MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgextf1lem Structured version   Unicode version

Theorem symgextf1lem 16571
Description: Lemma for symgextf1 16572. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgext.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgextf1lem  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( X  e.  ( N  \  { K } )  /\  Y  e.  { K } )  ->  ( E `  X )  =/=  ( E `  Y )
) )
Distinct variable groups:    x, K    x, N    x, S    x, Z    x, X    x, Y
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem symgextf1lem
StepHypRef Expression
1 eqid 2457 . . . . . . 7  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
2 symgext.s . . . . . . 7  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
31, 2symgfv 16538 . . . . . 6  |-  ( ( Z  e.  S  /\  X  e.  ( N  \  { K } ) )  ->  ( Z `  X )  e.  ( N  \  { K } ) )
43adantll 713 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  X  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( Z `  X
)  e.  ( N 
\  { K }
) )
5 eldifsni 4158 . . . . . 6  |-  ( ( Z `  X )  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( Z `  X
)  =/=  K )
6 symgext.e . . . . . . . . 9  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
72, 6symgextfv 16569 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( X  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  X )  =  ( Z `  X ) ) )
87imp 429 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  X  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( E `  X
)  =  ( Z `
 X ) )
98neeq1d 2734 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  X  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( E `  X )  =/=  K  <->  ( Z `  X )  =/=  K ) )
105, 9syl5ibr 221 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  X  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  X )  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  X )  =/=  K ) )
114, 10mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  X  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( E `  X
)  =/=  K )
1211adantrr 716 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  ( X  e.  ( N  \  { K } )  /\  Y  e.  { K } ) )  ->  ( E `  X )  =/=  K
)
13 elsni 4057 . . . . . 6  |-  ( Y  e.  { K }  ->  Y  =  K )
142, 6symgextfve 16570 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  ( Y  =  K  ->  ( E `  Y )  =  K ) )
1514adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( Y  =  K  ->  ( E `  Y )  =  K ) )
1613, 15syl5com 30 . . . . 5  |-  ( Y  e.  { K }  ->  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  Y )  =  K ) )
1716adantl 466 . . . 4  |-  ( ( X  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  Y  e.  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  Y )  =  K ) )
1817impcom 430 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  ( X  e.  ( N  \  { K } )  /\  Y  e.  { K } ) )  ->  ( E `  Y )  =  K )
1912, 18neeqtrrd 2757 . 2  |-  ( ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  /\  ( X  e.  ( N  \  { K } )  /\  Y  e.  { K } ) )  ->  ( E `  X )  =/=  ( E `  Y )
)
2019ex 434 1  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( X  e.  ( N  \  { K } )  /\  Y  e.  { K } )  ->  ( E `  X )  =/=  ( E `  Y )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652    \ cdif 3468   ifcif 3944   {csn 4032    |-> cmpt 4515   ` cfv 5594   Basecbs 14643   SymGrpcsymg 16528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-symg 16529
This theorem is referenced by:  symgextf1  16572
  Copyright terms: Public domain W3C validator