Theorem symdif2OLD 2858

Description: Two ways to express symmetric difference.

Assertion

Ref	Expression
symdif2OLD	|- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem symdif2OLD

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elun 2741	. . 3 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> (x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)))
2		eldif 2609	. . . . 5 |- (x e. (A \ B) <-> (x e. A /\ -. x e. B))
3		notnot 178	. . . . . 6 |- (x e. A <-> -. -. x e. A)
4	3	anbi1i 539	. . . . 5 |- ((x e. A /\ -. x e. B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
5	2, 4	bitri 190	. . . 4 |- (x e. (A \ B) <-> (-. -. x e. A /\ -. x e. B))
6		eldif 2609	. . . . 5 |- (x e. (B \ A) <-> (x e. B /\ -. x e. A))
7		ancom 482	. . . . 5 |- ((x e. B /\ -. x e. A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
8	6, 7	bitri 190	. . . 4 |- (x e. (B \ A) <-> (-. x e. A /\ x e. B))
9	5, 8	orbi12i 277	. . 3 |- ((x e. (A \ B) \/ x e. (B \ A)) <-> ((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)))
10		orcom 266	. . . 4 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
11		dfbi3 733	. . . 4 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> ((-. x e. A /\ x e. B) \/ (-. -. x e. A /\ -. x e. B)))
12		nbbn 724	. . . 4 |- ((-. x e. A <-> x e. B) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
13	10, 11, 12	3bitr2i 196	. . 3 |- (((-. -. x e. A /\ -. x e. B) \/ (-. x e. A /\ x e. B)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
14	1, 9, 13	3bitri 194	. 2 |- (x e. ((A \ B) u. (B \ A)) <-> -. (x e. A <-> x e. B))
15	14	abbi2i 2005	1 |- ((A \ B) u. (B \ A)) = {x | -. (x e. A <-> x e. B)}

Syntax hints:  -. wn 2   <-> wb 163   \/ wo 239   /\ wa 240   = wceq 1298   e. wcel 1300  {cab 1871   \ cdif 2590   u. cun 2591

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 1304  ax-gen 1305  ax-8 1306  ax-9 1307  ax-10 1308  ax-11 1309  ax-12 1310  ax-17 1317  ax-4 1319  ax-5o 1321  ax-6o 1324  ax-9o 1481  ax-10o 1500  ax-16 1580  ax-11o 1588  ax-ext 1865

This theorem depends on definitions:  df-bi 164  df-or 241  df-an 242  df-ex 1327  df-sb 1536  df-clab 1872  df-cleq 1877  df-clel 1880  df-v 2294  df-dif 2597  df-un 2600

Copyright terms: Public domain