Theorem sylow3lem1 16773

Description: Lemma for sylow3 16779, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	|- X = ( Base ` G )
sylow3.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow3.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow3.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow3lem1.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow3lem1.d	|- .- = ( -g ` G )
sylow3lem1.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem1	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .-   x, .(+) , y, z   x, X, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem1

Dummy variables a b c u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		ovex 6324	. . 3 |- ( P pSyl G ) e. _V
3	1, 2	jctir 538	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) )
4		sylow3.xf	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
5		sylow3.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. Prime )
6		sylow3.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` G )
7	6	fislw 16771	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
9	8	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( P pSyl G ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
10	9	adantrl 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
11	10	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
12		simprl 756	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> x e. X )
13		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
14		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
15		eqid 2457	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) )
16	6, 13, 14, 15	conjsubg 16424	. . . . . . 7 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
17	11, 12, 16	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
18	6, 13, 14, 15	conjsubgen 16425	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
19	11, 12, 18	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
20	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> X e. Fin )
21	6	subgss 16328	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. (SubGrp ` G ) -> y C_ X )
22	11, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y C_ X )
23		ssfi 7759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
24	20, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. Fin )
25	6	subgss 16328	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
26	17, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
27		ssfi 7759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
28	20, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
29		hashen 12422	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
31	19, 30	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
32	10	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
33	31, 32	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
34	6	fislw 16771	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
35	1, 4, 5, 34	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
36	35	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
37	17, 33, 36	mpbir2and 922	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
38	37	ralrimivva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
39		sylow3lem1.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
40	39	fmpt2 6866	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
41	38, 40	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
42	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> G e. Grp )
43		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
44	6, 43	grpidcl 16204	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
45	42, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( 0g ` G ) e. X )
46		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
47		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
48		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
49	48	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
50	49, 48	oveq12d 6314	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) )
51	47, 50	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
52	51	rneqd 5240	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
53		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
54	53	mptex 6144	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
55	54	rnex 6733	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
56	52, 39, 55	ovmpt2a 6432	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
57	45, 46, 56	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
58	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
59		slwsubg 16756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( P pSyl G ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
60	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
61	6	subgss 16328	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. (SubGrp ` G ) -> a C_ X )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a C_ X )
63	62	sselda 3499	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
64	6, 13, 43	grplid 16206	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
65	58, 63, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
66	65	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = ( z .- ( 0g ` G ) ) )
67	6, 43, 14	grpsubid1 16249	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
68	58, 63, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
69	66, 68	eqtrd 2498	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = z )
70	69	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( z e. a |-> z ) )
71		mptresid 5338	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
72	70, 71	syl6eq 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( _I |` a ) )
73	72	rneqd 5240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ran ( _I |` a ) )
74		rnresi 5360	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
75	73, 74	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = a )
76	57, 75	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
77		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c .+ z ) .- c ) e. _V
78		oveq2 6304	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
79	78	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( ( b .+ w ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
80	77, 79	abrexco 6157	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) }
81		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
82		simplr 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
83		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
84		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
85	84	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
86	85, 84	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( c .+ z ) .- c ) )
87	83, 86	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
88	87	rneqd 5240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
89	53	mptex 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
90	89	rnex 6733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
91	88, 39, 90	ovmpt2a 6432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
92	81, 82, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
93		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) )
94	93	rnmpt 5258	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) }
95	92, 94	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } )
96	95	rexeqdv 3061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
97	96	abbidv 2593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } )
98	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
100		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
101	6, 13	grpcl 16189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
102	98, 100, 81, 101	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( b .+ c ) e. X )
104	63	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
105	6, 13	grpcl 16189	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( b .+ c ) e. X /\ z e. X ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
106	99, 103, 104, 105	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
107	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
108	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
109	6, 13, 14	grpsubsub4 16257	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X /\ c e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
110	99, 106, 107, 108, 109	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
111	6, 13	grpass 16190	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
112	99, 108, 107, 104, 111	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
113	112	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) )
114	6, 13	grpcl 16189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ c e. X /\ z e. X ) -> ( c .+ z ) e. X )
115	99, 107, 104, 114	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( c .+ z ) e. X )
116	6, 13, 14	grpaddsubass 16254	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ ( c .+ z ) e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
117	99, 108, 115, 107, 116	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
118	113, 117	eqtrd 2498	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
119	118	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
120	110, 119	eqtr3d 2500	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
121	120	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
122	121	rexbidva 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
123	122	abbidv 2593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) } )
124	80, 97, 123	3eqtr4a 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } )
125		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
126	125	rnmpt 5258	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) }
127		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
128	127	rnmpt 5258	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) }
129	124, 126, 128	3eqtr4g 2523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
130	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
131	130, 81, 82	fovrnd 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) )
132		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
133		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
134	133	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
135	134, 133	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( b .+ z ) .- b ) )
136	132, 135	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) )
137		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
138	137	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( b .+ z ) .- b ) = ( ( b .+ w ) .- b ) )
139	138	cbvmptv 4548	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
140	136, 139	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
141	140	rneqd 5240	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
142		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
143	142	mptex 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
144	143	rnex 6733	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
145	141, 39, 144	ovmpt2a 6432	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
146	100, 131, 145	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
147		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
148		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
149	148	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
150	149, 148	oveq12d 6314	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
151	147, 150	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
152	151	rneqd 5240	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
153	53	mptex 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
154	153	rnex 6733	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
155	152, 39, 154	ovmpt2a 6432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
156	102, 82, 155	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
157	129, 146, 156	3eqtr4rd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
158	157	ralrimivva 2878	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
159	76, 158	jca 532	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
160	159	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ph -> A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
161	41, 160	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
162	6, 13, 43	isga 16455	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) <-> ( ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
163	3, 161, 162	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   _I cid 4799   X. cxp 5006   ran crn 5009   |` cres 5010   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   ~~ cen 7532   Fincfn 7535   ^cexp 12168   #chash 12407   Primecprime 14228   pCnt cpc 14371   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   0gc0g 14856   Grpcgrp 16179   -gcsg 16181  SubGrpcsubg 16321   GrpAct cga 16453   pSyl cslw 16678

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-pc 14372  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-submnd 16093  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-mulg 16186  df-subg 16324  df-eqg 16326  df-ghm 16391  df-ga 16454  df-od 16679  df-pgp 16681  df-slw 16682

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  16775  sylow3lem5  16777