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Theorem sylow3lem2 16231
Description: Lemma for sylow3 16236, first part. The stabilizer of a given Sylow subgroup  K in the group action  .(+) acting on all of  G is the normalizer NG(K). (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem1.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem1.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem1.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
sylow3lem2.k  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
sylow3lem2.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
sylow3lem2.n  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
Assertion
Ref Expression
sylow3lem2  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Distinct variable groups:    x, u, y, z,  .-    u,  .(+) , x, y, z    x, H, y    u, K, x, y, z    u, N, z    u, X, x, y, z    u, G, x, y, z    ph, u, x, y, z    u,  .+ , x, y, z    u, P, x, y, z
Allowed substitution hints:    H( z, u)    N( x, y)

Proof of Theorem sylow3lem2
Dummy variables  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3lem2.n . . . . 5  |-  N  =  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  ( ( x  .+  y )  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K ) }
2 ssrab2 3535 . . . . 5  |-  { x  e.  X  |  A. y  e.  X  (
( x  .+  y
)  e.  K  <->  ( y  .+  x )  e.  K
) }  C_  X
31, 2eqsstri 3484 . . . 4  |-  N  C_  X
4 sseqin2 3667 . . . 4  |-  ( N 
C_  X  <->  ( X  i^i  N )  =  N )
53, 4mpbi 208 . . 3  |-  ( X  i^i  N )  =  N
6 simpr 461 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  u  e.  X )
7 sylow3lem2.k . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  K  e.  ( P pSyl 
G ) )
87adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  ( P pSyl  G ) )
9 mptexg 6046 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  e.  _V )
10 rnexg 6610 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
118, 9, 103syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  e.  _V )
12 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  y  =  K )
13 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  x  =  u )
1413oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( u 
.+  z ) )
1514, 13oveq12d 6208 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )
1612, 15mpteq12dv 4468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
1716rneqd 5165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  u  /\  y  =  K )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
18 sylow3lem1.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
1917, 18ovmpt2ga 6320 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  X  /\  K  e.  ( P pSyl  G )  /\  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  e.  _V )  ->  ( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
206, 8, 11, 19syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
2120adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
22 slwsubg 16213 . . . . . . . . 9  |-  ( K  e.  ( P pSyl  G
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
237, 22syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
2423adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  K  e.  (SubGrp `  G )
)
25 sylow3.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
26 sylow3lem1.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
27 sylow3lem1.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
28 eqid 2451 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  =  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
2925, 26, 27, 28, 1conjnmz 15882 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3024, 29sylan 471 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
3121, 30eqtr4d 2495 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  u  e.  N )  ->  (
u  .(+)  K )  =  K )
32 simplr 754 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  X )
33 simprl 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  K )
3420adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( u  .(+)  K )  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3533, 34eqtr3d 2494 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  ->  K  =  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) )
3635eleq2d 2521 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) ) )
37 ovex 6215 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u 
.+  w )  e. 
_V
38 eqeq1 2455 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  (
v  =  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  <->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
3938rexbidv 2844 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( v  =  ( u  .+  w )  ->  ( E. z  e.  K  v  =  ( (
u  .+  z )  .-  u )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) )
4028rnmpt 5183 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)  =  { v  |  E. z  e.  K  v  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u ) }
4137, 39, 40elab2 3206 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  <->  E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) )
42 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
)
43 sylow3.g . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4443ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  G  e.  Grp )
45 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  u  e.  X
)
4625subgss 15784 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
4723, 46syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
4847ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  K  C_  X
)
49 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  K
)
5048, 49sseldd 3455 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  z  e.  X
)
5125, 26, 27grpaddsubass 15717 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( u  .+  ( z  .-  u
) ) )
5244, 45, 50, 45, 51syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  z )  .-  u )  =  ( u  .+  ( z 
.-  u ) ) )
5342, 52eqtr2d 2493 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( u  .+  ( z  .-  u
) )  =  ( u  .+  w ) )
5425, 27grpsubcl 15708 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  ( z  .-  u
)  e.  X )
5544, 50, 45, 54syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  e.  X
)
56 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  w  e.  X
)
5725, 26grplcan 15692 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( z  .-  u )  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  (
z  .-  u )
)  =  ( u 
.+  w )  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5844, 55, 56, 45, 57syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( u 
.+  ( z  .-  u ) )  =  ( u  .+  w
)  <->  ( z  .-  u )  =  w ) )
5953, 58mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( z  .-  u )  =  w )
6025, 26, 27grpsubadd 15715 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( z  e.  X  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X
) )  ->  (
( z  .-  u
)  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6144, 50, 45, 56, 60syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( ( z 
.-  u )  =  w  <->  ( w  .+  u )  =  z ) )
6259, 61mpbid 210 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  =  z )
6362, 49eqeltrd 2539 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( z  e.  K  /\  (
u  .+  w )  =  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
6463rexlimdvaa 2938 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( E. z  e.  K  ( u  .+  w )  =  ( ( u  .+  z
)  .-  u )  ->  ( w  .+  u
)  e.  K ) )
6541, 64syl5bi 217 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  ->  (
w  .+  u )  e.  K ) )
66 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( w  .+  u )  e.  K
)
67 oveq2 6198 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
u  .+  z )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
6867oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  =  ( w  .+  u )  ->  (
( u  .+  z
)  .-  u )  =  ( ( u 
.+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
69 ovex 6215 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u )  e. 
_V
7068, 28, 69fvmpt 5873 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( w  .+  u )  e.  K  ->  (
( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) `  (
w  .+  u )
)  =  ( ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) 
.-  u ) )
7166, 70syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( ( u  .+  ( w  .+  u ) )  .-  u ) )
7243ad3antrrr 729 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  G  e.  Grp )
73 simpllr 758 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  u  e.  X )
74 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  w  e.  X )
7525, 26grpass 15654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  e.  X  /\  w  e.  X  /\  u  e.  X
) )  ->  (
( u  .+  w
)  .+  u )  =  ( u  .+  ( w  .+  u ) ) )
7672, 73, 74, 73, 75syl13anc 1221 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
u  .+  w )  .+  u )  =  ( u  .+  ( w 
.+  u ) ) )
7776oveq1d 6205 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( ( u  .+  (
w  .+  u )
)  .-  u )
)
7825, 26grpcl 15653 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  w  e.  X )  ->  ( u  .+  w
)  e.  X )
7972, 73, 74, 78syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  X
)
8025, 26, 27grppncan 15718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  w )  e.  X  /\  u  e.  X )  ->  (
( ( u  .+  w )  .+  u
)  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8172, 79, 73, 80syl3anc 1219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
( u  .+  w
)  .+  u )  .-  u )  =  ( u  .+  w ) )
8271, 77, 813eqtr2d 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  =  ( u  .+  w
) )
83 ovex 6215 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( u  .+  z ) 
.-  u )  e. 
_V
8483, 28fnmpti 5637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) )  Fn  K
85 fnfvelrn 5939 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  Fn  K  /\  ( w  .+  u
)  e.  K )  ->  ( ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z ) 
.-  u ) ) `
 ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8684, 66, 85sylancr 663 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) `  ( w  .+  u ) )  e. 
ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u 
.+  z )  .-  u ) ) )
8782, 86eqeltrrd 2540 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( ( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X )
)  /\  ( w  .+  u )  e.  K
)  ->  ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) ) )
8887ex 434 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( w  .+  u )  e.  K  ->  ( u  .+  w
)  e.  ran  (
z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z
)  .-  u )
) ) )
8965, 88impbid 191 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  ran  ( z  e.  K  |->  ( ( u  .+  z )  .-  u
) )  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
9036, 89bitrd 253 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
( u  .(+)  K )  =  K  /\  w  e.  X ) )  -> 
( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9190anassrs 648 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  ( u  .(+)  K )  =  K )  /\  w  e.  X )  ->  ( ( u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K ) )
9291ralrimiva 2822 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) )
931elnmz 15822 . . . . . 6  |-  ( u  e.  N  <->  ( u  e.  X  /\  A. w  e.  X  ( (
u  .+  w )  e.  K  <->  ( w  .+  u )  e.  K
) ) )
9432, 92, 93sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  u  e.  X )  /\  (
u  .(+)  K )  =  K )  ->  u  e.  N )
9531, 94impbida 828 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  u  e.  X )  ->  (
u  e.  N  <->  ( u  .(+) 
K )  =  K ) )
9695rabbi2dva 3656 . . 3  |-  ( ph  ->  ( X  i^i  N
)  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
975, 96syl5eqr 2506 . 2  |-  ( ph  ->  N  =  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  K )  =  K } )
98 sylow3lem2.h . 2  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  K )  =  K }
9997, 98syl6reqr 2511 1  |-  ( ph  ->  H  =  N )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799   _Vcvv 3068    i^i cin 3425    C_ wss 3426    |-> cmpt 4448   ran crn 4939    Fn wfn 5511   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192   Fincfn 7410   Primecprime 13865   Basecbs 14276   +g cplusg 14340   Grpcgrp 15512   -gcsg 15515  SubGrpcsubg 15777   pSyl cslw 16135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3an 967  df-tru 1373  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-op 3982  df-uni 4190  df-iun 4271  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-id 4734  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-0g 14482  df-mnd 15517  df-grp 15647  df-minusg 15648  df-sbg 15649  df-subg 15780  df-slw 16139
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  16232
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