Theorem sylow3lem1 16453

Description: Lemma for sylow3 16459, first part. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow3.x	|- X = ( Base ` G )
sylow3.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow3.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow3.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow3lem1.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow3lem1.d	|- .- = ( -g ` G )
sylow3lem1.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow3lem1	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, .-   x, .(+) , y, z   x, X, y, z   x, G, y, z   ph, x, y, z   x, .+ , y, z   x, P, y, z

Proof of Theorem sylow3lem1

Dummy variables a b c u v w are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow3.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		ovex 6309	. . 3 |- ( P pSyl G ) e. _V
3	1, 2	jctir 538	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) )
4		sylow3.xf	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
5		sylow3.p	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> P e. Prime )
6		sylow3.x	. . . . . . . . . . . 12 |- X = ( Base ` G )
7	6	fislw 16451	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
8	1, 4, 5, 7	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> ( y e. ( P pSyl G ) <-> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
9	8	biimpa 484	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ y e. ( P pSyl G ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
10	9	adantrl 715	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( y e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) )
11	10	simpld 459	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. (SubGrp ` G ) )
12		simprl 755	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> x e. X )
13		sylow3lem1.a	. . . . . . . 8 |- .+ = ( +g ` G )
14		sylow3lem1.d	. . . . . . . 8 |- .- = ( -g ` G )
15		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) )
16	6, 13, 14, 15	conjsubg 16103	. . . . . . 7 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
17	11, 12, 16	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) )
18	6, 13, 14, 15	conjsubgen 16104	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. (SubGrp ` G ) /\ x e. X ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
19	11, 12, 18	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
20	4	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> X e. Fin )
21	6	subgss 16007	. . . . . . . . . . 11 |- ( y e. (SubGrp ` G ) -> y C_ X )
22	11, 21	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y C_ X )
23		ssfi 7740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
24	20, 22, 23	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> y e. Fin )
25	6	subgss 16007	. . . . . . . . . . 11 |- ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
26	17, 25	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X )
27		ssfi 7740	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
28	20, 26, 27	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin )
29		hashen 12388	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
30	24, 28, 29	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
31	19, 30	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) )
32	10	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
33	31, 32	eqtr3d 2510	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) )
34	6	fislw 16451	. . . . . . . 8 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin /\ P e. Prime ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
35	1, 4, 5, 34	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ph -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
36	35	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> ( ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. (SubGrp ` G ) /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` X ) ) ) ) ) )
37	17, 33, 36	mpbir2and 920	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. ( P pSyl G ) ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
38	37	ralrimivva 2885	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) )
39		sylow3lem1.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. ( P pSyl G ) |-> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) )
40	39	fmpt2 6851	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. ( P pSyl G ) ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) e. ( P pSyl G ) <-> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
41	38, 40	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
42	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> G e. Grp )
43		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
44	6, 43	grpidcl 15888	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
45	42, 44	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( 0g ` G ) e. X )
46		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
47		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
48		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
49	48	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
50	49, 48	oveq12d 6302	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) )
51	47, 50	mpteq12dv 4525	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
52	51	rneqd 5230	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
53		vex 3116	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
54	53	mptex 6131	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
55	54	rnex 6718	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) e. _V
56	52, 39, 55	ovmpt2a 6417	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
57	45, 46, 56	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) )
58	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
59		slwsubg 16436	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( a e. ( P pSyl G ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
60	59	adantl 466	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a e. (SubGrp ` G ) )
61	6	subgss 16007	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( a e. (SubGrp ` G ) -> a C_ X )
62	60, 61	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> a C_ X )
63	62	sselda 3504	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
64	6, 13, 43	grplid 15890	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
65	58, 63, 64	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
66	65	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = ( z .- ( 0g ` G ) ) )
67	6, 43, 14	grpsubid1 15933	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
68	58, 63, 67	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( z .- ( 0g ` G ) ) = z )
69	66, 68	eqtrd 2508	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) = z )
70	69	mpteq2dva 4533	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( z e. a |-> z ) )
71		mptresid 5328	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
72	70, 71	syl6eq 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ( _I |` a ) )
73	72	rneqd 5230	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = ran ( _I |` a ) )
74		rnresi 5350	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
75	73, 74	syl6eq 2524	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ran ( z e. a |-> ( ( ( 0g ` G ) .+ z ) .- ( 0g ` G ) ) ) = a )
76	57, 75	eqtrd 2508	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
77		ovex 6309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( c .+ z ) .- c ) e. _V
78		oveq2 6292	. . . . . . . . . . 11 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
79	78	oveq1d 6299	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( ( c .+ z ) .- c ) -> ( ( b .+ w ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
80	77, 79	abrexco 6144	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) }
81		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
82		simplr 754	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. ( P pSyl G ) )
83		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
84		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
85	84	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
86	85, 84	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( c .+ z ) .- c ) )
87	83, 86	mpteq12dv 4525	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
88	87	rneqd 5230	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
89	53	mptex 6131	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
90	89	rnex 6718	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) e. _V
91	88, 39, 90	ovmpt2a 6417	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
92	81, 82, 91	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
93		eqid 2467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) )
94	93	rnmpt 5248	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( ( c .+ z ) .- c ) ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) }
95	92, 94	syl6eq 2524	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } )
96	95	rexeqdv 3065	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
97	96	abbidv 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( ( c .+ z ) .- c ) } u = ( ( b .+ w ) .- b ) } )
98	42	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
99	98	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
100		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
101	6, 13	grpcl 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
102	98, 100, 81, 101	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
103	102	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( b .+ c ) e. X )
104	63	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
105	6, 13	grpcl 15873	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( G e. Grp /\ ( b .+ c ) e. X /\ z e. X ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
106	99, 103, 104, 105	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X )
107	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
108	100	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
109	6, 13, 14	grpsubsub4 15941	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( G e. Grp /\ ( ( ( b .+ c ) .+ z ) e. X /\ c e. X /\ b e. X ) ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
110	99, 106, 107, 108, 109	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
111	6, 13	grpass 15874	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
112	99, 108, 107, 104, 111	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
113	112	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) )
114	6, 13	grpcl 15873	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( G e. Grp /\ c e. X /\ z e. X ) -> ( c .+ z ) e. X )
115	99, 107, 104, 114	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( c .+ z ) e. X )
116	6, 13, 14	grpaddsubass 15938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ ( c .+ z ) e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
117	99, 108, 115, 107, 116	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ ( c .+ z ) ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
118	113, 117	eqtrd 2508	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) = ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) )
119	118	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- c ) .- b ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
120	110, 119	eqtr3d 2510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) )
121	120	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
122	121	rexbidva 2970	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) <-> E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) ) )
123	122	abbidv 2603	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ ( ( c .+ z ) .- c ) ) .- b ) } )
124	80, 97, 123	3eqtr4a 2534	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) } = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) } )
125		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
126	125	rnmpt 5248	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( ( b .+ w ) .- b ) }
127		eqid 2467	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
128	127	rnmpt 5248	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) }
129	124, 126, 128	3eqtr4g 2533	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
130	41	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) )
131	130, 81, 82	fovrnd 6431	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) )
132		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
133		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
134	133	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
135	134, 133	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( b .+ z ) .- b ) )
136	132, 135	mpteq12dv 4525	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) )
137		oveq2 6292	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
138	137	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( ( b .+ z ) .- b ) = ( ( b .+ w ) .- b ) )
139	138	cbvmptv 4538	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ z ) .- b ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) )
140	136, 139	syl6eq 2524	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
141	140	rneqd 5230	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
142		ovex 6309	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
143	142	mptex 6131	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
144	143	rnex 6718	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) e. _V
145	141, 39, 144	ovmpt2a 6417	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. ( P pSyl G ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
146	100, 131, 145	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( ( b .+ w ) .- b ) ) )
147		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
148		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
149	148	oveq1d 6299	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
150	149, 148	oveq12d 6302	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( ( x .+ z ) .- x ) = ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) )
151	147, 150	mpteq12dv 4525	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
152	151	rneqd 5230	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( ( x .+ z ) .- x ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
153	53	mptex 6131	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
154	153	rnex 6718	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) e. _V
155	152, 39, 154	ovmpt2a 6417	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
156	102, 82, 155	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( ( b .+ c ) .+ z ) .- ( b .+ c ) ) ) )
157	129, 146, 156	3eqtr4rd 2519	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
158	157	ralrimivva 2885	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
159	76, 158	jca 532	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. ( P pSyl G ) ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
160	159	ralrimiva 2878	. . 3 |- ( ph -> A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
161	41, 160	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
162	6, 13, 43	isga 16134	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) <-> ( ( G e. Grp /\ ( P pSyl G ) e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. ( P pSyl G ) ) --> ( P pSyl G ) /\ A. a e. ( P pSyl G ) ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
163	3, 161, 162	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct ( P pSyl G ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1379   e. wcel 1767   {cab 2452   A.wral 2814   E.wrex 2815   _Vcvv 3113   C_ wss 3476   class class class wbr 4447   |-> cmpt 4505   _I cid 4790   X. cxp 4997   ran crn 5000   |` cres 5001   -->wf 5584   ` cfv 5588  (class class class)co 6284   |-> cmpt2 6286   ~~ cen 7513   Fincfn 7516   ^cexp 12134   #chash 12373   Primecprime 14076   pCnt cpc 14219   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   0gc0g 14695   Grpcgrp 15727   -gcsg 15730  SubGrpcsubg 16000   GrpAct cga 16132   pSyl cslw 16358

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-omul 7135  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-acn 8323  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-ndx 14493  df-slot 14494  df-base 14495  df-sets 14496  df-ress 14497  df-plusg 14568  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-submnd 15787  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-sbg 15869  df-mulg 15870  df-subg 16003  df-eqg 16005  df-ghm 16070  df-ga 16133  df-od 16359  df-pgp 16361  df-slw 16362

This theorem is referenced by:  sylow3lem3  16455  sylow3lem5  16457