Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sylow3lem5 17361
 Description: Lemma for sylow3 17363, second part. Reduce the group action of sylow3lem1 17357 to a given Sylow subgroup. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem5.a
sylow3lem5.d
sylow3lem5.k pSyl
sylow3lem5.m pSyl
Assertion
Ref Expression
sylow3lem5 s pSyl
Distinct variable groups:   ,,,   , ,,   ,,,   ,,,   ,,,   ,,,   , ,,   ,,,

Proof of Theorem sylow3lem5
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem5.k . . . . . 6 pSyl
2 slwsubg 17340 . . . . . 6 pSyl SubGrp
31, 2syl 17 . . . . 5 SubGrp
4 sylow3.x . . . . . 6
54subgss 16896 . . . . 5 SubGrp
63, 5syl 17 . . . 4
7 ssid 3437 . . . 4 pSyl pSyl
8 resmpt2 6413 . . . 4 pSyl pSyl pSyl pSyl pSyl
96, 7, 8sylancl 675 . . 3 pSyl pSyl pSyl
10 sylow3lem5.m . . 3 pSyl
119, 10syl6eqr 2523 . 2 pSyl pSyl
12 sylow3.g . . . 4
13 sylow3.xf . . . 4
14 sylow3.p . . . 4
15 sylow3lem5.a . . . 4
16 sylow3lem5.d . . . 4
17 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
1817oveq1d 6323 . . . . . . . 8
1918cbvmptv 4488 . . . . . . 7
20 oveq1 6315 . . . . . . . . 9
21 id 22 . . . . . . . . 9
2220, 21oveq12d 6326 . . . . . . . 8
2322mpteq2dv 4483 . . . . . . 7
2419, 23syl5eq 2517 . . . . . 6
2524rneqd 5068 . . . . 5
26 mpteq1 4476 . . . . . 6
2726rneqd 5068 . . . . 5
2825, 27cbvmpt2v 6390 . . . 4 pSyl pSyl
294, 12, 13, 14, 15, 16, 28sylow3lem1 17357 . . 3 pSyl pSyl
30 eqid 2471 . . . 4 s s
3130gasubg 17034 . . 3 pSyl pSyl SubGrp pSyl pSyl s pSyl
3229, 3, 31syl2anc 673 . 2 pSyl pSyl s pSyl
3311, 32eqeltrrd 2550 1 s pSyl
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wceq 1452   wcel 1904   wss 3390   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840   cres 4841  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  cprime 14701  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  cgrp 16747  csg 16749  SubGrpcsubg 16889   cga 17021   pSyl cslw 17249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-ga 17022  df-od 17250  df-pgp 17254  df-slw 17256 This theorem is referenced by:  sylow3lem6  17362
 Copyright terms: Public domain W3C validator