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Theorem symgfisg 15995
Description: The symmetric group has a subgroup of permutations that move finitely many points. (Contributed by Stefan O'Rear, 24-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgsssg.g  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
symgsssg.b  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgfisg  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Distinct variable groups:    x, B    x, G
Allowed substitution hints:    D( x)    V( x)

Proof of Theorem symgfisg
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqidd 2444 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  =  ( Gs  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } ) )
2 eqidd 2444 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  =  ( 0g `  G
) )
3 eqidd 2444 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G
) )
4 ssrab2 3458 . . . 4  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  B
5 symgsssg.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5sseqtri 3409 . . 3  |-  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G )
76a1i 11 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  C_  ( Base `  G ) )
8 symgsssg.g . . . . 5  |-  G  =  ( SymGrp `  D )
98symggrp 15926 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  G  e.  Grp )
10 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
115, 10grpidcl 15587 . . . 4  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
129, 11syl 16 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e.  B )
138symgid 15927 . . . . . 6  |-  ( D  e.  V  ->  (  _I  |`  D )  =  ( 0g `  G
) )
1413difeq1d 3494 . . . . 5  |-  ( D  e.  V  ->  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  ( ( 0g `  G )  \  _I  ) )
1514dmeqd 5063 . . . 4  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( (  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
16 resss 5155 . . . . . . . 8  |-  (  _I  |`  D )  C_  _I
17 ssdif0 3758 . . . . . . . 8  |-  ( (  _I  |`  D )  C_  _I  <->  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/) )
1816, 17mpbi 208 . . . . . . 7  |-  ( (  _I  |`  D )  \  _I  )  =  (/)
1918dmeqi 5062 . . . . . 6  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  dom  (/)
20 dm0 5074 . . . . . 6  |-  dom  (/)  =  (/)
2119, 20eqtri 2463 . . . . 5  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  =  (/)
22 0fin 7561 . . . . 5  |-  (/)  e.  Fin
2321, 22eqeltri 2513 . . . 4  |-  dom  (
(  _I  |`  D ) 
\  _I  )  e. 
Fin
2415, 23syl6eqelr 2532 . . 3  |-  ( D  e.  V  ->  dom  ( ( 0g `  G )  \  _I  )  e.  Fin )
25 difeq1 3488 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2625dmeqd 5063 . . . . 5  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( 0g
`  G )  \  _I  ) )
2726eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( x  =  ( 0g `  G )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( 0g `  G ) 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
2827elrab 3138 . . 3  |-  ( ( 0g `  G )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( ( 0g `  G )  e.  B  /\  dom  (
( 0g `  G
)  \  _I  )  e.  Fin ) )
2912, 24, 28sylanbrc 664 . 2  |-  ( D  e.  V  ->  ( 0g `  G )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
30 biid 236 . . 3  |-  ( D  e.  V  <->  D  e.  V )
31 difeq1 3488 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  \  _I  )  =  ( y  \  _I  ) )
3231dmeqd 5063 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
3332eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( y 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3433elrab 3138 . . 3  |-  ( y  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( y  e.  B  /\  dom  (
y  \  _I  )  e.  Fin ) )
35 difeq1 3488 . . . . . 6  |-  ( x  =  z  ->  (
x  \  _I  )  =  ( z  \  _I  ) )
3635dmeqd 5063 . . . . 5  |-  ( x  =  z  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( z  \  _I  ) )
3736eleq1d 2509 . . . 4  |-  ( x  =  z  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( z 
\  _I  )  e. 
Fin ) )
3837elrab 3138 . . 3  |-  ( z  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )
3993ad2ant1 1009 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
40 simp2l 1014 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
y  e.  B )
41 simp3l 1016 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
z  e.  B )
42 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( +g  `  G )  =  ( +g  `  G )
435, 42grpcl 15572 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
4439, 40, 41, 43syl3anc 1218 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  B )
458, 5, 42symgov 15916 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  B  /\  z  e.  B )  ->  ( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4640, 41, 45syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  =  ( y  o.  z ) )
4746difeq1d 3494 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  ( (
y  o.  z ) 
\  _I  ) )
4847dmeqd 5063 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  =  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  ) )
49 simp2r 1015 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
50 simp3r 1017 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )
51 unfi 7600 . . . . . . 7  |-  ( ( dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin  /\ 
dom  ( z  \  _I  )  e.  Fin )  ->  ( dom  (
y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
5249, 50, 51syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin )
53 mvdco 15972 . . . . . 6  |-  dom  (
( y  o.  z
)  \  _I  )  C_  ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )
54 ssfi 7554 . . . . . 6  |-  ( ( ( dom  ( y 
\  _I  )  u. 
dom  ( z  \  _I  ) )  e.  Fin  /\ 
dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  C_  ( dom  ( y  \  _I  )  u.  dom  ( z 
\  _I  ) ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z ) 
\  _I  )  e. 
Fin )
5552, 53, 54sylancl 662 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y  o.  z )  \  _I  )  e.  Fin )
5648, 55eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( y ( +g  `  G ) z )  \  _I  )  e.  Fin )
57 difeq1 3488 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  (
x  \  _I  )  =  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5857dmeqd 5063 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  ) )
5958eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( x  =  ( y ( +g  `  G ) z )  ->  ( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6059elrab 3138 . . . 4  |-  ( ( y ( +g  `  G
) z )  e. 
{ x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <-> 
( ( y ( +g  `  G ) z )  e.  B  /\  dom  ( ( y ( +g  `  G
) z )  \  _I  )  e.  Fin ) )
6144, 56, 60sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )  /\  ( z  e.  B  /\  dom  (
z  \  _I  )  e.  Fin ) )  -> 
( y ( +g  `  G ) z )  e.  { x  e.  B  |  dom  (
x  \  _I  )  e.  Fin } )
6230, 34, 38, 61syl3anb 1261 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  /\  z  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  ->  ( y
( +g  `  G ) z )  e.  {
x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
639adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  G  e.  Grp )
64 simprl 755 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y  e.  B )
65 eqid 2443 . . . . . 6  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
665, 65grpinvcl 15604 . . . . 5  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  y  e.  B )  ->  ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
6763, 64, 66syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B )
688, 5, 65symginv 15928 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
6968ad2antrl 727 . . . . . . . 8  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  =  `' y )
7069difeq1d 3494 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )  =  ( `' y 
\  _I  ) )
7170dmeqd 5063 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( `' y  \  _I  )
)
728, 5elsymgbas2 15907 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  B  ->  (
y  e.  B  <->  y : D
-1-1-onto-> D ) )
7372ibi 241 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  B  ->  y : D -1-1-onto-> D )
7473ad2antrl 727 . . . . . . 7  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  y : D -1-1-onto-> D )
75 f1omvdcnv 15971 . . . . . . 7  |-  ( y : D -1-1-onto-> D  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7674, 75syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( `' y  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
7771, 76eqtrd 2475 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  =  dom  ( y  \  _I  ) )
78 simprr 756 . . . . 5  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin )
7977, 78eqeltrd 2517 . . . 4  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin )
80 difeq1 3488 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( x  \  _I  )  =  ( (
( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8180dmeqd 5063 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  ->  dom  ( x  \  _I  )  =  dom  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  \  _I  )
)
8281eleq1d 2509 . . . . 5  |-  ( x  =  ( ( invg `  G ) `
 y )  -> 
( dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin  <->  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8382elrab 3138 . . . 4  |-  ( ( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  <->  ( (
( invg `  G ) `  y
)  e.  B  /\  dom  ( ( ( invg `  G ) `
 y )  \  _I  )  e.  Fin ) )
8467, 79, 83sylanbrc 664 . . 3  |-  ( ( D  e.  V  /\  ( y  e.  B  /\  dom  ( y  \  _I  )  e.  Fin ) )  ->  (
( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
8534, 84sylan2b 475 . 2  |-  ( ( D  e.  V  /\  y  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )  -> 
( ( invg `  G ) `  y
)  e.  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin } )
861, 2, 3, 7, 29, 62, 85, 9issubgrpd2 15718 1  |-  ( D  e.  V  ->  { x  e.  B  |  dom  ( x  \  _I  )  e.  Fin }  e.  (SubGrp `  G ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756   {crab 2740    \ cdif 3346    u. cun 3347    C_ wss 3349   (/)c0 3658    _I cid 4652   `'ccnv 4860   dom cdm 4861    |` cres 4863    o. ccom 4865   -1-1-onto->wf1o 5438   ` cfv 5439  (class class class)co 6112   Fincfn 7331   Basecbs 14195   ↾s cress 14196   +g cplusg 14259   0gc0g 14399   Grpcgrp 15431   invgcminusg 15432  SubGrpcsubg 15696   SymGrpcsymg 15903
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4424  ax-sep 4434  ax-nul 4442  ax-pow 4491  ax-pr 4552  ax-un 6393  ax-cnex 9359  ax-resscn 9360  ax-1cn 9361  ax-icn 9362  ax-addcl 9363  ax-addrcl 9364  ax-mulcl 9365  ax-mulrcl 9366  ax-mulcom 9367  ax-addass 9368  ax-mulass 9369  ax-distr 9370  ax-i2m1 9371  ax-1ne0 9372  ax-1rid 9373  ax-rnegex 9374  ax-rrecex 9375  ax-cnre 9376  ax-pre-lttri 9377  ax-pre-lttrn 9378  ax-pre-ltadd 9379  ax-pre-mulgt0 9380
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 2995  df-sbc 3208  df-csb 3310  df-dif 3352  df-un 3354  df-in 3356  df-ss 3363  df-pss 3365  df-nul 3659  df-if 3813  df-pw 3883  df-sn 3899  df-pr 3901  df-tp 3903  df-op 3905  df-uni 4113  df-int 4150  df-iun 4194  df-br 4314  df-opab 4372  df-mpt 4373  df-tr 4407  df-eprel 4653  df-id 4657  df-po 4662  df-so 4663  df-fr 4700  df-we 4702  df-ord 4743  df-on 4744  df-lim 4745  df-suc 4746  df-xp 4867  df-rel 4868  df-cnv 4869  df-co 4870  df-dm 4871  df-rn 4872  df-res 4873  df-ima 4874  df-iota 5402  df-fun 5441  df-fn 5442  df-f 5443  df-f1 5444  df-fo 5445  df-f1o 5446  df-fv 5447  df-riota 6073  df-ov 6115  df-oprab 6116  df-mpt2 6117  df-om 6498  df-1st 6598  df-2nd 6599  df-recs 6853  df-rdg 6887  df-1o 6941  df-oadd 6945  df-er 7122  df-map 7237  df-en 7332  df-dom 7333  df-sdom 7334  df-fin 7335  df-pnf 9441  df-mnf 9442  df-xr 9443  df-ltxr 9444  df-le 9445  df-sub 9618  df-neg 9619  df-nn 10344  df-2 10401  df-3 10402  df-4 10403  df-5 10404  df-6 10405  df-7 10406  df-8 10407  df-9 10408  df-n0 10601  df-z 10668  df-uz 10883  df-fz 11459  df-struct 14197  df-ndx 14198  df-slot 14199  df-base 14200  df-sets 14201  df-ress 14202  df-plusg 14272  df-tset 14278  df-0g 14401  df-mnd 15436  df-grp 15566  df-minusg 15567  df-subg 15699  df-symg 15904
This theorem is referenced by:  symggen  15997  psgndmsubg  16029
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