Theorem sylow3lem1 17357

Description: Lemma for sylow3 17363, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	|- X = ( Base ` G )
sylow3.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow3.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow3.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow3lem1.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow3lem1.d	|- .- = ( -g ` G )
sylow3lem1.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem1	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .-   x, .(+) , y, z   x, X, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem1

Dummy variables a b c u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		ovex 6336	. . 3 |- ( P pSyl G ) e. _V
3	1, 2	jctir 547	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) )
4		sylow3.xf	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
5		sylow3.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. Prime )
6		sylow3.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` G )
7	6	fislw 17355	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
9	8	biimpa 492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( P pSyl G ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
10	9	adantrl 730	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
11	10	simpld 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
12		simprl 772	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> x e. X )
13		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
14		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
15		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) )
16	6, 13, 14, 15	conjsubg 16992	. . . . . . 7 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
17	11, 12, 16	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
18	6, 13, 14, 15	conjsubgen 16993	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
19	11, 12, 18	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
20	4	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> X e. Fin )
21	6	subgss 16896	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. (SubGrp ` G ) -> y C_ X )
22	11, 21	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y C_ X )
23		ssfi 7810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
24	20, 22, 23	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. Fin )
25	6	subgss 16896	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
26	17, 25	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
27		ssfi 7810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
28	20, 26, 27	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
29		hashen 12568	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
31	19, 30	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
32	10	simprd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
33	31, 32	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
34	6	fislw 17355	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
35	1, 4, 5, 34	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
36	35	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
37	17, 33, 36	mpbir2and 936	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
38	37	ralrimivva 2814	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
39		sylow3lem1.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
40	39	fmpt2 6879	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
41	38, 40	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
42	1	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> G e. Grp )
43		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
44	6, 43	grpidcl 16772	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
45	42, 44	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( 0g ` G ) e. X )
46		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
47		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
48		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
49	48	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
50	49, 48	oveq12d 6326	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) )
51	47, 50	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
52	51	rneqd 5068	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
53		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
54	53	mptex 6152	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
55	54	rnex 6746	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
56	52, 39, 55	ovmpt2a 6446	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
57	45, 46, 56	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
58	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
59		slwsubg 17340	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( P pSyl G ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
60	59	adantl 473	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
61	6	subgss 16896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. (SubGrp ` G ) -> a C_ X )
62	60, 61	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a C_ X )
63	62	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
64	6, 13, 43	grplid 16774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
65	58, 63, 64	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
66	65	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = ( z .- ( 0g ` G ) ) )
67	6, 43, 14	grpsubid1 16817	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
68	58, 63, 67	syl2anc 673	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
69	66, 68	eqtrd 2505	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = z )
70	69	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( z e. a |-> z ) )
71		mptresid 5165	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
72	70, 71	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( _I |` a ) )
73	72	rneqd 5068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ran ( _I |` a ) )
74		rnresi 5187	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
75	73, 74	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = a )
76	57, 75	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
77		ovex 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c .+ z ) .- c ) e. _V
78		oveq2 6316	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
79	78	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( ( b .+ w ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
80	77, 79	abrexco 6167	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) }
81		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
82		simplr 770	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
83		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
84		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
85	84	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
86	85, 84	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( c .+ z ) .- c ) )
87	83, 86	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
88	87	rneqd 5068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
89	53	mptex 6152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
90	89	rnex 6746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
91	88, 39, 90	ovmpt2a 6446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
92	81, 82, 91	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
93		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) )
94	93	rnmpt 5086	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) }
95	92, 94	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } )
96	95	rexeqdv 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
97	96	abbidv 2589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } )
98	42	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
99	98	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
100		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
101	6, 13	grpcl 16757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
102	98, 100, 81, 101	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
103	102	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( b .+ c ) e. X )
104	63	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
105	6, 13	grpcl 16757	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( b .+ c ) e. X /\ z e. X ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
106	99, 103, 104, 105	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
107	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
108	100	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
109	6, 13, 14	grpsubsub4 16825	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X /\ c e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
110	99, 106, 107, 108, 109	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
111	6, 13	grpass 16758	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
112	99, 108, 107, 104, 111	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
113	112	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) )
114	6, 13	grpcl 16757	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ c e. X /\ z e. X ) -> ( c .+ z ) e. X )
115	99, 107, 104, 114	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( c .+ z ) e. X )
116	6, 13, 14	grpaddsubass 16822	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ ( c .+ z ) e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
117	99, 108, 115, 107, 116	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
118	113, 117	eqtrd 2505	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
119	118	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
120	110, 119	eqtr3d 2507	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
121	120	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
122	121	rexbidva 2889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
123	122	abbidv 2589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) } )
124	80, 97, 123	3eqtr4a 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } )
125		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
126	125	rnmpt 5086	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) }
127		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
128	127	rnmpt 5086	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) }
129	124, 126, 128	3eqtr4g 2530	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
130	41	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
131	130, 81, 82	fovrnd 6460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) )
132		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
133		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
134	133	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
135	134, 133	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( b .+ z ) .- b ) )
136	132, 135	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) )
137		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
138	137	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( b .+ z ) .- b ) = ( ( b .+ w ) .- b ) )
139	138	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
140	136, 139	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
141	140	rneqd 5068	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
142		ovex 6336	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
143	142	mptex 6152	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
144	143	rnex 6746	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
145	141, 39, 144	ovmpt2a 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
146	100, 131, 145	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
147		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
148		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
149	148	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
150	149, 148	oveq12d 6326	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
151	147, 150	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
152	151	rneqd 5068	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
153	53	mptex 6152	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
154	153	rnex 6746	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
155	152, 39, 154	ovmpt2a 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
156	102, 82, 155	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
157	129, 146, 156	3eqtr4rd 2516	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
158	157	ralrimivva 2814	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
159	76, 158	jca 541	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
160	159	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
161	41, 160	jca 541	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
162	6, 13, 43	isga 17023	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) <-> ( ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
163	3, 161, 162	sylanbrc 677	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   X. cxp 4837   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   ~~ cen 7584   Fincfn 7587   ^cexp 12310   #chash 12553   Primecprime 14701   pCnt cpc 14865   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747   -gcsg 16749  SubGrpcsubg 16889   GrpAct cga 17021   pSyl cslw 17249

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-ga 17022  df-od 17250  df-pgp 17254  df-slw 17256

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  17359  sylow3lem5  17361