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Theorem symgextf1 16572
Description: The extension of a permutation, fixing the additional element, is a 1-1 function. (Contributed by AV, 6-Jan-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
symgext.s  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
symgext.e  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
Assertion
Ref Expression
symgextf1  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-> N
)
Distinct variable groups:    x, K    x, N    x, S    x, Z
Allowed substitution hint:    E( x)

Proof of Theorem symgextf1
Dummy variables  y 
z  i  j are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgext.s . . 3  |-  S  =  ( Base `  ( SymGrp `
 ( N  \  { K } ) ) )
2 symgext.e . . 3  |-  E  =  ( x  e.  N  |->  if ( x  =  K ,  K , 
( Z `  x
) ) )
31, 2symgextf 16568 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N --> N )
4 difsnid 4178 . . . . . . . 8  |-  ( K  e.  N  ->  (
( N  \  { K } )  u.  { K } )  =  N )
54eqcomd 2465 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  N  ->  N  =  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } ) )
65eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  (
y  e.  N  <->  y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ) )
75eleq2d 2527 . . . . . 6  |-  ( K  e.  N  ->  (
z  e.  N  <->  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) ) )
86, 7anbi12d 710 . . . . 5  |-  ( K  e.  N  ->  (
( y  e.  N  /\  z  e.  N
)  <->  ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ) ) )
98adantr 465 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  N  /\  z  e.  N )  <->  ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) ) ) )
10 elun 3641 . . . . . 6  |-  ( y  e.  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } )  <->  ( y  e.  ( N  \  { K } )  \/  y  e.  { K } ) )
11 elun 3641 . . . . . 6  |-  ( z  e.  ( ( N 
\  { K }
)  u.  { K } )  <->  ( z  e.  ( N  \  { K } )  \/  z  e.  { K } ) )
121, 2symgextfv 16569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( y  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) ) )
1312com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) ) )
1413adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) ) )
1514imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  ( E `  y )  =  ( Z `  y ) )
161, 2symgextfv 16569 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( z  e.  ( N  \  { K } )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) ) )
1716com12 31 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  ( N  \  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) ) )
1817adantl 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) ) )
1918imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  ( E `  z )  =  ( Z `  z ) )
2015, 19eqeq12d 2479 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  <->  ( Z `  y )  =  ( Z `  z ) ) )
21 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )  =  ( SymGrp `  ( N  \  { K } ) )
2221, 1symgbasf1o 16534 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z  e.  S  ->  Z : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
) )
23 f1of1 5821 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -1-1-onto-> ( N 
\  { K }
)  ->  Z :
( N  \  { K } ) -1-1-> ( N 
\  { K }
) )
24 dff13 6167 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -1-1-> ( N  \  { K } )  <->  ( Z : ( N  \  { K } ) --> ( N  \  { K } )  /\  A. i  e.  ( N  \  { K } ) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j ) ) )
25 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( i  =  y  ->  ( Z `  i )  =  ( Z `  y ) )
2625eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  y  ->  (
( Z `  i
)  =  ( Z `
 j )  <->  ( Z `  y )  =  ( Z `  j ) ) )
27 equequ1 1799 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( i  =  y  ->  (
i  =  j  <->  y  =  j ) )
2826, 27imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( i  =  y  ->  (
( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j )  <->  ( ( Z `
 y )  =  ( Z `  j
)  ->  y  =  j ) ) )
29 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( j  =  z  ->  ( Z `  j )  =  ( Z `  z ) )
3029eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  z  ->  (
( Z `  y
)  =  ( Z `
 j )  <->  ( Z `  y )  =  ( Z `  z ) ) )
31 equequ2 1800 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( j  =  z  ->  (
y  =  j  <->  y  =  z ) )
3230, 31imbi12d 320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( j  =  z  ->  (
( ( Z `  y )  =  ( Z `  j )  ->  y  =  j )  <->  ( ( Z `
 y )  =  ( Z `  z
)  ->  y  =  z ) ) )
3328, 32rspc2va 3220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  A. i  e.  ( N 
\  { K }
) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j ) )  ->  ( ( Z `
 y )  =  ( Z `  z
)  ->  y  =  z ) )
3433expcom 435 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j )  -> 
( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) )
3534a1d 25 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( A. i  e.  ( N  \  { K } ) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j )  -> 
( K  e.  N  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3635adantl 466 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Z : ( N 
\  { K }
) --> ( N  \  { K } )  /\  A. i  e.  ( N 
\  { K }
) A. j  e.  ( N  \  { K } ) ( ( Z `  i )  =  ( Z `  j )  ->  i  =  j ) )  ->  ( K  e.  N  ->  ( (
y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3724, 36sylbi 195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Z : ( N  \  { K } ) -1-1-> ( N  \  { K } )  ->  ( K  e.  N  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3822, 23, 373syl 20 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Z  e.  S  ->  ( K  e.  N  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) ) )
3938impcom 430 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( Z `  y )  =  ( Z `  z )  ->  y  =  z ) ) )
4039impcom 430 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  (
( Z `  y
)  =  ( Z `
 z )  -> 
y  =  z ) )
4120, 40sylbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  /\  ( K  e.  N  /\  Z  e.  S
) )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
4241ex 434 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
431, 2symgextf1lem 16571 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( z  e.  ( N  \  { K } )  /\  y  e.  { K } )  ->  ( E `  z )  =/=  ( E `  y )
) )
44 eqneqall 2664 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( E `  z )  =  ( E `  y )  ->  (
( E `  z
)  =/=  ( E `
 y )  -> 
y  =  z ) )
4544eqcoms 2469 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  (
( E `  z
)  =/=  ( E `
 y )  -> 
y  =  z ) )
4645com12 31 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  z )  =/=  ( E `  y )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
4743, 46syl6com 35 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  y  e.  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
4847ancoms 453 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { K }  /\  z  e.  ( N  \  { K } ) )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
491, 2symgextf1lem 16571 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  /\  z  e.  { K } )  ->  ( E `  y )  =/=  ( E `  z )
) )
50 eqneqall 2664 . . . . . . . . 9  |-  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  (
( E `  y
)  =/=  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
5150com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( E `  y )  =/=  ( E `  z )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) )
5249, 51syl6com 35 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  ( N 
\  { K }
)  /\  z  e.  { K } )  -> 
( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
53 elsni 4057 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  { K }  ->  y  =  K )
54 elsni 4057 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  { K }  ->  z  =  K )
55 eqtr3 2485 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  =  K  /\  z  =  K )  ->  y  =  z )
5655a1d 25 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  =  K  /\  z  =  K )  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) )
5756a1d 25 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  =  K  /\  z  =  K )  ->  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
5853, 54, 57syl2an 477 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  { K }  /\  z  e.  { K } )  ->  (
( K  e.  N  /\  Z  e.  S
)  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
5942, 48, 52, 58ccase 946 . . . . . 6  |-  ( ( ( y  e.  ( N  \  { K } )  \/  y  e.  { K } )  /\  ( z  e.  ( N  \  { K } )  \/  z  e.  { K } ) )  ->  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6010, 11, 59syl2anb 479 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } ) )  ->  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
6160com12 31 . . . 4  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  ( ( N  \  { K } )  u. 
{ K } )  /\  z  e.  ( ( N  \  { K } )  u.  { K } ) )  -> 
( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) ) )
629, 61sylbid 215 . . 3  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  ( ( y  e.  N  /\  z  e.  N )  ->  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
6362ralrimivv 2877 . 2  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  A. y  e.  N  A. z  e.  N  ( ( E `  y )  =  ( E `  z )  ->  y  =  z ) )
64 dff13 6167 . 2  |-  ( E : N -1-1-> N  <->  ( E : N --> N  /\  A. y  e.  N  A. z  e.  N  (
( E `  y
)  =  ( E `
 z )  -> 
y  =  z ) ) )
653, 63, 64sylanbrc 664 1  |-  ( ( K  e.  N  /\  Z  e.  S )  ->  E : N -1-1-> N
)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807    \ cdif 3468    u. cun 3469   ifcif 3944   {csn 4032    |-> cmpt 4515   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594   Basecbs 14643   SymGrpcsymg 16528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-symg 16529
This theorem is referenced by:  symgextf1o  16574
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