Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | sylow3.g |
. . 3
   |
2 | | ovex 6316 |
. . 3
 pSyl   |
3 | 1, 2 | jctir 541 |
. 2
   pSyl     |
4 | | sylow3.xf |
. . . . . . . . . . 11
   |
5 | | sylow3.p |
. . . . . . . . . . 11
   |
6 | | sylow3.x |
. . . . . . . . . . . 12
     |
7 | 6 | fislw 17270 |
. . . . . . . . . . 11
 
   pSyl 
 SubGrp                    |
8 | 1, 4, 5, 7 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . 10
   pSyl 
 SubGrp                    |
9 | 8 | biimpa 487 |
. . . . . . . . 9
 

pSyl  
 SubGrp                   |
10 | 9 | adantrl 721 |
. . . . . . . 8
 

 pSyl     SubGrp                   |
11 | 10 | simpld 461 |
. . . . . . 7
 

 pSyl    SubGrp    |
12 | | simprl 763 |
. . . . . . 7
 

 pSyl      |
13 | | sylow3lem1.a |
. . . . . . . 8
    |
14 | | sylow3lem1.d |
. . . . . . . 8
     |
15 | | eqid 2450 |
. . . . . . . 8
             |
16 | 6, 13, 14, 15 | conjsubg 16907 |
. . . . . . 7
  SubGrp         SubGrp    |
17 | 11, 12, 16 | syl2anc 666 |
. . . . . 6
 

 pSyl          SubGrp    |
18 | 6, 13, 14, 15 | conjsubgen 16908 |
. . . . . . . . 9
  SubGrp           |
19 | 11, 12, 18 | syl2anc 666 |
. . . . . . . 8
 

 pSyl            |
20 | 4 | adantr 467 |
. . . . . . . . . 10
 

 pSyl      |
21 | 6 | subgss 16811 |
. . . . . . . . . . 11
 SubGrp 
  |
22 | 11, 21 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
 

 pSyl      |
23 | | ssfi 7789 |
. . . . . . . . . 10
     |
24 | 20, 22, 23 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . 9
 

 pSyl      |
25 | 6 | subgss 16811 |
. . . . . . . . . . 11
       SubGrp          |
26 | 17, 25 | syl 17 |
. . . . . . . . . 10
 

 pSyl            |
27 | | ssfi 7789 |
. . . . . . . . . 10
        
        |
28 | 20, 26, 27 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . 9
 

 pSyl            |
29 | | hashen 12527 |
. . . . . . . . 9
                                 |
30 | 24, 28, 29 | syl2anc 666 |
. . . . . . . 8
 

 pSyl                  
         |
31 | 19, 30 | mpbird 236 |
. . . . . . 7
 

 pSyl                    |
32 | 10 | simprd 465 |
. . . . . . 7
 

 pSyl                    |
33 | 31, 32 | eqtr3d 2486 |
. . . . . 6
 

 pSyl      

                  |
34 | 6 | fislw 17270 |
. . . . . . . 8
 
         pSyl 
       SubGrp    

                    |
35 | 1, 4, 5, 34 | syl3anc 1267 |
. . . . . . 7
         pSyl      
  SubGrp    

                    |
36 | 35 | adantr 467 |
. . . . . 6
 

 pSyl            pSyl 
       SubGrp    

                    |
37 | 17, 33, 36 | mpbir2and 932 |
. . . . 5
 

 pSyl           pSyl    |
38 | 37 | ralrimivva 2808 |
. . . 4
  
 pSyl      
   pSyl    |
39 | | sylow3lem1.m |
. . . . 5
   pSyl     
    |
40 | 39 | fmpt2 6857 |
. . . 4
 

 pSyl          pSyl     pSyl      pSyl    |
41 | 38, 40 | sylib 200 |
. . 3
   
pSyl      pSyl    |
42 | 1 | adantr 467 |
. . . . . . . 8
 

pSyl  
  |
43 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . 9
         |
44 | 6, 43 | grpidcl 16687 |
. . . . . . . 8
       |
45 | 42, 44 | syl 17 |
. . . . . . 7
 

pSyl  
      |
46 | | simpr 463 |
. . . . . . 7
 

pSyl  

pSyl    |
47 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . 10
     
   |
48 | | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . 12
     
       |
49 | 48 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . 11
     
           |
50 | 49, 48 | oveq12d 6306 |
. . . . . . . . . 10
     
          
        |
51 | 47, 50 | mpteq12dv 4480 |
. . . . . . . . 9
     
              
        |
52 | 51 | rneqd 5061 |
. . . . . . . 8
     
                       |
53 | | vex 3047 |
. . . . . . . . . 10
 |
54 | 53 | mptex 6134 |
. . . . . . . . 9
      
        |
55 | 54 | rnex 6724 |
. . . . . . . 8
       
       |
56 | 52, 39, 55 | ovmpt2a 6424 |
. . . . . . 7
     
 pSyl                         |
57 | 45, 46, 56 | syl2anc 666 |
. . . . . 6
 

pSyl  
             
        |
58 | 1 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . . . . . 13
    pSyl      |
59 | | slwsubg 17255 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
  pSyl 
SubGrp    |
60 | 59 | adantl 468 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 

pSyl  
SubGrp    |
61 | 6 | subgss 16811 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 SubGrp 
  |
62 | 60, 61 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 

pSyl  
  |
63 | 62 | sselda 3431 |
. . . . . . . . . . . . 13
    pSyl      |
64 | 6, 13, 43 | grplid 16689 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
         |
65 | 58, 63, 64 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . 12
    pSyl        
   |
66 | 65 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . 11
    pSyl          
             |
67 | 6, 43, 14 | grpsubid1 16732 |
. . . . . . . . . . . 12
 
         |
68 | 58, 63, 67 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . 11
    pSyl    
       |
69 | 66, 68 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . 10
    pSyl          
       |
70 | 69 | mpteq2dva 4488 |
. . . . . . . . 9
 

pSyl  

     
           |
71 | | mptresid 5158 |
. . . . . . . . 9
    |
72 | 70, 71 | syl6eq 2500 |
. . . . . . . 8
 

pSyl  

     
          |
73 | 72 | rneqd 5061 |
. . . . . . 7
 

pSyl  
      
          |
74 | | rnresi 5180 |
. . . . . . 7
  |
75 | 73, 74 | syl6eq 2500 |
. . . . . 6
 

pSyl  
      
         |
76 | 57, 75 | eqtrd 2484 |
. . . . 5
 

pSyl  
        |
77 | | ovex 6316 |
. . . . . . . . . 10
     |
78 | | oveq2 6296 |
. . . . . . . . . . 11
     
         |
79 | 78 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . 10
       
           |
80 | 77, 79 | abrexco 6147 |
. . . . . . . . 9
   
            
          |
81 | | simprr 765 |
. . . . . . . . . . . . 13
    pSyl        |
82 | | simplr 761 |
. . . . . . . . . . . . 13
    pSyl       pSyl    |
83 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
   |
84 | | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
 
   |
85 | 84 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
       |
86 | 85, 84 | oveq12d 6306 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
 
           |
87 | 83, 86 | mpteq12dv 4480 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
 
          
    |
88 | 87 | rneqd 5061 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
               |
89 | 53 | mptex 6134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
       |
90 | 89 | rnex 6724 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
   |
91 | 88, 39, 90 | ovmpt2a 6424 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
 pSyl             |
92 | 81, 82, 91 | syl2anc 666 |
. . . . . . . . . . . 12
    pSyl                |
93 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . . . . . 13
             |
94 | 93 | rnmpt 5079 |
. . . . . . . . . . . 12
   
      
   |
95 | 92, 94 | syl6eq 2500 |
. . . . . . . . . . 11
    pSyl                 |
96 | 95 | rexeqdv 2993 |
. . . . . . . . . 10
    pSyl              
  
             |
97 | 96 | abbidv 2568 |
. . . . . . . . 9
    pSyl      

           
             |
98 | 42 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    pSyl     
  |
99 | 98 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
 pSyl   
 
   |
100 | | simprl 763 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
    pSyl        |
101 | 6, 13 | grpcl 16672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
     |
102 | 98, 100, 81, 101 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
    pSyl          |
103 | 102 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
 pSyl   
 
 
   |
104 | 63 | adantlr 720 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
 pSyl   
 
   |
105 | 6, 13 | grpcl 16672 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
       |
106 | 99, 103, 104, 105 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
 pSyl   
 
   
   |
107 | 81 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
 pSyl   
 
   |
108 | 100 | adantr 467 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
 pSyl   
 
   |
109 | 6, 13, 14 | grpsubsub4 16740 |
. . . . . . . . . . . . . 14
      
        
           |
110 | 99, 106, 107, 108, 109 | syl13anc 1269 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
 pSyl   
 
       
           |
111 | 6, 13 | grpass 16673 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
  
    
       |
112 | 99, 108, 107, 104, 111 | syl13anc 1269 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
 pSyl   
 
   
       |
113 | 112 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
 pSyl   
 
     
         |
114 | 6, 13 | grpcl 16672 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 
     |
115 | 99, 107, 104, 114 | syl3anc 1267 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
   
 pSyl   
 
 
   |
116 | 6, 13, 14 | grpaddsubass 16737 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
    
 
 
            |
117 | 99, 108, 115, 107, 116 | syl13anc 1269 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
   
 pSyl   
 
   
 
         |
118 | 113, 117 | eqtrd 2484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
   
 pSyl   
 
     
         |
119 | 118 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
 pSyl   
 
       
           |
120 | 110, 119 | eqtr3d 2486 |
. . . . . . . . . . . 12
   
 pSyl   
 
     
             |
121 | 120 | eqeq2d 2460 |
. . . . . . . . . . 11
   
 pSyl   
 
     
   
           |
122 | 121 | rexbidva 2897 |
. . . . . . . . . 10
    pSyl            
  

           |
123 | 122 | abbidv 2568 |
. . . . . . . . 9
    pSyl      

         

           |
124 | 80, 97, 123 | 3eqtr4a 2510 |
. . . . . . . 8
    pSyl      

         
     
     |
125 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . 9
         
       |
126 | 125 | rnmpt 5079 |
. . . . . . . 8
     
    
        |
127 | | eqid 2450 |
. . . . . . . . 9
    
           
    |
128 | 127 | rnmpt 5079 |
. . . . . . . 8
     
         
      |
129 | 124, 126,
128 | 3eqtr4g 2509 |
. . . . . . 7
    pSyl       
            
     |
130 | 41 | ad2antrr 731 |
. . . . . . . . 9
    pSyl        
pSyl      pSyl    |
131 | 130, 81, 82 | fovrnd 6438 |
. . . . . . . 8
    pSyl         pSyl    |
132 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . . 12
 
       |
133 | | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . . . 14
 
  
  |
134 | 133 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
         |
135 | 134, 133 | oveq12d 6306 |
. . . . . . . . . . . 12
 
             |
136 | 132, 135 | mpteq12dv 4480 |
. . . . . . . . . . 11
 
              
    |
137 | | oveq2 6296 |
. . . . . . . . . . . . 13
 
     |
138 | 137 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . . 12
   
       |
139 | 138 | cbvmptv 4494 |
. . . . . . . . . . 11
         
       |
140 | 136, 139 | syl6eq 2500 |
. . . . . . . . . 10
 
              
    |
141 | 140 | rneqd 5061 |
. . . . . . . . 9
 
         
    
    |
142 | | ovex 6316 |
. . . . . . . . . . 11
   |
143 | 142 | mptex 6134 |
. . . . . . . . . 10
         |
144 | 143 | rnex 6724 |
. . . . . . . . 9
     
   |
145 | 141, 39, 144 | ovmpt2a 6424 |
. . . . . . . 8
     pSyl       
    
    |
146 | 100, 131,
145 | syl2anc 666 |
. . . . . . 7
    pSyl                    |
147 | | simpr 463 |
. . . . . . . . . . 11
   
   |
148 | | simpl 459 |
. . . . . . . . . . . . 13
   
     |
149 | 148 | oveq1d 6303 |
. . . . . . . . . . . 12
   
         |
150 | 149, 148 | oveq12d 6306 |
. . . . . . . . . . 11
   
        
      |
151 | 147, 150 | mpteq12dv 4480 |
. . . . . . . . . 10
   
            
      |
152 | 151 | rneqd 5061 |
. . . . . . . . 9
   
                   |
153 | 53 | mptex 6134 |
. . . . . . . . . 10
    
      |
154 | 153 | rnex 6724 |
. . . . . . . . 9
     
     |
155 | 152, 39, 154 | ovmpt2a 6424 |
. . . . . . . 8
   
 pSyl                   |
156 | 102, 82, 155 | syl2anc 666 |
. . . . . . 7
    pSyl              
       |
157 | 129, 146,
156 | 3eqtr4rd 2495 |
. . . . . 6
    pSyl           
    |
158 | 157 | ralrimivva 2808 |
. . . . 5
 

pSyl  


 
  
     |
159 | 76, 158 | jca 535 |
. . . 4
 

pSyl  
       

 
  
      |
160 | 159 | ralrimiva 2801 |
. . 3
   pSyl          

           |
161 | 41, 160 | jca 535 |
. 2

   pSyl      pSyl  
 pSyl          

 
  
       |
162 | 6, 13, 43 | isga 16938 |
. 2
  pSyl  
 
 pSyl      pSyl      pSyl    pSyl          

 
  
        |
163 | 3, 161, 162 | sylanbrc 669 |
1

 
pSyl     |