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Theorem symdifass 3703
Description: Symmetric difference associates. (Contributed by Scott Fenton, 24-Apr-2012.)
Assertion
Ref Expression
symdifass  |-  ( A  /_\  ( B  /_\  C ) )  =  ( ( A  /_\  B )  /_\  C )

Proof of Theorem symdifass
Dummy variable  x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 biass 361 . . . . . . 7  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
21notbii 298 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  x  e.  C
)  <->  -.  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
3 xor3 359 . . . . . . . 8  |-  ( -.  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  -.  x  e.  C ) )
4 notbi 297 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  -.  x  e.  C ) )
53, 4bitr4i 256 . . . . . . 7  |-  ( -.  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
65con1bii 333 . . . . . 6  |-  ( -.  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  B
)  <->  x  e.  C
)  <->  ( -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
7 xor3 359 . . . . . 6  |-  ( -.  ( x  e.  A  <->  ( x  e.  B  <->  x  e.  C ) )  <->  ( x  e.  A  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
82, 6, 73bitr3ri 280 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  <->  -.  (
x  e.  B  <->  x  e.  C ) )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
9 elsymdif 3699 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( B  /_\  C )  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C ) )
109bibi2i 315 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B  /_\  C ) )  <->  ( x  e.  A  <->  -.  ( x  e.  B  <->  x  e.  C
) ) )
11 elsymdif 3699 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  /_\  B )  <->  -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B ) )
1211bibi1i 316 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  /_\  B )  <->  x  e.  C )  <->  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  B )  <->  x  e.  C ) )
138, 10, 123bitr4i 281 . . . 4  |-  ( ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B  /_\  C ) )  <->  ( x  e.  ( A  /_\  B )  <-> 
x  e.  C ) )
1413notbii 298 . . 3  |-  ( -.  ( x  e.  A  <->  x  e.  ( B  /_\  C ) )  <->  -.  ( x  e.  ( A  /_\  B )  <-> 
x  e.  C ) )
15 elsymdif 3699 . . 3  |-  ( x  e.  ( A  /_\  ( B  /_\  C ) )  <->  -.  (
x  e.  A  <->  x  e.  ( B  /_\  C ) ) )
16 elsymdif 3699 . . 3  |-  ( x  e.  ( ( A  /_\  B )  /_\  C )  <->  -.  ( x  e.  ( A  /_\  B )  <->  x  e.  C ) )
1714, 15, 163bitr4i 281 . 2  |-  ( x  e.  ( A  /_\  ( B  /_\  C ) )  <->  x  e.  ( ( A  /_\  B )  /_\  C ) )
1817eqriv 2419 1  |-  ( A  /_\  ( B  /_\  C ) )  =  ( ( A  /_\  B )  /_\  C )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    <-> wb 188    = wceq 1438    e. wcel 1869    /_\ csymdif 3693
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-tru 1441  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-v 3084  df-dif 3440  df-un 3442  df-symdif 3694
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