Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3lem4 Structured version   Unicode version

Theorem sylow3lem4 16866
 Description: Lemma for sylow3 16869, first part. The number of Sylow subgroups is a divisor of the size of reduced by the size of a Sylow subgroup of . (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m pSyl
sylow3lem2.k pSyl
sylow3lem2.h
sylow3lem2.n
Assertion
Ref Expression
sylow3lem4 pSyl
Distinct variable groups:   ,,,,   , ,,,   ,,   ,,,,   ,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   , ,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem sylow3lem4
StepHypRef Expression
1 sylow3.x . . 3
2 sylow3.g . . 3
3 sylow3.xf . . 3
4 sylow3.p . . 3
5 sylow3lem1.a . . 3
6 sylow3lem1.d . . 3
7 sylow3lem1.m . . 3 pSyl
8 sylow3lem2.k . . 3 pSyl
9 sylow3lem2.h . . 3
10 sylow3lem2.n . . 3
111, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10sylow3lem3 16865 . 2 pSyl ~QG
12 slwsubg 16846 . . . . . . . . . 10 pSyl SubGrp
138, 12syl 17 . . . . . . . . 9 SubGrp
14 eqid 2402 . . . . . . . . . . 11 s s
1510, 1, 5, 14nmznsg 16461 . . . . . . . . . 10 SubGrp NrmSGrps
16 nsgsubg 16449 . . . . . . . . . 10 NrmSGrps SubGrps
1715, 16syl 17 . . . . . . . . 9 SubGrp SubGrps
1813, 17syl 17 . . . . . . . 8 SubGrps
1910, 1, 5nmzsubg 16458 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
202, 19syl 17 . . . . . . . . . 10 SubGrp
2114subgbas 16421 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
2220, 21syl 17 . . . . . . . . 9 s
231subgss 16418 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2420, 23syl 17 . . . . . . . . . 10
25 ssfi 7695 . . . . . . . . . 10
263, 24, 25syl2anc 659 . . . . . . . . 9
2722, 26eqeltrrd 2491 . . . . . . . 8 s
28 eqid 2402 . . . . . . . . 9 s s
2928lagsubg 16479 . . . . . . . 8 SubGrps s s
3018, 27, 29syl2anc 659 . . . . . . 7 s
3122fveq2d 5809 . . . . . . 7 s
3230, 31breqtrrd 4420 . . . . . 6
33 eqid 2402 . . . . . . . . . . . 12
3433subg0cl 16425 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
3513, 34syl 17 . . . . . . . . . 10
36 ne0i 3743 . . . . . . . . . 10
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9
381subgss 16418 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp
3913, 38syl 17 . . . . . . . . . . 11
40 ssfi 7695 . . . . . . . . . . 11
413, 39, 40syl2anc 659 . . . . . . . . . 10
42 hashnncl 12391 . . . . . . . . . 10
4341, 42syl 17 . . . . . . . . 9
4437, 43mpbird 232 . . . . . . . 8
4544nnzd 10927 . . . . . . 7
46 hashcl 12382 . . . . . . . . 9
4726, 46syl 17 . . . . . . . 8
4847nn0zd 10926 . . . . . . 7
49 pwfi 7769 . . . . . . . . . . 11
503, 49sylib 196 . . . . . . . . . 10
51 eqid 2402 . . . . . . . . . . . . 13 ~QG ~QG
521, 51eqger 16467 . . . . . . . . . . . 12 SubGrp ~QG
5320, 52syl 17 . . . . . . . . . . 11 ~QG
5453qsss 7329 . . . . . . . . . 10 ~QG
55 ssfi 7695 . . . . . . . . . 10 ~QG ~QG
5650, 54, 55syl2anc 659 . . . . . . . . 9 ~QG
57 hashcl 12382 . . . . . . . . 9 ~QG ~QG
5856, 57syl 17 . . . . . . . 8 ~QG
5958nn0zd 10926 . . . . . . 7 ~QG
60 dvdscmul 14111 . . . . . . 7 ~QG ~QG ~QG
6145, 48, 59, 60syl3anc 1230 . . . . . 6 ~QG ~QG
6232, 61mpd 15 . . . . 5 ~QG ~QG
63 hashcl 12382 . . . . . . . . 9
643, 63syl 17 . . . . . . . 8
6564nn0cnd 10815 . . . . . . 7
6644nncnd 10512 . . . . . . 7
6744nnne0d 10541 . . . . . . 7
6865, 66, 67divcan1d 10282 . . . . . 6
691, 51, 20, 3lagsubg2 16478 . . . . . 6 ~QG
7068, 69eqtrd 2443 . . . . 5 ~QG
7162, 70breqtrrd 4420 . . . 4 ~QG
721lagsubg 16479 . . . . . . 7 SubGrp
7313, 3, 72syl2anc 659 . . . . . 6
7464nn0zd 10926 . . . . . . 7
75 dvdsval2 14090 . . . . . . 7
7645, 67, 74, 75syl3anc 1230 . . . . . 6
7773, 76mpbid 210 . . . . 5
78 dvdsmulcr 14114 . . . . 5 ~QG ~QG ~QG
7959, 77, 45, 67, 78syl112anc 1234 . . . 4 ~QG ~QG
8071, 79mpbid 210 . . 3 ~QG
811, 3, 8slwhash 16860 . . . 4
8281oveq2d 6250 . . 3
8380, 82breqtrd 4418 . 2 ~QG
8411, 83eqbrtrd 4414 1 pSyl
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 184   wceq 1405   wcel 1842   wne 2598  wral 2753  crab 2757   wss 3413  c0 3737  cpw 3954   class class class wbr 4394   cmpt 4452   crn 4943  cfv 5525  (class class class)co 6234   cmpt2 6236   wer 7265  cqs 7267  cfn 7474  cc0 9442   cmul 9447   cdiv 10167  cn 10496  cn0 10756  cz 10825  cexp 12120  chash 12359   cdvds 14087  cprime 14318   cpc 14461  cbs 14733   ↾s cress 14734   cplusg 14801  c0g 14946  cgrp 16269  csg 16271  SubGrpcsubg 16411  NrmSGrpcnsg 16412   ~QG cqg 16413   pSyl cslw 16768 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4506  ax-sep 4516  ax-nul 4524  ax-pow 4571  ax-pr 4629  ax-un 6530  ax-inf2 8011  ax-cnex 9498  ax-resscn 9499  ax-1cn 9500  ax-icn 9501  ax-addcl 9502  ax-addrcl 9503  ax-mulcl 9504  ax-mulrcl 9505  ax-mulcom 9506  ax-addass 9507  ax-mulass 9508  ax-distr 9509  ax-i2m1 9510  ax-1ne0 9511  ax-1rid 9512  ax-rnegex 9513  ax-rrecex 9514  ax-cnre 9515  ax-pre-lttri 9516  ax-pre-lttrn 9517  ax-pre-ltadd 9518  ax-pre-mulgt0 9519  ax-pre-sup 9520 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2758  df-rex 2759  df-reu 2760  df-rmo 2761  df-rab 2762  df-v 3060  df-sbc 3277  df-csb 3373  df-dif 3416  df-un 3418  df-in 3420  df-ss 3427  df-pss 3429  df-nul 3738  df-if 3885  df-pw 3956  df-sn 3972  df-pr 3974  df-tp 3976  df-op 3978  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4272  df-disj 4366  df-br 4395  df-opab 4453  df-mpt 4454  df-tr 4489  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4743  df-so 4744  df-fr 4781  df-se 4782  df-we 4783  df-ord 4824  df-on 4825  df-lim 4826  df-suc 4827  df-xp 4948  df-rel 4949  df-cnv 4950  df-co 4951  df-dm 4952  df-rn 4953  df-res 4954  df-ima 4955  df-iota 5489  df-fun 5527  df-fn 5528  df-f 5529  df-f1 5530  df-fo 5531  df-f1o 5532  df-fv 5533  df-isom 5534  df-riota 6196  df-ov 6237  df-oprab 6238  df-mpt2 6239  df-om 6639  df-1st 6738  df-2nd 6739  df-recs 6999  df-rdg 7033  df-1o 7087  df-2o 7088  df-oadd 7091  df-omul 7092  df-er 7268  df-ec 7270  df-qs 7274  df-map 7379  df-en 7475  df-dom 7476  df-sdom 7477  df-fin 7478  df-sup 7855  df-oi 7889  df-card 8272  df-acn 8275  df-cda 8500  df-pnf 9580  df-mnf 9581  df-xr 9582  df-ltxr 9583  df-le 9584  df-sub 9763  df-neg 9764  df-div 10168  df-nn 10497  df-2 10555  df-3 10556  df-n0 10757  df-z 10826  df-uz 11046  df-q 11146  df-rp 11184  df-fz 11644  df-fzo 11768  df-fl 11879  df-mod 11948  df-seq 12062  df-exp 12121  df-fac 12308  df-bc 12335  df-hash 12360  df-cj 12988  df-re 12989  df-im 12990  df-sqrt 13124  df-abs 13125  df-clim 13367  df-sum 13565  df-dvds 14088  df-gcd 14246  df-prm 14319  df-pc 14462  df-ndx 14736  df-slot 14737  df-base 14738  df-sets 14739  df-ress 14740  df-plusg 14814  df-0g 14948  df-mgm 16088  df-sgrp 16127  df-mnd 16137  df-submnd 16183  df-grp 16273  df-minusg 16274  df-sbg 16275  df-mulg 16276  df-subg 16414  df-nsg 16415  df-eqg 16416  df-ghm 16481  df-ga 16544  df-od 16769  df-pgp 16771  df-slw 16772 This theorem is referenced by:  sylow3  16869
 Copyright terms: Public domain W3C validator