Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2blem2 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sylow2blem2 17351
 Description: Lemma for sylow2b 17353. Left multiplication in a subgroup is a group action on the set of all left cosets of . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x
sylow2b.xf
sylow2b.h SubGrp
sylow2b.k SubGrp
sylow2b.a
sylow2b.r ~QG
sylow2b.m
Assertion
Ref Expression
sylow2blem2 s
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   , ,,   , ,,   , ,,   ,   ,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem sylow2blem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2b.h . . . 4 SubGrp
2 eqid 2471 . . . . 5 s s
32subggrp 16898 . . . 4 SubGrp s
41, 3syl 17 . . 3 s
5 sylow2b.xf . . . . 5
6 pwfi 7887 . . . . 5
75, 6sylib 201 . . . 4
8 sylow2b.k . . . . . 6 SubGrp
9 sylow2b.x . . . . . . 7
10 sylow2b.r . . . . . . 7 ~QG
119, 10eqger 16945 . . . . . 6 SubGrp
128, 11syl 17 . . . . 5
1312qsss 7442 . . . 4
147, 13ssexd 4543 . . 3
154, 14jca 541 . 2 s
16 sylow2b.m . . . . . . 7
17 vex 3034 . . . . . . . . 9
1817mptex 6152 . . . . . . . 8
1918rnex 6746 . . . . . . 7
2016, 19fnmpt2i 6881 . . . . . 6
2120a1i 11 . . . . 5
22 eqid 2471 . . . . . . . 8
23 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
2423eleq1d 2533 . . . . . . . 8
25 sylow2b.a . . . . . . . . . . 11
269, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 17350 . . . . . . . . . 10
27 ovex 6336 . . . . . . . . . . . 12 ~QG
2810, 27eqeltri 2545 . . . . . . . . . . 11
29 subgrcl 16900 . . . . . . . . . . . . . 14 SubGrp
301, 29syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
31303ad2ant1 1051 . . . . . . . . . . . 12
329subgss 16896 . . . . . . . . . . . . . . 15 SubGrp
331, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . . 14
3433sselda 3418 . . . . . . . . . . . . 13
35343adant3 1050 . . . . . . . . . . . 12
36 simp3 1032 . . . . . . . . . . . 12
379, 25grpcl 16757 . . . . . . . . . . . 12
3831, 35, 36, 37syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
39 ecelqsg 7436 . . . . . . . . . . 11
4028, 38, 39sylancr 676 . . . . . . . . . 10
4126, 40eqeltrd 2549 . . . . . . . . 9
42413expa 1231 . . . . . . . 8
4322, 24, 42ectocld 7448 . . . . . . 7
4443ralrimiva 2809 . . . . . 6
4544ralrimiva 2809 . . . . 5
46 ffnov 6419 . . . . 5
4721, 45, 46sylanbrc 677 . . . 4
482subgbas 16899 . . . . . . 7 SubGrp s
491, 48syl 17 . . . . . 6 s
5049xpeq1d 4862 . . . . 5 s
5150feq2d 5725 . . . 4 s
5247, 51mpbid 215 . . 3 s
53 oveq2 6316 . . . . . . 7 s s
54 id 22 . . . . . . 7
5553, 54eqeq12d 2486 . . . . . 6 s s
56 oveq2 6316 . . . . . . . 8 s s
57 oveq2 6316 . . . . . . . . 9
5857oveq2d 6324 . . . . . . . 8
5956, 58eqeq12d 2486 . . . . . . 7 s s
60592ralbidv 2832 . . . . . 6 s s s s s s
6155, 60anbi12d 725 . . . . 5 s s s s s s s s
62 simpl 464 . . . . . . . 8
631adantr 472 . . . . . . . . 9 SubGrp
64 eqid 2471 . . . . . . . . . 10
6564subg0cl 16903 . . . . . . . . 9 SubGrp
6663, 65syl 17 . . . . . . . 8
67 simpr 468 . . . . . . . 8
689, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 17350 . . . . . . . 8
6962, 66, 67, 68syl3anc 1292 . . . . . . 7
702, 64subg0 16901 . . . . . . . . 9 SubGrp s
7163, 70syl 17 . . . . . . . 8 s
7271oveq1d 6323 . . . . . . 7 s
739, 25, 64grplid 16774 . . . . . . . . 9
7430, 73sylan 479 . . . . . . . 8
7574eceq1d 7418 . . . . . . 7
7669, 72, 753eqtr3d 2513 . . . . . 6 s
7763adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp
7877, 29syl 17 . . . . . . . . . . . 12
7977, 32syl 17 . . . . . . . . . . . . 13
80 simprl 772 . . . . . . . . . . . . 13
8179, 80sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12
82 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13
8379, 82sseldd 3419 . . . . . . . . . . . 12
8467adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
859, 25grpass 16758 . . . . . . . . . . . 12
8678, 81, 83, 84, 85syl13anc 1294 . . . . . . . . . . 11
8786eceq1d 7418 . . . . . . . . . 10
8862adantr 472 . . . . . . . . . . 11
899, 25grpcl 16757 . . . . . . . . . . . 12
9078, 83, 84, 89syl3anc 1292 . . . . . . . . . . 11
919, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 17350 . . . . . . . . . . 11
9288, 80, 90, 91syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
9387, 92eqtr4d 2508 . . . . . . . . 9
9425subgcl 16905 . . . . . . . . . . 11 SubGrp
9577, 80, 82, 94syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
969, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 17350 . . . . . . . . . 10
9788, 95, 84, 96syl3anc 1292 . . . . . . . . 9
989, 5, 1, 8, 25, 10, 16sylow2blem1 17350 . . . . . . . . . . 11
9988, 82, 84, 98syl3anc 1292 . . . . . . . . . 10
10099oveq2d 6324 . . . . . . . . 9
10193, 97, 1003eqtr4d 2515 . . . . . . . 8
102101ralrimivva 2814 . . . . . . 7
10363, 48syl 17 . . . . . . . 8 s
1042, 25ressplusg 15317 . . . . . . . . . . . . 13 SubGrp s
1051, 104syl 17 . . . . . . . . . . . 12 s
106105oveqdr 6332 . . . . . . . . . . 11 s
107106oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10 s
108107eqeq1d 2473 . . . . . . . . 9 s
109103, 108raleqbidv 2987 . . . . . . . 8 s s
110103, 109raleqbidv 2987 . . . . . . 7 s s s
111102, 110mpbid 215 . . . . . 6 s s s
11276, 111jca 541 . . . . 5 s s s s
11322, 61, 112ectocld 7448 . . . 4 s s s s
114113ralrimiva 2809 . . 3 s s s s
11552, 114jca 541 . 2 s s s s s
116 eqid 2471 . . 3 s s
117 eqid 2471 . . 3 s s
118 eqid 2471 . . 3 s s
119116, 117, 118isga 17023 . 2 s s s s s s s
12015, 115, 119sylanbrc 677 1 s
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wa 376   w3a 1007   wceq 1452   wcel 1904  wral 2756  cvv 3031   wss 3390  cpw 3942   cmpt 4454   cxp 4837   crn 4840   wfn 5584  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310   wer 7378  cec 7379  cqs 7380  cfn 7587  cbs 15199   ↾s cress 15200   cplusg 15268  c0g 15416  cgrp 16747  SubGrpcsubg 16889   ~QG cqg 16891   cga 17021 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ga 17022 This theorem is referenced by:  sylow2blem3  17352
 Copyright terms: Public domain W3C validator