MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  symg1bas Structured version   Unicode version

Theorem symg1bas 16209
Description: The symmetric group on a singleton is the symmetric group S1 consisting of the identity only. (Contributed by AV, 9-Dec-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
symg1bas.1  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
symg1bas.2  |-  B  =  ( Base `  G
)
symg1bas.0  |-  A  =  { I }
Assertion
Ref Expression
symg1bas  |-  ( I  e.  V  ->  B  =  { { <. I ,  I >. } } )

Proof of Theorem symg1bas
Dummy variables  f  p are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 symg1bas.1 . . 3  |-  G  =  ( SymGrp `  A )
2 symg1bas.2 . . 3  |-  B  =  ( Base `  G
)
31, 2symgbas 16193 . 2  |-  B  =  { f  |  f : A -1-1-onto-> A }
4 symg1bas.0 . . . . . 6  |-  A  =  { I }
5 eqidd 2461 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I }  ->  p  =  p )
6 id 22 . . . . . . 7  |-  ( A  =  { I }  ->  A  =  { I } )
75, 6, 6f1oeq123d 5804 . . . . . 6  |-  ( A  =  { I }  ->  ( p : A -1-1-onto-> A  <->  p : { I } -1-1-onto-> {
I } ) )
84, 7ax-mp 5 . . . . 5  |-  ( p : A -1-1-onto-> A  <->  p : {
I } -1-1-onto-> { I } )
9 f1of 5807 . . . . . . 7  |-  ( p : { I } -1-1-onto-> {
I }  ->  p : { I } --> { I } )
10 fsng 6051 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  ( p : {
I } --> { I } 
<->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
1110anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : { I }
--> { I }  <->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
129, 11syl5ib 219 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : { I }
-1-1-onto-> { I }  ->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
13 f1osng 5845 . . . . . . . 8  |-  ( ( I  e.  V  /\  I  e.  V )  ->  { <. I ,  I >. } : { I }
-1-1-onto-> { I } )
1413anidms 645 . . . . . . 7  |-  ( I  e.  V  ->  { <. I ,  I >. } : { I } -1-1-onto-> { I } )
15 f1oeq1 5798 . . . . . . 7  |-  ( p  =  { <. I ,  I >. }  ->  (
p : { I }
-1-1-onto-> { I }  <->  { <. I ,  I >. } : {
I } -1-1-onto-> { I } ) )
1614, 15syl5ibrcom 222 . . . . . 6  |-  ( I  e.  V  ->  (
p  =  { <. I ,  I >. }  ->  p : { I } -1-1-onto-> {
I } ) )
1712, 16impbid 191 . . . . 5  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : { I }
-1-1-onto-> { I }  <->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
188, 17syl5bb 257 . . . 4  |-  ( I  e.  V  ->  (
p : A -1-1-onto-> A  <->  p  =  { <. I ,  I >. } ) )
19 vex 3109 . . . . 5  |-  p  e. 
_V
20 f1oeq1 5798 . . . . 5  |-  ( f  =  p  ->  (
f : A -1-1-onto-> A  <->  p : A
-1-1-onto-> A ) )
2119, 20elab 3243 . . . 4  |-  ( p  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> A }  <->  p : A -1-1-onto-> A )
22 elsn 4034 . . . 4  |-  ( p  e.  { { <. I ,  I >. } }  <->  p  =  { <. I ,  I >. } )
2318, 21, 223bitr4g 288 . . 3  |-  ( I  e.  V  ->  (
p  e.  { f  |  f : A -1-1-onto-> A } 
<->  p  e.  { { <. I ,  I >. } } ) )
2423eqrdv 2457 . 2  |-  ( I  e.  V  ->  { f  |  f : A -1-1-onto-> A }  =  { { <. I ,  I >. } }
)
253, 24syl5eq 2513 1  |-  ( I  e.  V  ->  B  =  { { <. I ,  I >. } } )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    = wceq 1374    e. wcel 1762   {cab 2445   {csn 4020   <.cop 4026   -->wf 5575   -1-1-onto->wf1o 5578   ` cfv 5579   Basecbs 14479   SymGrpcsymg 16190
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-oadd 7124  df-er 7301  df-map 7412  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-n0 10785  df-z 10854  df-uz 11072  df-fz 11662  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-plusg 14557  df-tset 14563  df-symg 16191
This theorem is referenced by:  symg2bas  16211  psgnsn  16334  m1detdiag  18859
  Copyright terms: Public domain W3C validator