MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Unicode version

Theorem symgbas 16195
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgbas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgbas  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    G( x)

Proof of Theorem symgbas
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 f1of 5809 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
3 elmapg 7425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
43anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
52, 4syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3569 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A
) )
7 ovex 6302 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  A )  e. 
_V
8 ssexg 4588 . . . . . 6  |-  ( ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A )  /\  ( A  ^m  A )  e.  _V )  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
10 eqid 2462 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }
1110topgrpbas 14636 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
13 symgbas.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
14 eqid 2462 . . . . . 6  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
15 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )  =  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )
16 eqid 2462 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
1713, 14, 15, 16symgval 16194 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } )
1817fveq2d 5863 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
1912, 18eqtr4d 2506 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
) )
20 base0 14520 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
21 f1odm 5813 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  dom  x  =  A )
22 vex 3111 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2322dmex 6709 . . . . . . . . 9  |-  dom  x  e.  _V
2421, 23syl6eqelr 2559 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  A  e.  _V )
2524con3i 135 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  x : A -1-1-onto-> A )
2625pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  (/) ) )
2726abssdv 3569 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/) )
28 ss0 3811 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/)  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
30 fvprc 5853 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
SymGrp `  A )  =  (/) )
3113, 30syl5eq 2515 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  G  =  (/) )
3231fveq2d 5863 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  ( Base `  (/) ) )
3320, 29, 323eqtr4a 2529 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  G )
)
3419, 33pm2.61i 164 . 2  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
)
351, 34eqtr4i 2494 1  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2447   _Vcvv 3108    C_ wss 3471   (/)c0 3780   ~Pcpw 4005   {csn 4022   {ctp 4026   <.cop 4028    X. cxp 4992   dom cdm 4994    o. ccom 4998   -->wf 5577   -1-1-onto->wf1o 5580   ` cfv 5581  (class class class)co 6277    |-> cmpt2 6279    ^m cmap 7412   ndxcnx 14478   Basecbs 14481   +g cplusg 14546  TopSetcts 14552   Xt_cpt 14685   SymGrpcsymg 16192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1963  ax-ext 2440  ax-sep 4563  ax-nul 4571  ax-pow 4620  ax-pr 4681  ax-un 6569  ax-cnex 9539  ax-resscn 9540  ax-1cn 9541  ax-icn 9542  ax-addcl 9543  ax-addrcl 9544  ax-mulcl 9545  ax-mulrcl 9546  ax-mulcom 9547  ax-addass 9548  ax-mulass 9549  ax-distr 9550  ax-i2m1 9551  ax-1ne0 9552  ax-1rid 9553  ax-rnegex 9554  ax-rrecex 9555  ax-cnre 9556  ax-pre-lttri 9557  ax-pre-lttrn 9558  ax-pre-ltadd 9559  ax-pre-mulgt0 9560
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2274  df-mo 2275  df-clab 2448  df-cleq 2454  df-clel 2457  df-nfc 2612  df-ne 2659  df-nel 2660  df-ral 2814  df-rex 2815  df-reu 2816  df-rab 2818  df-v 3110  df-sbc 3327  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3781  df-if 3935  df-pw 4007  df-sn 4023  df-pr 4025  df-tp 4027  df-op 4029  df-uni 4241  df-int 4278  df-iun 4322  df-br 4443  df-opab 4501  df-mpt 4502  df-tr 4536  df-eprel 4786  df-id 4790  df-po 4795  df-so 4796  df-fr 4833  df-we 4835  df-ord 4876  df-on 4877  df-lim 4878  df-suc 4879  df-xp 5000  df-rel 5001  df-cnv 5002  df-co 5003  df-dm 5004  df-rn 5005  df-res 5006  df-ima 5007  df-iota 5544  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-riota 6238  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6674  df-1st 6776  df-2nd 6777  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-oadd 7126  df-er 7303  df-map 7414  df-en 7509  df-dom 7510  df-sdom 7511  df-fin 7512  df-pnf 9621  df-mnf 9622  df-xr 9623  df-ltxr 9624  df-le 9625  df-sub 9798  df-neg 9799  df-nn 10528  df-2 10585  df-3 10586  df-4 10587  df-5 10588  df-6 10589  df-7 10590  df-8 10591  df-9 10592  df-n0 10787  df-z 10856  df-uz 11074  df-fz 11664  df-struct 14483  df-ndx 14484  df-slot 14485  df-base 14486  df-plusg 14559  df-tset 14565  df-symg 16193
This theorem is referenced by:  elsymgbas2  16196  symghash  16200  symgbasfi  16201  symgplusg  16204  symgbas0  16209  symg1bas  16211  symgtset  16214
  Copyright terms: Public domain W3C validator