Theorem symg2bas 16014

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 16012. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	|- G = ( SymGrp ` A )
symg1bas.2	|- B = ( Base ` G )
symg2bas.0	|- A = { I , J }

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	|- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2451	. . . . 5 |- ( SymGrp ` { J } ) = ( SymGrp ` { J } )
2		eqid 2451	. . . . 5 |- ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) )
3		eqid 2451	. . . . 5 |- { J } = { J }
4	1, 2, 3	symg1bas 16012	. . . 4 |- ( J e. W -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
5	4	ad2antll 728	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
6		symg1bas.2	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		symg1bas.1	. . . . . 6 |- G = ( SymGrp ` A )
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 |- A = { I , J }
9		df-pr 3981	. . . . . . . . 9 |- { I , J } = ( { I } u. { J } )
10		sneq 3988	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I = J -> { I } = { J } )
11	10	uneq1d 3610	. . . . . . . . . . 11 |- ( I = J -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
12	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
13		unidm 3600	. . . . . . . . . 10 |- ( { J } u. { J } ) = { J }
14	12, 13	syl6eq 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = { J } )
15	9, 14	syl5eq 2504	. . . . . . . 8 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { I , J } = { J } )
16	8, 15	syl5eq 2504	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> A = { J } )
17	16	fveq2d 5796	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( SymGrp ` A ) = ( SymGrp ` { J } ) )
18	7, 17	syl5eq 2504	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> G = ( SymGrp ` { J } ) )
19	18	fveq2d 5796	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
20	6, 19	syl5eq 2504	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
21		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( I = J -> I = J )
22	21, 21	opeq12d 4168	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , I >. = <. J , J >. )
23	22	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. = <. J , J >. )
24	23	preq1d 4061	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
25		eqid 2451	. . . . . . 7 |- <. J , J >. = <. J , J >.
26		opex 4657	. . . . . . . 8 |- <. J , J >. e. _V
27	26, 26, 26	preqsn 4156	. . . . . . 7 |- ( { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } <-> ( <. J , J >. = <. J , J >. /\ <. J , J >. = <. J , J >. ) )
28	25, 25, 27	mpbir2an 911	. . . . . 6 |- { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. }
29	24, 28	syl6eq 2508	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } )
30		opeq1 4160	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , J >. = <. J , J >. )
31		opeq2 4161	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. J , I >. = <. J , J >. )
32	30, 31	preq12d 4063	. . . . . . 7 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
33	32, 28	syl6eq 2508	. . . . . 6 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
34	33	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
35	29, 34	preq12d 4063	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } )
36		eqid 2451	. . . . 5 |- { <. J , J >. } = { <. J , J >. }
37		snex 4634	. . . . . 6 |- { <. J , J >. } e. _V
38	37, 37, 37	preqsn 4156	. . . . 5 |- ( { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } } <-> ( { <. J , J >. } = { <. J , J >. } /\ { <. J , J >. } = { <. J , J >. } ) )
39	36, 36, 38	mpbir2an 911	. . . 4 |- { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } }
40	35, 39	syl6eq 2508	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } } )
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2502	. 2 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
42		fvex 5802	. . . . 5 |- ( Base ` G ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2535	. . . 4 |- B e. _V
44	43	a1i 11	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B e. _V )
45		df-ne 2646	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J <-> -. I = J )
46	45	biimpri 206	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> I =/= J )
47	46	anim2i 569	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
48		df-3an 967	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) <-> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
49	47, 48	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
50	49	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
51	7, 6, 8	symg2hash 16013	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) -> ( # ` B ) = 2 )
52	50, 51	syl 16	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( # ` B ) = 2 )
53		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> I e. V )
54	53	ancri 552	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( I e. V /\ I e. V ) )
55		id 22	. . . . . . . 8 |- ( J e. W -> J e. W )
56	55	ancri 552	. . . . . . 7 |- ( J e. W -> ( J e. W /\ J e. W ) )
57	54, 56	anim12i 566	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) )
58		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> I =/= J )
59	58	ancri 552	. . . . . . 7 |- ( I =/= J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
60	45, 59	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( -. I = J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
61		f1oprg 5782	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) -> ( ( I =/= J /\ I =/= J ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
62	61	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) /\ ( I =/= J /\ I =/= J ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
63	57, 60, 62	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
64		eqidd 2452	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. I , I >. , <. J , J >. } )
65		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> A = { I , J } )
66	64, 65, 65	f1oeq123d 5739	. . . . . 6 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
68	63, 67	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
69		prex 4635	. . . . 5 |- { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V
70	7, 6	elsymgbas2 15997	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A ) )
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
72	68, 71	sylibr 212	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B )
73		f1oprswap 5781	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
74		eqidd 2452	. . . . . . . 8 |- ( A = { I , J } -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. I , J >. , <. J , I >. } )
75	74, 65, 65	f1oeq123d 5739	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
76	8, 75	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
77	73, 76	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
78	77	adantl 466	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
79		prex 4635	. . . . 5 |- { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V
80	7, 6	elsymgbas2 15997	. . . . 5 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
82	78, 81	sylibr 212	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B )
83		opex 4657	. . . . . 6 |- <. I , I >. e. _V
84	83, 26	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V )
85		opex 4657	. . . . . 6 |- <. I , J >. e. _V
86		opex 4657	. . . . . 6 |- <. J , I >. e. _V
87	85, 86	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V )
88	84, 87	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) )
89		opthg2 4670	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. <-> ( I = I /\ I = J ) ) )
90		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = I /\ I = J ) -> I = J )
91	89, 90	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. -> I = J ) )
92	91	necon3d 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
93	92	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
94	45, 93	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
95	94	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. )
96	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I e. V /\ I e. V ) )
97		opthg 4668	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
98	96, 97	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
99		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = J /\ I = I ) -> I = J )
100	98, 99	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. -> I = J ) )
101	100	necon3d 2672	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
102	101	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
103	45, 102	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
104	103	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. )
105	95, 104	jca 532	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
106	105	orcd 392	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) )
107		prneimg 4154	. . . 4 |- ( ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) )
108	88, 106, 107	mpsyl 63	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } )
109		hash2prd 12292	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) -> ( ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } ) )
110	109	imp 429	. . 3 |- ( ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) /\ ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
111	44, 52, 72, 82, 108, 110	syl23anc 1226	. 2 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
112	41, 111	pm2.61ian 788	1 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 965   = wceq 1370   e. wcel 1758   =/= wne 2644   _Vcvv 3071   u. cun 3427   {csn 3978   {cpr 3980   <.cop 3984   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519   2c2 10475   #chash 12213   Basecbs 14285   SymGrpcsymg 15993

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-tset 14368  df-symg 15994

This theorem is referenced by:  psgnprfval  16138  m2detleiblem1  18555  m2detleiblem5  18556  m2detleiblem6  18557  m2detleiblem3  18560  m2detleiblem4  18561  m2detleib  18562