Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2blem3 Structured version   Unicode version

Theorem sylow2blem3 17200
 Description: Sylow's second theorem. Putting together the results of sylow2a 17197 and the orbit-stabilizer theorem to show that does not divide the set of all fixed points under the group action, we get that there is a fixed point of the group action, so that there is some with for all . This implies that , so is in the conjugated subgroup . (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x
sylow2b.xf
sylow2b.h SubGrp
sylow2b.k SubGrp
sylow2b.a
sylow2b.r ~QG
sylow2b.m
sylow2blem3.hp pGrp s
sylow2blem3.kn
sylow2blem3.d
Assertion
Ref Expression
sylow2blem3
Distinct variable groups:   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,,,   ,,   , ,   ,,,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,)   (,,,)   (,)

Proof of Theorem sylow2blem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2blem3.hp . . . . . . . . 9 pGrp s
2 pgpprm 17171 . . . . . . . . 9 pGrp s
31, 2syl 17 . . . . . . . 8
4 sylow2b.h . . . . . . . . . . 11 SubGrp
5 subgrcl 16764 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
64, 5syl 17 . . . . . . . . . 10
7 sylow2b.x . . . . . . . . . . 11
87grpbn0 16637 . . . . . . . . . 10
96, 8syl 17 . . . . . . . . 9
10 sylow2b.xf . . . . . . . . . 10
11 hashnncl 12544 . . . . . . . . . 10
1210, 11syl 17 . . . . . . . . 9
139, 12mpbird 235 . . . . . . . 8
14 pcndvds2 14771 . . . . . . . 8
153, 13, 14syl2anc 665 . . . . . . 7
16 sylow2b.r . . . . . . . . . . 11 ~QG
17 sylow2b.k . . . . . . . . . . 11 SubGrp
187, 16, 17, 10lagsubg2 16820 . . . . . . . . . 10
1918oveq1d 6320 . . . . . . . . 9
20 sylow2blem3.kn . . . . . . . . . 10
2120oveq2d 6321 . . . . . . . . 9
22 pwfi 7875 . . . . . . . . . . . . . 14
2310, 22sylib 199 . . . . . . . . . . . . 13
247, 16eqger 16809 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
2517, 24syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
2625qsss 7432 . . . . . . . . . . . . 13
27 ssfi 7798 . . . . . . . . . . . . 13
2823, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . . . . . . 12
29 hashcl 12535 . . . . . . . . . . . 12
3028, 29syl 17 . . . . . . . . . . 11
3130nn0cnd 10927 . . . . . . . . . 10
32 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . 15
3332subg0cl 16767 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
3417, 33syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
35 ne0i 3773 . . . . . . . . . . . . 13
3634, 35syl 17 . . . . . . . . . . . 12
377subgss 16760 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
3817, 37syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
39 ssfi 7798 . . . . . . . . . . . . . 14
4010, 38, 39syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . 13
41 hashnncl 12544 . . . . . . . . . . . . 13
4240, 41syl 17 . . . . . . . . . . . 12
4336, 42mpbird 235 . . . . . . . . . . 11
4443nncnd 10625 . . . . . . . . . 10
4543nnne0d 10654 . . . . . . . . . 10
4631, 44, 45divcan4d 10388 . . . . . . . . 9
4719, 21, 463eqtr3d 2478 . . . . . . . 8
4847breq2d 4438 . . . . . . 7
4915, 48mtbid 301 . . . . . 6
50 prmz 14588 . . . . . . . 8
513, 50syl 17 . . . . . . 7
5230nn0zd 11038 . . . . . . 7
53 ssrab2 3552 . . . . . . . . . 10 s
54 ssfi 7798 . . . . . . . . . 10 s s
5528, 53, 54sylancl 666 . . . . . . . . 9 s
56 hashcl 12535 . . . . . . . . 9 s s
5755, 56syl 17 . . . . . . . 8 s
5857nn0zd 11038 . . . . . . 7 s
59 eqid 2429 . . . . . . . 8 s s
60 sylow2b.a . . . . . . . . 9
61 sylow2b.m . . . . . . . . 9
627, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem2 17199 . . . . . . . 8 s
63 eqid 2429 . . . . . . . . . . 11 s s
6463subgbas 16763 . . . . . . . . . 10 SubGrp s
654, 64syl 17 . . . . . . . . 9 s
667subgss 16760 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
674, 66syl 17 . . . . . . . . . 10
68 ssfi 7798 . . . . . . . . . 10
6910, 67, 68syl2anc 665 . . . . . . . . 9
7065, 69eqeltrrd 2518 . . . . . . . 8 s
71 eqid 2429 . . . . . . . 8 s s
72 eqid 2429 . . . . . . . 8 s s
7359, 62, 1, 70, 28, 71, 72sylow2a 17197 . . . . . . 7 s
74 dvdssub2 14320 . . . . . . 7 s s s
7551, 52, 58, 73, 74syl31anc 1267 . . . . . 6 s
7649, 75mtbid 301 . . . . 5 s
77 hasheq0 12541 . . . . . . . 8 s s s
7855, 77syl 17 . . . . . . 7 s s
79 dvds0 14296 . . . . . . . . 9
8051, 79syl 17 . . . . . . . 8
81 breq2 4430 . . . . . . . 8 s s
8280, 81syl5ibrcom 225 . . . . . . 7 s s
8378, 82sylbird 238 . . . . . 6 s s
8483necon3bd 2643 . . . . 5 s s
8576, 84mpd 15 . . . 4 s
86 rabn0 3788 . . . 4 s s
8785, 86sylib 199 . . 3 s
8865raleqdv 3038 . . . 4 s
8988rexbidv 2946 . . 3 s
9087, 89mpbird 235 . 2
91 vex 3090 . . . . 5
9291elqs 7424 . . . 4
93 simplrr 769 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
9493oveq2d 6321 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
95 simprr 764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
96 simpll 758 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
97 simprl 762 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
98 simplrl 768 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
997, 10, 4, 17, 60, 16, 61sylow2blem1 17198 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
10096, 97, 98, 99syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
10194, 95, 1003eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10293, 101eqtr3d 2472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10325ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
104103, 98erth 7416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
105102, 104mpbird 235 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1066ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10738ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
108 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1097, 108, 60, 16eqgval 16808 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110106, 107, 109syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111105, 110mpbid 213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
112111simp3d 1019 . . . . . . . . . . . . . . . 16
113 oveq2 6313 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
114113oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
115 eqid 2429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
117114, 115, 116fvmpt 5964 . . . . . . . . . . . . . . . 16
118112, 117syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15
1197, 60, 32, 108grprinv 16655 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
120106, 98, 119syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
121120oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1227, 108grpinvcl 16653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
123106, 98, 122syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12467ad2antrr 730 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
125124, 97sseldd 3471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1267, 60grpcl 16621 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
127106, 125, 98, 126syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1287, 60grpass 16622 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
129106, 98, 123, 127, 128syl13anc 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1307, 60, 32grplid 16638 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
131106, 127, 130syl2anc 665 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
132121, 129, 1313eqtr3d 2478 . . . . . . . . . . . . . . . 16
133132oveq1d 6320 . . . . . . . . . . . . . . 15
134 sylow2blem3.d . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1357, 60, 134grppncan 16687 . . . . . . . . . . . . . . . 16
136106, 125, 98, 135syl3anc 1264 . . . . . . . . . . . . . . 15
137118, 133, 1363eqtrd 2474 . . . . . . . . . . . . . 14
138 ovex 6333 . . . . . . . . . . . . . . . 16
139138, 115fnmpti 5724 . . . . . . . . . . . . . . 15
140 fnfvelrn 6034 . . . . . . . . . . . . . . 15
141139, 112, 140sylancr 667 . . . . . . . . . . . . . 14
142137, 141eqeltrrd 2518 . . . . . . . . . . . . 13
143142expr 618 . . . . . . . . . . . 12
144143ralimdva 2840 . . . . . . . . . . 11
145144imp 430 . . . . . . . . . 10
146145an32s 811 . . . . . . . . 9
147 dfss3 3460 . . . . . . . . 9
148146, 147sylibr 215 . . . . . . . 8
149148expr 618 . . . . . . 7
150149reximdva 2907 . . . . . 6
151150ex 435 . . . . 5
152151com23 81 . . . 4
15392, 152syl5bi 220 . . 3
154153rexlimdv 2922 . 2
15590, 154mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 187   wa 370   w3a 982   wceq 1437   wcel 1870   wne 2625  wral 2782  wrex 2783  crab 2786   wss 3442  c0 3767  cpw 3985  cpr 4004   class class class wbr 4426  copab 4483   cmpt 4484   crn 4855   wfn 5596  cfv 5601  (class class class)co 6305   cmpt2 6307   wer 7368  cec 7369  cqs 7370  cfn 7577  cc0 9538   cmul 9543   cmin 9859   cdiv 10268  cn 10609  cn0 10869  cz 10937  cexp 12269  chash 12512   cdvds 14283  cprime 14584   cpc 14740  cbs 15075   ↾s cress 15076   cplusg 15143  c0g 15288  cgrp 16611  cminusg 16612  csg 16613  SubGrpcsubg 16753   ~QG cqg 16755   pGrp cpgp 17109 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1751  ax-6 1797  ax-7 1841  ax-8 1872  ax-9 1874  ax-10 1889  ax-11 1894  ax-12 1907  ax-13 2055  ax-ext 2407  ax-rep 4538  ax-sep 4548  ax-nul 4556  ax-pow 4603  ax-pr 4661  ax-un 6597  ax-inf2 8146  ax-cnex 9594  ax-resscn 9595  ax-1cn 9596  ax-icn 9597  ax-addcl 9598  ax-addrcl 9599  ax-mulcl 9600  ax-mulrcl 9601  ax-mulcom 9602  ax-addass 9603  ax-mulass 9604  ax-distr 9605  ax-i2m1 9606  ax-1ne0 9607  ax-1rid 9608  ax-rnegex 9609  ax-rrecex 9610  ax-cnre 9611  ax-pre-lttri 9612  ax-pre-lttrn 9613  ax-pre-ltadd 9614  ax-pre-mulgt0 9615  ax-pre-sup 9616 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1790  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2415  df-cleq 2421  df-clel 2424  df-nfc 2579  df-ne 2627  df-nel 2628  df-ral 2787  df-rex 2788  df-reu 2789  df-rmo 2790  df-rab 2791  df-v 3089  df-sbc 3306  df-csb 3402  df-dif 3445  df-un 3447  df-in 3449  df-ss 3456  df-pss 3458  df-nul 3768  df-if 3916  df-pw 3987  df-sn 4003  df-pr 4005  df-tp 4007  df-op 4009  df-uni 4223  df-int 4259  df-iun 4304  df-disj 4398  df-br 4427  df-opab 4485  df-mpt 4486  df-tr 4521  df-eprel 4765  df-id 4769  df-po 4775  df-so 4776  df-fr 4813  df-se 4814  df-we 4815  df-xp 4860  df-rel 4861  df-cnv 4862  df-co 4863  df-dm 4864  df-rn 4865  df-res 4866  df-ima 4867  df-pred 5399  df-ord 5445  df-on 5446  df-lim 5447  df-suc 5448  df-iota 5565  df-fun 5603  df-fn 5604  df-f 5605  df-f1 5606  df-fo 5607  df-f1o 5608  df-fv 5609  df-isom 5610  df-riota 6267  df-ov 6308  df-oprab 6309  df-mpt2 6310  df-om 6707  df-1st 6807  df-2nd 6808  df-wrecs 7036  df-recs 7098  df-rdg 7136  df-1o 7190  df-2o 7191  df-oadd 7194  df-omul 7195  df-er 7371  df-ec 7373  df-qs 7377  df-map 7482  df-en 7578  df-dom 7579  df-sdom 7580  df-fin 7581  df-sup 7962  df-inf 7963  df-oi 8025  df-card 8372  df-acn 8375  df-cda 8596  df-pnf 9676  df-mnf 9677  df-xr 9678  df-ltxr 9679  df-le 9680  df-sub 9861  df-neg 9862  df-div 10269  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11783  df-fzo 11914  df-fl 12025  df-mod 12094  df-seq 12211  df-exp 12270  df-fac 12457  df-bc 12485  df-hash 12513  df-cj 13141  df-re 13142  df-im 13143  df-sqrt 13277  df-abs 13278  df-clim 13530  df-sum 13731  df-dvds 14284  df-gcd 14443  df-prm 14585  df-pc 14741  df-ndx 15078  df-slot 15079  df-base 15080  df-sets 15081  df-ress 15082  df-plusg 15156  df-0g 15290  df-mgm 16430  df-sgrp 16469  df-mnd 16479  df-submnd 16525  df-grp 16615  df-minusg 16616  df-sbg 16617  df-mulg 16618  df-subg 16756  df-eqg 16758  df-ga 16886  df-od 17111  df-pgp 17113 This theorem is referenced by:  sylow2b  17201
 Copyright terms: Public domain W3C validator