MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgcl Structured version   Unicode version

Theorem symgcl 16615
Description: The group operation of the symmetric group on  A is closed, i.e. a magma. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.) (Revised by Mario Carneiro, 28-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgplusg.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgplusg.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symgplusg.3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
Assertion
Ref Expression
symgcl  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )

Proof of Theorem symgcl
StepHypRef Expression
1 symgplusg.1 . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symgplusg.2 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
3 symgplusg.3 . . 3  |-  .+  =  ( +g  `  G )
41, 2, 3symgov 16614 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  =  ( X  o.  Y ) )
51, 2symgbasf1o 16607 . . . 4  |-  ( X  e.  B  ->  X : A -1-1-onto-> A )
61, 2symgbasf1o 16607 . . . 4  |-  ( Y  e.  B  ->  Y : A -1-1-onto-> A )
7 f1oco 5820 . . . 4  |-  ( ( X : A -1-1-onto-> A  /\  Y : A -1-1-onto-> A )  ->  ( X  o.  Y ) : A -1-1-onto-> A )
85, 6, 7syl2an 475 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  o.  Y
) : A -1-1-onto-> A )
9 coexg 6724 . . . 4  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  o.  Y
)  e.  _V )
101, 2elsymgbas2 16605 . . . 4  |-  ( ( X  o.  Y )  e.  _V  ->  (
( X  o.  Y
)  e.  B  <->  ( X  o.  Y ) : A -1-1-onto-> A
) )
119, 10syl 16 . . 3  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( ( X  o.  Y )  e.  B  <->  ( X  o.  Y ) : A -1-1-onto-> A ) )
128, 11mpbird 232 . 2  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  o.  Y
)  e.  B )
134, 12eqeltrd 2542 1  |-  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( X  .+  Y
)  e.  B )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    o. ccom 4992   -1-1-onto->wf1o 5569   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   SymGrpcsymg 16601
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11083  df-fz 11676  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-plusg 14797  df-tset 14803  df-symg 16602
This theorem is referenced by:  symggrp  16624
  Copyright terms: Public domain W3C validator