MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg1bas Structured version   Unicode version

Theorem symg1bas 16747
Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S1 consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symg1bas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symg1bas.0  |-  A  =  { I }
Assertion
Ref Expression
symg1bas  |-  ( I  e.  V  ->  B  =  { { <. I ,  I >. } } )

Proof of Theorem symg1bas
Dummy variables  f  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symg1bas.1 . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symg1bas.2 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2symgbas 16731 . 2  |-  B  =  { f  |  f : A -1-1-onto-> A }
4 symg1bas.0 . . . . . 6  |-  A  =  { I }
5 eqidd 2405 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I }  ->  p  =  p )
6 id 23 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I }  ->  A  =  { I } )
75, 6, 6f1oeq123d 5798 . . . . . 6  |-  ( A  =  { I }  ->  ( p : A -1-1-onto-> A  <->  p : { I } -1-1-onto-> {
I } ) )
84, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( p : A -1-1-onto-> A  <->  p : {
I } -1-1-onto-> { I } )
9 f1of 5801 . . . . . . 7  |-  ( p : { I } -1-1-onto-> {
I }  ->  p : { I } --> { I } )
10 fsng 6052 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  ( p : {
I } --> { I } 
<->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
1110anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : { I }
--> { I }  <->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
129, 11syl5ib 221 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : { I }
-1-1-onto-> { I }  ->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
13 f1osng 5839 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  { <. I ,  I >. } : { I }
-1-1-onto-> { I } )
1413anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  { <. I ,  I >. } : { I } -1-1-onto-> { I } )
15 f1oeq1 5792 . . . . . . 7  |-  ( p  =  { <. I ,  I >. }  ->  (
p : { I }
-1-1-onto-> { I }  <->  { <. I ,  I >. } : {
I } -1-1-onto-> { I } ) )
1614, 15syl5ibrcom 224 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
p  =  { <. I ,  I >. }  ->  p : { I } -1-1-onto-> {
I } ) )
1712, 16impbid 192 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : { I }
-1-1-onto-> { I }  <->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
188, 17syl5bb 259 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : A -1-1-onto-> A  <->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
19 vex 3064 . . . . 5  |-  p  e. 
_V
20 f1oeq1 5792 . . . . 5  |-  ( f  =  p  ->  (
f : A -1-1-onto-> A  <->  p : A
-1-1-onto-> A ) )
2119, 20elab 3198 . . . 4  |-  ( p  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> A }  <->  p : A -1-1-onto-> A )
22 elsn 3988 . . . 4  |-  ( p  e.  { { <. I ,  I >. } }  <->  p  =  { <. I ,  I >. } )
2318, 21, 223bitr4g 290 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
p  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> A } 
<->  p  e.  { { <. I ,  I >. } } ) )
2423eqrdv 2401 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> A }  =  { { <. I ,  I >. } }
)
253, 24syl5eq 2457 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  =  { { <. I ,  I >. } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 186    = wceq 1407    e. wcel 1844   {cab 2389   {csn 3974   <.cop 3980   -->wf 5567   -1-1-onto->wf1o 5570   ` cfv 5571   Basecbs 14843   SymGrpcsymg 16728
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1641  ax-4 1654  ax-5 1727  ax-6 1773  ax-7 1816  ax-8 1846  ax-9 1848  ax-10 1863  ax-11 1868  ax-12 1880  ax-13 2028  ax-ext 2382  ax-sep 4519  ax-nul 4527  ax-pow 4574  ax-pr 4632  ax-un 6576  ax-cnex 9580  ax-resscn 9581  ax-1cn 9582  ax-icn 9583  ax-addcl 9584  ax-addrcl 9585  ax-mulcl 9586  ax-mulrcl 9587  ax-mulcom 9588  ax-addass 9589  ax-mulass 9590  ax-distr 9591  ax-i2m1 9592  ax-1ne0 9593  ax-1rid 9594  ax-rnegex 9595  ax-rrecex 9596  ax-cnre 9597  ax-pre-lttri 9598  ax-pre-lttrn 9599  ax-pre-ltadd 9600  ax-pre-mulgt0 9601
This theorem depends on definitions:  df-bi 187  df-or 370  df-an 371  df-3or 977  df-3an 978  df-tru 1410  df-ex 1636  df-nf 1640  df-sb 1766  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2390  df-cleq 2396  df-clel 2399  df-nfc 2554  df-ne 2602  df-nel 2603  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rab 2765  df-v 3063  df-sbc 3280  df-csb 3376  df-dif 3419  df-un 3421  df-in 3423  df-ss 3430  df-pss 3432  df-nul 3741  df-if 3888  df-pw 3959  df-sn 3975  df-pr 3977  df-tp 3979  df-op 3981  df-uni 4194  df-int 4230  df-iun 4275  df-br 4398  df-opab 4456  df-mpt 4457  df-tr 4492  df-eprel 4736  df-id 4740  df-po 4746  df-so 4747  df-fr 4784  df-we 4786  df-xp 4831  df-rel 4832  df-cnv 4833  df-co 4834  df-dm 4835  df-rn 4836  df-res 4837  df-ima 4838  df-pred 5369  df-ord 5415  df-on 5416  df-lim 5417  df-suc 5418  df-iota 5535  df-fun 5573  df-fn 5574  df-f 5575  df-f1 5576  df-fo 5577  df-f1o 5578  df-fv 5579  df-riota 6242  df-ov 6283  df-oprab 6284  df-mpt2 6285  df-om 6686  df-1st 6786  df-2nd 6787  df-wrecs 7015  df-recs 7077  df-rdg 7115  df-1o 7169  df-oadd 7173  df-er 7350  df-map 7461  df-en 7557  df-dom 7558  df-sdom 7559  df-fin 7560  df-pnf 9662  df-mnf 9663  df-xr 9664  df-ltxr 9665  df-le 9666  df-sub 9845  df-neg 9846  df-nn 10579  df-2 10637  df-3 10638  df-4 10639  df-5 10640  df-6 10641  df-7 10642  df-8 10643  df-9 10644  df-n0 10839  df-z 10908  df-uz 11130  df-fz 11729  df-struct 14845  df-ndx 14846  df-slot 14847  df-base 14848  df-plusg 14924  df-tset 14930  df-symg 16729
This theorem is referenced by:  symg2bas  16749  psgnsn  16871  m1detdiag  19393
  Copyright terms: Public domain W3C validator