MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symgbas Structured version   Unicode version

Theorem symgbas 15989
Description: The base set of the symmetric group. (Contributed by Mario Carneiro, 12-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
symgbas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symgbas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
Assertion
Ref Expression
symgbas  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Distinct variable group:    x, A
Allowed substitution hints:    B( x)    G( x)

Proof of Theorem symgbas
Dummy variables  f 
g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symgbas.2 . 2  |-  B  =  ( Base `  G
)
2 f1of 5741 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x : A
--> A )
3 elmapg 7329 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A  e.  _V  /\  A  e.  _V )  ->  ( x  e.  ( A  ^m  A )  <-> 
x : A --> A ) )
43anidms 645 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x  e.  ( A  ^m  A )  <->  x : A
--> A ) )
52, 4syl5ibr 221 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  _V  ->  (
x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  ( A  ^m  A ) ) )
65abssdv 3526 . . . . . 6  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A
) )
7 ovex 6217 . . . . . 6  |-  ( A  ^m  A )  e. 
_V
8 ssexg 4538 . . . . . 6  |-  ( ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  ( A  ^m  A )  /\  ( A  ^m  A )  e.  _V )  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
96, 7, 8sylancl 662 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V )
10 eqid 2451 . . . . . 6  |-  { <. (
Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. }
1110topgrpbas 14432 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e. 
{ x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
129, 11syl 16 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
13 symgbas.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
14 eqid 2451 . . . . . 6  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
15 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )  =  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) )
16 eqid 2451 . . . . . 6  |-  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )  =  ( Xt_ `  ( A  X.  { ~P A } ) )
1713, 14, 15, 16symgval 15988 . . . . 5  |-  ( A  e.  _V  ->  G  =  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } )
1817fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( A  e.  _V  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  { <. ( Base `  ndx ) ,  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } >. ,  <. ( +g  `  ndx ) ,  ( f  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A } ,  g  e.  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  |->  ( f  o.  g
) ) >. ,  <. (TopSet `  ndx ) ,  (
Xt_ `  ( A  X.  { ~P A }
) ) >. } ) )
1912, 18eqtr4d 2495 . . 3  |-  ( A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
) )
20 base0 14317 . . . 4  |-  (/)  =  (
Base `  (/) )
21 f1odm 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  dom  x  =  A )
22 vex 3073 . . . . . . . . . 10  |-  x  e. 
_V
2322dmex 6613 . . . . . . . . 9  |-  dom  x  e.  _V
2421, 23syl6eqelr 2548 . . . . . . . 8  |-  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  A  e.  _V )
2524con3i 135 . . . . . . 7  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  -.  x : A -1-1-onto-> A )
2625pm2.21d 106 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  ( x : A -1-1-onto-> A  ->  x  e.  (/) ) )
2726abssdv 3526 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/) )
28 ss0 3768 . . . . 5  |-  ( { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  C_  (/)  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
2927, 28syl 16 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (/) )
30 fvprc 5785 . . . . . 6  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
SymGrp `  A )  =  (/) )
3113, 30syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  G  =  (/) )
3231fveq2d 5795 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  (
Base `  G )  =  ( Base `  (/) ) )
3320, 29, 323eqtr4a 2518 . . 3  |-  ( -.  A  e.  _V  ->  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  (
Base `  G )
)
3419, 33pm2.61i 164 . 2  |-  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }  =  ( Base `  G
)
351, 34eqtr4i 2483 1  |-  B  =  { x  |  x : A -1-1-onto-> A }
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 184    = wceq 1370    e. wcel 1758   {cab 2436   _Vcvv 3070    C_ wss 3428   (/)c0 3737   ~Pcpw 3960   {csn 3977   {ctp 3981   <.cop 3983    X. cxp 4938   dom cdm 4940    o. ccom 4944   -->wf 5514   -1-1-onto->wf1o 5517   ` cfv 5518  (class class class)co 6192    |-> cmpt2 6194    ^m cmap 7316   ndxcnx 14275   Basecbs 14278   +g cplusg 14342  TopSetcts 14348   Xt_cpt 14481   SymGrpcsymg 15986
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-sep 4513  ax-nul 4521  ax-pow 4570  ax-pr 4631  ax-un 6474  ax-cnex 9441  ax-resscn 9442  ax-1cn 9443  ax-icn 9444  ax-addcl 9445  ax-addrcl 9446  ax-mulcl 9447  ax-mulrcl 9448  ax-mulcom 9449  ax-addass 9450  ax-mulass 9451  ax-distr 9452  ax-i2m1 9453  ax-1ne0 9454  ax-1rid 9455  ax-rnegex 9456  ax-rrecex 9457  ax-cnre 9458  ax-pre-lttri 9459  ax-pre-lttrn 9460  ax-pre-ltadd 9461  ax-pre-mulgt0 9462
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rab 2804  df-v 3072  df-sbc 3287  df-csb 3389  df-dif 3431  df-un 3433  df-in 3435  df-ss 3442  df-pss 3444  df-nul 3738  df-if 3892  df-pw 3962  df-sn 3978  df-pr 3980  df-tp 3982  df-op 3984  df-uni 4192  df-int 4229  df-iun 4273  df-br 4393  df-opab 4451  df-mpt 4452  df-tr 4486  df-eprel 4732  df-id 4736  df-po 4741  df-so 4742  df-fr 4779  df-we 4781  df-ord 4822  df-on 4823  df-lim 4824  df-suc 4825  df-xp 4946  df-rel 4947  df-cnv 4948  df-co 4949  df-dm 4950  df-rn 4951  df-res 4952  df-ima 4953  df-iota 5481  df-fun 5520  df-fn 5521  df-f 5522  df-f1 5523  df-fo 5524  df-f1o 5525  df-fv 5526  df-riota 6153  df-ov 6195  df-oprab 6196  df-mpt2 6197  df-om 6579  df-1st 6679  df-2nd 6680  df-recs 6934  df-rdg 6968  df-1o 7022  df-oadd 7026  df-er 7203  df-map 7318  df-en 7413  df-dom 7414  df-sdom 7415  df-fin 7416  df-pnf 9523  df-mnf 9524  df-xr 9525  df-ltxr 9526  df-le 9527  df-sub 9700  df-neg 9701  df-nn 10426  df-2 10483  df-3 10484  df-4 10485  df-5 10486  df-6 10487  df-7 10488  df-8 10489  df-9 10490  df-n0 10683  df-z 10750  df-uz 10965  df-fz 11541  df-struct 14280  df-ndx 14281  df-slot 14282  df-base 14283  df-plusg 14355  df-tset 14361  df-symg 15987
This theorem is referenced by:  elsymgbas2  15990  symghash  15994  symgbasfi  15995  symgplusg  15998  symgbas0  16003  symg1bas  16005  symgtset  16008
  Copyright terms: Public domain W3C validator