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Theorem sylow2alem2 16765
Description: Lemma for sylow2a 16766. All the orbits which are not for fixed points have size  |  G  |  /  |  G x  | (where  G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of  P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide  P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2alem2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Distinct variable groups:    z, h,  .~    g, h, u, x, y    g, G, x, y    z, P    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y   
z, Z    ph, h, z   
z, g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .(+) (
z)    .~ ( x, y, u, g)    G( z, u, h)    X( z)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2
Dummy variables  k  n  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
2 pwfi 7833 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
4 sylow2a.m . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5 sylow2a.r . . . . . . 7  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
6 sylow2a.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
75, 6gaorber 16473 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
98qsss 7390 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
10 ssfi 7759 . . . 4  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
12 diffi 7770 . . 3  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
14 sylow2a.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
15 gagrp 16457 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
164, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
17 sylow2a.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
186pgpfi 16752 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
2014, 19mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
2120simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
22 prmz 14233 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
24 eldifi 3622 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
269sselda 3499 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
2726elpwid 4025 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
28 ssfi 7759 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
3024, 29sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  z  e.  Fin )
31 hashcl 12431 . . . 4  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3332nn0zd 10988 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  ZZ )
34 eldif 3481 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )
35 eqid 2457 . . . . 5  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
36 sseq1 3520 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
37 selpw 4022 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
3836, 37syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
3938notbid 294 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( -.  [
w ]  .~  C_  Z  <->  -.  z  e.  ~P Z
) )
40 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( # `  z
) )
4140breq2d 4468 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  <->  P  ||  ( # `
 z ) ) )
4239, 41imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( -. 
[ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) ) )
4321adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  Prime )
448adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
4644, 45erref 7349 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
47 vex 3112 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
4847, 47elec 7369 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
4946, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
50 ne0i 3799 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  [ w ]  .~  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
528ecss 7371 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  C_  Y )
53 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  [ w ]  .~  C_  Y
)  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
541, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
56 hashnncl 12439 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( ( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
5851, 57mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )
59 pceq0 14406 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [
w ]  .~  )
) )
6043, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  ) ) )
61 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 ) )
62 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6354, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6463nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ )
65 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X
66 ssfi 7759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X )  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
6717, 65, 66sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
68 hashcl 12431 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
7069nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  ZZ )
71 dvdsmul1 14017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ  /\  ( # `  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7264, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
744adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
7517adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  X  e.  Fin )
76 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  =  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }
77 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G ~QG  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  =  ( G ~QG  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w } )
786, 76, 77, 5orbsta2 16479 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  w  e.  Y )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
7974, 45, 75, 78syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
8073, 79breqtrrd 4482 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( # `  X ) )
8120simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
83 breq2 4460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  X )  =  ( P ^
n )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) ) )
8483biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  -> 
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8584reximdv 2931 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8680, 82, 85sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) )
87 pcprmpw2 14417 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
)  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
8843, 58, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
8986, 88mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) ) )
9089eqcomd 2465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) )  =  ( # `  [
w ]  .~  )
)
9123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  ZZ )
9291zcnd 10991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  CC )
9392exp0d 12307 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  1 )
94 hash1 12473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
9593, 94syl6eqr 2516 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  ( # `  1o ) )
9690, 95eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <-> 
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )
) )
97 df1o2 7160 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =  { (/) }
98 snfi 7615 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) }  e.  Fin
9997, 98eqeltri 2541 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  Fin
100 hashen 12423 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ w ]  .~  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( (
# `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10155, 99, 100sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10296, 101bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
103 en1b 7602 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  ~~  1o 
<->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
104102, 103syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )
10545adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  Y )
1064ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1076gaf 16460 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
109 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  h  e.  X )
110108, 109, 105fovrnd 6446 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  Y )
111 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h 
.(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
112 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  h  ->  (
k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
113112eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  h  ->  (
( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )  <->  ( h  .(+)  w )  =  ( h 
.(+)  w ) ) )
114113rspcev 3210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h  e.  X  /\  ( h  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
)
115109, 111, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
1165gaorb 16472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  .~  ( h  .(+)  w )  <->  ( w  e.  Y  /\  ( h 
.(+)  w )  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) ) )
117105, 110, 115, 116syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
118 ovex 6324 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h 
.(+)  w )  e.  _V
119118, 47elec 7369 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  <->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
120117, 119sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  )
121 simprr 757 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
122120, 121eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
123118elsnc 4056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  { U. [ w ]  .~  }  <->  ( h  .(+) 
w )  =  U. [ w ]  .~  )
124122, 123sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  U. [ w ]  .~  )
12549adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
126125, 121eleqtrd 2547 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
12747elsnc 4056 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { U. [
w ]  .~  }  <->  w  =  U. [ w ]  .~  )
128126, 127sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  =  U. [ w ]  .~  )
129124, 128eqtr4d 2501 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  w )
130129expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  h  e.  X )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  (
h  .(+)  w )  =  w ) )
131130ralrimdva 2875 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
132104, 131sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13361, 132syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13460, 133sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
135 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( h  .(+)  w ) )
136 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  u  =  w )
137135, 136eqeq12d 2479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  w  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
138137ralbidv 2896 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  ( A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
139 sylow2a.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
140138, 139elrab2 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  Z  <->  ( w  e.  Y  /\  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
141140baib 903 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Y  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
142141adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
143134, 142sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  w  e.  Z
) )
1446, 4, 14, 17, 1, 139, 5sylow2alem1 16764 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
145 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
146145snssd 4177 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  C_  Z )
147144, 146eqsstrd 3533 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  C_  Z )
148147ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
149148adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
150143, 149syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
151150con1d 124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  [ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) )
15235, 42, 151ectocld 7396 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) )
153152impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )  ->  P  ||  ( # `
 z ) )
15434, 153sylan2b 475 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  P  ||  ( # `  z
) )
15513, 23, 33, 154fsumdvds 14041 1  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819    =/= wne 2652   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811    \ cdif 3468    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {csn 4032   {cpr 4034   U.cuni 4251   class class class wbr 4456   {copab 4514    X. cxp 5006   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   1oc1o 7141    Er wer 7326   [cec 7327   /.cqs 7328    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   0cc0 9509   1c1 9510    x. cmul 9514   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ZZcz 10885   ^cexp 12169   #chash 12408   sum_csu 13520    || cdvds 13998   Primecprime 14229    pCnt cpc 14372   Basecbs 14644   Grpcgrp 16180   ~QG cqg 16324    GrpAct cga 16454   pGrp cpgp 16678
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-omul 7153  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-acn 8340  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11822  df-fl 11932  df-mod 12000  df-seq 12111  df-exp 12170  df-fac 12357  df-bc 12384  df-hash 12409  df-cj 12944  df-re 12945  df-im 12946  df-sqrt 13080  df-abs 13081  df-clim 13323  df-sum 13521  df-dvds 13999  df-gcd 14157  df-prm 14230  df-pc 14373  df-ndx 14647  df-slot 14648  df-base 14649  df-sets 14650  df-ress 14651  df-plusg 14725  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-submnd 16094  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-sbg 16186  df-mulg 16187  df-subg 16325  df-eqg 16327  df-ga 16455  df-od 16680  df-pgp 16682
This theorem is referenced by:  sylow2a  16766
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