MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem symgbas 17099
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgbas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgbas  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    G( x)

Proof of Theorem symgbas
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 f1of 5828 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
3 elmapg 7503 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
43anidms 657 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
52, 4syl5ibr 229 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3489 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A
) )
7 ovex 6336 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  A )  e. 
_V
8 ssexg 4542 . . . . . 6  |-  ( ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A )  /\  ( A  ^m  A )  e.  _V )  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 675 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
10 eqid 2471 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }
1110topgrpbas 15365 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
129, 11syl 17 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
13 symgbas.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
14 eqid 2471 . . . . . 6  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
15 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )  =  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )
16 eqid 2471 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
1713, 14, 15, 16symgval 17098 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } )
1817fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
1912, 18eqtr4d 2508 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
) )
20 base0 15240 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
21 f1odm 5832 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  dom  x  =  A )
22 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2322dmex 6745 . . . . . . . . 9  |-  dom  x  e.  _V
2421, 23syl6eqelr 2558 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  A  e.  _V )
2524con3i 142 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  x : A -1-1-onto-> A )
2625pm2.21d 109 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  (/) ) )
2726abssdv 3489 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/) )
28 ss0 3768 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/)  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
2927, 28syl 17 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
30 fvprc 5873 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
SymGrp `  A )  =  (/) )
3113, 30syl5eq 2517 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  G  =  (/) )
3231fveq2d 5883 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  ( Base `  (/) ) )
3320, 29, 323eqtr4a 2531 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  G )
)
3419, 33pm2.61i 169 . 2  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
)
351, 34eqtr4i 2496 1  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 189    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {ctp 3963   <.cop 3965    X. cxp 4837   dom cdm 4839    o. ccom 4843   -->wf 5585   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    ^m cmap 7490   ndxcnx 15196   Basecbs 15199   +g cplusg 15268  TopSetcts 15274   Xt_cpt 15415   SymGrpcsymg 17096
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-fz 11811  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-plusg 15281  df-tset 15287  df-symg 17097
This theorem is referenced by:  elsymgbas2  17100  symghash  17104  symgbasfi  17105  symgplusg  17108  symgbas0  17113  symg1bas  17115  symgtset  17118
  Copyright terms: Public domain W3C validator