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Theorem sylow2blem1 16766
Description: Lemma for sylow2b 16769. Evaluate the group action on a left coset. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2b.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2b.xf  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2b.h  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.k  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
sylow2b.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow2b.r  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
sylow2b.m  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
sylow2blem1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
Distinct variable groups:    x, y,
z, G    x, K, y, z    x,  .x. , y,
z    x,  .+ , y, z   
x,  .~ , y, z    ph, z    x, B, y, z    x, C, y, z    x, H, y, z    x, X, y, z
Allowed substitution hints:    ph( x, y)

Proof of Theorem sylow2blem1
StepHypRef Expression
1 simp2 997 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  B  e.  H )
2 sylow2b.r . . . . 5  |-  .~  =  ( G ~QG  K )
3 ovex 6324 . . . . 5  |-  ( G ~QG  K )  e.  _V
42, 3eqeltri 2541 . . . 4  |-  .~  e.  _V
5 simp3 998 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  C  e.  X )
6 ecelqsg 7384 . . . 4  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  C  e.  X )  ->  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
74, 5, 6sylancr 663 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
8 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  y  =  [ C ]  .~  )
9 simpl 457 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  x  =  B )
109oveq1d 6311 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  (
x  .+  z )  =  ( B  .+  z ) )
118, 10mpteq12dv 4535 . . . . 5  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
1211rneqd 5240 . . . 4  |-  ( ( x  =  B  /\  y  =  [ C ]  .~  )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) )
13 sylow2b.m . . . 4  |-  .x.  =  ( x  e.  H ,  y  e.  ( X /.  .~  )  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
14 ecexg 7333 . . . . . . 7  |-  (  .~  e.  _V  ->  [ C ]  .~  e.  _V )
154, 14ax-mp 5 . . . . . 6  |-  [ C ]  .~  e.  _V
1615mptex 6144 . . . . 5  |-  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  e. 
_V
1716rnex 6733 . . . 4  |-  ran  (
z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  e. 
_V
1812, 13, 17ovmpt2a 6432 . . 3  |-  ( ( B  e.  H  /\  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
191, 7, 18syl2anc 661 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
20 sylow2b.xf . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
21 sylow2b.k . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
22 sylow2b.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
2322, 2eqger 16377 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  .~  Er  X
)
2421, 23syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  .~  Er  X )
2524ecss 7371 . . . . 5  |-  ( ph  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  C_  X )
26 ssfi 7759 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  [ ( B  .+  C
) ]  .~  C_  X
)  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin )
2720, 25, 26syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin )
28273ad2ant1 1017 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin )
29 vex 3112 . . . . . . . 8  |-  z  e. 
_V
30 elecg 7368 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  _V  /\  C  e.  X )  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  <->  C  .~  z ) )
3129, 5, 30sylancr 663 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  <->  C  .~  z ) )
3231biimpa 484 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  z  e.  [ C ]  .~  )  ->  C  .~  z
)
33 sylow2b.h . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  e.  (SubGrp `  G ) )
34 subgrcl 16332 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  G  e.  Grp )
3533, 34syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
36353ad2ant1 1017 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  G  e.  Grp )
3722subgss 16328 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( H  e.  (SubGrp `  G
)  ->  H  C_  X
)
3833, 37syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  H  C_  X )
39383ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  H  C_  X
)
4039, 1sseldd 3500 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  B  e.  X )
41 sylow2b.a . . . . . . . . . . 11  |-  .+  =  ( +g  `  G )
4222, 41grpcl 16189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( B  .+  C
)  e.  X )
4336, 40, 5, 42syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .+  C )  e.  X
)
4443adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  C )  e.  X )
4536adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  G  e.  Grp )
4640adantr 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  B  e.  X )
4722subgss 16328 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  (SubGrp `  G
)  ->  K  C_  X
)
4821, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  K  C_  X )
49 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( invg `  G )  =  ( invg `  G )
5022, 49, 41, 2eqgval 16376 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( C  .~  z  <->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 C )  .+  z )  e.  K
) ) )
5135, 48, 50syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( C  .~  z  <->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 C )  .+  z )  e.  K
) ) )
52513ad2ant1 1017 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( C  .~  z  <->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  C
)  .+  z )  e.  K ) ) )
5352biimpa 484 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( C  e.  X  /\  z  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 C )  .+  z )  e.  K
) )
5453simp2d 1009 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  z  e.  X )
5522, 41grpcl 16189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  z  e.  X )  ->  ( B  .+  z
)  e.  X )
5645, 46, 54, 55syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  z )  e.  X )
5722, 49grpinvcl 16221 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( B  .+  C )  e.  X )  -> 
( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) )  e.  X )
5836, 43, 57syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  e.  X )
5958adantr 465 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) )  e.  X )
6022, 41grpass 16190 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  e.  X  /\  B  e.  X  /\  z  e.  X ) )  -> 
( ( ( ( invg `  G
) `  ( B  .+  C ) )  .+  B )  .+  z
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) ) )
6145, 59, 46, 54, 60syl13anc 1230 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  .+  B )  .+  z
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) ) )
6222, 41, 49grpinvadd 16242 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X  /\  C  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) )  =  ( ( ( invg `  G
) `  C )  .+  ( ( invg `  G ) `  B
) ) )
6336, 40, 5, 62syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 C )  .+  ( ( invg `  G ) `  B
) ) )
6422, 49grpinvcl 16221 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  C  e.  X )  ->  ( ( invg `  G ) `  C
)  e.  X )
6536, 5, 64syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 C )  e.  X )
66 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( -g `  G )  =  (
-g `  G )
6722, 41, 49, 66grpsubval 16219 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( invg `  G ) `  C
)  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( invg `  G ) `
 C ) (
-g `  G ) B )  =  ( ( ( invg `  G ) `  C
)  .+  ( ( invg `  G ) `
 B ) ) )
6865, 40, 67syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  C
) ( -g `  G
) B )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 C )  .+  ( ( invg `  G ) `  B
) ) )
6963, 68eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( invg `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 C ) (
-g `  G ) B ) )
7069oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  B )  =  ( ( ( ( invg `  G
) `  C )
( -g `  G ) B )  .+  B
) )
7122, 41, 66grpnpcan 16256 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( ( invg `  G ) `  C
)  e.  X  /\  B  e.  X )  ->  ( ( ( ( invg `  G
) `  C )
( -g `  G ) B )  .+  B
)  =  ( ( invg `  G
) `  C )
)
7236, 65, 40, 71syl3anc 1228 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  C
) ( -g `  G
) B )  .+  B )  =  ( ( invg `  G ) `  C
) )
7370, 72eqtrd 2498 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  B )  =  ( ( invg `  G ) `  C
) )
7473oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  B )  .+  z )  =  ( ( ( invg `  G ) `  C
)  .+  z )
)
7574adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( ( invg `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  .+  B )  .+  z
)  =  ( ( ( invg `  G ) `  C
)  .+  z )
)
7661, 75eqtr3d 2500 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  =  ( ( ( invg `  G ) `
 C )  .+  z ) )
7753simp3d 1010 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( invg `  G ) `  C
)  .+  z )  e.  K )
7876, 77eqeltrd 2545 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K )
7922, 49, 41, 2eqgval 16376 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  K  C_  X )  -> 
( ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z )  <->  ( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B 
.+  z )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
8035, 48, 79syl2anc 661 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z )  <->  ( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B 
.+  z )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
81803ad2ant1 1017 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z )  <-> 
( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B  .+  z
)  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `
 ( B  .+  C ) )  .+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
8281adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  (
( B  .+  C
)  .~  ( B  .+  z )  <->  ( ( B  .+  C )  e.  X  /\  ( B 
.+  z )  e.  X  /\  ( ( ( invg `  G ) `  ( B  .+  C ) ) 
.+  ( B  .+  z ) )  e.  K ) ) )
8344, 56, 78, 82mpbir3and 1179 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z ) )
84 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( B 
.+  z )  e. 
_V
85 ovex 6324 . . . . . . . 8  |-  ( B 
.+  C )  e. 
_V
8684, 85elec 7369 . . . . . . 7  |-  ( ( B  .+  z )  e.  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  <->  ( B  .+  C )  .~  ( B  .+  z ) )
8783, 86sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  C  .~  z )  ->  ( B  .+  z )  e. 
[ ( B  .+  C ) ]  .~  )
8832, 87syldan 470 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X )  /\  z  e.  [ C ]  .~  )  ->  ( B  .+  z )  e.  [
( B  .+  C
) ]  .~  )
89 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  =  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )
9088, 89fmptd 6056 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  --> [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )
91 frn 5743 . . . 4  |-  ( ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  --> [ ( B  .+  C ) ]  .~  ->  ran  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  C_  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
9290, 91syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  C_  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
93 eqid 2457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )
9422, 41, 93grplmulf1o 16238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  B  e.  X )  ->  ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
9536, 40, 94syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) ) : X -1-1-onto-> X )
96 f1of1 5821 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) ) : X -1-1-onto-> X  -> 
( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
9795, 96syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) ) : X -1-1-> X )
9824ecss 7371 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  [ C ]  .~  C_  X )
99983ad2ant1 1017 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  C_  X )
100 f1ssres 5794 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) ) : X -1-1-> X  /\  [ C ]  .~  C_  X )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~  -1-1-> X )
10197, 99, 100syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~  -1-1-> X )
102 resmpt 5333 . . . . . . . 8  |-  ( [ C ]  .~  C_  X  ->  ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z ) )  |`  [ C ]  .~  )  =  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
103 f1eq1 5782 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) )  |`  [ C ]  .~  )  =  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  -> 
( ( ( z  e.  X  |->  ( B 
.+  z ) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~ 
-1-1-> X  <->  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X ) )
10499, 102, 1033syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( (
( z  e.  X  |->  ( B  .+  z
) )  |`  [ C ]  .~  ) : [ C ]  .~  -1-1-> X  <->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X ) )
105101, 104mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X )
106 f1f1orn 5833 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-> X  ->  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~ 
-1-1-onto-> ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) )
107105, 106syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~ 
-1-1-onto-> ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) )
10815f1oen 7555 . . . . 5  |-  ( ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) : [ C ]  .~  -1-1-onto-> ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )  ->  [ C ]  .~  ~~  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) ) )
109 ensym 7583 . . . . 5  |-  ( [ C ]  .~  ~~  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ C ]  .~  )
110107, 108, 1093syl 20 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ C ]  .~  )
111213ad2ant1 1017 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  K  e.  (SubGrp `  G ) )
11222, 2eqgen 16380 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  [ C ]  .~  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  K  ~~  [ C ]  .~  )
113111, 7, 112syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  K  ~~  [ C ]  .~  )
114 ensym 7583 . . . . . 6  |-  ( K 
~~  [ C ]  .~  ->  [ C ]  .~  ~~  K )
115113, 114syl 16 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  ~~  K )
116 ecelqsg 7384 . . . . . . 7  |-  ( (  .~  e.  _V  /\  ( B  .+  C )  e.  X )  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
1174, 43, 116sylancr 663 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  ( X /.  .~  ) )
11822, 2eqgen 16380 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  (SubGrp `  G )  /\  [
( B  .+  C
) ]  .~  e.  ( X /.  .~  )
)  ->  K  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
119111, 117, 118syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  K  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
120 entr 7586 . . . . 5  |-  ( ( [ C ]  .~  ~~  K  /\  K  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )  ->  [ C ]  .~  ~~ 
[ ( B  .+  C ) ]  .~  )
121115, 119, 120syl2anc 661 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  [ C ]  .~  ~~  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
122 entr 7586 . . . 4  |-  ( ( ran  ( z  e. 
[ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ C ]  .~  /\  [ C ]  .~  ~~  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) 
~~  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )
123110, 121, 122syl2anc 661 . . 3  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  ~~  [ ( B  .+  C
) ]  .~  )
124 fisseneq 7750 . . 3  |-  ( ( [ ( B  .+  C ) ]  .~  e.  Fin  /\  ran  (
z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  C_  [ ( B  .+  C
) ]  .~  /\  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) ) 
~~  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B 
.+  z ) )  =  [ ( B 
.+  C ) ]  .~  )
12528, 92, 123, 124syl3anc 1228 . 2  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ran  ( z  e.  [ C ]  .~  |->  ( B  .+  z ) )  =  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
12619, 125eqtrd 2498 1  |-  ( (
ph  /\  B  e.  H  /\  C  e.  X
)  ->  ( B  .x.  [ C ]  .~  )  =  [ ( B  .+  C ) ]  .~  )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    /\ w3a 973    = wceq 1395    e. wcel 1819   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    Er wer 7326   [cec 7327   /.cqs 7328    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   Grpcgrp 16179   invgcminusg 16180   -gcsg 16181  SubGrpcsubg 16321   ~QG cqg 16323
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-2 10615  df-ndx 14646  df-slot 14647  df-base 14648  df-sets 14649  df-ress 14650  df-plusg 14724  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-sbg 16185  df-subg 16324  df-eqg 16326
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