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Theorem sylow3lem1 17272
 Description: Lemma for sylow3 17278, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3lem1.a
sylow3lem1.d
sylow3lem1.m pSyl
Assertion
Ref Expression
sylow3lem1 pSyl
Distinct variable groups:   ,,,   , ,,   ,,,   ,,,   ,,,   , ,,   ,,,

Proof of Theorem sylow3lem1
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . 3
2 ovex 6316 . . 3 pSyl
31, 2jctir 541 . 2 pSyl
4 sylow3.xf . . . . . . . . . . 11
5 sylow3.p . . . . . . . . . . 11
6 sylow3.x . . . . . . . . . . . 12
76fislw 17270 . . . . . . . . . . 11 pSyl SubGrp
81, 4, 5, 7syl3anc 1267 . . . . . . . . . 10 pSyl SubGrp
98biimpa 487 . . . . . . . . 9 pSyl SubGrp
109adantrl 721 . . . . . . . 8 pSyl SubGrp
1110simpld 461 . . . . . . 7 pSyl SubGrp
12 simprl 763 . . . . . . 7 pSyl
13 sylow3lem1.a . . . . . . . 8
14 sylow3lem1.d . . . . . . . 8
15 eqid 2450 . . . . . . . 8
166, 13, 14, 15conjsubg 16907 . . . . . . 7 SubGrp SubGrp
1711, 12, 16syl2anc 666 . . . . . 6 pSyl SubGrp
186, 13, 14, 15conjsubgen 16908 . . . . . . . . 9 SubGrp
1911, 12, 18syl2anc 666 . . . . . . . 8 pSyl
204adantr 467 . . . . . . . . . 10 pSyl
216subgss 16811 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2211, 21syl 17 . . . . . . . . . 10 pSyl
23 ssfi 7789 . . . . . . . . . 10
2420, 22, 23syl2anc 666 . . . . . . . . 9 pSyl
256subgss 16811 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
2617, 25syl 17 . . . . . . . . . 10 pSyl
27 ssfi 7789 . . . . . . . . . 10
2820, 26, 27syl2anc 666 . . . . . . . . 9 pSyl
29 hashen 12527 . . . . . . . . 9
3024, 28, 29syl2anc 666 . . . . . . . 8 pSyl
3119, 30mpbird 236 . . . . . . 7 pSyl
3210simprd 465 . . . . . . 7 pSyl
3331, 32eqtr3d 2486 . . . . . 6 pSyl
346fislw 17270 . . . . . . . 8 pSyl SubGrp
351, 4, 5, 34syl3anc 1267 . . . . . . 7 pSyl SubGrp
3635adantr 467 . . . . . 6 pSyl pSyl SubGrp
3717, 33, 36mpbir2and 932 . . . . 5 pSyl pSyl
3837ralrimivva 2808 . . . 4 pSyl pSyl
39 sylow3lem1.m . . . . 5 pSyl
4039fmpt2 6857 . . . 4 pSyl pSyl pSyl pSyl
4138, 40sylib 200 . . 3 pSyl pSyl
421adantr 467 . . . . . . . 8 pSyl
43 eqid 2450 . . . . . . . . 9
446, 43grpidcl 16687 . . . . . . . 8
4542, 44syl 17 . . . . . . 7 pSyl
46 simpr 463 . . . . . . 7 pSyl pSyl
47 simpr 463 . . . . . . . . . 10
48 simpl 459 . . . . . . . . . . . 12
4948oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11
5049, 48oveq12d 6306 . . . . . . . . . 10
5147, 50mpteq12dv 4480 . . . . . . . . 9
5251rneqd 5061 . . . . . . . 8
53 vex 3047 . . . . . . . . . 10
5453mptex 6134 . . . . . . . . 9
5554rnex 6724 . . . . . . . 8
5652, 39, 55ovmpt2a 6424 . . . . . . 7 pSyl
5745, 46, 56syl2anc 666 . . . . . 6 pSyl
581ad2antrr 731 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
59 slwsubg 17255 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl SubGrp
6059adantl 468 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl SubGrp
616subgss 16811 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
6260, 61syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
6362sselda 3431 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
646, 13, 43grplid 16689 . . . . . . . . . . . . 13
6558, 63, 64syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
6665oveq1d 6303 . . . . . . . . . . 11 pSyl
676, 43, 14grpsubid1 16732 . . . . . . . . . . . 12
6858, 63, 67syl2anc 666 . . . . . . . . . . 11 pSyl
6966, 68eqtrd 2484 . . . . . . . . . 10 pSyl
7069mpteq2dva 4488 . . . . . . . . 9 pSyl
71 mptresid 5158 . . . . . . . . 9
7270, 71syl6eq 2500 . . . . . . . 8 pSyl
7372rneqd 5061 . . . . . . 7 pSyl
74 rnresi 5180 . . . . . . 7
7573, 74syl6eq 2500 . . . . . 6 pSyl
7657, 75eqtrd 2484 . . . . 5 pSyl
77 ovex 6316 . . . . . . . . . 10
78 oveq2 6296 . . . . . . . . . . 11
7978oveq1d 6303 . . . . . . . . . 10
8077, 79abrexco 6147 . . . . . . . . 9
81 simprr 765 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
82 simplr 761 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl pSyl
83 simpr 463 . . . . . . . . . . . . . . . 16
84 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8685, 84oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8783, 86mpteq12dv 4480 . . . . . . . . . . . . . . 15
8887rneqd 5061 . . . . . . . . . . . . . 14
8953mptex 6134 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089rnex 6724 . . . . . . . . . . . . . 14
9188, 39, 90ovmpt2a 6424 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
9281, 82, 91syl2anc 666 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
93 eqid 2450 . . . . . . . . . . . . 13
9493rnmpt 5079 . . . . . . . . . . . 12
9592, 94syl6eq 2500 . . . . . . . . . . 11 pSyl
9695rexeqdv 2993 . . . . . . . . . 10 pSyl
9796abbidv 2568 . . . . . . . . 9 pSyl
9842adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
9998adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
100 simprl 763 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 pSyl
1016, 13grpcl 16672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
10298, 100, 81, 101syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
103102adantr 467 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
10463adantlr 720 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
1056, 13grpcl 16672 . . . . . . . . . . . . . . 15
10699, 103, 104, 105syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
10781adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
108100adantr 467 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
1096, 13, 14grpsubsub4 16740 . . . . . . . . . . . . . 14
11099, 106, 107, 108, 109syl13anc 1269 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
1116, 13grpass 16673 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11299, 108, 107, 104, 111syl13anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
113112oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
1146, 13grpcl 16672 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11599, 107, 104, 114syl3anc 1267 . . . . . . . . . . . . . . . 16 pSyl
1166, 13, 14grpaddsubass 16737 . . . . . . . . . . . . . . . 16
11799, 108, 115, 107, 116syl13anc 1269 . . . . . . . . . . . . . . 15 pSyl
118113, 117eqtrd 2484 . . . . . . . . . . . . . 14 pSyl
119118oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13 pSyl
120110, 119eqtr3d 2486 . . . . . . . . . . . 12 pSyl
121120eqeq2d 2460 . . . . . . . . . . 11 pSyl
122121rexbidva 2897 . . . . . . . . . 10 pSyl
123122abbidv 2568 . . . . . . . . 9 pSyl
12480, 97, 1233eqtr4a 2510 . . . . . . . 8 pSyl
125 eqid 2450 . . . . . . . . 9
126125rnmpt 5079 . . . . . . . 8
127 eqid 2450 . . . . . . . . 9
128127rnmpt 5079 . . . . . . . 8
129124, 126, 1283eqtr4g 2509 . . . . . . 7 pSyl
13041ad2antrr 731 . . . . . . . . 9 pSyl pSyl pSyl
131130, 81, 82fovrnd 6438 . . . . . . . 8 pSyl pSyl
132 simpr 463 . . . . . . . . . . . 12
133 simpl 459 . . . . . . . . . . . . . 14
134133oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . . 13
135134, 133oveq12d 6306 . . . . . . . . . . . 12
136132, 135mpteq12dv 4480 . . . . . . . . . . 11
137 oveq2 6296 . . . . . . . . . . . . 13
138137oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12
139138cbvmptv 4494 . . . . . . . . . . 11
140136, 139syl6eq 2500 . . . . . . . . . 10
141140rneqd 5061 . . . . . . . . 9
142 ovex 6316 . . . . . . . . . . 11
143142mptex 6134 . . . . . . . . . 10
144143rnex 6724 . . . . . . . . 9
145141, 39, 144ovmpt2a 6424 . . . . . . . 8 pSyl
146100, 131, 145syl2anc 666 . . . . . . 7 pSyl
147 simpr 463 . . . . . . . . . . 11
148 simpl 459 . . . . . . . . . . . . 13
149148oveq1d 6303 . . . . . . . . . . . 12
150149, 148oveq12d 6306 . . . . . . . . . . 11
151147, 150mpteq12dv 4480 . . . . . . . . . 10
152151rneqd 5061 . . . . . . . . 9
15353mptex 6134 . . . . . . . . . 10
154153rnex 6724 . . . . . . . . 9
155152, 39, 154ovmpt2a 6424 . . . . . . . 8 pSyl
156102, 82, 155syl2anc 666 . . . . . . 7 pSyl
157129, 146, 1563eqtr4rd 2495 . . . . . 6 pSyl
158157ralrimivva 2808 . . . . 5 pSyl
15976, 158jca 535 . . . 4 pSyl
160159ralrimiva 2801 . . 3 pSyl
16141, 160jca 535 . 2 pSyl pSyl pSyl
1626, 13, 43isga 16938 . 2 pSyl pSyl pSyl pSyl pSyl
1633, 161, 162sylanbrc 669 1 pSyl
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 188   wa 371   wceq 1443   wcel 1886  cab 2436  wral 2736  wrex 2737  cvv 3044   wss 3403   class class class wbr 4401   cmpt 4460   cid 4743   cxp 4831   crn 4834   cres 4835  wf 5577  cfv 5581  (class class class)co 6288   cmpt2 6290   cen 7563  cfn 7566  cexp 12269  chash 12512  cprime 14615   cpc 14779  cbs 15114   cplusg 15183  c0g 15331  cgrp 16662  csg 16664  SubGrpcsubg 16804   cga 16936   pSyl cslw 17164 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1668  ax-4 1681  ax-5 1757  ax-6 1804  ax-7 1850  ax-8 1888  ax-9 1895  ax-10 1914  ax-11 1919  ax-12 1932  ax-13 2090  ax-ext 2430  ax-rep 4514  ax-sep 4524  ax-nul 4533  ax-pow 4580  ax-pr 4638  ax-un 6580  ax-inf2 8143  ax-cnex 9592  ax-resscn 9593  ax-1cn 9594  ax-icn 9595  ax-addcl 9596  ax-addrcl 9597  ax-mulcl 9598  ax-mulrcl 9599  ax-mulcom 9600  ax-addass 9601  ax-mulass 9602  ax-distr 9603  ax-i2m1 9604  ax-1ne0 9605  ax-1rid 9606  ax-rnegex 9607  ax-rrecex 9608  ax-cnre 9609  ax-pre-lttri 9610  ax-pre-lttrn 9611  ax-pre-ltadd 9612  ax-pre-mulgt0 9613  ax-pre-sup 9614 This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 985  df-3an 986  df-tru 1446  df-fal 1449  df-ex 1663  df-nf 1667  df-sb 1797  df-eu 2302  df-mo 2303  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2580  df-ne 2623  df-nel 2624  df-ral 2741  df-rex 2742  df-reu 2743  df-rmo 2744  df-rab 2745  df-v 3046  df-sbc 3267  df-csb 3363  df-dif 3406  df-un 3408  df-in 3410  df-ss 3417  df-pss 3419  df-nul 3731  df-if 3881  df-pw 3952  df-sn 3968  df-pr 3970  df-tp 3972  df-op 3974  df-uni 4198  df-int 4234  df-iun 4279  df-disj 4373  df-br 4402  df-opab 4461  df-mpt 4462  df-tr 4497  df-eprel 4744  df-id 4748  df-po 4754  df-so 4755  df-fr 4792  df-se 4793  df-we 4794  df-xp 4839  df-rel 4840  df-cnv 4841  df-co 4842  df-dm 4843  df-rn 4844  df-res 4845  df-ima 4846  df-pred 5379  df-ord 5425  df-on 5426  df-lim 5427  df-suc 5428  df-iota 5545  df-fun 5583  df-fn 5584  df-f 5585  df-f1 5586  df-fo 5587  df-f1o 5588  df-fv 5589  df-isom 5590  df-riota 6250  df-ov 6291  df-oprab 6292  df-mpt2 6293  df-om 6690  df-1st 6790  df-2nd 6791  df-wrecs 7025  df-recs 7087  df-rdg 7125  df-1o 7179  df-2o 7180  df-oadd 7183  df-omul 7184  df-er 7360  df-ec 7362  df-qs 7366  df-map 7471  df-en 7567  df-dom 7568  df-sdom 7569  df-fin 7570  df-sup 7953  df-inf 7954  df-oi 8022  df-card 8370  df-acn 8373  df-cda 8595  df-pnf 9674  df-mnf 9675  df-xr 9676  df-ltxr 9677  df-le 9678  df-sub 9859  df-neg 9860  df-div 10267  df-nn 10607  df-2 10665  df-3 10666  df-n0 10867  df-z 10935  df-uz 11157  df-q 11262  df-rp 11300  df-fz 11782  df-fzo 11913  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13155  df-re 13156  df-im 13157  df-sqrt 13291  df-abs 13292  df-clim 13545  df-sum 13746  df-dvds 14299  df-gcd 14462  df-prm 14616  df-pc 14780  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-0g 15333  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-grp 16666  df-minusg 16667  df-sbg 16668  df-mulg 16669  df-subg 16807  df-eqg 16809  df-ghm 16874  df-ga 16937  df-od 17165  df-pgp 17169  df-slw 17171 This theorem is referenced by:  sylow3lem3  17274  sylow3lem5  17276
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