MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextres Structured version   Unicode version

Theorem symgextres 16590
Description: The restriction of the extension of a permutation, fixing the additional element, to the original domain. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgext.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgextres  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E  |`  ( N  \  { K }
) )  =  Z )
Distinct variable groups:    x, K    x, N    x, S    x, Z
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem symgextres
Dummy variable  i is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . . 4  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
2 symgext.e . . . 4  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
31, 2symgextfv 16583 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( i  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  i )  =  ( Z `  i ) ) )
43ralrimiv 2808 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( E `
 i )  =  ( Z `  i
) )
51, 2symgextf 16582 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N --> N )
6 ffn 5656 . . . 4  |-  ( E : N --> N  ->  E  Fn  N )
75, 6syl 16 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E  Fn  N )
8 eqid 2396 . . . . . 6  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
98, 1symgbasf 16549 . . . . 5  |-  ( Z  e.  S  ->  Z : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } ) )
10 ffn 5656 . . . . 5  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  ->  Z  Fn  ( N  \  { K } ) )
119, 10syl 16 . . . 4  |-  ( Z  e.  S  ->  Z  Fn  ( N  \  { K } ) )
1211adantl 464 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  Z  Fn  ( N 
\  { K }
) )
13 difssd 3563 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( N  \  { K } )  C_  N
)
14 fvreseq1 5907 . . 3  |-  ( ( ( E  Fn  N  /\  Z  Fn  ( N  \  { K }
) )  /\  ( N  \  { K }
)  C_  N )  ->  ( ( E  |`  ( N  \  { K } ) )  =  Z  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( E `
 i )  =  ( Z `  i
) ) )
157, 12, 13, 14syl21anc 1225 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( E  |`  ( N  \  { K } ) )  =  Z  <->  A. i  e.  ( N  \  { K } ) ( E `
 i )  =  ( Z `  i
) ) )
164, 15mpbird 232 1  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E  |`  ( N  \  { K }
) )  =  Z )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1399    e. wcel 1836   A.wral 2746    \ cdif 3403    C_ wss 3406   ifcif 3874   {csn 3961    |-> cmpt 4442    |` cres 4932    Fn wfn 5508   -->wf 5509   ` cfv 5513   Basecbs 14657   SymGrpcsymg 16542
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1633  ax-4 1646  ax-5 1719  ax-6 1765  ax-7 1808  ax-8 1838  ax-9 1840  ax-10 1855  ax-11 1860  ax-12 1872  ax-13 2020  ax-ext 2374  ax-sep 4505  ax-nul 4513  ax-pow 4560  ax-pr 4618  ax-un 6513  ax-cnex 9481  ax-resscn 9482  ax-1cn 9483  ax-icn 9484  ax-addcl 9485  ax-addrcl 9486  ax-mulcl 9487  ax-mulrcl 9488  ax-mulcom 9489  ax-addass 9490  ax-mulass 9491  ax-distr 9492  ax-i2m1 9493  ax-1ne0 9494  ax-1rid 9495  ax-rnegex 9496  ax-rrecex 9497  ax-cnre 9498  ax-pre-lttri 9499  ax-pre-lttrn 9500  ax-pre-ltadd 9501  ax-pre-mulgt0 9502
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1402  df-ex 1628  df-nf 1632  df-sb 1758  df-eu 2236  df-mo 2237  df-clab 2382  df-cleq 2388  df-clel 2391  df-nfc 2546  df-ne 2593  df-nel 2594  df-ral 2751  df-rex 2752  df-reu 2753  df-rab 2755  df-v 3053  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3729  df-if 3875  df-pw 3946  df-sn 3962  df-pr 3964  df-tp 3966  df-op 3968  df-uni 4181  df-int 4217  df-iun 4262  df-br 4385  df-opab 4443  df-mpt 4444  df-tr 4478  df-eprel 4722  df-id 4726  df-po 4731  df-so 4732  df-fr 4769  df-we 4771  df-ord 4812  df-on 4813  df-lim 4814  df-suc 4815  df-xp 4936  df-rel 4937  df-cnv 4938  df-co 4939  df-dm 4940  df-rn 4941  df-res 4942  df-ima 4943  df-iota 5477  df-fun 5515  df-fn 5516  df-f 5517  df-f1 5518  df-fo 5519  df-f1o 5520  df-fv 5521  df-riota 6180  df-ov 6221  df-oprab 6222  df-mpt2 6223  df-om 6622  df-1st 6721  df-2nd 6722  df-recs 6982  df-rdg 7016  df-1o 7070  df-oadd 7074  df-er 7251  df-map 7362  df-en 7458  df-dom 7459  df-sdom 7460  df-fin 7461  df-pnf 9563  df-mnf 9564  df-xr 9565  df-ltxr 9566  df-le 9567  df-sub 9742  df-neg 9743  df-nn 10475  df-2 10533  df-3 10534  df-4 10535  df-5 10536  df-6 10537  df-7 10538  df-8 10539  df-9 10540  df-n0 10735  df-z 10804  df-uz 11024  df-fz 11616  df-struct 14659  df-ndx 14660  df-slot 14661  df-base 14662  df-plusg 14738  df-tset 14744  df-symg 16543
This theorem is referenced by:  symgfixfo  16604
  Copyright terms: Public domain W3C validator