35 difeq1 3611 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 5215 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736eleq1d 2526 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( z 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3837elrab 3257 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )
3993ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 1022 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 1024 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 16190 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 16542 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3617 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 5215 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 simp2r 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
50 simp3r 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )
51 unfi 7805 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
5249, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
53 mvdco 16597 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
54 ssfi 7759 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  ( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z 
\  _I  ) ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  )  e. 
Fin )
5552, 53, 54sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  e.  Fin )
5648, 55eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  e.  Fin )
57 difeq1 3611 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5857dmeqd 5215 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5958eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6059elrab 3257 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <-> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6144, 56, 60sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
6230, 34, 38, 61syl3anb 1271 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
639adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
64 simprl 756 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  B )
65 eqid 2457 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
665, 65grpinvcl 16222 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
6763, 64, 66syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
688, 5, 65symginv 16554 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
6968ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
7069difeq1d 3617 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
7170dmeqd 5215 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( `' y  \  _I  )
)
728, 5symgbasf1o 16535 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7372ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
74 f1omvdcnv 16596 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7573, 74syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7671, 75eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
77 simprr 757 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
7876, 77eqeltrd 2545 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin )
79 difeq1 3611 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8079dmeqd 5215 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8180eleq1d 2526 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8281elrab 3257 . . . 4  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8367, 78, 82sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
8434, 83sylan2b 475 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
851, 2, 3, 7, 29, 62, 84, 9issubgrpd2 16344 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   {crab 2811    \ cdif 3468    u. cun 3469    C_ wss 3471   (/)c0 3793    _I cid 4799   `'ccnv 5007   dom cdm 5008    |` cres 5010    o. ccom 5012   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   Fincfn 7535   Basecbs 14644   ↾s cress 14645   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   invgcminusg 16181  SubGrpcsubg 16322   SymGrpcsymg 16529
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14646  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-tset 14731  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-subg 16325  df-symg 16530
This theorem is referenced by:  symggen  16622  psgndmsubg  16654
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