Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2bas Structured version   Unicode version

Theorem symg2bas 16745
 Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 16743. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1
symg1bas.2
symg2bas.0
Assertion
Ref Expression
symg2bas

Proof of Theorem symg2bas
StepHypRef Expression
1 eqid 2402 . . . . 5
2 eqid 2402 . . . . 5
3 eqid 2402 . . . . 5
41, 2, 3symg1bas 16743 . . . 4
54ad2antll 727 . . 3
6 symg1bas.2 . . . 4
7 symg1bas.1 . . . . . 6
8 symg2bas.0 . . . . . . . 8
9 df-pr 3974 . . . . . . . . 9
10 sneq 3981 . . . . . . . . . . . 12
1110uneq1d 3595 . . . . . . . . . . 11
1211adantr 463 . . . . . . . . . 10
13 unidm 3585 . . . . . . . . . 10
1412, 13syl6eq 2459 . . . . . . . . 9
159, 14syl5eq 2455 . . . . . . . 8
168, 15syl5eq 2455 . . . . . . 7
1716fveq2d 5852 . . . . . 6
187, 17syl5eq 2455 . . . . 5
1918fveq2d 5852 . . . 4
206, 19syl5eq 2455 . . 3
21 id 22 . . . . . . . . 9
2221, 21opeq12d 4166 . . . . . . . 8
2322adantr 463 . . . . . . 7
2423preq1d 4056 . . . . . 6
25 eqid 2402 . . . . . . 7
26 opex 4654 . . . . . . . 8
2726, 26, 26preqsn 4154 . . . . . . 7
2825, 25, 27mpbir2an 921 . . . . . 6
2924, 28syl6eq 2459 . . . . 5
30 opeq1 4158 . . . . . . . 8
31 opeq2 4159 . . . . . . . 8
3230, 31preq12d 4058 . . . . . . 7
3332, 28syl6eq 2459 . . . . . 6
3433adantr 463 . . . . 5
3529, 34preq12d 4058 . . . 4
36 eqid 2402 . . . . 5
37 snex 4631 . . . . . 6
3837, 37, 37preqsn 4154 . . . . 5
3936, 36, 38mpbir2an 921 . . . 4
4035, 39syl6eq 2459 . . 3
415, 20, 403eqtr4d 2453 . 2
42 fvex 5858 . . . . 5
436, 42eqeltri 2486 . . . 4
4443a1i 11 . . 3
45 df-ne 2600 . . . . . . . 8
4645biimpri 206 . . . . . . 7
4746anim2i 567 . . . . . 6
48 df-3an 976 . . . . . 6
4947, 48sylibr 212 . . . . 5
5049ancoms 451 . . . 4
517, 6, 8symg2hash 16744 . . . 4
5250, 51syl 17 . . 3
53 id 22 . . . . . . . 8
5453ancri 550 . . . . . . 7
55 id 22 . . . . . . . 8
5655ancri 550 . . . . . . 7
5754, 56anim12i 564 . . . . . 6
58 id 22 . . . . . . . 8
5958ancri 550 . . . . . . 7
6045, 59sylbir 213 . . . . . 6
61 f1oprg 5838 . . . . . . 7
6261imp 427 . . . . . 6
6357, 60, 62syl2anr 476 . . . . 5
64 eqidd 2403 . . . . . . 7
65 id 22 . . . . . . 7
6664, 65, 65f1oeq123d 5795 . . . . . 6
678, 66ax-mp 5 . . . . 5
6863, 67sylibr 212 . . . 4
69 prex 4632 . . . . 5
707, 6elsymgbas2 16728 . . . . 5
7169, 70ax-mp 5 . . . 4
7268, 71sylibr 212 . . 3
73 f1oprswap 5837 . . . . . 6
74 eqidd 2403 . . . . . . . 8
7574, 65, 65f1oeq123d 5795 . . . . . . 7
768, 75ax-mp 5 . . . . . 6
7773, 76sylibr 212 . . . . 5
7877adantl 464 . . . 4
79 prex 4632 . . . . 5
807, 6elsymgbas2 16728 . . . . 5
8179, 80ax-mp 5 . . . 4
8278, 81sylibr 212 . . 3
83 opex 4654 . . . . . 6
8483, 26pm3.2i 453 . . . . 5
85 opex 4654 . . . . . 6
86 opex 4654 . . . . . 6
8785, 86pm3.2i 453 . . . . 5
8884, 87pm3.2i 453 . . . 4
89 opthg2 4667 . . . . . . . . . . 11
90 eqtr 2428 . . . . . . . . . . 11
9189, 90syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
9291necon3d 2627 . . . . . . . . 9
9392com12 29 . . . . . . . 8
9445, 93sylbir 213 . . . . . . 7
9594imp 427 . . . . . 6
9654adantr 463 . . . . . . . . . . . 12
97 opthg 4665 . . . . . . . . . . . 12
9896, 97syl 17 . . . . . . . . . . 11
99 simpl 455 . . . . . . . . . . 11
10098, 99syl6bi 228 . . . . . . . . . 10
101100necon3d 2627 . . . . . . . . 9
102101com12 29 . . . . . . . 8
10345, 102sylbir 213 . . . . . . 7
104103imp 427 . . . . . 6
10595, 104jca 530 . . . . 5
106105orcd 390 . . . 4
107 prneimg 4152 . . . 4
10888, 106, 107mpsyl 62 . . 3
109 hash2prd 12565 . . . 4
110109imp 427 . . 3
11144, 52, 72, 82, 108, 110syl23anc 1237 . 2
11241, 111pm2.61ian 791 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wo 366   wa 367   w3a 974   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  cvv 3058   cun 3411  csn 3971  cpr 3973  cop 3977  wf1o 5567  cfv 5568  c2 10625  chash 12450  cbs 14839  csymg 16724 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6573  ax-cnex 9577  ax-resscn 9578  ax-1cn 9579  ax-icn 9580  ax-addcl 9581  ax-addrcl 9582  ax-mulcl 9583  ax-mulrcl 9584  ax-mulcom 9585  ax-addass 9586  ax-mulass 9587  ax-distr 9588  ax-i2m1 9589  ax-1ne0 9590  ax-1rid 9591  ax-rnegex 9592  ax-rrecex 9593  ax-cnre 9594  ax-pre-lttri 9595  ax-pre-lttrn 9596  ax-pre-ltadd 9597  ax-pre-mulgt0 9598 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-we 4783  df-xp 4828  df-rel 4829  df-cnv 4830  df-co 4831  df-dm 4832  df-rn 4833  df-res 4834  df-ima 4835  df-pred 5366  df-ord 5412  df-on 5413  df-lim 5414  df-suc 5415  df-iota 5532  df-fun 5570  df-fn 5571  df-f 5572  df-f1 5573  df-fo 5574  df-f1o 5575  df-fv 5576  df-riota 6239  df-ov 6280  df-oprab 6281  df-mpt2 6282  df-om 6683  df-1st 6783  df-2nd 6784  df-wrecs 7012  df-recs 7074  df-rdg 7112  df-1o 7166  df-2o 7167  df-oadd 7170  df-er 7347  df-map 7458  df-pm 7459  df-en 7554  df-dom 7555  df-sdom 7556  df-fin 7557  df-card 8351  df-cda 8579  df-pnf 9659  df-mnf 9660  df-xr 9661  df-ltxr 9662  df-le 9663  df-sub 9842  df-neg 9843  df-div 10247  df-nn 10576  df-2 10634  df-3 10635  df-4 10636  df-5 10637  df-6 10638  df-7 10639  df-8 10640  df-9 10641  df-n0 10836  df-z 10905  df-uz 11127  df-fz 11725  df-seq 12150  df-fac 12396  df-bc 12423  df-hash 12451  df-struct 14841  df-ndx 14842  df-slot 14843  df-base 14844  df-plusg 14920  df-tset 14926  df-symg 16725 This theorem is referenced by:  psgnprfval  16868  m2detleiblem1  19416  m2detleiblem5  19417  m2detleiblem6  19418  m2detleiblem3  19421  m2detleiblem4  19422  m2detleib  19423
 Copyright terms: Public domain W3C validator