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Theorem symgextf1 15926
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgext.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgextf1  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-> N
)
Distinct variable groups:    x, K    x, N    x, S    x, Z
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem symgextf1
Dummy variables  y 
z  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
2 symgext.e . . 3  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
31, 2symgextf 15922 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N --> N )
4 difsnid 4019 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
54eqcomd 2448 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
65eleq2d 2510 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  (
y  e.  N  <->  y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ) )
75eleq2d 2510 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  (
z  e.  N  <->  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ) )
86, 7anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( K  e.  N  ->  (
( y  e.  N  /\  z  e.  N
)  <->  ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ) ) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  N  /\  z  e.  N )  <->  ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ) ) )
10 elun 3497 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } )  <->  ( y  e.  ( N  \  { K } )  \/  y  e.  { K } ) )
11 elun 3497 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } )  <->  ( z  e.  ( N  \  { K } )  \/  z  e.  { K } ) )
121, 2symgextfv 15923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( y  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) ) )
1312com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) ) )
1514imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) )
161, 2symgextfv 15923 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( z  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) ) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) ) )
1918imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) )
2015, 19eqeq12d 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  <->  ( Z `  y )  =  ( Z `  z ) ) )
21 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
2221, 1symgbasf1o 15888 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  S  ->  Z : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
) )
23 f1of1 5640 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  ->  Z :
( N  \  { K } ) -1-1-> ( N 
\  { K }
) )
24 dff13 5971 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -1-1-> ( N  \  { K } )  <->  ( Z : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j ) ) )
25 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  y  ->  ( Z `  i )  =  ( Z `  y ) )
2625eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  y  ->  (
( Z `  i
)  =  ( Z `
 j )  <->  ( Z `  y )  =  ( Z `  j ) ) )
27 equequ1 1736 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  y  ->  (
i  =  j  <->  y  =  j ) )
2826, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  y  ->  (
( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j )  <->  ( ( Z `
 y )  =  ( Z `  j
)  ->  y  =  j ) ) )
29 fveq2 5691 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  z  ->  ( Z `  j )  =  ( Z `  z ) )
3029eqeq2d 2454 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  z  ->  (
( Z `  y
)  =  ( Z `
 j )  <->  ( Z `  y )  =  ( Z `  z ) ) )
31 equequ2 1737 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  z  ->  (
y  =  j  <->  y  =  z ) )
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  z  ->  (
( ( Z `  y )  =  ( Z `  j )  ->  y  =  j )  <->  ( ( Z `
 y )  =  ( Z `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
3328, 32rspc2va 3080 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  A. i  e.  ( N 
\  { K }
) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j ) )  ->  ( ( Z `
 y )  =  ( Z `  z
)  ->  y  =  z ) )
3433expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j )  -> 
( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j )  -> 
( K  e.  N  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z : ( N 
\  { K }
) --> ( N  \  { K } )  /\  A. i  e.  ( N 
\  { K }
) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j ) )  ->  ( K  e.  N  ->  ( (
y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3724, 36sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -1-1-> ( N  \  { K } )  ->  ( K  e.  N  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3822, 23, 373syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  S  ->  ( K  e.  N  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) )
4039impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  (
( Z `  y
)  =  ( Z `
 z )  -> 
y  =  z ) )
4120, 40sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
4241ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
431, 2symgextf1lem 15925 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( z  e.  ( N  \  { K } )  /\  y  e.  { K } )  ->  ( E `  z )  =/=  ( E `  y )
) )
44 eqneqall 2705 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  z )  =  ( E `  y )  ->  (
( E `  z
)  =/=  ( E `
 y )  -> 
y  =  z ) )
4544eqcoms 2446 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  (
( E `  z
)  =/=  ( E `
 y )  -> 
y  =  z ) )
4645com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  z )  =/=  ( E `  y )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
4743, 46syl6com 35 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  y  e.  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
4847ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { K }  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
491, 2symgextf1lem 15925 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  { K } )  ->  ( E `  y )  =/=  ( E `  z )
) )
50 eqneqall 2705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  (
( E `  y
)  =/=  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
5150com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  y )  =/=  ( E `  z )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
5249, 51syl6com 35 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
53 elsni 3902 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { K }  ->  y  =  K )
54 elsni 3902 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { K }  ->  z  =  K )
55 eqtr3 2462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  K  /\  z  =  K )  ->  y  =  z )
5655a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  K  /\  z  =  K )  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) )
5756a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  K  /\  z  =  K )  ->  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
5853, 54, 57syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { K }  /\  z  e.  { K } )  ->  (
( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
5942, 48, 52, 58ccase 937 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  \/  y  e.  { K } )  /\  ( z  e.  ( N  \  { K } )  \/  z  e.  { K } ) )  ->  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6010, 11, 59syl2anb 479 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) )  ->  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6160com12 31 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) )  -> 
( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
629, 61sylbid 215 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  N  /\  z  e.  N )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
6362ralrimivv 2807 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) )
64 dff13 5971 . 2  |-  ( E : N -1-1-> N  <->  ( E : N --> N  /\  A. y  e.  N  A. z  e.  N  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
653, 63, 64sylanbrc 664 1  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-> N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2606   A.wral 2715    \ cdif 3325    u. cun 3326   ifcif 3791   {csn 3877    e. cmpt 4350   -->wf 5414   -1-1->wf1 5415   -1-1-onto->wf1o 5417   ` cfv 5418   Basecbs 14174   SymGrpcsymg 15882
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-sep 4413  ax-nul 4421  ax-pow 4470  ax-pr 4531  ax-un 6372  ax-cnex 9338  ax-resscn 9339  ax-1cn 9340  ax-icn 9341  ax-addcl 9342  ax-addrcl 9343  ax-mulcl 9344  ax-mulrcl 9345  ax-mulcom 9346  ax-addass 9347  ax-mulass 9348  ax-distr 9349  ax-i2m1 9350  ax-1ne0 9351  ax-1rid 9352  ax-rnegex 9353  ax-rrecex 9354  ax-cnre 9355  ax-pre-lttri 9356  ax-pre-lttrn 9357  ax-pre-ltadd 9358  ax-pre-mulgt0 9359
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2720  df-rex 2721  df-reu 2722  df-rab 2724  df-v 2974  df-sbc 3187  df-csb 3289  df-dif 3331  df-un 3333  df-in 3335  df-ss 3342  df-pss 3344  df-nul 3638  df-if 3792  df-pw 3862  df-sn 3878  df-pr 3880  df-tp 3882  df-op 3884  df-uni 4092  df-int 4129  df-iun 4173  df-br 4293  df-opab 4351  df-mpt 4352  df-tr 4386  df-eprel 4632  df-id 4636  df-po 4641  df-so 4642  df-fr 4679  df-we 4681  df-ord 4722  df-on 4723  df-lim 4724  df-suc 4725  df-xp 4846  df-rel 4847  df-cnv 4848  df-co 4849  df-dm 4850  df-rn 4851  df-res 4852  df-ima 4853  df-iota 5381  df-fun 5420  df-fn 5421  df-f 5422  df-f1 5423  df-fo 5424  df-f1o 5425  df-fv 5426  df-riota 6052  df-ov 6094  df-oprab 6095  df-mpt2 6096  df-om 6477  df-1st 6577  df-2nd 6578  df-recs 6832  df-rdg 6866  df-1o 6920  df-oadd 6924  df-er 7101  df-map 7216  df-en 7311  df-dom 7312  df-sdom 7313  df-fin 7314  df-pnf 9420  df-mnf 9421  df-xr 9422  df-ltxr 9423  df-le 9424  df-sub 9597  df-neg 9598  df-nn 10323  df-2 10380  df-3 10381  df-4 10382  df-5 10383  df-6 10384  df-7 10385  df-8 10386  df-9 10387  df-n0 10580  df-z 10647  df-uz 10862  df-fz 11438  df-struct 14176  df-ndx 14177  df-slot 14178  df-base 14179  df-plusg 14251  df-tset 14257  df-symg 15883
This theorem is referenced by:  symgextf1o  15928
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