MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2hash Structured version   Unicode version

Theorem symg2hash 16548
Description: The symmetric group on a (proper) pair has cardinality  2. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symg1bas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symg2bas.0  |-  A  =  { I ,  J }
Assertion
Ref Expression
symg2hash  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  B )  =  2 )

Proof of Theorem symg2hash
StepHypRef Expression
1 symg2bas.0 . . . 4  |-  A  =  { I ,  J }
2 prfi 7813 . . . 4  |-  { I ,  J }  e.  Fin
31, 2eqeltri 2541 . . 3  |-  A  e. 
Fin
4 symg1bas.1 . . . 4  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
5 symg1bas.2 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
64, 5symghash 16536 . . 3  |-  ( A  e.  Fin  ->  ( # `
 B )  =  ( ! `  ( # `
 A ) ) )
73, 6ax-mp 5 . 2  |-  ( # `  B )  =  ( ! `  ( # `  A ) )
81fveq2i 5875 . . . . 5  |-  ( # `  A )  =  (
# `  { I ,  J } )
9 elex 3118 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  _V )
10 elex 3118 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  W  ->  J  e.  _V )
11 id 22 . . . . . . 7  |-  ( I  =/=  J  ->  I  =/=  J )
129, 10, 113anim123i 1181 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( I  e.  _V  /\  J  e.  _V  /\  I  =/=  J ) )
13 hashprb 12465 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  _V  /\  J  e.  _V  /\  I  =/=  J )  <->  ( # `  {
I ,  J }
)  =  2 )
1412, 13sylib 196 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  { I ,  J } )  =  2 )
158, 14syl5eq 2510 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  A )  =  2 )
1615fveq2d 5876 . . 3  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( ! `  ( # `
 A ) )  =  ( ! ` 
2 ) )
17 fac2 12361 . . 3  |-  ( ! `
 2 )  =  2
1816, 17syl6eq 2514 . 2  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( ! `  ( # `
 A ) )  =  2 )
197, 18syl5eq 2510 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  B )  =  2 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   _Vcvv 3109   {cpr 4034   ` cfv 5594   Fincfn 7535   2c2 10606   !cfa 12355   #chash 12407   Basecbs 14643   SymGrpcsymg 16528
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-map 7440  df-pm 7441  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-4 10617  df-5 10618  df-6 10619  df-7 10620  df-8 10621  df-9 10622  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-struct 14645  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-plusg 14724  df-tset 14730  df-symg 16529
This theorem is referenced by:  symg2bas  16549
  Copyright terms: Public domain W3C validator