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Theorem sylow3lem2 16847
Description: Lemma for sylow3 16852, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup  K in the group action  .(+) acting on all of  G is the normalizer NG(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem1.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem1.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem1.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
sylow3lem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
sylow3lem2.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
sylow3lem2.n  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
Assertion
Ref Expression
sylow3lem2  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Distinct variable groups:    x, u, y, z,  .-    u,  .(+) , x, y, z    x, H, y    u, K, x, y, z    u, N, z    u, X, x, y, z    u, G, x, y, z    ph, u, x, y, z    u,  .+ , x, y, z    u, P, x, y, z
Allowed substitution hints:    H( z, u)    N( x, y)

Proof of Theorem sylow3lem2
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem2.n . . . . 5  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
2 ssrab2 3571 . . . . 5  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3519 . . . 4  |-  N  C_  X
4 sseqin2 3703 . . . 4  |-  ( N 
C_  X  <->  ( X  i^i  N )  =  N )
53, 4mpbi 208 . . 3  |-  ( X  i^i  N )  =  N
6 simpr 459 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  u  e.  X )
7 sylow3lem2.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
87adantr 463 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  ( P pSyl  G ) )
9 mptexg 6117 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  e.  _V )
10 rnexg 6705 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
12 simpr 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  y  =  K )
13 simpl 455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  x  =  u )
1413oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( u 
.+  z ) )
1514, 13oveq12d 6288 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )
1612, 15mpteq12dv 4517 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
1716rneqd 5219 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
18 sylow3lem1.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
1917, 18ovmpt2ga 6405 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  X  /\  K  e.  ( P pSyl  G )  /\  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V )  ->  ( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
206, 8, 11, 19syl3anc 1226 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
2120adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
22 slwsubg 16829 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
237, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
2423adantr 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  (SubGrp `  G )
)
25 sylow3.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
26 sylow3lem1.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
27 sylow3lem1.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
28 eqid 2454 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
2925, 26, 27, 28, 1conjnmz 16499 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3024, 29sylan 469 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3121, 30eqtr4d 2498 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  K )
32 simplr 753 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  X )
33 simprl 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  K )
3420adantr 463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3533, 34eqtr3d 2497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3635eleq2d 2524 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) ) )
37 ovex 6298 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u 
.+  w )  e. 
_V
38 eqeq1 2458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  (
v  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  <->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
3938rexbidv 2965 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  ( E. z  e.  K  v  =  ( (
u  .+  z )  .-  u )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
4028rnmpt 5237 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  =  { v  |  E. z  e.  K  v  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u ) }
4137, 39, 40elab2 3246 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
42 simprr 755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)
43 sylow3.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4443ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  G  e.  Grp )
45 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  u  e.  X
)
4625subgss 16401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
4723, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
4847ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  K  C_  X
)
49 simprl 754 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  K
)
5048, 49sseldd 3490 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  X
)
5125, 26, 27grpaddsubass 16327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( u  .+  ( z  .-  u
) ) )
5244, 45, 50, 45, 51syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  z )  .-  u )  =  ( u  .+  ( z 
.-  u ) ) )
5342, 52eqtr2d 2496 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  ( z  .-  u
) )  =  ( u  .+  w ) )
5425, 27grpsubcl 16317 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( z  .-  u
)  e.  X )
5544, 50, 45, 54syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  e.  X
)
56 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  w  e.  X
)
5725, 26grplcan 16301 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( z  .-  u )  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  (
z  .-  u )
)  =  ( u 
.+  w )  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5844, 55, 56, 45, 57syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  ( z  .-  u ) )  =  ( u  .+  w
)  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5953, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  w )
6025, 26, 27grpsubadd 16325 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( z  .-  u
)  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6144, 50, 45, 56, 60syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( z 
.-  u )  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6259, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  =  z )
6362, 49eqeltrd 2542 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
6463rexlimdvaa 2947 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )  ->  ( w  .+  u
)  e.  K ) )
6541, 64syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  ->  (
w  .+  u )  e.  K ) )
66 simpr 459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
67 oveq2 6278 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
u  .+  z )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
6867oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( ( u 
.+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
69 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u )  e. 
_V
7068, 28, 69fvmpt 5931 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .+  u )  e.  K  ->  (
( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) `  (
w  .+  u )
)  =  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u ) )
7166, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( ( u  .+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
7243ad3antrrr 727 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  G  e.  Grp )
73 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  u  e.  X )
74 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  w  e.  X )
7525, 26grpass 16263 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  w
)  .+  u )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
7672, 73, 74, 73, 75syl13anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
u  .+  w )  .+  u )  =  ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) )
7776oveq1d 6285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( ( u  .+  (
w  .+  u )
)  .-  u )
)
7825, 26grpcl 16262 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( u  .+  w
)  e.  X )
7972, 73, 74, 78syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  X
)
8025, 26, 27grppncan 16328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  w )  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  (
( ( u  .+  w )  .+  u
)  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8172, 79, 73, 80syl3anc 1226 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8271, 77, 813eqtr2d 2501 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( u  .+  w
) )
83 ovex 6298 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  e. 
_V
8483, 28fnmpti 5691 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  Fn  K
85 fnfvelrn 6004 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  Fn  K  /\  ( w  .+  u
)  e.  K )  ->  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) `
 ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8684, 66, 85sylancr 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8782, 86eqeltrrd 2543 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) )
8887ex 432 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( w  .+  u )  e.  K  ->  ( u  .+  w
)  e.  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) ) )
8965, 88impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
9036, 89bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9190anassrs 646 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( u  .(+)  K )  =  K )  /\  w  e.  X )  ->  ( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9291ralrimiva 2868 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
931elnmz 16439 . . . . . 6  |-  ( u  e.  N  <->  ( u  e.  X  /\  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) ) )
9432, 92, 93sylanbrc 662 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  N )
9531, 94impbida 830 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  e.  N  <->  ( u  .(+) 
K )  =  K ) )
9695rabbi2dva 3692 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  N
)  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
975, 96syl5eqr 2509 . 2  |-  ( ph  ->  N  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
98 sylow3lem2.h . 2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
9997, 98syl6reqr 2514 1  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   A.wral 2804   E.wrex 2805   {crab 2808   _Vcvv 3106    i^i cin 3460    C_ wss 3461    |-> cmpt 4497   ran crn 4989    Fn wfn 5565   ` cfv 5570  (class class class)co 6270    |-> cmpt2 6272   Fincfn 7509   Primecprime 14301   Basecbs 14716   +g cplusg 14784   Grpcgrp 16252   -gcsg 16254  SubGrpcsubg 16394   pSyl cslw 16751
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3an 973  df-tru 1401  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-op 4023  df-uni 4236  df-iun 4317  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-id 4784  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-0g 14931  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-grp 16256  df-minusg 16257  df-sbg 16258  df-subg 16397  df-slw 16755
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  16848
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