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Theorem sylow2blem3 16126
Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 16123 and the orbit-stabilizer theorem to show that  P does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some  g  e.  X with  h g K  =  g K for all  h  e.  H. This implies that  invg ( g ) h g  e.  K, so  h is in the conjugated subgroup  g K invg ( g ). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.r  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
sylow2b.m  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow2blem3.hp  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
sylow2blem3.kn  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
sylow2blem3.d  |-  .-  =  ( -g `  G )
Assertion
Ref Expression
sylow2blem3  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Distinct variable groups:    x, g,
y, z, G    g, K, x, y, z    .x. , g, x, y, z    .+ , g, x, y, z    .~ , g, x, y, z    ph, g,
z    x,  .- , z    g, H, x, y, z    g, X, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    P( x, y, z, g)    .- ( y, g)

Proof of Theorem sylow2blem3
Dummy variable  u is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2blem3.hp . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P pGrp  ( Gs  H ) )
2 pgpprm 16097 . . . . . . . . 9  |-  ( P pGrp  ( Gs  H )  ->  P  e.  Prime )
31, 2syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
4 sylow2b.h . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
5 subgrcl 15691 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
64, 5syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
7 sylow2b.x . . . . . . . . . . 11  |-  X  =  ( Base `  G
)
87grpbn0 15572 . . . . . . . . . 10  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
96, 8syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
10 sylow2b.xf . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
11 hashnncl 12139 . . . . . . . . . 10  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
1210, 11syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
139, 12mpbird 232 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
14 pcndvds2 13939 . . . . . . . 8  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 X )  e.  NN )  ->  -.  P  ||  ( ( # `  X )  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
153, 13, 14syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) ) )
16 sylow2b.r . . . . . . . . . . 11  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
17 sylow2b.k . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
187, 16, 17, 10lagsubg2 15747 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `  K
) ) )
1918oveq1d 6111 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) ) )
20 sylow2blem3.kn . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )
2120oveq2d 6112 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( # `  K ) )  =  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) ) )
22 pwfi 7611 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
2310, 22sylib 196 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
247, 16eqger 15736 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2517, 24syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
2625qsss 7166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )
27 ssfi 7538 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  ( X /.  .~  )  C_  ~P X )  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
2823, 26, 27syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( X /.  .~  )  e.  Fin )
29 hashcl 12131 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  NN0 )
3130nn0cnd 10643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  CC )
32 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
3332subg0cl 15694 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  ( 0g `  G )  e.  K
)
3417, 33syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( 0g `  G
)  e.  K )
35 ne0i 3648 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 0g `  G )  e.  K  ->  K  =/=  (/) )
3634, 35syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  K  =/=  (/) )
377subgss 15687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
3817, 37syl 16 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
39 ssfi 7538 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  K  C_  X )  ->  K  e.  Fin )
4010, 38, 39syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  e.  Fin )
41 hashnncl 12139 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  Fin  ->  (
( # `  K )  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4240, 41syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( # `  K
)  e.  NN  <->  K  =/=  (/) ) )
4336, 42mpbird 232 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  NN )
4443nncnd 10343 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  e.  CC )
4543nnne0d 10371 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( # `  K
)  =/=  0 )
4631, 44, 45divcan4d 10118 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  x.  ( # `
 K ) )  /  ( # `  K
) )  =  (
# `  ( X /.  .~  ) ) )
4719, 21, 463eqtr3d 2483 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  /  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  X )
) ) )  =  ( # `  ( X /.  .~  ) ) )
4847breq2d 4309 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  ||  (
( # `  X )  /  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 X ) ) ) )  <->  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) ) )
4915, 48mtbid 300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) ) )
50 prmz 13772 . . . . . . . 8  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
513, 50syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
5230nn0zd 10750 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ )
53 ssrab2 3442 . . . . . . . . . 10  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  )
54 ssfi 7538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( X /.  .~  )  e.  Fin  /\  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  C_  ( X /.  .~  ) )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  e.  Fin )
5528, 53, 54sylancl 662 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin )
56 hashcl 12131 . . . . . . . . 9  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5755, 56syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e. 
NN0 )
5857nn0zd 10750 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )
59 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  ( Gs  H ) )  =  ( Base `  ( Gs  H ) )
60 sylow2b.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
61 sylow2b.m . . . . . . . . 9  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
627, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem2 16125 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  .x.  e.  ( ( Gs  H )  GrpAct  ( X /.  .~  ) ) )
63 eqid 2443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( Gs  H )  =  ( Gs  H )
6463subgbas 15690 . . . . . . . . . 10  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H
) ) )
654, 64syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  =  ( Base `  ( Gs  H ) ) )
667subgss 15687 . . . . . . . . . . 11  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
674, 66syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  H  C_  X )
68 ssfi 7538 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
6910, 67, 68syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
7065, 69eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( Base `  ( Gs  H ) )  e. 
Fin )
71 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }
72 eqid 2443 . . . . . . . 8  |-  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }  =  { <. x ,  y >.  |  ( { x ,  y }  C_  ( X /.  .~  )  /\  E. g  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( g  .x.  x )  =  y ) }
7359, 62, 1, 70, 28, 71, 72sylow2a 16123 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  ||  ( (
# `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
74 dvdssub2 13575 . . . . . . 7  |-  ( ( ( P  e.  ZZ  /\  ( # `  ( X /.  .~  ) )  e.  ZZ  /\  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  e.  ZZ )  /\  P  ||  ( ( # `  ( X /.  .~  ) )  -  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )  ->  ( P  ||  ( # `  ( X /.  .~  ) )  <-> 
P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
7551, 52, 58, 73, 74syl31anc 1221 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  ||  ( # `
 ( X /.  .~  ) )  <->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
7649, 75mtbid 300 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) )
77 hasheq0 12136 . . . . . . . 8  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  e.  Fin  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
7855, 77syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  <->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =  (/) ) )
79 dvds0 13553 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  ZZ  ->  P  ||  0 )
8051, 79syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  ||  0 )
81 breq2 4301 . . . . . . . 8  |-  ( (
# `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  =  0  ->  ( P  ||  ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  <->  P  ||  0
) )
8280, 81syl5ibrcom 222 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  {
z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } )  =  0  ->  P  ||  ( # `
 { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } ) ) )
8378, 82sylbird 235 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =  (/) 
->  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z } ) ) )
8483necon3bd 2650 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( -.  P  ||  ( # `  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z } )  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z }  =/=  (/) ) )
8576, 84mpd 15 . . . 4  |-  ( ph  ->  { z  e.  ( X /.  .~  )  |  A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/) )
86 rabn0 3662 . . . 4  |-  ( { z  e.  ( X /.  .~  )  | 
A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z }  =/=  (/)  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z )
8785, 86sylib 196 . . 3  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z )
8865raleqdv 2928 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  A. u  e.  ( Base `  ( Gs  H ) ) ( u  .x.  z )  =  z ) )
8988rexbidv 2741 . . 3  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  <->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  (
Base `  ( Gs  H
) ) ( u 
.x.  z )  =  z ) )
9087, 89mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )
91 vex 2980 . . . . 5  |-  z  e. 
_V
9291elqs 7158 . . . 4  |-  ( z  e.  ( X /.  .~  )  <->  E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  )
93 simplrr 760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ g ]  .~  )
9493oveq2d 6112 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  ( u  .x.  [ g ]  .~  ) )
95 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  z )  =  z )
96 simpll 753 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ph )
97 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  H )
98 simplrl 759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  e.  X )
997, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem1 16124 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( (
ph  /\  u  e.  H  /\  g  e.  X
)  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10096, 97, 98, 99syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .x.  [ g ]  .~  )  =  [ (
u  .+  g ) ]  .~  )
10194, 95, 1003eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  z  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10293, 101eqtr3d 2477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  )
10325ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  .~  Er  X
)
104103, 98erth 7150 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  [ g ]  .~  =  [ ( u  .+  g ) ]  .~  ) )
105102, 104mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  g  .~  ( u  .+  g ) )
1066ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  G  e.  Grp )
10738ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  K  C_  X
)
108 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
1097, 108, 60, 16eqgval 15735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( g  .~  (
u  .+  g )  <->  ( g  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
110106, 107, 109syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .~  ( u  .+  g
)  <->  ( g  e.  X  /\  ( u 
.+  g )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) ) )
111105, 110mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  e.  X  /\  (
u  .+  g )  e.  X  /\  (
( ( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K ) )
112111simp3d 1002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )
113 oveq2 6104 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  =  ( ( ( invg `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
g  .+  x )  =  ( g  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
114113oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  =  ( ( ( invg `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) )  ->  (
( g  .+  x
)  .-  g )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( invg `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
115 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  =  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) )
116 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( g  .+  ( ( ( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  e. 
_V
117114, 115, 116fvmpt 5779 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( invg `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
118112, 117syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( ( g 
.+  ( ( ( invg `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  .-  g ) )
1197, 60, 32, 108grprinv 15590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( g  .+  (
( invg `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
120106, 98, 119syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( invg `  G ) `  g
) )  =  ( 0g `  G ) )
121120oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( invg `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
) )
1227, 108grpinvcl 15588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  g  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  g
)  e.  X )
123106, 98, 122syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( invg `  G ) `
 g )  e.  X )
12467ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  H  C_  X
)
125124, 97sseldd 3362 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  X )
1267, 60grpcl 15556 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( u  .+  g
)  e.  X )
127106, 125, 98, 126syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( u  .+  g )  e.  X
)
1287, 60grpass 15557 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( g  e.  X  /\  ( ( invg `  G ) `  g
)  e.  X  /\  ( u  .+  g )  e.  X ) )  ->  ( ( g 
.+  ( ( invg `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
129106, 98, 123, 127, 128syl13anc 1220 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( ( invg `  G ) `
 g ) ) 
.+  ( u  .+  g ) )  =  ( g  .+  (
( ( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) )
1307, 60, 32grplid 15573 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( u  .+  g )  e.  X )  -> 
( ( 0g `  G )  .+  (
u  .+  g )
)  =  ( u 
.+  g ) )
131106, 127, 130syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  ( u  .+  g ) )  =  ( u 
.+  g ) )
132121, 129, 1313eqtr3d 2483 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( g  .+  ( ( ( invg `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  ( u  .+  g ) )
133132oveq1d 6111 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
g  .+  ( (
( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) ) 
.-  g )  =  ( ( u  .+  g )  .-  g
) )
134 sylow2blem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  .-  =  ( -g `  G )
1357, 60, 134grppncan 15621 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  u  e.  X  /\  g  e.  X )  ->  ( ( u  .+  g )  .-  g
)  =  u )
136106, 125, 98, 135syl3anc 1218 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
u  .+  g )  .-  g )  =  u )
137118, 133, 1363eqtrd 2479 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  =  u )
138 ovex 6121 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( g  .+  x ) 
.-  g )  e. 
_V
139138, 115fnmpti 5544 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  Fn  K
140 fnfvelrn 5845 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) )  Fn  K  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 g )  .+  ( u  .+  g ) )  e.  K )  ->  ( ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) `
 ( ( ( invg `  G
) `  g )  .+  ( u  .+  g
) ) )  e. 
ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g 
.+  x )  .-  g ) ) )
141139, 112, 140sylancr 663 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  ( (
x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x
)  .-  g )
) `  ( (
( invg `  G ) `  g
)  .+  ( u  .+  g ) ) )  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
142137, 141eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  ( u  e.  H  /\  ( u  .x.  z
)  =  z ) )  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
143142expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  u  e.  H )  ->  ( ( u  .x.  z )  =  z  ->  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
144143ralimdva 2799 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
145144imp 429 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  (
g  e.  X  /\  z  =  [ g ]  .~  ) )  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
146145an32s 802 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
147 dfss3 3351 . . . . . . . . 9  |-  ( H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) )  <->  A. u  e.  H  u  e.  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
148146, 147sylibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  ( g  e.  X  /\  z  =  [
g ]  .~  )
)  ->  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) )
149148expr 615 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. u  e.  H  (
u  .x.  z )  =  z )  /\  g  e.  X )  ->  ( z  =  [
g ]  .~  ->  H 
C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
150149reximdva 2833 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z )  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) )
151150ex 434 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [ g ]  .~  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
152151com23 78 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( E. g  e.  X  z  =  [
g ]  .~  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) ) )
15392, 152syl5bi 217 . . 3  |-  ( ph  ->  ( z  e.  ( X /.  .~  )  ->  ( A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) ) ) )
154153rexlimdv 2845 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. z  e.  ( X /.  .~  ) A. u  e.  H  ( u  .x.  z )  =  z  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x )  .-  g
) ) ) )
15590, 154mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. g  e.  X  H  C_  ran  ( x  e.  K  |->  ( ( g  .+  x ) 
.-  g ) ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 965    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2611   A.wral 2720   E.wrex 2721   {crab 2724    C_ wss 3333   (/)c0 3642   ~Pcpw 3865   {cpr 3884   class class class wbr 4297   {copab 4354    e. cmpt 4355   ran crn 4846    Fn wfn 5418   ` cfv 5423  (class class class)co 6096    e. cmpt2 6098    Er wer 7103   [cec 7104   /.cqs 7105   Fincfn 7315   0cc0 9287    x. cmul 9292    - cmin 9600    / cdiv 9998   NNcn 10327   NN0cn0 10584   ZZcz 10651   ^cexp 11870   #chash 12108    || cdivides 13540   Primecprime 13768    pCnt cpc 13908   Basecbs 14179   ↾s cress 14180   +g cplusg 14243   0gc0g 14383   Grpcgrp 15415   invgcminusg 15416   -gcsg 15418  SubGrpcsubg 15680   ~QG cqg 15682   pGrp cpgp 16035
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4408  ax-sep 4418  ax-nul 4426  ax-pow 4475  ax-pr 4536  ax-un 6377  ax-inf2 7852  ax-cnex 9343  ax-resscn 9344  ax-1cn 9345  ax-icn 9346  ax-addcl 9347  ax-addrcl 9348  ax-mulcl 9349  ax-mulrcl 9350  ax-mulcom 9351  ax-addass 9352  ax-mulass 9353  ax-distr 9354  ax-i2m1 9355  ax-1ne0 9356  ax-1rid 9357  ax-rnegex 9358  ax-rrecex 9359  ax-cnre 9360  ax-pre-lttri 9361  ax-pre-lttrn 9362  ax-pre-ltadd 9363  ax-pre-mulgt0 9364  ax-pre-sup 9365
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2573  df-ne 2613  df-nel 2614  df-ral 2725  df-rex 2726  df-reu 2727  df-rmo 2728  df-rab 2729  df-v 2979  df-sbc 3192  df-csb 3294  df-dif 3336  df-un 3338  df-in 3340  df-ss 3347  df-pss 3349  df-nul 3643  df-if 3797  df-pw 3867  df-sn 3883  df-pr 3885  df-tp 3887  df-op 3889  df-uni 4097  df-int 4134  df-iun 4178  df-disj 4268  df-br 4298  df-opab 4356  df-mpt 4357  df-tr 4391  df-eprel 4637  df-id 4641  df-po 4646  df-so 4647  df-fr 4684  df-se 4685  df-we 4686  df-ord 4727  df-on 4728  df-lim 4729  df-suc 4730  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5386  df-fun 5425  df-fn 5426  df-f 5427  df-f1 5428  df-fo 5429  df-f1o 5430  df-fv 5431  df-isom 5432  df-riota 6057  df-ov 6099  df-oprab 6100  df-mpt2 6101  df-om 6482  df-1st 6582  df-2nd 6583  df-recs 6837  df-rdg 6871  df-1o 6925  df-2o 6926  df-oadd 6929  df-omul 6930  df-er 7106  df-ec 7108  df-qs 7112  df-map 7221  df-en 7316  df-dom 7317  df-sdom 7318  df-fin 7319  df-sup 7696  df-oi 7729  df-card 8114  df-acn 8117  df-cda 8342  df-pnf 9425  df-mnf 9426  df-xr 9427  df-ltxr 9428  df-le 9429  df-sub 9602  df-neg 9603  df-div 9999  df-nn 10328  df-2 10385  df-3 10386  df-n0 10585  df-z 10652  df-uz 10867  df-q 10959  df-rp 10997  df-fz 11443  df-fzo 11554  df-fl 11647  df-mod 11714  df-seq 11812  df-exp 11871  df-fac 12057  df-bc 12084  df-hash 12109  df-cj 12593  df-re 12594  df-im 12595  df-sqr 12729  df-abs 12730  df-clim 12971  df-sum 13169  df-dvds 13541  df-gcd 13696  df-prm 13769  df-pc 13909  df-ndx 14182  df-slot 14183  df-base 14184  df-sets 14185  df-ress 14186  df-plusg 14256  df-0g 14385  df-mnd 15420  df-submnd 15470  df-grp 15550  df-minusg 15551  df-sbg 15552  df-mulg 15553  df-subg 15683  df-eqg 15685  df-ga 15813  df-od 16037  df-pgp 16039
This theorem is referenced by:  sylow2b  16127
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