MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2bas Structured version   Unicode version

Theorem symg2bas 16745
Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 16743. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symg1bas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symg2bas.0  |-  A  =  { I ,  J }
Assertion
Ref Expression
symg2bas  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } } )

Proof of Theorem symg2bas
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( SymGrp `  { J } )  =  ( SymGrp `  { J } )
2 eqid 2402 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  { J } ) )  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { J }
) )
3 eqid 2402 . . . . 5  |-  { J }  =  { J }
41, 2, 3symg1bas 16743 . . . 4  |-  ( J  e.  W  ->  ( Base `  ( SymGrp `  { J } ) )  =  { { <. J ,  J >. } } )
54ad2antll 727 . . 3  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( Base `  ( SymGrp `  { J } ) )  =  { { <. J ,  J >. } } )
6 symg1bas.2 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 symg1bas.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
8 symg2bas.0 . . . . . . . 8  |-  A  =  { I ,  J }
9 df-pr 3974 . . . . . . . . 9  |-  { I ,  J }  =  ( { I }  u.  { J } )
10 sneq 3981 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  J  ->  { I }  =  { J } )
1110uneq1d 3595 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  J  ->  ( { I }  u.  { J } )  =  ( { J }  u.  { J } ) )
1211adantr 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( { I }  u.  { J } )  =  ( { J }  u.  { J } ) )
13 unidm 3585 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  u.  { J } )  =  { J }
1412, 13syl6eq 2459 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( { I }  u.  { J } )  =  { J } )
159, 14syl5eq 2455 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { I ,  J }  =  { J } )
168, 15syl5eq 2455 . . . . . . 7  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  A  =  { J } )
1716fveq2d 5852 . . . . . 6  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( SymGrp `
 A )  =  ( SymGrp `  { J } ) )
187, 17syl5eq 2455 . . . . 5  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  G  =  ( SymGrp `  { J } ) )
1918fveq2d 5852 . . . 4  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { J }
) ) )
206, 19syl5eq 2455 . . 3  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  B  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { J }
) ) )
21 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  J  ->  I  =  J )
2221, 21opeq12d 4166 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  J  ->  <. I ,  I >.  =  <. J ,  J >. )
2322adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  <. I ,  I >.  =  <. J ,  J >. )
2423preq1d 4056 . . . . . 6  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. ,  <. J ,  J >. } )
25 eqid 2402 . . . . . . 7  |-  <. J ,  J >.  =  <. J ,  J >.
26 opex 4654 . . . . . . . 8  |-  <. J ,  J >.  e.  _V
2726, 26, 26preqsn 4154 . . . . . . 7  |-  ( {
<. J ,  J >. , 
<. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }  <->  ( <. J ,  J >.  =  <. J ,  J >.  /\  <. J ,  J >.  =  <. J ,  J >. )
)
2825, 25, 27mpbir2an 921 . . . . . 6  |-  { <. J ,  J >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }
2924, 28syl6eq 2459 . . . . 5  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. } )
30 opeq1 4158 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  J  ->  <. I ,  J >.  =  <. J ,  J >. )
31 opeq2 4159 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  J  ->  <. J ,  I >.  =  <. J ,  J >. )
3230, 31preq12d 4058 . . . . . . 7  |-  ( I  =  J  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. J ,  J >. ,  <. J ,  J >. } )
3332, 28syl6eq 2459 . . . . . 6  |-  ( I  =  J  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. J ,  J >. } )
3433adantr 463 . . . . 5  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. J ,  J >. } )
3529, 34preq12d 4058 . . . 4  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }  =  { { <. J ,  J >. } ,  { <. J ,  J >. } }
)
36 eqid 2402 . . . . 5  |-  { <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }
37 snex 4631 . . . . . 6  |-  { <. J ,  J >. }  e.  _V
3837, 37, 37preqsn 4154 . . . . 5  |-  ( { { <. J ,  J >. } ,  { <. J ,  J >. } }  =  { { <. J ,  J >. } }  <->  ( { <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }  /\  { <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. } ) )
3936, 36, 38mpbir2an 921 . . . 4  |-  { { <. J ,  J >. } ,  { <. J ,  J >. } }  =  { { <. J ,  J >. } }
4035, 39syl6eq 2459 . . 3  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }  =  { { <. J ,  J >. } } )
415, 20, 403eqtr4d 2453 . 2  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. } } )
42 fvex 5858 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
436, 42eqeltri 2486 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4443a1i 11 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  B  e.  _V )
45 df-ne 2600 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  <->  -.  I  =  J )
4645biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  =  J  ->  I  =/=  J )
4746anim2i 567 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  /\  -.  I  =  J )  ->  (
( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  /\  I  =/=  J ) )
48 df-3an 976 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  <->  ( (
I  e.  V  /\  J  e.  W )  /\  I  =/=  J
) )
4947, 48sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  /\  -.  I  =  J )  ->  (
I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J ) )
5049ancoms 451 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J
) )
517, 6, 8symg2hash 16744 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  B )  =  2 )
5250, 51syl 17 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( # `  B )  =  2 )
53 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  V )
5453ancri 550 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  e.  V  /\  I  e.  V )
)
55 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  W  ->  J  e.  W )
5655ancri 550 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  W  ->  ( J  e.  W  /\  J  e.  W )
)
5754, 56anim12i 564 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  /\  ( J  e.  W  /\  J  e.  W )
) )
58 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  ->  I  =/=  J )
5958ancri 550 . . . . . . 7  |-  ( I  =/=  J  ->  (
I  =/=  J  /\  I  =/=  J ) )
6045, 59sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( -.  I  =  J  -> 
( I  =/=  J  /\  I  =/=  J
) )
61 f1oprg 5838 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V
)  /\  ( J  e.  W  /\  J  e.  W ) )  -> 
( ( I  =/= 
J  /\  I  =/=  J )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : {
I ,  J } -1-1-onto-> {
I ,  J }
) )
6261imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  /\  ( J  e.  W  /\  J  e.  W )
)  /\  ( I  =/=  J  /\  I  =/= 
J ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
6357, 60, 62syl2anr 476 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
64 eqidd 2403 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } )
65 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  A  =  { I ,  J } )
6664, 65, 65f1oeq123d 5795 . . . . . 6  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : {
I ,  J } -1-1-onto-> {
I ,  J }
) )
678, 66ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( {
<. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
6863, 67sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A )
69 prex 4632 . . . . 5  |-  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  _V
707, 6elsymgbas2 16728 . . . . 5  |-  ( {
<. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. }  e.  _V  ->  ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A
) )
7169, 70ax-mp 5 . . . 4  |-  ( {
<. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. }  e.  B  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A
)
7268, 71sylibr 212 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B )
73 f1oprswap 5837 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
74 eqidd 2403 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } )
7574, 65, 65f1oeq123d 5795 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  ( { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : {
I ,  J } -1-1-onto-> {
I ,  J }
) )
768, 75ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
7773, 76sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A )
7877adantl 464 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A )
79 prex 4632 . . . . 5  |-  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  _V
807, 6elsymgbas2 16728 . . . . 5  |-  ( {
<. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. }  e.  _V  ->  ( { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A
) )
8179, 80ax-mp 5 . . . 4  |-  ( {
<. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. }  e.  B  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A
)
8278, 81sylibr 212 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B )
83 opex 4654 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
8483, 26pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( <.
I ,  I >.  e. 
_V  /\  <. J ,  J >.  e.  _V )
85 opex 4654 . . . . . 6  |-  <. I ,  J >.  e.  _V
86 opex 4654 . . . . . 6  |-  <. J ,  I >.  e.  _V
8785, 86pm3.2i 453 . . . . 5  |-  ( <.
I ,  J >.  e. 
_V  /\  <. J ,  I >.  e.  _V )
8884, 87pm3.2i 453 . . . 4  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  <. J ,  J >.  e.  _V )  /\  ( <. I ,  J >.  e.  _V  /\  <. J ,  I >.  e.  _V ) )
89 opthg2 4667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. I ,  J >.  <-> 
( I  =  I  /\  I  =  J ) ) )
90 eqtr 2428 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  =  I  /\  I  =  J )  ->  I  =  J )
9189, 90syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. I ,  J >.  ->  I  =  J ) )
9291necon3d 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  =/=  J  -> 
<. I ,  I >.  =/= 
<. I ,  J >. ) )
9392com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  ->  (
( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >. ) )
9445, 93sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  =  J  -> 
( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >. ) )
9594imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  <. I ,  I >.  =/= 
<. I ,  J >. )
9654adantr 463 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  e.  V  /\  I  e.  V
) )
97 opthg 4665 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. J ,  I >.  <-> 
( I  =  J  /\  I  =  I ) ) )
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. J ,  I >.  <-> 
( I  =  J  /\  I  =  I ) ) )
99 simpl 455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  =  J  /\  I  =  I )  ->  I  =  J )
10098, 99syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. J ,  I >.  ->  I  =  J ) )
101100necon3d 2627 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  =/=  J  -> 
<. I ,  I >.  =/= 
<. J ,  I >. ) )
102101com12 29 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  ->  (
( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. ) )
10345, 102sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  =  J  -> 
( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. ) )
104103imp 427 . . . . . 6  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  <. I ,  I >.  =/= 
<. J ,  I >. )
10595, 104jca 530 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >.  /\  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. ) )
106105orcd 390 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( ( <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >.  /\  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. )  \/  ( <. J ,  J >.  =/= 
<. I ,  J >.  /\ 
<. J ,  J >.  =/= 
<. J ,  I >. ) ) )
107 prneimg 4152 . . . 4  |-  ( ( ( <. I ,  I >.  e.  _V  /\  <. J ,  J >.  e.  _V )  /\  ( <. I ,  J >.  e.  _V  /\ 
<. J ,  I >.  e. 
_V ) )  -> 
( ( ( <.
I ,  I >.  =/= 
<. I ,  J >.  /\ 
<. I ,  I >.  =/= 
<. J ,  I >. )  \/  ( <. J ,  J >.  =/=  <. I ,  J >.  /\  <. J ,  J >.  =/=  <. J ,  I >. ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } ) )
10888, 106, 107mpsyl 62 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } )
109 hash2prd 12565 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( # `  B )  =  2 )  -> 
( ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B  /\  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B  /\  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }
) )
110109imp 427 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  _V  /\  ( # `  B
)  =  2 )  /\  ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B  /\  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B  /\  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } ) )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }
)
11144, 52, 72, 82, 108, 110syl23anc 1237 . 2  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } } )
11241, 111pm2.61ian 791 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 366    /\ wa 367    /\ w3a 974    = wceq 1405    e. wcel 1842    =/= wne 2598   _Vcvv 3058    u. cun 3411   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568   2c2 10625   #chash 12450   Basecbs 14839   SymGrpcsymg 16724
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-tset 14926  df-symg 16725
This theorem is referenced by:  psgnprfval  16868  m2detleiblem1  19416  m2detleiblem5  19417  m2detleiblem6  19418  m2detleiblem3  19421  m2detleiblem4  19422  m2detleib  19423
  Copyright terms: Public domain W3C validator