Theorem sylow2blem2 17351

Description: Lemma for sylow2b 17353. Left multiplication in a subgroup H is a group action on the set of all left cosets of K. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2b.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2b.xf	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2b.h	|- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.k	|- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
sylow2b.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow2b.r	|- .~ = ( G ~QG K )
sylow2b.m	|- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow2blem2	|- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Distinct variable groups:   x, y, z, G   x, K, y, z   x, .x. , y, z   x, .+ , y, z   x, .~ , y, z   ph, z   x, H, y, z   x, X, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y)

Proof of Theorem sylow2blem2

Dummy variables a b s u v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2b.h	. . . 4 |- ( ph -> H e. (SubGrp ` G ) )
2		eqid 2471	. . . . 5 |- ( G ↾s H ) = ( G ↾s H )
3	2	subggrp 16898	. . . 4 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( G ↾s H ) e. Grp )
4	1, 3	syl 17	. . 3 |- ( ph -> ( G ↾s H ) e. Grp )
5		sylow2b.xf	. . . . 5 |- ( ph -> X e. Fin )
6		pwfi 7887	. . . . 5 |- ( X e. Fin <-> ~P X e. Fin )
7	5, 6	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> ~P X e. Fin )
8		sylow2b.k	. . . . . 6 |- ( ph -> K e. (SubGrp ` G ) )
9		sylow2b.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
10		sylow2b.r	. . . . . . 7 |- .~ = ( G ~QG K )
11	9, 10	eqger 16945	. . . . . 6 |- ( K e. (SubGrp ` G ) -> .~ Er X )
12	8, 11	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er X )
13	12	qsss 7442	. . . 4 |- ( ph -> ( X /. .~ ) C_ ~P X )
14	7, 13	ssexd 4543	. . 3 |- ( ph -> ( X /. .~ ) e. _V )
15	4, 14	jca 541	. 2 |- ( ph -> ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) )
16		sylow2b.m	. . . . . . 7 |- .x. = ( x e. H , y e. ( X /. .~ ) |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
17		vex 3034	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
18	17	mptex 6152	. . . . . . . 8 |- ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
19	18	rnex 6746	. . . . . . 7 |- ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. _V
20	16, 19	fnmpt2i 6881	. . . . . 6 |- .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) )
21	20	a1i 11	. . . . 5 |- ( ph -> .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) )
22		eqid 2471	. . . . . . . 8 |- ( X /. .~ ) = ( X /. .~ )
23		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = v -> ( u .x. [ s ] .~ ) = ( u .x. v ) )
24	23	eleq1d 2533	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = v -> ( ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) <-> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
25		sylow2b.a	. . . . . . . . . . 11 |- .+ = ( +g ` G )
26	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 17350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) = [ ( u .+ s ) ] .~ )
27		ovex 6336	. . . . . . . . . . . 12 |- ( G ~QG K ) e. _V
28	10, 27	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . 11 |- .~ e. _V
29		subgrcl 16900	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> G e. Grp )
30	1, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> G e. Grp )
31	30	3ad2ant1 1051	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> G e. Grp )
32	9	subgss 16896	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H C_ X )
33	1, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> H C_ X )
34	33	sselda 3418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> u e. X )
35	34	3adant3 1050	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> u e. X )
36		simp3 1032	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> s e. X )
37	9, 25	grpcl 16757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ u e. X /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
38	31, 35, 36, 37	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .+ s ) e. X )
39		ecelqsg 7436	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( .~ e. _V /\ ( u .+ s ) e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
40	28, 38, 39	sylancr 676	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> [ ( u .+ s ) ] .~ e. ( X /. .~ ) )
41	26, 40	eqeltrd 2549	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ u e. H /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
42	41	3expa 1231	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ s e. X ) -> ( u .x. [ s ] .~ ) e. ( X /. .~ ) )
43	22, 24, 42	ectocld 7448	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ u e. H ) /\ v e. ( X /. .~ ) ) -> ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
44	43	ralrimiva 2809	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ u e. H ) -> A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
45	44	ralrimiva 2809	. . . . 5 |- ( ph -> A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) )
46		ffnov 6419	. . . . 5 |- ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> ( .x. Fn ( H X. ( X /. .~ ) ) /\ A. u e. H A. v e. ( X /. .~ ) ( u .x. v ) e. ( X /. .~ ) ) )
47	21, 45, 46	sylanbrc 677	. . . 4 |- ( ph -> .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
48	2	subgbas 16899	. . . . . . 7 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
49	1, 48	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
50	49	xpeq1d 4862	. . . . 5 |- ( ph -> ( H X. ( X /. .~ ) ) = ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) )
51	50	feq2d 5725	. . . 4 |- ( ph -> ( .x. : ( H X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) <-> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) ) )
52	47, 51	mpbid 215	. . 3 |- ( ph -> .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) )
53		oveq2 6316	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) )
54		id 22	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> [ s ] .~ = u )
55	53, 54	eqeq12d 2486	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ <-> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u ) )
56		oveq2 6316	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) )
57		oveq2 6316	. . . . . . . . 9 |- ( [ s ] .~ = u -> ( b .x. [ s ] .~ ) = ( b .x. u ) )
58	57	oveq2d 6324	. . . . . . . 8 |- ( [ s ] .~ = u -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) )
59	56, 58	eqeq12d 2486	. . . . . . 7 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
60	59	2ralbidv 2832	. . . . . 6 |- ( [ s ] .~ = u -> ( A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
61	55, 60	anbi12d 725	. . . . 5 |- ( [ s ] .~ = u -> ( ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) <-> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
62		simpl 464	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ph )
63	1	adantr 472	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
64		eqid 2471	. . . . . . . . . 10 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
65	64	subg0cl 16903	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) e. H )
66	63, 65	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) e. H )
67		simpr 468	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> s e. X )
68	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 17350	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( 0g ` G ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
69	62, 66, 67, 68	syl3anc 1292	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ )
70	2, 64	subg0 16901	. . . . . . . . 9 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
71	63, 70	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( 0g ` G ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) ) )
72	71	oveq1d 6323	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) )
73	9, 25, 64	grplid 16774	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
74	30, 73	sylan 479	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ s ) = s )
75	74	eceq1d 7418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> [ ( ( 0g ` G ) .+ s ) ] .~ = [ s ] .~ )
76	69, 72, 75	3eqtr3d 2513	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ )
77	63	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H e. (SubGrp ` G ) )
78	77, 29	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> G e. Grp )
79	77, 32	syl 17	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> H C_ X )
80		simprl 772	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. H )
81	79, 80	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> a e. X )
82		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. H )
83	79, 82	sseldd 3419	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> b e. X )
84	67	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> s e. X )
85	9, 25	grpass 16758	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ ( a e. X /\ b e. X /\ s e. X ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
86	78, 81, 83, 84, 85	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .+ s ) = ( a .+ ( b .+ s ) ) )
87	86	eceq1d 7418	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
88	62	adantr 472	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ph )
89	9, 25	grpcl 16757	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ s e. X ) -> ( b .+ s ) e. X )
90	78, 83, 84, 89	syl3anc 1292	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .+ s ) e. X )
91	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 17350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ a e. H /\ ( b .+ s ) e. X ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
92	88, 80, 90, 91	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) = [ ( a .+ ( b .+ s ) ) ] .~ )
93	87, 92	eqtr4d 2508	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
94	25	subgcl 16905	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( H e. (SubGrp ` G ) /\ a e. H /\ b e. H ) -> ( a .+ b ) e. H )
95	77, 80, 82, 94	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .+ b ) e. H )
96	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 17350	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( a .+ b ) e. H /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
97	88, 95, 84, 96	syl3anc 1292	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = [ ( ( a .+ b ) .+ s ) ] .~ )
98	9, 5, 1, 8, 25, 10, 16	sylow2blem1 17350	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ b e. H /\ s e. X ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
99	88, 82, 84, 98	syl3anc 1292	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( b .x. [ s ] .~ ) = [ ( b .+ s ) ] .~ )
100	99	oveq2d 6324	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) = ( a .x. [ ( b .+ s ) ] .~ ) )
101	93, 97, 100	3eqtr4d 2515	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ s e. X ) /\ ( a e. H /\ b e. H ) ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
102	101	ralrimivva 2814	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
103	63, 48	syl 17	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> H = ( Base ` ( G ↾s H ) ) )
104	2, 25	ressplusg 15317	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( H e. (SubGrp ` G ) -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
105	1, 104	syl 17	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ph -> .+ = ( +g ` ( G ↾s H ) ) )
106	105	oveqdr 6332	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( a .+ b ) = ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) )
107	106	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) )
108	107	eqeq1d 2473	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
109	103, 108	raleqbidv 2987	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
110	103, 109	raleqbidv 2987	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( A. a e. H A. b e. H ( ( a .+ b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) <-> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
111	102, 110	mpbid 215	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) )
112	76, 111	jca 541	. . . . 5 |- ( ( ph /\ s e. X ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. [ s ] .~ ) = [ s ] .~ /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. [ s ] .~ ) = ( a .x. ( b .x. [ s ] .~ ) ) ) )
113	22, 61, 112	ectocld 7448	. . . 4 |- ( ( ph /\ u e. ( X /. .~ ) ) -> ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
114	113	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) )
115	52, 114	jca 541	. 2 |- ( ph -> ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) )
116		eqid 2471	. . 3 |- ( Base ` ( G ↾s H ) ) = ( Base ` ( G ↾s H ) )
117		eqid 2471	. . 3 |- ( +g ` ( G ↾s H ) ) = ( +g ` ( G ↾s H ) )
118		eqid 2471	. . 3 |- ( 0g ` ( G ↾s H ) ) = ( 0g ` ( G ↾s H ) )
119	116, 117, 118	isga 17023	. 2 |- ( .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) <-> ( ( ( G ↾s H ) e. Grp /\ ( X /. .~ ) e. _V ) /\ ( .x. : ( ( Base ` ( G ↾s H ) ) X. ( X /. .~ ) ) --> ( X /. .~ ) /\ A. u e. ( X /. .~ ) ( ( ( 0g ` ( G ↾s H ) ) .x. u ) = u /\ A. a e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) A. b e. ( Base ` ( G ↾s H ) ) ( ( a ( +g ` ( G ↾s H ) ) b ) .x. u ) = ( a .x. ( b .x. u ) ) ) ) ) )
120	15, 115, 119	sylanbrc 677	1 |- ( ph -> .x. e. ( ( G ↾s H ) GrpAct ( X /. .~ ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 376   /\ w3a 1007   = wceq 1452   e. wcel 1904   A.wral 2756   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   |-> cmpt 4454   X. cxp 4837   ran crn 4840   Fn wfn 5584   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   Er wer 7378   [cec 7379   /.cqs 7380   Fincfn 7587   Basecbs 15199   ↾_s cress 15200   +g cplusg 15268   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747  SubGrpcsubg 16889   ~_QG cqg 16891   GrpAct cga 17021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-2 10690  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ga 17022

This theorem is referenced by:  sylow2blem3  17352