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Mirrors > Home > MPE Home > Th. List > symg2bas | Structured version Unicode version |
Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 16012. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.) |
Ref | Expression |
---|---|
symg1bas.1 |
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symg1bas.2 |
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symg2bas.0 |
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Ref | Expression |
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symg2bas |
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Step | Hyp | Ref | Expression |
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1 | eqid 2451 |
. . . . 5
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2 | eqid 2451 |
. . . . 5
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3 | eqid 2451 |
. . . . 5
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4 | 1, 2, 3 | symg1bas 16012 |
. . . 4
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5 | 4 | ad2antll 728 |
. . 3
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6 | symg1bas.2 |
. . . 4
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7 | symg1bas.1 |
. . . . . 6
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8 | symg2bas.0 |
. . . . . . . 8
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9 | df-pr 3981 |
. . . . . . . . 9
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10 | sneq 3988 |
. . . . . . . . . . . 12
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11 | 10 | uneq1d 3610 |
. . . . . . . . . . 11
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12 | 11 | adantr 465 |
. . . . . . . . . 10
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13 | unidm 3600 |
. . . . . . . . . 10
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14 | 12, 13 | syl6eq 2508 |
. . . . . . . . 9
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15 | 9, 14 | syl5eq 2504 |
. . . . . . . 8
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16 | 8, 15 | syl5eq 2504 |
. . . . . . 7
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17 | 16 | fveq2d 5796 |
. . . . . 6
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18 | 7, 17 | syl5eq 2504 |
. . . . 5
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19 | 18 | fveq2d 5796 |
. . . 4
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20 | 6, 19 | syl5eq 2504 |
. . 3
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21 | id 22 |
. . . . . . . . 9
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22 | 21, 21 | opeq12d 4168 |
. . . . . . . 8
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23 | 22 | adantr 465 |
. . . . . . 7
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24 | 23 | preq1d 4061 |
. . . . . 6
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25 | eqid 2451 |
. . . . . . 7
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26 | opex 4657 |
. . . . . . . 8
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27 | 26, 26, 26 | preqsn 4156 |
. . . . . . 7
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28 | 25, 25, 27 | mpbir2an 911 |
. . . . . 6
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29 | 24, 28 | syl6eq 2508 |
. . . . 5
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30 | opeq1 4160 |
. . . . . . . 8
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31 | opeq2 4161 |
. . . . . . . 8
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32 | 30, 31 | preq12d 4063 |
. . . . . . 7
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33 | 32, 28 | syl6eq 2508 |
. . . . . 6
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34 | 33 | adantr 465 |
. . . . 5
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35 | 29, 34 | preq12d 4063 |
. . . 4
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36 | eqid 2451 |
. . . . 5
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37 | snex 4634 |
. . . . . 6
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38 | 37, 37, 37 | preqsn 4156 |
. . . . 5
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39 | 36, 36, 38 | mpbir2an 911 |
. . . 4
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40 | 35, 39 | syl6eq 2508 |
. . 3
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41 | 5, 20, 40 | 3eqtr4d 2502 |
. 2
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42 | fvex 5802 |
. . . . 5
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43 | 6, 42 | eqeltri 2535 |
. . . 4
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44 | 43 | a1i 11 |
. . 3
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45 | df-ne 2646 |
. . . . . . . 8
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46 | 45 | biimpri 206 |
. . . . . . 7
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47 | 46 | anim2i 569 |
. . . . . 6
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48 | df-3an 967 |
. . . . . 6
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49 | 47, 48 | sylibr 212 |
. . . . 5
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50 | 49 | ancoms 453 |
. . . 4
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51 | 7, 6, 8 | symg2hash 16013 |
. . . 4
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52 | 50, 51 | syl 16 |
. . 3
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53 | id 22 |
. . . . . . . 8
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54 | 53 | ancri 552 |
. . . . . . 7
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55 | id 22 |
. . . . . . . 8
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56 | 55 | ancri 552 |
. . . . . . 7
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57 | 54, 56 | anim12i 566 |
. . . . . 6
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58 | id 22 |
. . . . . . . 8
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59 | 58 | ancri 552 |
. . . . . . 7
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60 | 45, 59 | sylbir 213 |
. . . . . 6
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61 | f1oprg 5782 |
. . . . . . 7
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62 | 61 | imp 429 |
. . . . . 6
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63 | 57, 60, 62 | syl2anr 478 |
. . . . 5
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64 | eqidd 2452 |
. . . . . . 7
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65 | id 22 |
. . . . . . 7
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66 | 64, 65, 65 | f1oeq123d 5739 |
. . . . . 6
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67 | 8, 66 | ax-mp 5 |
. . . . 5
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68 | 63, 67 | sylibr 212 |
. . . 4
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69 | prex 4635 |
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70 | 7, 6 | elsymgbas2 15997 |
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71 | 69, 70 | ax-mp 5 |
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72 | 68, 71 | sylibr 212 |
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73 | f1oprswap 5781 |
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74 | eqidd 2452 |
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75 | 74, 65, 65 | f1oeq123d 5739 |
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76 | 8, 75 | ax-mp 5 |
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77 | 73, 76 | sylibr 212 |
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79 | prex 4635 |
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83 | opex 4657 |
. . . . . 6
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84 | 83, 26 | pm3.2i 455 |
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86 | opex 4657 |
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87 | 85, 86 | pm3.2i 455 |
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88 | 84, 87 | pm3.2i 455 |
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89 | opthg2 4670 |
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90 | simpr 461 |
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91 | 89, 90 | syl6bi 228 |
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92 | 91 | necon3d 2672 |
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94 | 45, 93 | sylbir 213 |
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95 | 94 | imp 429 |
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96 | 54 | adantr 465 |
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97 | opthg 4668 |
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98 | 96, 97 | syl 16 |
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99 | simpl 457 |
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101 | 100 | necon3d 2672 |
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103 | 45, 102 | sylbir 213 |
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104 | 103 | imp 429 |
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106 | 105 | orcd 392 |
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107 | prneimg 4154 |
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108 | 88, 106, 107 | mpsyl 63 |
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109 | hash2prd 12292 |
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110 | 109 | imp 429 |
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111 | 44, 52, 72, 82, 108, 110 | syl23anc 1226 |
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112 | 41, 111 | pm2.61ian 788 |
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Colors of variables: wff setvar class |
Syntax hints: ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
This theorem was proved from axioms: ax-mp 5 ax-1 6 ax-2 7 ax-3 8 ax-gen 1592 ax-4 1603 ax-5 1671 ax-6 1710 ax-7 1730 ax-8 1760 ax-9 1762 ax-10 1777 ax-11 1782 ax-12 1794 ax-13 1952 ax-ext 2430 ax-rep 4504 ax-sep 4514 ax-nul 4522 ax-pow 4571 ax-pr 4632 ax-un 6475 ax-cnex 9442 ax-resscn 9443 ax-1cn 9444 ax-icn 9445 ax-addcl 9446 ax-addrcl 9447 ax-mulcl 9448 ax-mulrcl 9449 ax-mulcom 9450 ax-addass 9451 ax-mulass 9452 ax-distr 9453 ax-i2m1 9454 ax-1ne0 9455 ax-1rid 9456 ax-rnegex 9457 ax-rrecex 9458 ax-cnre 9459 ax-pre-lttri 9460 ax-pre-lttrn 9461 ax-pre-ltadd 9462 ax-pre-mulgt0 9463 |
This theorem depends on definitions: df-bi 185 df-or 370 df-an 371 df-3or 966 df-3an 967 df-tru 1373 df-ex 1588 df-nf 1591 df-sb 1703 df-eu 2264 df-mo 2265 df-clab 2437 df-cleq 2443 df-clel 2446 df-nfc 2601 df-ne 2646 df-nel 2647 df-ral 2800 df-rex 2801 df-reu 2802 df-rmo 2803 df-rab 2804 df-v 3073 df-sbc 3288 df-csb 3390 df-dif 3432 df-un 3434 df-in 3436 df-ss 3443 df-pss 3445 df-nul 3739 df-if 3893 df-pw 3963 df-sn 3979 df-pr 3981 df-tp 3983 df-op 3985 df-uni 4193 df-int 4230 df-iun 4274 df-br 4394 df-opab 4452 df-mpt 4453 df-tr 4487 df-eprel 4733 df-id 4737 df-po 4742 df-so 4743 df-fr 4780 df-we 4782 df-ord 4823 df-on 4824 df-lim 4825 df-suc 4826 df-xp 4947 df-rel 4948 df-cnv 4949 df-co 4950 df-dm 4951 df-rn 4952 df-res 4953 df-ima 4954 df-iota 5482 df-fun 5521 df-fn 5522 df-f 5523 df-f1 5524 df-fo 5525 df-f1o 5526 df-fv 5527 df-riota 6154 df-ov 6196 df-oprab 6197 df-mpt2 6198 df-om 6580 df-1st 6680 df-2nd 6681 df-recs 6935 df-rdg 6969 df-1o 7023 df-2o 7024 df-oadd 7027 df-er 7204 df-map 7319 df-pm 7320 df-en 7414 df-dom 7415 df-sdom 7416 df-fin 7417 df-card 8213 df-cda 8441 df-pnf 9524 df-mnf 9525 df-xr 9526 df-ltxr 9527 df-le 9528 df-sub 9701 df-neg 9702 df-div 10098 df-nn 10427 df-2 10484 df-3 10485 df-4 10486 df-5 10487 df-6 10488 df-7 10489 df-8 10490 df-9 10491 df-n0 10684 df-z 10751 df-uz 10966 df-fz 11548 df-seq 11917 df-fac 12162 df-bc 12189 df-hash 12214 df-struct 14287 df-ndx 14288 df-slot 14289 df-base 14290 df-plusg 14362 df-tset 14368 df-symg 15994 |
This theorem is referenced by: psgnprfval 16138 m2detleiblem1 18555 m2detleiblem5 18556 m2detleiblem6 18557 m2detleiblem3 18560 m2detleiblem4 18561 m2detleib 18562 |
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