Theorem sylow2blem2 16113

Description: Lemma for sylow2b 16115. Left multiplication in a subgroup H is a group action on the set of all left cosets of K. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2b.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2b.h	|- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.k	|- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow2b.r	|- .~ = ( G ~QG K )
sylow2b.m	|- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow2blem2	|- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, K, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z   x, .~ , y, z   ph, z   x, H, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem sylow2blem2

Dummy variables a b s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2b.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
2		eqid 2441	. . . . 5 |- ( G ↾s H ) = ( G ↾s H )
3	2	subggrp 15677	. . . 4 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s H ) e. Grp )
4	1, 3	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( G ↾s H ) e. Grp )
5		sylow2b.xf	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
6		pwfi 7602	. . . . 5 |- ( X e. Fin <-> ~P X e. Fin )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ~P X e. Fin )
8		sylow2b.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
9		sylow2b.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
10		sylow2b.r	. . . . . . 7 |- .~ = ( G ~QG K )
11	9, 10	eqger 15724	. . . . . 6 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
12	8, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er X )
13	12	qsss 7157	. . . 4 |- ( ph -> ( X /. .~ ) C_ ~P X )
14	7, 13	ssexd 4436	. . 3 |- ( ph -> ( X /. .~ ) e. _V )
15	4, 14	jca 529	. 2 |- ( ph -> ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) )
16		sylow2b.m	. . . . . . 7 |- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
17		vex 2973	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
18	17	mptex 5945	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
19	18	rnex 6511	. . . . . . 7 |- ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
20	16, 19	fnmpt2i 6642	. . . . . 6 |- .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) )
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) )
22		eqid 2441	. . . . . . . 8 |- ( X /. .~ ) = ( X /. .~ )
23		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = v -> ( u .x. [ s ] .~ ) = ( u .x. v ) )
24	23	eleq1d 2507	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = v -> ( ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) <-> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
25		sylow2b.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
26	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) = [ ( u .+ s ) ] .~ )
27		ovex 6115	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ~QG K ) e. _V
28	10, 27	eqeltri 2511	. . . . . . . . . . 11 |- .~ e. _V
29		subgrcl 15679	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
30	1, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Grp )
31	30	3ad2ant1 1004	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> G e. Grp )
32	9	subgss 15675	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H C_ X )
34	33	sselda 3353	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> u e. X )
35	34	3adant3 1003	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> u e. X )
36		simp3 985	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> s e. X )
37	9, 25	grpcl 15544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
39		ecelqsg 7151	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( .~ e. _V /\ ( u .+ s ) e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
40	28, 38, 39	sylancr 658	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
41	26, 40	eqeltrd 2515	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
42	41	3expa 1182	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
43	22, 24, 42	ectocld 7163	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ v e. ( X /. .~ ) ) -> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
44	43	ralrimiva 2797	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
45	44	ralrimiva 2797	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
46		ffnov 6193	. . . . 5 |- ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> ( .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) /\ A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 659	. . . 4 |- ( ph -> .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
48	2	subgbas 15678	. . . . . . 7 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
49	1, 48	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
50	49	xpeq1d 4859	. . . . 5 |- ( ph -> ( H X. ( X /. .~ ) ) = ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) )
51	50	feq2d 5544	. . . 4 |- ( ph -> ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) ) )
52	47, 51	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
53		oveq2 6098	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) )
54		id 22	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> [ s ] .~ = u )
55	53, 54	eqeq12d 2455	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ <-> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u ) )
56		oveq2 6098	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) )
57		oveq2 6098	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = u -> ( b .x. [ s ] .~ ) = ( b .x. u ) )
58	57	oveq2d 6106	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) )
59	56, 58	eqeq12d 2455	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
60	59	2ralbidv 2755	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
61	55, 60	anbi12d 705	. . . . 5 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) <-> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
62		simpl 454	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ph )
63	1	adantr 462	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
64		eqid 2441	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
65	64	subg0cl 15682	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. H )
66	63, 65	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) e. H )
67		simpr 458	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> s e. X )
68	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16112	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 0g ` G ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
69	62, 66, 67, 68	syl3anc 1213	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
70	2, 64	subg0 15680	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
71	63, 70	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
72	71	oveq1d 6105	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) )
73	9, 25, 64	grplid 15561	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
74	30, 73	sylan 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
75		eceq1 7133	. . . . . . . 8 |- ( ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s -> [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ = [ s ] .~ )
76	74, 75	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ = [ s ] .~ )
77	69, 72, 76	3eqtr3d 2481	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ )
78	63	adantr 462	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
79	78, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> G e. Grp )
80	78, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H C_ X )
81		simprl 750	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. H )
82	80, 81	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. X )
83		simprr 751	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. H )
84	80, 83	sseldd 3354	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. X )
85	67	adantr 462	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> s e. X )
86	9, 25	grpass 15545	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
87	79, 82, 84, 85, 86	syl13anc 1215	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
88		eceq1 7133	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
89	87, 88	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
90	62	adantr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ph )
91	9, 25	grpcl 15544	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ s e. X ) -> ( b .+ s ) e. X )
92	79, 84, 85, 91	syl3anc 1213	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .+ s ) e. X )
93	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. H /\ ( b .+ s ) e. X ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
94	90, 81, 92, 93	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
95	89, 94	eqtr4d 2476	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
96	25	subgcl 15684	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. (SubGrp ` G ) /\ a e. H /\ b e. H ) -> ( a .+ b ) e. H )
97	78, 81, 83, 96	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .+ b ) e. H )
98	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16112	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a .+ b ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
99	90, 97, 85, 98	syl3anc 1213	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
100	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16112	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. H /\ s e. X ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
101	90, 83, 85, 100	syl3anc 1213	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
102	101	oveq2d 6106	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
103	95, 99, 102	3eqtr4d 2483	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
104	103	ralrimivva 2806	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
105	63, 48	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
106	2, 25	ressplusg 14276	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
107	1, 106	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
108	107	proplem3 14625	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( a .+ b ) = ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) )
109	108	oveq1d 6105	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) )
110	109	eqeq1d 2449	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
111	105, 110	raleqbidv 2929	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
112	105, 111	raleqbidv 2929	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
113	104, 112	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
114	77, 113	jca 529	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
115	22, 61, 114	ectocld 7163	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. ( X /. .~ ) ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
116	115	ralrimiva 2797	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
117	52, 116	jca 529	. 2 |- ( ph -> ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
118		eqid 2441	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s H ) ) = ( Base ` ( G ↾s H ) )
119		eqid 2441	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s H ) ) = ( +g ` ( G ↾s H ) )
120		eqid 2441	. . 3 |- ( 0g ` ( G ↾s H ) ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) )
121	118, 119, 120	isga 15802	. 2 |- ( .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) <-> ( ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) /\ ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) ) )
122	15, 117, 121	sylanbrc 659	1 |- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 960   = wceq 1364   e. wcel 1761   A.wral 2713   _Vcvv 2970   C_ wss 3325   ~Pcpw 3857   e. cmpt 4347   X. cxp 4834   ran crn 4837   Fn wfn 5410   -->wf 5411   ` cfv 5415  (class class class)co 6090   e. cmpt2 6092   Er wer 7094   [cec 7095   /.cqs 7096   Fincfn 7306   Basecbs 14170   ↾_s cress 14171   +g cplusg 14234   0gc0g 14374   Grpcgrp 15406  SubGrpcsubg 15668   ~_QG cqg 15670   GrpAct cga 15800

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1713  ax-7 1733  ax-8 1763  ax-9 1765  ax-10 1780  ax-11 1785  ax-12 1797  ax-13 1948  ax-ext 2422  ax-rep 4400  ax-sep 4410  ax-nul 4418  ax-pow 4467  ax-pr 4528  ax-un 6371  ax-cnex 9334  ax-resscn 9335  ax-1cn 9336  ax-icn 9337  ax-addcl 9338  ax-addrcl 9339  ax-mulcl 9340  ax-mulrcl 9341  ax-mulcom 9342  ax-addass 9343  ax-mulass 9344  ax-distr 9345  ax-i2m1 9346  ax-1ne0 9347  ax-1rid 9348  ax-rnegex 9349  ax-rrecex 9350  ax-cnre 9351  ax-pre-lttri 9352  ax-pre-lttrn 9353  ax-pre-ltadd 9354  ax-pre-mulgt0 9355

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 961  df-3an 962  df-tru 1367  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1706  df-eu 2261  df-mo 2262  df-clab 2428  df-cleq 2434  df-clel 2437  df-nfc 2566  df-ne 2606  df-nel 2607  df-ral 2718  df-rex 2719  df-reu 2720  df-rmo 2721  df-rab 2722  df-v 2972  df-sbc 3184  df-csb 3286  df-dif 3328  df-un 3330  df-in 3332  df-ss 3339  df-pss 3341  df-nul 3635  df-if 3789  df-pw 3859  df-sn 3875  df-pr 3877  df-tp 3879  df-op 3881  df-uni 4089  df-int 4126  df-iun 4170  df-br 4290  df-opab 4348  df-mpt 4349  df-tr 4383  df-eprel 4628  df-id 4632  df-po 4637  df-so 4638  df-fr 4675  df-we 4677  df-ord 4718  df-on 4719  df-lim 4720  df-suc 4721  df-xp 4842  df-rel 4843  df-cnv 4844  df-co 4845  df-dm 4846  df-rn 4847  df-res 4848  df-ima 4849  df-iota 5378  df-fun 5417  df-fn 5418  df-f 5419  df-f1 5420  df-fo 5421  df-f1o 5422  df-fv 5423  df-riota 6049  df-ov 6093  df-oprab 6094  df-mpt2 6095  df-om 6476  df-1st 6576  df-2nd 6577  df-recs 6828  df-rdg 6862  df-1o 6916  df-2o 6917  df-oadd 6920  df-er 7097  df-ec 7099  df-qs 7103  df-map 7212  df-en 7307  df-dom 7308  df-sdom 7309  df-fin 7310  df-pnf 9416  df-mnf 9417  df-xr 9418  df-ltxr 9419  df-le 9420  df-sub 9593  df-neg 9594  df-nn 10319  df-2 10376  df-ndx 14173  df-slot 14174  df-base 14175  df-sets 14176  df-ress 14177  df-plusg 14247  df-0g 14376  df-mnd 15411  df-grp 15538  df-minusg 15539  df-sbg 15540  df-subg 15671  df-eqg 15673  df-ga 15801

This theorem is referenced by:  sylow2blem3  16114