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Theorem sylow3lem2 16118
Description: Lemma for sylow3 16123, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup  K in the group action  .(+) acting on all of  G is the normalizer NG(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem1.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem1.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem1.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
sylow3lem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
sylow3lem2.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
sylow3lem2.n  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
Assertion
Ref Expression
sylow3lem2  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Distinct variable groups:    x, u, y, z,  .-    u,  .(+) , x, y, z    x, H, y    u, K, x, y, z    u, N, z    u, X, x, y, z    u, G, x, y, z    ph, u, x, y, z    u,  .+ , x, y, z    u, P, x, y, z
Allowed substitution hints:    H( z, u)    N( x, y)

Proof of Theorem sylow3lem2
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem2.n . . . . 5  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
2 ssrab2 3432 . . . . 5  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3381 . . . 4  |-  N  C_  X
4 sseqin2 3564 . . . 4  |-  ( N 
C_  X  <->  ( X  i^i  N )  =  N )
53, 4mpbi 208 . . 3  |-  ( X  i^i  N )  =  N
6 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  u  e.  X )
7 sylow3lem2.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  ( P pSyl  G ) )
9 mptexg 5942 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  e.  _V )
10 rnexg 6505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  y  =  K )
13 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  x  =  u )
1413oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( u 
.+  z ) )
1514, 13oveq12d 6104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )
1612, 15mpteq12dv 4365 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
1716rneqd 5062 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
18 sylow3lem1.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
1917, 18ovmpt2ga 6215 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  X  /\  K  e.  ( P pSyl  G )  /\  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V )  ->  ( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
206, 8, 11, 19syl3anc 1218 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
22 slwsubg 16100 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
237, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
2423adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  (SubGrp `  G )
)
25 sylow3.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
26 sylow3lem1.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
27 sylow3lem1.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
28 eqid 2438 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
2925, 26, 27, 28, 1conjnmz 15771 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3024, 29sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3121, 30eqtr4d 2473 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  K )
32 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  X )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  K )
3420adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3533, 34eqtr3d 2472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3635eleq2d 2505 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) ) )
37 ovex 6111 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u 
.+  w )  e. 
_V
38 eqeq1 2444 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  (
v  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  <->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
3938rexbidv 2731 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  ( E. z  e.  K  v  =  ( (
u  .+  z )  .-  u )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
4028rnmpt 5080 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  =  { v  |  E. z  e.  K  v  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u ) }
4137, 39, 40elab2 3104 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
42 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)
43 sylow3.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4443ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  G  e.  Grp )
45 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  u  e.  X
)
4625subgss 15673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
4723, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
4847ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  K  C_  X
)
49 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  K
)
5048, 49sseldd 3352 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  X
)
5125, 26, 27grpaddsubass 15606 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( u  .+  ( z  .-  u
) ) )
5244, 45, 50, 45, 51syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  z )  .-  u )  =  ( u  .+  ( z 
.-  u ) ) )
5342, 52eqtr2d 2471 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  ( z  .-  u
) )  =  ( u  .+  w ) )
5425, 27grpsubcl 15597 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( z  .-  u
)  e.  X )
5544, 50, 45, 54syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  e.  X
)
56 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  w  e.  X
)
5725, 26grplcan 15581 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( z  .-  u )  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  (
z  .-  u )
)  =  ( u 
.+  w )  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5844, 55, 56, 45, 57syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  ( z  .-  u ) )  =  ( u  .+  w
)  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5953, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  w )
6025, 26, 27grpsubadd 15604 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( z  .-  u
)  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6144, 50, 45, 56, 60syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( z 
.-  u )  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6259, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  =  z )
6362, 49eqeltrd 2512 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
6463rexlimdvaa 2837 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )  ->  ( w  .+  u
)  e.  K ) )
6541, 64syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  ->  (
w  .+  u )  e.  K ) )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
67 oveq2 6094 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
u  .+  z )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
6867oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( ( u 
.+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
69 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u )  e. 
_V
7068, 28, 69fvmpt 5769 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .+  u )  e.  K  ->  (
( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) `  (
w  .+  u )
)  =  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u ) )
7166, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( ( u  .+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
7243ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  G  e.  Grp )
73 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  u  e.  X )
74 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  w  e.  X )
7525, 26grpass 15543 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  w
)  .+  u )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
7672, 73, 74, 73, 75syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
u  .+  w )  .+  u )  =  ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) )
7776oveq1d 6101 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( ( u  .+  (
w  .+  u )
)  .-  u )
)
7825, 26grpcl 15542 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( u  .+  w
)  e.  X )
7972, 73, 74, 78syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  X
)
8025, 26, 27grppncan 15607 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  w )  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  (
( ( u  .+  w )  .+  u
)  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8172, 79, 73, 80syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8271, 77, 813eqtr2d 2476 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( u  .+  w
) )
83 ovex 6111 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  e. 
_V
8483, 28fnmpti 5534 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  Fn  K
85 fnfvelrn 5835 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  Fn  K  /\  ( w  .+  u
)  e.  K )  ->  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) `
 ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8684, 66, 85sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8782, 86eqeltrrd 2513 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) )
8887ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( w  .+  u )  e.  K  ->  ( u  .+  w
)  e.  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) ) )
8965, 88impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
9036, 89bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9190anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( u  .(+)  K )  =  K )  /\  w  e.  X )  ->  ( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9291ralrimiva 2794 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
931elnmz 15711 . . . . . 6  |-  ( u  e.  N  <->  ( u  e.  X  /\  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) ) )
9432, 92, 93sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  N )
9531, 94impbida 828 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  e.  N  <->  ( u  .(+) 
K )  =  K ) )
9695rabbi2dva 3553 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  N
)  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
975, 96syl5eqr 2484 . 2  |-  ( ph  ->  N  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
98 sylow3lem2.h . 2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
9997, 98syl6reqr 2489 1  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   A.wral 2710   E.wrex 2711   {crab 2714   _Vcvv 2967    i^i cin 3322    C_ wss 3323    e. cmpt 4345   ran crn 4836    Fn wfn 5408   ` cfv 5413  (class class class)co 6086    e. cmpt2 6088   Fincfn 7302   Primecprime 13755   Basecbs 14166   +g cplusg 14230   Grpcgrp 15402   -gcsg 15405  SubGrpcsubg 15666   pSyl cslw 16022
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1372  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-op 3879  df-uni 4087  df-iun 4168  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-id 4631  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-0g 14372  df-mnd 15407  df-grp 15536  df-minusg 15537  df-sbg 15538  df-subg 15669  df-slw 16026
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  16119
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