Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow3 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sylow3 17363
 Description: Sylow's third theorem. The number of Sylow subgroups is a divisor of , where is the common order of a Sylow subgroup, and is equivalent to . This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 19-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow3.x
sylow3.g
sylow3.xf
sylow3.p
sylow3.n pSyl
Assertion
Ref Expression
sylow3

Proof of Theorem sylow3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow3.g . . . 4
2 sylow3.xf . . . 4
3 sylow3.p . . . 4
4 sylow3.x . . . . 5
54slwn0 17345 . . . 4 pSyl
61, 2, 3, 5syl3anc 1292 . . 3 pSyl
7 n0 3732 . . 3 pSyl pSyl
86, 7sylib 201 . 2 pSyl
9 sylow3.n . . . 4 pSyl
101adantr 472 . . . . 5 pSyl
112adantr 472 . . . . 5 pSyl
123adantr 472 . . . . 5 pSyl
13 eqid 2471 . . . . 5
14 eqid 2471 . . . . 5
15 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
1615oveq1d 6323 . . . . . . . . 9
1716cbvmptv 4488 . . . . . . . 8
18 oveq1 6315 . . . . . . . . . 10
19 id 22 . . . . . . . . . 10
2018, 19oveq12d 6326 . . . . . . . . 9
2120mpteq2dv 4483 . . . . . . . 8
2217, 21syl5eq 2517 . . . . . . 7
2322rneqd 5068 . . . . . 6
24 mpteq1 4476 . . . . . . 7
2524rneqd 5068 . . . . . 6
2623, 25cbvmpt2v 6390 . . . . 5 pSyl pSyl
27 simpr 468 . . . . 5 pSyl pSyl
28 eqid 2471 . . . . 5 pSyl pSyl
29 eqid 2471 . . . . 5
304, 10, 11, 12, 13, 14, 26, 27, 28, 29sylow3lem4 17360 . . . 4 pSyl pSyl
319, 30syl5eqbr 4429 . . 3 pSyl
329oveq1i 6318 . . . 4 pSyl
3323, 25cbvmpt2v 6390 . . . . 5 pSyl pSyl
34 eqid 2471 . . . . 5
354, 10, 11, 12, 13, 14, 27, 33, 34sylow3lem6 17362 . . . 4 pSyl pSyl
3632, 35syl5eq 2517 . . 3 pSyl
3731, 36jca 541 . 2 pSyl
388, 37exlimddv 1789 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452  wex 1671   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  crab 2760  c0 3722   class class class wbr 4395   cmpt 4454   crn 4840  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  cfn 7587  c1 9558   cdiv 10291   cmo 12129  cexp 12310  chash 12553   cdvds 14382  cprime 14701   cpc 14865  cbs 15199   cplusg 15268  cgrp 16747  csg 16749   pSyl cslw 17249 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-nsg 16893  df-eqg 16894  df-ghm 16959  df-ga 17022  df-od 17250  df-pgp 17254  df-slw 17256 This theorem is referenced by: (None)
 Copyright terms: Public domain W3C validator