MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg2bas Structured version   Unicode version

Theorem symg2bas 16014
Description: The symmetric group on a pair is the symmetric group S2 consisting of the identity and the transposition. This theorem is also valid if the elements are identical: then it collapses to theorem symg1bas 16012. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symg1bas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symg2bas.0  |-  A  =  { I ,  J }
Assertion
Ref Expression
symg2bas  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } } )

Proof of Theorem symg2bas
StepHypRef Expression
1 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( SymGrp `  { J } )  =  ( SymGrp `  { J } )
2 eqid 2451 . . . . 5  |-  ( Base `  ( SymGrp `  { J } ) )  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { J }
) )
3 eqid 2451 . . . . 5  |-  { J }  =  { J }
41, 2, 3symg1bas 16012 . . . 4  |-  ( J  e.  W  ->  ( Base `  ( SymGrp `  { J } ) )  =  { { <. J ,  J >. } } )
54ad2antll 728 . . 3  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( Base `  ( SymGrp `  { J } ) )  =  { { <. J ,  J >. } } )
6 symg1bas.2 . . . 4  |-  B  =  ( Base `  G
)
7 symg1bas.1 . . . . . 6  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
8 symg2bas.0 . . . . . . . 8  |-  A  =  { I ,  J }
9 df-pr 3981 . . . . . . . . 9  |-  { I ,  J }  =  ( { I }  u.  { J } )
10 sneq 3988 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( I  =  J  ->  { I }  =  { J } )
1110uneq1d 3610 . . . . . . . . . . 11  |-  ( I  =  J  ->  ( { I }  u.  { J } )  =  ( { J }  u.  { J } ) )
1211adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( { I }  u.  { J } )  =  ( { J }  u.  { J } ) )
13 unidm 3600 . . . . . . . . . 10  |-  ( { J }  u.  { J } )  =  { J }
1412, 13syl6eq 2508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( { I }  u.  { J } )  =  { J } )
159, 14syl5eq 2504 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { I ,  J }  =  { J } )
168, 15syl5eq 2504 . . . . . . 7  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  A  =  { J } )
1716fveq2d 5796 . . . . . 6  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( SymGrp `
 A )  =  ( SymGrp `  { J } ) )
187, 17syl5eq 2504 . . . . 5  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  G  =  ( SymGrp `  { J } ) )
1918fveq2d 5796 . . . 4  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  ( Base `  G )  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { J }
) ) )
206, 19syl5eq 2504 . . 3  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  B  =  ( Base `  ( SymGrp `
 { J }
) ) )
21 id 22 . . . . . . . . 9  |-  ( I  =  J  ->  I  =  J )
2221, 21opeq12d 4168 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  J  ->  <. I ,  I >.  =  <. J ,  J >. )
2322adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  <. I ,  I >.  =  <. J ,  J >. )
2423preq1d 4061 . . . . . 6  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. ,  <. J ,  J >. } )
25 eqid 2451 . . . . . . 7  |-  <. J ,  J >.  =  <. J ,  J >.
26 opex 4657 . . . . . . . 8  |-  <. J ,  J >.  e.  _V
2726, 26, 26preqsn 4156 . . . . . . 7  |-  ( {
<. J ,  J >. , 
<. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }  <->  ( <. J ,  J >.  =  <. J ,  J >.  /\  <. J ,  J >.  =  <. J ,  J >. )
)
2825, 25, 27mpbir2an 911 . . . . . 6  |-  { <. J ,  J >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }
2924, 28syl6eq 2508 . . . . 5  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. } )
30 opeq1 4160 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  J  ->  <. I ,  J >.  =  <. J ,  J >. )
31 opeq2 4161 . . . . . . . 8  |-  ( I  =  J  ->  <. J ,  I >.  =  <. J ,  J >. )
3230, 31preq12d 4063 . . . . . . 7  |-  ( I  =  J  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. J ,  J >. ,  <. J ,  J >. } )
3332, 28syl6eq 2508 . . . . . 6  |-  ( I  =  J  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. J ,  J >. } )
3433adantr 465 . . . . 5  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. J ,  J >. } )
3529, 34preq12d 4063 . . . 4  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }  =  { { <. J ,  J >. } ,  { <. J ,  J >. } }
)
36 eqid 2451 . . . . 5  |-  { <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }
37 snex 4634 . . . . . 6  |-  { <. J ,  J >. }  e.  _V
3837, 37, 37preqsn 4156 . . . . 5  |-  ( { { <. J ,  J >. } ,  { <. J ,  J >. } }  =  { { <. J ,  J >. } }  <->  ( { <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. }  /\  { <. J ,  J >. }  =  { <. J ,  J >. } ) )
3936, 36, 38mpbir2an 911 . . . 4  |-  { { <. J ,  J >. } ,  { <. J ,  J >. } }  =  { { <. J ,  J >. } }
4035, 39syl6eq 2508 . . 3  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }  =  { { <. J ,  J >. } } )
415, 20, 403eqtr4d 2502 . 2  |-  ( ( I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W
) )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. } } )
42 fvex 5802 . . . . 5  |-  ( Base `  G )  e.  _V
436, 42eqeltri 2535 . . . 4  |-  B  e. 
_V
4443a1i 11 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  B  e.  _V )
45 df-ne 2646 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  <->  -.  I  =  J )
4645biimpri 206 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  =  J  ->  I  =/=  J )
4746anim2i 569 . . . . . 6  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  /\  -.  I  =  J )  ->  (
( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  /\  I  =/=  J ) )
48 df-3an 967 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  <->  ( (
I  e.  V  /\  J  e.  W )  /\  I  =/=  J
) )
4947, 48sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  /\  -.  I  =  J )  ->  (
I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J ) )
5049ancoms 453 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J
) )
517, 6, 8symg2hash 16013 . . . 4  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W  /\  I  =/=  J )  -> 
( # `  B )  =  2 )
5250, 51syl 16 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( # `  B )  =  2 )
53 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( I  e.  V  ->  I  e.  V )
5453ancri 552 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
I  e.  V  /\  I  e.  V )
)
55 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( J  e.  W  ->  J  e.  W )
5655ancri 552 . . . . . . 7  |-  ( J  e.  W  ->  ( J  e.  W  /\  J  e.  W )
)
5754, 56anim12i 566 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  /\  ( J  e.  W  /\  J  e.  W )
) )
58 id 22 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  ->  I  =/=  J )
5958ancri 552 . . . . . . 7  |-  ( I  =/=  J  ->  (
I  =/=  J  /\  I  =/=  J ) )
6045, 59sylbir 213 . . . . . 6  |-  ( -.  I  =  J  -> 
( I  =/=  J  /\  I  =/=  J
) )
61 f1oprg 5782 . . . . . . 7  |-  ( ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V
)  /\  ( J  e.  W  /\  J  e.  W ) )  -> 
( ( I  =/= 
J  /\  I  =/=  J )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : {
I ,  J } -1-1-onto-> {
I ,  J }
) )
6261imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  /\  ( J  e.  W  /\  J  e.  W )
)  /\  ( I  =/=  J  /\  I  =/= 
J ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
6357, 60, 62syl2anr 478 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
64 eqidd 2452 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } )
65 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  A  =  { I ,  J } )
6664, 65, 65f1oeq123d 5739 . . . . . 6  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : {
I ,  J } -1-1-onto-> {
I ,  J }
) )
678, 66ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( {
<. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
6863, 67sylibr 212 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A )
69 prex 4635 . . . . 5  |-  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  _V
707, 6elsymgbas2 15997 . . . . 5  |-  ( {
<. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. }  e.  _V  ->  ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A
) )
7169, 70ax-mp 5 . . . 4  |-  ( {
<. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. }  e.  B  <->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } : A -1-1-onto-> A
)
7268, 71sylibr 212 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B )
73 f1oprswap 5781 . . . . . 6  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
74 eqidd 2452 . . . . . . . 8  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  =  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } )
7574, 65, 65f1oeq123d 5739 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I ,  J }  ->  ( { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : {
I ,  J } -1-1-onto-> {
I ,  J }
) )
768, 75ax-mp 5 . . . . . 6  |-  ( {
<. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : { I ,  J } -1-1-onto-> { I ,  J } )
7773, 76sylibr 212 . . . . 5  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A )
7877adantl 466 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A )
79 prex 4635 . . . . 5  |-  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  _V
807, 6elsymgbas2 15997 . . . . 5  |-  ( {
<. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. }  e.  _V  ->  ( { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A
) )
8179, 80ax-mp 5 . . . 4  |-  ( {
<. I ,  J >. , 
<. J ,  I >. }  e.  B  <->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } : A -1-1-onto-> A
)
8278, 81sylibr 212 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B )
83 opex 4657 . . . . . 6  |-  <. I ,  I >.  e.  _V
8483, 26pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( <.
I ,  I >.  e. 
_V  /\  <. J ,  J >.  e.  _V )
85 opex 4657 . . . . . 6  |-  <. I ,  J >.  e.  _V
86 opex 4657 . . . . . 6  |-  <. J ,  I >.  e.  _V
8785, 86pm3.2i 455 . . . . 5  |-  ( <.
I ,  J >.  e. 
_V  /\  <. J ,  I >.  e.  _V )
8884, 87pm3.2i 455 . . . 4  |-  ( (
<. I ,  I >.  e. 
_V  /\  <. J ,  J >.  e.  _V )  /\  ( <. I ,  J >.  e.  _V  /\  <. J ,  I >.  e.  _V ) )
89 opthg2 4670 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. I ,  J >.  <-> 
( I  =  I  /\  I  =  J ) ) )
90 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  =  I  /\  I  =  J )  ->  I  =  J )
9189, 90syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. I ,  J >.  ->  I  =  J ) )
9291necon3d 2672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  =/=  J  -> 
<. I ,  I >.  =/= 
<. I ,  J >. ) )
9392com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  ->  (
( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >. ) )
9445, 93sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  =  J  -> 
( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >. ) )
9594imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  <. I ,  I >.  =/= 
<. I ,  J >. )
9654adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  e.  V  /\  I  e.  V
) )
97 opthg 4668 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. J ,  I >.  <-> 
( I  =  J  /\  I  =  I ) ) )
9896, 97syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. J ,  I >.  <-> 
( I  =  J  /\  I  =  I ) ) )
99 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( I  =  J  /\  I  =  I )  ->  I  =  J )
10098, 99syl6bi 228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( <. I ,  I >.  =  <. J ,  I >.  ->  I  =  J ) )
101100necon3d 2672 . . . . . . . . 9  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  ( I  =/=  J  -> 
<. I ,  I >.  =/= 
<. J ,  I >. ) )
102101com12 31 . . . . . . . 8  |-  ( I  =/=  J  ->  (
( I  e.  V  /\  J  e.  W
)  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. ) )
10345, 102sylbir 213 . . . . . . 7  |-  ( -.  I  =  J  -> 
( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. ) )
104103imp 429 . . . . . 6  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  <. I ,  I >.  =/= 
<. J ,  I >. )
10595, 104jca 532 . . . . 5  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >.  /\  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. ) )
106105orcd 392 . . . 4  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  -> 
( ( <. I ,  I >.  =/=  <. I ,  J >.  /\  <. I ,  I >.  =/=  <. J ,  I >. )  \/  ( <. J ,  J >.  =/= 
<. I ,  J >.  /\ 
<. J ,  J >.  =/= 
<. J ,  I >. ) ) )
107 prneimg 4154 . . . 4  |-  ( ( ( <. I ,  I >.  e.  _V  /\  <. J ,  J >.  e.  _V )  /\  ( <. I ,  J >.  e.  _V  /\ 
<. J ,  I >.  e. 
_V ) )  -> 
( ( ( <.
I ,  I >.  =/= 
<. I ,  J >.  /\ 
<. I ,  I >.  =/= 
<. J ,  I >. )  \/  ( <. J ,  J >.  =/=  <. I ,  J >.  /\  <. J ,  J >.  =/=  <. J ,  I >. ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } ) )
10888, 106, 107mpsyl 63 . . 3  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } )
109 hash2prd 12292 . . . 4  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( # `  B )  =  2 )  -> 
( ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B  /\  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B  /\  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }
) )
110109imp 429 . . 3  |-  ( ( ( B  e.  _V  /\  ( # `  B
)  =  2 )  /\  ( { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  e.  B  /\  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. }  e.  B  /\  { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. }  =/=  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } ) )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } }
)
11144, 52, 72, 82, 108, 110syl23anc 1226 . 2  |-  ( ( -.  I  =  J  /\  ( I  e.  V  /\  J  e.  W ) )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. ,  <. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } } )
11241, 111pm2.61ian 788 1  |-  ( ( I  e.  V  /\  J  e.  W )  ->  B  =  { { <. I ,  I >. , 
<. J ,  J >. } ,  { <. I ,  J >. ,  <. J ,  I >. } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    \/ wo 368    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   _Vcvv 3071    u. cun 3427   {csn 3978   {cpr 3980   <.cop 3984   -1-1-onto->wf1o 5518   ` cfv 5519   2c2 10475   #chash 12213   Basecbs 14285   SymGrpcsymg 15993
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-map 7319  df-pm 7320  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-4 10486  df-5 10487  df-6 10488  df-7 10489  df-8 10490  df-9 10491  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-fz 11548  df-seq 11917  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-struct 14287  df-ndx 14288  df-slot 14289  df-base 14290  df-plusg 14362  df-tset 14368  df-symg 15994
This theorem is referenced by:  psgnprfval  16138  m2detleiblem1  18555  m2detleiblem5  18556  m2detleiblem6  18557  m2detleiblem3  18560  m2detleiblem4  18561  m2detleib  18562
  Copyright terms: Public domain W3C validator