Theorem sylow2blem2 16514

Description: Lemma for sylow2b 16516. Left multiplication in a subgroup H is a group action on the set of all left cosets of K. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2b.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2b.h	|- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.k	|- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow2b.r	|- .~ = ( G ~QG K )
sylow2b.m	|- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow2blem2	|- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, K, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z   x, .~ , y, z   ph, z   x, H, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem sylow2blem2

Dummy variables a b s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2b.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
2		eqid 2467	. . . . 5 |- ( G ↾s H ) = ( G ↾s H )
3	2	subggrp 16076	. . . 4 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s H ) e. Grp )
4	1, 3	syl 16	. . 3 |- ( ph -> ( G ↾s H ) e. Grp )
5		sylow2b.xf	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
6		pwfi 7827	. . . . 5 |- ( X e. Fin <-> ~P X e. Fin )
7	5, 6	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ~P X e. Fin )
8		sylow2b.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
9		sylow2b.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
10		sylow2b.r	. . . . . . 7 |- .~ = ( G ~QG K )
11	9, 10	eqger 16123	. . . . . 6 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
12	8, 11	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er X )
13	12	qsss 7384	. . . 4 |- ( ph -> ( X /. .~ ) C_ ~P X )
14	7, 13	ssexd 4600	. . 3 |- ( ph -> ( X /. .~ ) e. _V )
15	4, 14	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) )
16		sylow2b.m	. . . . . . 7 |- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
17		vex 3121	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
18	17	mptex 6142	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
19	18	rnex 6729	. . . . . . 7 |- ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
20	16, 19	fnmpt2i 6864	. . . . . 6 |- .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) )
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) )
22		eqid 2467	. . . . . . . 8 |- ( X /. .~ ) = ( X /. .~ )
23		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = v -> ( u .x. [ s ] .~ ) = ( u .x. v ) )
24	23	eleq1d 2536	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = v -> ( ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) <-> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
25		sylow2b.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
26	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) = [ ( u .+ s ) ] .~ )
27		ovex 6320	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ~QG K ) e. _V
28	10, 27	eqeltri 2551	. . . . . . . . . . 11 |- .~ e. _V
29		subgrcl 16078	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
30	1, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Grp )
31	30	3ad2ant1 1017	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> G e. Grp )
32	9	subgss 16074	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
33	1, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H C_ X )
34	33	sselda 3509	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> u e. X )
35	34	3adant3 1016	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> u e. X )
36		simp3 998	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> s e. X )
37	9, 25	grpcl 15935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
39		ecelqsg 7378	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( .~ e. _V /\ ( u .+ s ) e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
40	28, 38, 39	sylancr 663	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
41	26, 40	eqeltrd 2555	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
42	41	3expa 1196	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
43	22, 24, 42	ectocld 7390	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ v e. ( X /. .~ ) ) -> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
44	43	ralrimiva 2881	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
45	44	ralrimiva 2881	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
46		ffnov 6401	. . . . 5 |- ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> ( .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) /\ A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 664	. . . 4 |- ( ph -> .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
48	2	subgbas 16077	. . . . . . 7 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
49	1, 48	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
50	49	xpeq1d 5028	. . . . 5 |- ( ph -> ( H X. ( X /. .~ ) ) = ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) )
51	50	feq2d 5724	. . . 4 |- ( ph -> ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) ) )
52	47, 51	mpbid 210	. . 3 |- ( ph -> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
53		oveq2 6303	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) )
54		id 22	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> [ s ] .~ = u )
55	53, 54	eqeq12d 2489	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ <-> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u ) )
56		oveq2 6303	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) )
57		oveq2 6303	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = u -> ( b .x. [ s ] .~ ) = ( b .x. u ) )
58	57	oveq2d 6311	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) )
59	56, 58	eqeq12d 2489	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
60	59	2ralbidv 2911	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
61	55, 60	anbi12d 710	. . . . 5 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) <-> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
62		simpl 457	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ph )
63	1	adantr 465	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
64		eqid 2467	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
65	64	subg0cl 16081	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. H )
66	63, 65	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) e. H )
67		simpr 461	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> s e. X )
68	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16513	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 0g ` G ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
69	62, 66, 67, 68	syl3anc 1228	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
70	2, 64	subg0 16079	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
71	63, 70	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
72	71	oveq1d 6310	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) )
73	9, 25, 64	grplid 15952	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
74	30, 73	sylan 471	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
75	74	eceq1d 7360	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ = [ s ] .~ )
76	69, 72, 75	3eqtr3d 2516	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ )
77	63	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
78	77, 29	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> G e. Grp )
79	77, 32	syl 16	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H C_ X )
80		simprl 755	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. H )
81	79, 80	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. X )
82		simprr 756	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. H )
83	79, 82	sseldd 3510	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. X )
84	67	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> s e. X )
85	9, 25	grpass 15936	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
86	78, 81, 83, 84, 85	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
87	86	eceq1d 7360	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
88	62	adantr 465	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ph )
89	9, 25	grpcl 15935	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ s e. X ) -> ( b .+ s ) e. X )
90	78, 83, 84, 89	syl3anc 1228	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .+ s ) e. X )
91	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. H /\ ( b .+ s ) e. X ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
92	88, 80, 90, 91	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
93	87, 92	eqtr4d 2511	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
94	25	subgcl 16083	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. (SubGrp ` G ) /\ a e. H /\ b e. H ) -> ( a .+ b ) e. H )
95	77, 80, 82, 94	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .+ b ) e. H )
96	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16513	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a .+ b ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
97	88, 95, 84, 96	syl3anc 1228	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
98	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 16513	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. H /\ s e. X ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
99	88, 82, 84, 98	syl3anc 1228	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
100	99	oveq2d 6311	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
101	93, 97, 100	3eqtr4d 2518	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
102	101	ralrimivva 2888	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
103	63, 48	syl 16	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
104	2, 25	ressplusg 14614	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
105	1, 104	syl 16	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
106	105	proplem3 14963	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( a .+ b ) = ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) )
107	106	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) )
108	107	eqeq1d 2469	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
109	103, 108	raleqbidv 3077	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
110	103, 109	raleqbidv 3077	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
111	102, 110	mpbid 210	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
112	76, 111	jca 532	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
113	22, 61, 112	ectocld 7390	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. ( X /. .~ ) ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
114	113	ralrimiva 2881	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
115	52, 114	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
116		eqid 2467	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s H ) ) = ( Base ` ( G ↾s H ) )
117		eqid 2467	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s H ) ) = ( +g ` ( G ↾s H ) )
118		eqid 2467	. . 3 |- ( 0g ` ( G ↾s H ) ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) )
119	116, 117, 118	isga 16201	. 2 |- ( .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) <-> ( ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) /\ ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) ) )
120	15, 115, 119	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 369   /\ w3a 973   = wceq 1379   e. wcel 1767   A.wral 2817   _Vcvv 3118   C_ wss 3481   ~Pcpw 4016   |-> cmpt 4511   X. cxp 5003   ran crn 5006   Fn wfn 5589   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   Er wer 7320   [cec 7321   /.cqs 7322   Fincfn 7528   Basecbs 14507   ↾_s cress 14508   +g cplusg 14572   0gc0g 14712   Grpcgrp 15925  SubGrpcsubg 16067   ~_QG cqg 16069   GrpAct cga 16199

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-nn 10549  df-2 10606  df-ndx 14510  df-slot 14511  df-base 14512  df-sets 14513  df-ress 14514  df-plusg 14585  df-0g 14714  df-mgm 15746  df-sgrp 15785  df-mnd 15795  df-grp 15929  df-minusg 15930  df-sbg 15931  df-subg 16070  df-eqg 16072  df-ga 16200

This theorem is referenced by:  sylow2blem3  16515