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Theorem symgextfo 15932
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is an onto function. (Contributed by AV, 7-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgext.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgextfo  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -onto-> N
)
Distinct variable groups:    x, K    x, N    x, S    x, Z
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem symgextfo
Dummy variables  i 
k are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
2 symgext.e . . 3  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
31, 2symgextf 15927 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N --> N )
4 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
54, 1symgbasf1o 15893 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z  e.  S  ->  Z : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
) )
6 f1ofo 5653 . . . . . . . . . 10  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  ->  Z :
( N  \  { K } ) -onto-> ( N 
\  { K }
) )
75, 6syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( Z  e.  S  ->  Z : ( N  \  { K } ) -onto-> ( N  \  { K } ) )
87adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  Z : ( N 
\  { K }
) -onto-> ( N  \  { K } ) )
9 dffo3 5863 . . . . . . . 8  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -onto-> ( N  \  { K } )  <->  ( Z : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  /\  A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( Z `  i
) ) )
108, 9sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( Z : ( N  \  { K } ) --> ( N 
\  { K }
)  /\  A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( Z `  i
) ) )
1110simprd 463 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( Z `  i
) )
121, 2symgextfv 15928 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( i  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  i )  =  ( Z `  i ) ) )
1312imp 429 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  i  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( E `  i
)  =  ( Z `
 i ) )
1413eqeq2d 2454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  i  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( k  =  ( E `  i )  <-> 
k  =  ( Z `
 i ) ) )
1514rexbidva 2737 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( E `  i
)  <->  E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( Z `  i
) ) )
1615ralbidv 2740 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( E `  i
)  <->  A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( Z `  i
) ) )
1711, 16mpbird 232 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( E `  i
) )
18 difssd 3489 . . . . . . 7  |-  ( k  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( N  \  { K } )  C_  N
)
19 ssrexv 3422 . . . . . . 7  |-  ( ( N  \  { K } )  C_  N  ->  ( E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( E `  i
)  ->  E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) ) )
2018, 19syl 16 . . . . . 6  |-  ( k  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( E `  i
)  ->  E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) ) )
2120ralimia 2794 . . . . 5  |-  ( A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  ( N  \  { K } ) k  =  ( E `  i
)  ->  A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) )
2217, 21syl 16 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) )
23 simpl 457 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  K  e.  N )
241, 2symgextfve 15929 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  N  ->  (
i  =  K  -> 
( E `  i
)  =  K ) )
2524adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( i  =  K  ->  ( E `  i )  =  K ) )
2625imp 429 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  i  =  K )  ->  ( E `  i )  =  K )
2726eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  i  =  K )  ->  K  =  ( E `  i ) )
2827a1d 25 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  i  =  K )  ->  ( K  e.  N  ->  K  =  ( E `  i ) ) )
2923, 28rspcimedv 3080 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( K  e.  N  ->  E. i  e.  N  K  =  ( E `  i ) ) )
3023, 29mpd 15 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E. i  e.  N  K  =  ( E `  i ) )
31 eqeq1 2449 . . . . . . 7  |-  ( k  =  K  ->  (
k  =  ( E `
 i )  <->  K  =  ( E `  i ) ) )
3231rexbidv 2741 . . . . . 6  |-  ( k  =  K  ->  ( E. i  e.  N  k  =  ( E `  i )  <->  E. i  e.  N  K  =  ( E `  i ) ) )
3332ralunsn 4084 . . . . 5  |-  ( K  e.  N  ->  ( A. k  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i )  <-> 
( A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i )  /\  E. i  e.  N  K  =  ( E `  i ) ) ) )
3433adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( A. k  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i )  <->  ( A. k  e.  ( N  \  { K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i )  /\  E. i  e.  N  K  =  ( E `  i ) ) ) )
3522, 30, 34mpbir2and 913 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. k  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) )
36 difsnid 4024 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
3736eqcomd 2448 . . . . 5  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
3837raleqdv 2928 . . . 4  |-  ( K  e.  N  ->  ( A. k  e.  N  E. i  e.  N  k  =  ( E `  i )  <->  A. k  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) ) )
3938adantr 465 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( A. k  e.  N  E. i  e.  N  k  =  ( E `  i )  <->  A. k  e.  (
( N  \  { K } )  u.  { K } ) E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) ) )
4035, 39mpbird 232 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. k  e.  N  E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) )
41 dffo3 5863 . 2  |-  ( E : N -onto-> N  <->  ( E : N --> N  /\  A. k  e.  N  E. i  e.  N  k  =  ( E `  i ) ) )
423, 40, 41sylanbrc 664 1  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -onto-> N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2720   E.wrex 2721    \ cdif 3330    u. cun 3331    C_ wss 3333   ifcif 3796   {csn 3882    e. cmpt 4355   -->wf 5419   -onto->wfo 5421   -1-1-onto->wf1o 5422   ` cfv 5423   Basecbs 14179   SymGrpcsymg 15887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-tset 14262  df-symg 15888
This theorem is referenced by:  symgextf1o  15933
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