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Theorem symgfisg 16366
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgfisg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2468 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } ) )
2 eqidd 2468 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2468 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3590 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3541 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G )
76a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 16297 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 15950 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 16298 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3626 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 5211 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 5303 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3890 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 5210 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 5222 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2496 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0fin 7759 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
2321, 22eqeltri 2551 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  e. 
Fin
2415, 23syl6eqelr 2564 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  e.  Fin )
25 difeq1 3620 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 5211 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
2827elrab 3266 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  e.  Fin ) )
2912, 24, 28sylanbrc 664 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
30 biid 236 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3620 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 5211 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3433elrab 3266 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin ) )
35 difeq1 3620 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 5211 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736eleq1d 2536 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( z 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3837elrab 3266 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )
3993ad2ant1 1017 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 1022 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 1024 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 15935 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1228 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 16287 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3626 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 5211 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 simp2r 1023 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
50 simp3r 1025 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )
51 unfi 7799 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
5249, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
53 mvdco 16343 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
54 ssfi 7752 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  ( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z 
\  _I  ) ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  )  e. 
Fin )
5552, 53, 54sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  e.  Fin )
5648, 55eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  e.  Fin )
57 difeq1 3620 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5857dmeqd 5211 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5958eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6059elrab 3266 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <-> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6144, 56, 60sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
6230, 34, 38, 61syl3anb 1271 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
639adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
64 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  B )
65 eqid 2467 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
665, 65grpinvcl 15967 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
6763, 64, 66syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
688, 5, 65symginv 16299 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
6968ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
7069difeq1d 3626 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
7170dmeqd 5211 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( `' y  \  _I  )
)
728, 5elsymgbas2 16278 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
7372ibi 241 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7473ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
75 f1omvdcnv 16342 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7674, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7771, 76eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
78 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
7977, 78eqeltrd 2555 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin )
80 difeq1 3620 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8180dmeqd 5211 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8281eleq1d 2536 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8382elrab 3266 . . . 4  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8467, 79, 83sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
8534, 84sylan2b 475 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
861, 2, 3, 7, 29, 62, 85, 9issubgrpd2 16089 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1379    e. wcel 1767   {crab 2821    \ cdif 3478    u. cun 3479    C_ wss 3481   (/)c0 3790    _I cid 4796   `'ccnv 5004   dom cdm 5005    |` cres 5007    o. ccom 5009   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   Fincfn 7528   Basecbs 14507   ↾s cress 14508   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925   invgcminusg 15926  SubGrpcsubg 16067   SymGrpcsymg 16274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-oadd 7146  df-er 7323  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-4 10608  df-5 10609  df-6 10610  df-7 10611  df-8 10612  df-9 10613  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-fz 11685  df-struct 14509  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-tset 14591  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-subg 16070  df-symg 16275
This theorem is referenced by:  symggen  16368  psgndmsubg  16400
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