Theorem symg2bas 16218

Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S₂ consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 16216. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)

Hypotheses

Ref	Expression
symg1bas.1	|- G = ( SymGrp ` A )
symg1bas.2	|- B = ( Base ` G )
symg2bas.0	|- A = { I , J }

Assertion

Ref	Expression
symg2bas	|- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Proof of Theorem symg2bas

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2467	. . . . 5 |- ( SymGrp ` { J } ) = ( SymGrp ` { J } )
2		eqid 2467	. . . . 5 |- ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) )
3		eqid 2467	. . . . 5 |- { J } = { J }
4	1, 2, 3	symg1bas 16216	. . . 4 |- ( J e. W -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
5	4	ad2antll 728	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) = { { <. J , J >. } } )
6		symg1bas.2	. . . 4 |- B = ( Base ` G )
7		symg1bas.1	. . . . . 6 |- G = ( SymGrp ` A )
8		symg2bas.0	. . . . . . . 8 |- A = { I , J }
9		df-pr 4030	. . . . . . . . 9 |- { I , J } = ( { I } u. { J } )
10		sneq 4037	. . . . . . . . . . . 12 |- ( I = J -> { I } = { J } )
11	10	uneq1d 3657	. . . . . . . . . . 11 |- ( I = J -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
12	11	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = ( { J } u. { J } ) )
13		unidm 3647	. . . . . . . . . 10 |- ( { J } u. { J } ) = { J }
14	12, 13	syl6eq 2524	. . . . . . . . 9 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( { I } u. { J } ) = { J } )
15	9, 14	syl5eq 2520	. . . . . . . 8 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { I , J } = { J } )
16	8, 15	syl5eq 2520	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> A = { J } )
17	16	fveq2d 5868	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( SymGrp ` A ) = ( SymGrp ` { J } ) )
18	7, 17	syl5eq 2520	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> G = ( SymGrp ` { J } ) )
19	18	fveq2d 5868	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( Base ` G ) = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
20	6, 19	syl5eq 2520	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = ( Base ` ( SymGrp ` { J } ) ) )
21		id 22	. . . . . . . . 9 |- ( I = J -> I = J )
22	21, 21	opeq12d 4221	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , I >. = <. J , J >. )
23	22	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. = <. J , J >. )
24	23	preq1d 4112	. . . . . 6 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
25		eqid 2467	. . . . . . 7 |- <. J , J >. = <. J , J >.
26		opex 4711	. . . . . . . 8 |- <. J , J >. e. _V
27	26, 26, 26	preqsn 4209	. . . . . . 7 |- ( { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } <-> ( <. J , J >. = <. J , J >. /\ <. J , J >. = <. J , J >. ) )
28	25, 25, 27	mpbir2an 918	. . . . . 6 |- { <. J , J >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. }
29	24, 28	syl6eq 2524	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. J , J >. } )
30		opeq1 4213	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. I , J >. = <. J , J >. )
31		opeq2 4214	. . . . . . . 8 |- ( I = J -> <. J , I >. = <. J , J >. )
32	30, 31	preq12d 4114	. . . . . . 7 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. , <. J , J >. } )
33	32, 28	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( I = J -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
34	33	adantr 465	. . . . 5 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. J , J >. } )
35	29, 34	preq12d 4114	. . . 4 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } )
36		eqid 2467	. . . . 5 |- { <. J , J >. } = { <. J , J >. }
37		snex 4688	. . . . . 6 |- { <. J , J >. } e. _V
38	37, 37, 37	preqsn 4209	. . . . 5 |- ( { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } } <-> ( { <. J , J >. } = { <. J , J >. } /\ { <. J , J >. } = { <. J , J >. } ) )
39	36, 36, 38	mpbir2an 918	. . . 4 |- { { <. J , J >. } , { <. J , J >. } } = { { <. J , J >. } }
40	35, 39	syl6eq 2524	. . 3 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } = { { <. J , J >. } } )
41	5, 20, 40	3eqtr4d 2518	. 2 |- ( ( I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
42		fvex 5874	. . . . 5 |- ( Base ` G ) e. _V
43	6, 42	eqeltri 2551	. . . 4 |- B e. _V
44	43	a1i 11	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B e. _V )
45		df-ne 2664	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J <-> -. I = J )
46	45	biimpri 206	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> I =/= J )
47	46	anim2i 569	. . . . . 6 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
48		df-3an 975	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) <-> ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ I =/= J ) )
49	47, 48	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( ( I e. V /\ J e. W ) /\ -. I = J ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
50	49	ancoms 453	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) )
51	7, 6, 8	symg2hash 16217	. . . 4 |- ( ( I e. V /\ J e. W /\ I =/= J ) -> ( # ` B ) = 2 )
52	50, 51	syl 16	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( # ` B ) = 2 )
53		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I e. V -> I e. V )
54	53	ancri 552	. . . . . . 7 |- ( I e. V -> ( I e. V /\ I e. V ) )
55		id 22	. . . . . . . 8 |- ( J e. W -> J e. W )
56	55	ancri 552	. . . . . . 7 |- ( J e. W -> ( J e. W /\ J e. W ) )
57	54, 56	anim12i 566	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) )
58		id 22	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> I =/= J )
59	58	ancri 552	. . . . . . 7 |- ( I =/= J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
60	45, 59	sylbir 213	. . . . . 6 |- ( -. I = J -> ( I =/= J /\ I =/= J ) )
61		f1oprg 5854	. . . . . . 7 |- ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) -> ( ( I =/= J /\ I =/= J ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
62	61	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( ( ( I e. V /\ I e. V ) /\ ( J e. W /\ J e. W ) ) /\ ( I =/= J /\ I =/= J ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
63	57, 60, 62	syl2anr 478	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
64		eqidd 2468	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> { <. I , I >. , <. J , J >. } = { <. I , I >. , <. J , J >. } )
65		id 22	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> A = { I , J } )
66	64, 65, 65	f1oeq123d 5811	. . . . . 6 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
67	8, 66	ax-mp 5	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
68	63, 67	sylibr 212	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
69		prex 4689	. . . . 5 |- { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V
70	7, 6	elsymgbas2 16201	. . . . 5 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. _V -> ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A ) )
71	69, 70	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B <-> { <. I , I >. , <. J , J >. } : A -1-1-onto-> A )
72	68, 71	sylibr 212	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B )
73		f1oprswap 5853	. . . . . 6 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
74		eqidd 2468	. . . . . . . 8 |- ( A = { I , J } -> { <. I , J >. , <. J , I >. } = { <. I , J >. , <. J , I >. } )
75	74, 65, 65	f1oeq123d 5811	. . . . . . 7 |- ( A = { I , J } -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } ) )
76	8, 75	ax-mp 5	. . . . . 6 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : { I , J } -1-1-onto-> { I , J } )
77	73, 76	sylibr 212	. . . . 5 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
78	77	adantl 466	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
79		prex 4689	. . . . 5 |- { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V
80	7, 6	elsymgbas2 16201	. . . . 5 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. _V -> ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A ) )
81	79, 80	ax-mp 5	. . . 4 |- ( { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B <-> { <. I , J >. , <. J , I >. } : A -1-1-onto-> A )
82	78, 81	sylibr 212	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B )
83		opex 4711	. . . . . 6 |- <. I , I >. e. _V
84	83, 26	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V )
85		opex 4711	. . . . . 6 |- <. I , J >. e. _V
86		opex 4711	. . . . . 6 |- <. J , I >. e. _V
87	85, 86	pm3.2i 455	. . . . 5 |- ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V )
88	84, 87	pm3.2i 455	. . . 4 |- ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) )
89		opthg2 4724	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. <-> ( I = I /\ I = J ) ) )
90		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = I /\ I = J ) -> I = J )
91	89, 90	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. I , J >. -> I = J ) )
92	91	necon3d 2691	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
93	92	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
94	45, 93	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. ) )
95	94	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. I , J >. )
96	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I e. V /\ I e. V ) )
97		opthg 4722	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( I e. V /\ I e. V ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
98	96, 97	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. <-> ( I = J /\ I = I ) ) )
99		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( I = J /\ I = I ) -> I = J )
100	98, 99	syl6bi 228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( <. I , I >. = <. J , I >. -> I = J ) )
101	100	necon3d 2691	. . . . . . . . 9 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> ( I =/= J -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
102	101	com12 31	. . . . . . . 8 |- ( I =/= J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
103	45, 102	sylbir 213	. . . . . . 7 |- ( -. I = J -> ( ( I e. V /\ J e. W ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
104	103	imp 429	. . . . . 6 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> <. I , I >. =/= <. J , I >. )
105	95, 104	jca 532	. . . . 5 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) )
106	105	orcd 392	. . . 4 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) )
107		prneimg 4207	. . . 4 |- ( ( ( <. I , I >. e. _V /\ <. J , J >. e. _V ) /\ ( <. I , J >. e. _V /\ <. J , I >. e. _V ) ) -> ( ( ( <. I , I >. =/= <. I , J >. /\ <. I , I >. =/= <. J , I >. ) \/ ( <. J , J >. =/= <. I , J >. /\ <. J , J >. =/= <. J , I >. ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) )
108	88, 106, 107	mpsyl 63	. . 3 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } )
109		hash2prd 12480	. . . 4 |- ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) -> ( ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } ) )
110	109	imp 429	. . 3 |- ( ( ( B e. _V /\ ( # ` B ) = 2 ) /\ ( { <. I , I >. , <. J , J >. } e. B /\ { <. I , J >. , <. J , I >. } e. B /\ { <. I , I >. , <. J , J >. } =/= { <. I , J >. , <. J , I >. } ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
111	44, 52, 72, 82, 108, 110	syl23anc 1235	. 2 |- ( ( -. I = J /\ ( I e. V /\ J e. W ) ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )
112	41, 111	pm2.61ian 788	1 |- ( ( I e. V /\ J e. W ) -> B = { { <. I , I >. , <. J , J >. } , { <. I , J >. , <. J , I >. } } )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   \/ wo 368   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   =/= wne 2662   _Vcvv 3113   u. cun 3474   {csn 4027   {cpr 4029   <.cop 4033   -1-1-onto->wf1o 5585   ` cfv 5586   2c2 10581   #chash 12369   Basecbs 14486   SymGrpcsymg 16197

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6574  ax-cnex 9544  ax-resscn 9545  ax-1cn 9546  ax-icn 9547  ax-addcl 9548  ax-addrcl 9549  ax-mulcl 9550  ax-mulrcl 9551  ax-mulcom 9552  ax-addass 9553  ax-mulass 9554  ax-distr 9555  ax-i2m1 9556  ax-1ne0 9557  ax-1rid 9558  ax-rnegex 9559  ax-rrecex 9560  ax-cnre 9561  ax-pre-lttri 9562  ax-pre-lttrn 9563  ax-pre-ltadd 9564  ax-pre-mulgt0 9565

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5549  df-fun 5588  df-fn 5589  df-f 5590  df-f1 5591  df-fo 5592  df-f1o 5593  df-fv 5594  df-riota 6243  df-ov 6285  df-oprab 6286  df-mpt2 6287  df-om 6679  df-1st 6781  df-2nd 6782  df-recs 7039  df-rdg 7073  df-1o 7127  df-2o 7128  df-oadd 7131  df-er 7308  df-map 7419  df-pm 7420  df-en 7514  df-dom 7515  df-sdom 7516  df-fin 7517  df-card 8316  df-cda 8544  df-pnf 9626  df-mnf 9627  df-xr 9628  df-ltxr 9629  df-le 9630  df-sub 9803  df-neg 9804  df-div 10203  df-nn 10533  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-n0 10792  df-z 10861  df-uz 11079  df-fz 11669  df-seq 12072  df-fac 12318  df-bc 12345  df-hash 12370  df-struct 14488  df-ndx 14489  df-slot 14490  df-base 14491  df-plusg 14564  df-tset 14570  df-symg 16198

This theorem is referenced by:  psgnprfval  16342  m2detleiblem1  18893  m2detleiblem5  18894  m2detleiblem6  18895  m2detleiblem3  18898  m2detleiblem4  18899  m2detleib  18900