Theorem sylow2alem2 15207

Description: Lemma for sylow2a 15208. All the orbits which are not for fixed points have size | G | / | G x | (where G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2a.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2a.m	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
sylow2a.p	|- ( ph -> P pGrp G )
sylow2a.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2a.y	|- ( ph -> Y e. Fin )
sylow2a.z	|- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
sylow2a.r	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow2alem2	|- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Distinct variable groups:   z, h, .~   g, h, u, x, y   g, G, x, y   z, P   .(+) , g, h, u, x, y   g, X, h, u, x, y   z, Z   ph, h, z   z, g, Y, h, u, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, u, g)   P( x, y, u, g, h)   .(+) ( z)   .~ ( x, y, u, g)   G( z, u, h)   X( z)   Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2

Dummy variables k n w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2a.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. Fin )
2		pwfi 7360	. . . . 5 |- ( Y e. Fin <-> ~P Y e. Fin )
3	1, 2	sylib 189	. . . 4 |- ( ph -> ~P Y e. Fin )
4		sylow2a.m	. . . . . 6 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
5		sylow2a.r	. . . . . . 7 |- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
6		sylow2a.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
7	5, 6	gaorber 15040	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .~ Er Y )
8	4, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er Y )
9	8	qsss 6924	. . . 4 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) C_ ~P Y )
10		ssfi 7288	. . . 4 |- ( ( ~P Y e. Fin /\ ( Y /. .~ ) C_ ~P Y ) -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
11	3, 9, 10	syl2anc 643	. . 3 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
12		diffi 7298	. . 3 |- ( ( Y /. .~ ) e. Fin -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
13	11, 12	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
14		sylow2a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P pGrp G )
15		gagrp 15024	. . . . . . 7 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
16	4, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
17		sylow2a.f	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
18	6	pgpfi 15194	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin ) -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 202	. . . 4 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) )
21	20	simpld 446	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
22		prmz 13038	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
23	21, 22	syl 16	. 2 |- ( ph -> P e. ZZ )
24		eldifi 3429	. . . . 5 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) -> z e. ( Y /. .~ ) )
25	1	adantr 452	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> Y e. Fin )
26	9	sselda 3308	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. ~P Y )
27	26	elpwid 3768	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z C_ Y )
28		ssfi 7288	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Fin /\ z C_ Y ) -> z e. Fin )
29	25, 27, 28	syl2anc 643	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. Fin )
30	24, 29	sylan2 461	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> z e. Fin )
31		hashcl 11594	. . . 4 |- ( z e. Fin -> ( # ` z ) e. NN0 )
32	30, 31	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 10329	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. ZZ )
34		eldif 3290	. . 3 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) <-> ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) )
35		eqid 2404	. . . . 5 |- ( Y /. .~ ) = ( Y /. .~ )
36		sseq1 3329	. . . . . . . 8 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z C_ Z ) )
37		vex 2919	. . . . . . . . 9 |- z e. _V
38	37	elpw 3765	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~P Z <-> z C_ Z )
39	36, 38	syl6bbr 255	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z e. ~P Z ) )
40	39	notbid 286	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( -. [ w ] .~ C_ Z <-> -. z e. ~P Z ) )
41		fveq2 5687	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` z ) )
42	41	breq2d 4184	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( P || ( # ` [ w ] .~ ) <-> P || ( # ` z ) ) )
43	40, 42	imbi12d 312	. . . . 5 |- ( [ w ] .~ = z -> ( ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) <-> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) ) )
44	21	adantr 452	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. Prime )
45	8	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .~ Er Y )
46		simpr 448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. Y )
47	45, 46	erref 6884	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w .~ w )
48		vex 2919	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
49	48, 48	elec 6903	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. [ w ] .~ <-> w .~ w )
50	47, 49	sylibr 204	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. [ w ] .~ )
51		ne0i 3594	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. [ w ] .~ -> [ w ] .~ =/= (/) )
52	50, 51	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ =/= (/) )
53	8	ecss 6905	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> [ w ] .~ C_ Y )
54		ssfi 7288	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. Fin /\ [ w ] .~ C_ Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
55	1, 53, 54	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> [ w ] .~ e. Fin )
56	55	adantr 452	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
57		hashnncl 11600	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
58	56, 57	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
59	52, 58	mpbird 224	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN )
60		pceq0 13199	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
61	44, 59, 60	syl2anc 643	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
62		oveq2 6048	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) )
63		hashcl 11594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
64	55, 63	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
65	64	nn0zd 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ )
66		ssrab2 3388	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X
67		ssfi 7288	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( X e. Fin /\ { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X ) -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
68	17, 66, 67	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
69		hashcl 11594	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
70	68, 69	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
71	70	nn0zd 10329	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ )
72		dvdsmul1 12826	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ /\ ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
73	65, 71, 72	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
74	73	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
75	4	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
76	17	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> X e. Fin )
77		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } = { v e. X | ( v .(+) w ) = w }
78		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) = ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } )
79	6, 77, 78, 5	orbsta2 15046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ w e. Y ) /\ X e. Fin ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
80	75, 46, 76, 79	syl21anc 1183	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
81	74, 80	breqtrrd 4198	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) )
82	20	simprd 450	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
83	82	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
84		breq2 4176	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
85	84	biimpcd 216	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
86	85	reximdv 2777	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
87	81, 83, 86	sylc 58	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) )
88		pcprmpw2 13210	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
89	44, 59, 88	syl2anc 643	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
90	87, 89	mpbid 202	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) )
91	90	eqcomd 2409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( # ` [ w ] .~ ) )
92	23	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. ZZ )
93	92	zcnd 10332	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. CC )
94	93	exp0d 11472	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
95		hash1 11628	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( # ` 1o ) = 1
96	94, 95	syl6eqr 2454	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = ( # ` 1o ) )
97	91, 96	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) ) )
98		df1o2 6695	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o = { (/) }
99		snfi 7146	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } e. Fin
100	98, 99	eqeltri 2474	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. Fin
101		hashen 11586	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [ w ] .~ e. Fin /\ 1o e. Fin ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
102	56, 100, 101	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
103	97, 102	bitrd 245	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
104		en1b 7134	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ ~~ 1o <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
105	103, 104	syl6bb 253	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) )
106	46	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. Y )
107	4	ad2antrr 707	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
108	6	gaf 15027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
109	107, 108	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
110		simprl 733	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> h e. X )
111	109, 110, 106	fovrnd 6177	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. Y )
112		eqid 2404	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h .(+) w ) = ( h .(+) w )
113		oveq1 6047	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = h -> ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
114	113	eqeq1d 2412	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = h -> ( ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) <-> ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
115	114	rspcev 3012	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h e. X /\ ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
116	110, 112, 115	sylancl 644	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
117	5	gaorb 15039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w .~ ( h .(+) w ) <-> ( w e. Y /\ ( h .(+) w ) e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
118	106, 111, 116, 117	syl3anbrc 1138	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w .~ ( h .(+) w ) )
119		ovex 6065	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h .(+) w ) e. _V
120	119, 48	elec 6903	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ <-> w .~ ( h .(+) w ) )
121	118, 120	sylibr 204	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ )
122		simprr 734	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
123	121, 122	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } )
124	119	elsnc 3797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } <-> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
125	123, 124	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
126	50	adantr 452	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. [ w ] .~ )
127	126, 122	eleqtrd 2480	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. { U. [ w ] .~ } )
128	48	elsnc 3797	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { U. [ w ] .~ } <-> w = U. [ w ] .~ )
129	127, 128	sylib 189	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w = U. [ w ] .~ )
130	125, 129	eqtr4d 2439	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = w )
131	130	expr 599	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ h e. X ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> ( h .(+) w ) = w ) )
132	131	ralrimdva 2756	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
133	105, 132	sylbid 207	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
134	62, 133	syl5 30	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
135	61, 134	sylbird 227	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
136		oveq2 6048	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( h .(+) u ) = ( h .(+) w ) )
137		id 20	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> u = w )
138	136, 137	eqeq12d 2418	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = w -> ( ( h .(+) u ) = u <-> ( h .(+) w ) = w ) )
139	138	ralbidv 2686	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = w -> ( A. h e. X ( h .(+) u ) = u <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
140		sylow2a.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
141	139, 140	elrab2 3054	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Z <-> ( w e. Y /\ A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
142	141	baib 872	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Y -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
143	142	adantl 453	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
144	135, 143	sylibrd 226	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> w e. Z ) )
145	6, 4, 14, 17, 1, 140, 5	sylow2alem1 15206	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ = { w } )
146		simpr 448	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. Z )
147	146	snssd 3903	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { w } C_ Z )
148	145, 147	eqsstrd 3342	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ C_ Z )
149	148	ex 424	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
150	149	adantr 452	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
151	144, 150	syld 42	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> [ w ] .~ C_ Z ) )
152	151	con1d 118	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
153	35, 43, 152	ectocld 6930	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) )
154	153	impr 603	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
155	34, 154	sylan2b 462	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
156	13, 23, 33, 155	fsumdvds 12848	1 |- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 177   /\ wa 359   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2567   A.wral 2666   E.wrex 2667   {crab 2670   \ cdif 3277   C_ wss 3280   (/)c0 3588   ~Pcpw 3759   {csn 3774   {cpr 3775   U.cuni 3975   class class class wbr 4172   {copab 4225   X. cxp 4835   -->wf 5409   ` cfv 5413  (class class class)co 6040   1oc1o 6676   Er wer 6861   [cec 6862   /.cqs 6863   ~~ cen 7065   Fincfn 7068   0cc0 8946   1c1 8947   x. cmul 8951   NNcn 9956   NN0cn0 10177   ZZcz 10238   ^cexp 11337   #chash 11573   sum_csu 12434   || cdivides 12807   Primecprime 13034   pCnt cpc 13165   Basecbs 13424   Grpcgrp 14640   ~_QG cqg 14895   GrpAct cga 15021   pGrp cpgp 15120

This theorem is referenced by:  sylow2a  15208

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-eqg 14898  df-ga 15022  df-od 15122  df-pgp 15124