Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem6 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sylow3lem6 17362
 Description: Lemma for sylow3 17363, second part. Using the lemma sylow2a 17349, show that the number of sylow subgroups is equivalent to the number of fixed points under the group action. But is the unique element of the set of Sylow subgroups that is fixed under the group action, so there is exactly one fixed point and so pSyl . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem5.a
sylow3lem5.d
sylow3lem5.k pSyl
sylow3lem5.m pSyl
sylow3lem6.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem6 pSyl
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,,   ,,,,   ,   ,,,   ,,,,   ,,,,   , ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   ()   ()   (,,)   ()

Proof of Theorem sylow3lem6
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2471 . . . . 5 s s
2 sylow3.x . . . . . 6
3 sylow3.g . . . . . 6
4 sylow3.xf . . . . . 6
5 sylow3.p . . . . . 6
6 sylow3lem5.a . . . . . 6
7 sylow3lem5.d . . . . . 6
8 sylow3lem5.k . . . . . 6 pSyl
9 sylow3lem5.m . . . . . 6 pSyl
102, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9sylow3lem5 17361 . . . . 5 s pSyl
11 eqid 2471 . . . . . . 7 s s
1211slwpgp 17343 . . . . . 6 pSyl pGrp s
138, 12syl 17 . . . . 5 pGrp s
14 slwsubg 17340 . . . . . . . 8 pSyl SubGrp
158, 14syl 17 . . . . . . 7 SubGrp
1611subgbas 16899 . . . . . . 7 SubGrp s
1715, 16syl 17 . . . . . 6 s
182subgss 16896 . . . . . . . 8 SubGrp
1915, 18syl 17 . . . . . . 7
20 ssfi 7810 . . . . . . 7
214, 19, 20syl2anc 673 . . . . . 6
2217, 21eqeltrrd 2550 . . . . 5 s
23 pwfi 7887 . . . . . . 7
244, 23sylib 201 . . . . . 6
25 slwsubg 17340 . . . . . . . . 9 pSyl SubGrp
262subgss 16896 . . . . . . . . 9 SubGrp
2725, 26syl 17 . . . . . . . 8 pSyl
28 selpw 3949 . . . . . . . 8
2927, 28sylibr 217 . . . . . . 7 pSyl
3029ssriv 3422 . . . . . 6 pSyl
31 ssfi 7810 . . . . . 6 pSyl pSyl
3224, 30, 31sylancl 675 . . . . 5 pSyl
33 eqid 2471 . . . . 5 pSyl s pSyl s
34 eqid 2471 . . . . 5 pSyl s pSyl s
351, 10, 13, 22, 32, 33, 34sylow2a 17349 . . . 4 pSyl pSyl s
36 eqcom 2478 . . . . . . . . . . . . . 14
3719adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
3837sselda 3418 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
3938biantrurd 516 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
4036, 39syl5bb 265 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
41 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
42 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl pSyl
43 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
44 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
4544oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
4645, 44oveq12d 6326 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
4743, 46mpteq12dv 4474 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
4847rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . . . 16
49 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
5049mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5150rnex 6746 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5248, 9, 51ovmpt2a 6446 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
5341, 42, 52syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
5453eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
55 slwsubg 17340 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl SubGrp
5655ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl SubGrp
57 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15
58 sylow3lem6.n . . . . . . . . . . . . . . 15
592, 6, 7, 57, 58conjnmzb 16995 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
6056, 59syl 17 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
6140, 54, 603bitr4d 293 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
6261ralbidva 2828 . . . . . . . . . . 11 pSyl
63 dfss3 3408 . . . . . . . . . . 11
6462, 63syl6bbr 271 . . . . . . . . . 10 pSyl
6517adantr 472 . . . . . . . . . . 11 pSyl s
6665raleqdv 2979 . . . . . . . . . 10 pSyl s
67 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 s s
683ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
6958, 2, 6nmzsubg 16936 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
7068, 69syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl SubGrp
71 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s
7271subgbas 16899 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp s
7370, 72syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl s
744ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
752subgss 16896 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp
7670, 75syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
77 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . 15
7874, 76, 77syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
7973, 78eqeltrrd 2550 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl s
808ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl pSyl
81 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
8271subgslw 17346 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pSyl pSyl s
8370, 80, 81, 82syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl pSyl s
84 simplr 770 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl pSyl
8555ad2antlr 741 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl SubGrp
8658, 2, 6ssnmz 16937 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
8785, 86syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
8871subgslw 17346 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp pSyl pSyl s
8970, 84, 87, 88syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl pSyl s
90 fvex 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16
912, 90eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . . 15
9258, 91rabex2 4552 . . . . . . . . . . . . . 14
9371, 6ressplusg 15317 . . . . . . . . . . . . . 14 s
9492, 93ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . 13 s
95 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13 s s
9667, 79, 83, 89, 94, 95sylow2 17356 . . . . . . . . . . . 12 pSyl s s
9758, 2, 6, 71nmznsg 16939 . . . . . . . . . . . . . . . 16 SubGrp NrmSGrps
9885, 97syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl NrmSGrps
99 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . 16 s s
10067, 94, 95, 99conjnsg 16996 . . . . . . . . . . . . . . 15 NrmSGrps s s
10198, 100sylan 479 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl s s
102 eqeq2 2482 . . . . . . . . . . . . . 14 s s
103101, 102syl5ibrcom 230 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl s s
104103rexlimdva 2871 . . . . . . . . . . . 12 pSyl s s
10596, 104mpd 15 . . . . . . . . . . 11 pSyl
106 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
10715ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl SubGrp
108106, 107eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl SubGrp
109108, 86syl 17 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
110106, 109eqsstr3d 3453 . . . . . . . . . . 11 pSyl
111105, 110impbida 850 . . . . . . . . . 10 pSyl
11264, 66, 1113bitr3d 291 . . . . . . . . 9 pSyl s
113112rabbidva 3021 . . . . . . . 8 pSyl s pSyl
114 rabsn 4030 . . . . . . . . 9 pSyl pSyl
1158, 114syl 17 . . . . . . . 8 pSyl
116113, 115eqtrd 2505 . . . . . . 7 pSyl s
117116fveq2d 5883 . . . . . 6 pSyl s
118 hashsng 12587 . . . . . . 7 pSyl
1198, 118syl 17 . . . . . 6
120117, 119eqtrd 2505 . . . . 5 pSyl s
121120oveq2d 6324 . . . 4 pSyl pSyl s pSyl
12235, 121breqtrd 4420 . . 3 pSyl
123 prmnn 14704 . . . . 5
1245, 123syl 17 . . . 4
125 hashcl 12576 . . . . . 6 pSyl pSyl
12632, 125syl 17 . . . . 5 pSyl
127126nn0zd 11061 . . . 4 pSyl
128 1zzd 10992 . . . 4
129 moddvds 14389 . . . 4 pSyl pSyl pSyl
130124, 127, 128, 129syl3anc 1292 . . 3 pSyl pSyl
131122, 130mpbird 240 . 2 pSyl
132 prmuz2 14721 . . 3
133 eluz2b2 11254 . . . 4
134 nnre 10638 . . . . 5
135 1mod 12162 . . . . 5
136134, 135sylan 479 . . . 4
137133, 136sylbi 200 . . 3
1385, 132, 1373syl 18 . 2
139131, 138eqtrd 2505 1 pSyl
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  wrex 2757  crab 2760  cvv 3031   wss 3390  cpw 3942  csn 3959  cpr 3961   class class class wbr 4395  copab 4453   cmpt 4454   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  cr 9556  c1 9558   clt 9693   cmin 9880  cn 10631  c2 10681  cn0 10893  cz 10961  cuz 11182   cmo 12129  chash 12553   cdvds 14382  cprime 14701  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  cgrp 16747  csg 16749  SubGrpcsubg 16889  NrmSGrpcnsg 16890   pGrp cpgp 17247   pSyl cslw 17249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-ga 17022  df-od 17250  df-pgp 17254  df-slw 17256 This theorem is referenced by:  sylow3  17363
 Copyright terms: Public domain W3C validator