Theorem symg2bas 16745

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 16743. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	|- G = ( SymGrp ` A )
symg1bas.2	|- B = ( Base ` G )
symg2bas.0	|- A = { I , J }

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	|- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2402	. . . . 5 |- ( SymGrp ` { J } ) = ( SymGrp ` { J } )
2		eqid 2402	. . . . 5 |- ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) )
3		eqid 2402	. . . . 5 |- { J } = { J }
4	1, 2, 3	symg1bas 16743	. . . 4 |- ( J e. W -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
5	4	ad2antll 727	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
6		symg1bas.2	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		symg1bas.1	. . . . . 6 |- G = ( SymGrp ` A )
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 |- A = { I , J }
9		df-pr 3974	. . . . . . . . 9 |- { I , J } = ( { I } u. { J } )
10		sneq 3981	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I = J -> { I } = { J } )
11	10	uneq1d 3595	. . . . . . . . . . 11 |- ( I = J -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
12	11	adantr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
13		unidm 3585	. . . . . . . . . 10 |- ( { J } u. { J } ) = { J }
14	12, 13	syl6eq 2459	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = { J } )
15	9, 14	syl5eq 2455	. . . . . . . 8 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { I , J } = { J } )
16	8, 15	syl5eq 2455	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> A = { J } )
17	16	fveq2d 5852	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( SymGrp ` A ) = ( SymGrp ` { J } ) )
18	7, 17	syl5eq 2455	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> G = ( SymGrp ` { J } ) )
19	18	fveq2d 5852	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
20	6, 19	syl5eq 2455	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
21		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( I = J -> I = J )
22	21, 21	opeq12d 4166	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , I >. = <. J , J >. )
23	22	adantr 463	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. = <. J , J >. )
24	23	preq1d 4056	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
25		eqid 2402	. . . . . . 7 |- <. J , J >. = <. J , J >.
26		opex 4654	. . . . . . . 8 |- <. J , J >. e. _V
27	26, 26, 26	preqsn 4154	. . . . . . 7 |- ( { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } <-> ( <. J , J >. = <. J , J >. /\ <. J , J >. = <. J , J >. ) )
28	25, 25, 27	mpbir2an 921	. . . . . 6 |- { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. }
29	24, 28	syl6eq 2459	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } )
30		opeq1 4158	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , J >. = <. J , J >. )
31		opeq2 4159	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. J , I >. = <. J , J >. )
32	30, 31	preq12d 4058	. . . . . . 7 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
33	32, 28	syl6eq 2459	. . . . . 6 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
34	33	adantr 463	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
35	29, 34	preq12d 4058	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } )
36		eqid 2402	. . . . 5 |- { <. J , J >. } = { <. J , J >. }
37		snex 4631	. . . . . 6 |- { <. J , J >. } e. _V
38	37, 37, 37	preqsn 4154	. . . . 5 |- ( { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } } <-> ( { <. J , J >. } = { <. J , J >. } /\ { <. J , J >. } = { <. J , J >. } ) )
39	36, 36, 38	mpbir2an 921	. . . 4 |- { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } }
40	35, 39	syl6eq 2459	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } } )
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2453	. 2 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
42		fvex 5858	. . . . 5 |- ( Base ` G ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2486	. . . 4 |- B e. _V
44	43	a1i 11	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B e. _V )
45		df-ne 2600	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J <-> -. I = J )
46	45	biimpri 206	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> I =/= J )
47	46	anim2i 567	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
48		df-3an 976	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) <-> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
49	47, 48	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
50	49	ancoms 451	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
51	7, 6, 8	symg2hash 16744	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) -> ( # ` B ) = 2 )
52	50, 51	syl 17	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( # ` B ) = 2 )
53		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> I e. V )
54	53	ancri 550	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( I e. V /\ I e. V ) )
55		id 22	. . . . . . . 8 |- ( J e. W -> J e. W )
56	55	ancri 550	. . . . . . 7 |- ( J e. W -> ( J e. W /\ J e. W ) )
57	54, 56	anim12i 564	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) )
58		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> I =/= J )
59	58	ancri 550	. . . . . . 7 |- ( I =/= J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
60	45, 59	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( -. I = J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
61		f1oprg 5838	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) -> ( ( I =/= J /\ I =/= J ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
62	61	imp 427	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) /\ ( I =/= J /\ I =/= J ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
63	57, 60, 62	syl2anr 476	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
64		eqidd 2403	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. I , I >. , <. J , J >. } )
65		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> A = { I , J } )
66	64, 65, 65	f1oeq123d 5795	. . . . . 6 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
68	63, 67	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
69		prex 4632	. . . . 5 |- { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V
70	7, 6	elsymgbas2 16728	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A ) )
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
72	68, 71	sylibr 212	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B )
73		f1oprswap 5837	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
74		eqidd 2403	. . . . . . . 8 |- ( A = { I , J } -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. I , J >. , <. J , I >. } )
75	74, 65, 65	f1oeq123d 5795	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
76	8, 75	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
77	73, 76	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
78	77	adantl 464	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
79		prex 4632	. . . . 5 |- { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V
80	7, 6	elsymgbas2 16728	. . . . 5 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
82	78, 81	sylibr 212	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B )
83		opex 4654	. . . . . 6 |- <. I , I >. e. _V
84	83, 26	pm3.2i 453	. . . . 5 |- ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V )
85		opex 4654	. . . . . 6 |- <. I , J >. e. _V
86		opex 4654	. . . . . 6 |- <. J , I >. e. _V
87	85, 86	pm3.2i 453	. . . . 5 |- ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V )
88	84, 87	pm3.2i 453	. . . 4 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) )
89		opthg2 4667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. <-> ( I = I /\ I = J ) ) )
90		eqtr 2428	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = I /\ I = J ) -> I = J )
91	89, 90	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. -> I = J ) )
92	91	necon3d 2627	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
93	92	com12 29	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
94	45, 93	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
95	94	imp 427	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. )
96	54	adantr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I e. V /\ I e. V ) )
97		opthg 4665	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
98	96, 97	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
99		simpl 455	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = J /\ I = I ) -> I = J )
100	98, 99	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. -> I = J ) )
101	100	necon3d 2627	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
102	101	com12 29	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
103	45, 102	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
104	103	imp 427	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. )
105	95, 104	jca 530	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
106	105	orcd 390	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) )
107		prneimg 4152	. . . 4 |- ( ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) )
108	88, 106, 107	mpsyl 62	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } )
109		hash2prd 12565	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) -> ( ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } ) )
110	109	imp 427	. . 3 |- ( ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) /\ ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
111	44, 52, 72, 82, 108, 110	syl23anc 1237	. 2 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
112	41, 111	pm2.61ian 791	1 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 366   /\ wa 367   /\ w3a 974   = wceq 1405   e. wcel 1842   =/= wne 2598   _Vcvv 3058   u. cun 3411   {csn 3971   {cpr 3973   <.cop 3977   -1-1-onto->wf1o 5567   ` cfv 5568   2c2 10625   #chash 12450   Basecbs 14839   SymGrpcsymg 16724

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-tset 14926  df-symg 16725

This theorem is referenced by:  psgnprfval  16868  m2detleiblem1  19416  m2detleiblem5  19417  m2detleiblem6  19418  m2detleiblem3  19421  m2detleiblem4  19422  m2detleib  19423