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Theorem sylow3lem1 16453
Description: Lemma for sylow3 16459, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow3.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow3.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow3.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow3lem1.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow3lem1.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
sylow3lem1.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
Assertion
Ref Expression
sylow3lem1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G )
) )
Distinct variable groups:    x, y,
z,  .-    x,  .(+) , y, z   
x, X, y, z   
x, G, y, z    ph, x, y, z    x,  .+ , y, z    x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem1
Dummy variables  a 
b  c  u  v  w are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 ovex 6309 . . 3  |-  ( P pSyl 
G )  e.  _V
31, 2jctir 538 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\  ( P pSyl  G )  e.  _V ) )
4 sylow3.xf . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow3.p . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
6 sylow3.x . . . . . . . . . . . 12  |-  X  =  ( Base `  G
)
76fislw 16451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  (
y  e.  ( P pSyl 
G )  <->  ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
81, 4, 5, 7syl3anc 1228 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( y  e.  ( P pSyl  G )  <->  ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
98biimpa 484 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  y  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
109adantrl 715 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  (
y  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 y )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) ) )
1110simpld 459 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  e.  (SubGrp `  G )
)
12 simprl 755 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  x  e.  X )
13 sylow3lem1.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
14 sylow3lem1.d . . . . . . . 8  |-  .-  =  ( -g `  G )
15 eqid 2467 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  =  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )
166, 13, 14, 15conjsubg 16103 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
1711, 12, 16syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G ) )
186, 13, 14, 15conjsubgen 16104 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  (SubGrp `  G )  /\  x  e.  X )  ->  y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )
1911, 12, 18syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) ) )
204adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  X  e.  Fin )
216subgss 16007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( y  e.  (SubGrp `  G
)  ->  y  C_  X )
2211, 21syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  C_  X )
23 ssfi 7740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  C_  X )  -> 
y  e.  Fin )
2420, 22, 23syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  y  e.  Fin )
256subgss 16007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  C_  X
)
2617, 25syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  C_  X
)
27 ssfi 7740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  C_  X
)  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  e.  Fin )
2820, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  Fin )
29 hashen 12388 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  y )  =  (
# `  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  <->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) ) )
3024, 28, 29syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  (
( # `  y )  =  ( # `  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) )  <->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) ) )
3119, 30mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( # `  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) ) ) )
3210simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( # `
 y )  =  ( P ^ ( P  pCnt  ( # `  X
) ) ) )
3331, 32eqtr3d 2510 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
346fislw 16451 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin  /\  P  e.  Prime )  ->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  ( P pSyl  G )  <->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
351, 4, 5, 34syl3anc 1228 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  e.  ( P pSyl  G
)  <->  ( ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
)  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
3635adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  ( P pSyl  G )  <->  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  (SubGrp `  G )  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) ) )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) ) )
3717, 33, 36mpbir2and 920 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  ( P pSyl  G ) ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  e.  ( P pSyl  G ) )
3837ralrimivva 2885 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  ( P pSyl  G ) ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
)  e.  ( P pSyl 
G ) )
39 sylow3lem1.m . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  ( P pSyl 
G )  |->  ran  (
z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z
)  .-  x )
) )
4039fmpt2 6851 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  ( P pSyl  G ) ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x  .+  z ) 
.-  x ) )  e.  ( P pSyl  G
)  <->  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G
) ) --> ( P pSyl 
G ) )
4138, 40sylib 196 . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G )
) --> ( P pSyl  G
) )
421adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  G  e.  Grp )
43 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
446, 43grpidcl 15888 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
4542, 44syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( 0g `  G )  e.  X
)
46 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  a  e.  ( P pSyl  G )
)
47 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
48 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( 0g
`  G ) )
4948oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )
5049, 48oveq12d 6302 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )
5147, 50mpteq12dv 4525 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
5251rneqd 5230 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G ) 
.+  z )  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
53 vex 3116 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
5453mptex 6131 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  e. 
_V
5554rnex 6718 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) ) )  e.  _V
5652, 39, 55ovmpt2a 6417 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G ) 
.+  z )  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
5745, 46, 56syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) ) ) )
581ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  G  e.  Grp )
59 slwsubg 16436 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( a  e.  ( P pSyl  G
)  ->  a  e.  (SubGrp `  G ) )
6059adantl 466 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  a  e.  (SubGrp `  G ) )
616subgss 16007 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( a  e.  (SubGrp `  G
)  ->  a  C_  X )
6260, 61syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  a  C_  X )
6362sselda 3504 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
646, 13, 43grplid 15890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
6558, 63, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  z )  =  z )
6665oveq1d 6299 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) )  =  ( z  .-  ( 0g `  G ) ) )
676, 43, 14grpsubid1 15933 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( z  .-  ( 0g `  G ) )  =  z )
6858, 63, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
z  .-  ( 0g `  G ) )  =  z )
6966, 68eqtrd 2508 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( 0g `  G )  .+  z
)  .-  ( 0g `  G ) )  =  z )
7069mpteq2dva 4533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  ( z  e.  a 
|->  z ) )
71 mptresid 5328 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  z )  =  (  _I  |`  a
)
7270, 71syl6eq 2524 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  (  _I  |`  a
) )
7372rneqd 5230 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  ran  (  _I  |`  a
) )
74 rnresi 5350 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  a )  =  a
7573, 74syl6eq 2524 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( 0g `  G
)  .+  z )  .-  ( 0g `  G
) ) )  =  a )
7657, 75eqtrd 2508 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a )
77 ovex 6309 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( c  .+  z ) 
.-  c )  e. 
_V
78 oveq2 6292 . . . . . . . . . . 11  |-  ( w  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c )  ->  (
b  .+  w )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) ) )
7978oveq1d 6299 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c )  ->  (
( b  .+  w
)  .-  b )  =  ( ( b 
.+  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )  .-  b ) )
8077, 79abrexco 6144 . . . . . . . . 9  |-  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c  .+  z )  .-  c
) } u  =  ( ( b  .+  w )  .-  b
) }  =  {
u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) }
81 simprr 756 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
c  e.  X )
82 simplr 754 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
a  e.  ( P pSyl 
G ) )
83 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
84 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  x  =  c )
8584oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( c 
.+  z ) )
8685, 84oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) )
8783, 86mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z
)  .-  c )
) )
8887rneqd 5230 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) ) )
8953mptex 6131 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) )  e.  _V
9089rnex 6718 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z
)  .-  c )
)  e.  _V
9188, 39, 90ovmpt2a 6417 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  ->  (
c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) ) )
9281, 82, 91syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) ) )
93 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )
9493rnmpt 5248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( c  .+  z
)  .-  c )
)  =  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c  .+  z
)  .-  c ) }
9592, 94syl6eq 2524 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c  .(+)  a )  =  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) } )
9695rexeqdv 3065 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( ( b  .+  w ) 
.-  b )  <->  E. w  e.  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) } u  =  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) ) )
9796abbidv 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( ( b  .+  w )  .-  b
) }  =  {
u  |  E. w  e.  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) } u  =  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) } )
9842adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  G  e.  Grp )
9998adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  G  e.  Grp )
100 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
b  e.  X )
1016, 13grpcl 15873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .+  c
)  e.  X )
10298, 100, 81, 101syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( b  .+  c
)  e.  X )
103102adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
b  .+  c )  e.  X )
10463adantlr 714 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
1056, 13grpcl 15873 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  .+  c
)  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( ( b  .+  c )  .+  z
)  e.  X )
10699, 103, 104, 105syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  e.  X )
10781adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  c  e.  X )
108100adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  b  e.  X )
1096, 13, 14grpsubsub4 15941 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  e.  X  /\  c  e.  X  /\  b  e.  X
) )  ->  (
( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  c
)  .-  b )  =  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )
11099, 106, 107, 108, 109syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  c
)  .-  b )  =  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )
1116, 13grpass 15874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
11299, 108, 107, 104, 111syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
113112oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  c )  =  ( ( b 
.+  ( c  .+  z ) )  .-  c ) )
1146, 13grpcl 15873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  c  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( c  .+  z
)  e.  X )
11599, 107, 104, 114syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
c  .+  z )  e.  X )
1166, 13, 14grpaddsubass 15938 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  ( c  .+  z
)  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  ( c  .+  z ) )  .-  c )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z ) 
.-  c ) ) )
11799, 108, 115, 107, 116syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  (
c  .+  z )
)  .-  c )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) ) )
118113, 117eqtrd 2508 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  c )  =  ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) ) )
119118oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  c
)  .-  b )  =  ( ( b 
.+  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )  .-  b ) )
120110, 119eqtr3d 2510 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) )  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) )
121120eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  /\  z  e.  a )  ->  (
u  =  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) )  <->  u  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) ) )
122121rexbidva 2970 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) )  <->  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  ( ( c  .+  z )  .-  c
) )  .-  b
) ) )
123122abbidv 2603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b 
.+  ( ( c 
.+  z )  .-  c ) )  .-  b ) } )
12480, 97, 1233eqtr4a 2534 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( ( b  .+  w )  .-  b
) }  =  {
u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  (
b  .+  c )
) } )
125 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w )  .-  b
) )
126125rnmpt 5248 . . . . . . . 8  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
)  =  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( ( b  .+  w ) 
.-  b ) }
127 eqid 2467 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )  =  ( z  e.  a 
|->  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  (
b  .+  c )
) )
128127rnmpt 5248 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) ) )  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) }
129124, 126, 1283eqtr4g 2533 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w )  .-  b
) )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( ( b 
.+  c )  .+  z )  .-  (
b  .+  c )
) ) )
13041ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  ->  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G )
) --> ( P pSyl  G
) )
131130, 81, 82fovrnd 6431 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( c  .(+)  a )  e.  ( P pSyl  G
) )
132 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
y  =  ( c 
.(+)  a ) )
133 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  x  =  b )
134133oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
135134, 133oveq12d 6302 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( b  .+  z ) 
.-  b ) )
136132, 135mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  z
)  .-  b )
) )
137 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  =  w  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  w ) )
138137oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
( b  .+  z
)  .-  b )  =  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) )
139138cbvmptv 4538 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  z )  .-  b ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w )  .-  b
) )
140136, 139syl6eq 2524 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
) )
141140rneqd 5230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ran  ( w  e.  (
c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
) )
142 ovex 6309 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
.(+)  a )  e. 
_V
143142mptex 6131 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) )  e. 
_V
144143rnex 6718 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
)  e.  _V
145141, 39, 144ovmpt2a 6417 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  X  /\  ( c  .(+)  a )  e.  ( P pSyl  G
) )  ->  (
b  .(+)  ( c  .(+)  a ) )  =  ran  ( w  e.  (
c  .(+)  a )  |->  ( ( b  .+  w
)  .-  b )
) )
146100, 131, 145syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) )  =  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( ( b 
.+  w )  .-  b ) ) )
147 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
148 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( b 
.+  c ) )
149148oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )
150149, 148oveq12d 6302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( ( x  .+  z )  .-  x
)  =  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )
151147, 150mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( ( x  .+  z )  .-  x
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) ) ) )
152151rneqd 5230 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( ( x 
.+  z )  .-  x ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) ) )
15353mptex 6131 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) )  e. 
_V
154153rnex 6718 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c )  .+  z
)  .-  ( b  .+  c ) ) )  e.  _V
155152, 39, 154ovmpt2a 6417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  X  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  ->  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) ) )
156102, 82, 155syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( ( b  .+  c
)  .+  z )  .-  ( b  .+  c
) ) ) )
157129, 146, 1563eqtr4rd 2519 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G ) )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X ) )  -> 
( ( b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a )
) )
158157ralrimivva 2885 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
15976, 158jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( P pSyl  G )
)  ->  ( (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) )
160159ralrimiva 2878 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  ( P pSyl  G ) ( ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
16141, 160jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  (  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl  G
) ) --> ( P pSyl 
G )  /\  A. a  e.  ( P pSyl  G ) ( ( ( 0g `  G ) 
.(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) ) )
1626, 13, 43isga 16134 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl 
G ) )  <->  ( ( G  e.  Grp  /\  ( P pSyl  G )  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  ( P pSyl 
G ) ) --> ( P pSyl  G )  /\  A. a  e.  ( P pSyl 
G ) ( ( ( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) ) ) )
1633, 161, 162sylanbrc 664 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  ( P pSyl  G )
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   class class class wbr 4447    |-> cmpt 4505    _I cid 4790    X. cxp 4997   ran crn 5000    |` cres 5001   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286    ~~ cen 7513   Fincfn 7516   ^cexp 12134   #chash 12373   Primecprime 14076    pCnt cpc 14219   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727   -gcsg 15730  SubGrpcsubg 16000    GrpAct cga 16132   pSyl cslw 16358
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-eqg 16005  df-ghm 16070  df-ga 16133  df-od 16359  df-pgp 16361  df-slw 16362
This theorem is referenced by:  sylow3lem3  16455  sylow3lem5  16457
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