MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2hash Structured version   Unicode version

Theorem symg2hash 15907
Description: The symmetric group on a (proper) pair has cardinality  2. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symg1bas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symg2bas.0  |-  A  =  { I ,  J }
Assertion
Ref Expression
symg2hash  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  B )  =  2 )

Proof of Theorem symg2hash
StepHypRef Expression
1 symg2bas.0 . . . 4  |-  A  =  { I ,  J }
2 prfi 7591 . . . 4  |-  { I ,  J }  e.  Fin
31, 2eqeltri 2513 . . 3  |-  A  e. 
Fin
4 symg1bas.1 . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
5 symg1bas.2 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5symghash 15895 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  =  ( ! `  ( # `
 A ) ) )
73, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  B )  =  ( ! `  ( # `  A ) )
81fveq2i 5699 . . . . 5  |-  ( # `  A )  =  (
# `  { I ,  J } )
9 elex 2986 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
10 elex 2986 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  W  ->  J  e.  _V )
11 id 22 . . . . . . 7  |-  ( I  =/=  J  ->  I  =/=  J )
129, 10, 113anim123i 1173 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( I  e.  _V  /\  J  e.  _V  /\  I  =/=  J ) )
13 hashprb 12162 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  J  e.  _V  /\  I  =/=  J )  <->  ( # `  {
I ,  J }
)  =  2 )
1412, 13sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  { I ,  J } )  =  2 )
158, 14syl5eq 2487 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  A )  =  2 )
1615fveq2d 5700 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( ! `  ( # `
 A ) )  =  ( ! ` 
2 ) )
17 fac2 12062 . . 3  |-  ( ! `
 2 )  =  2
1816, 17syl6eq 2491 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( ! `  ( # `
 A ) )  =  2 )
197, 18syl5eq 2487 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  B )  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   _Vcvv 2977   {cpr 3884   ` cfv 5423   Fincfn 7315   2c2 10376   !cfa 12056   #chash 12108   Basecbs 14179   SymGrpcsymg 15887
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-er 7106  df-map 7221  df-pm 7222  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-card 8114  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-4 10387  df-5 10388  df-6 10389  df-7 10390  df-8 10391  df-9 10392  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-fz 11443  df-seq 11812  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-struct 14181  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-plusg 14256  df-tset 14262  df-symg 15888
This theorem is referenced by:  symg2bas  15908
  Copyright terms: Public domain W3C validator