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Theorem sylow2alem2 16132
Description: Lemma for sylow2a 16133. All the orbits which are not for fixed points have size  |  G  |  /  |  G x  | (where  G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of  P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide  P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2alem2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Distinct variable groups:    z, h,  .~    g, h, u, x, y    g, G, x, y    z, P    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y   
z, Z    ph, h, z   
z, g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .(+) (
z)    .~ ( x, y, u, g)    G( z, u, h)    X( z)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2
Dummy variables  k  n  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
2 pwfi 7621 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
4 sylow2a.m . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5 sylow2a.r . . . . . . 7  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
6 sylow2a.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
75, 6gaorber 15841 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
98qsss 7176 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
10 ssfi 7548 . . . 4  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
12 diffi 7558 . . 3  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
14 sylow2a.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
15 gagrp 15825 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
164, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
17 sylow2a.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
186pgpfi 16119 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
2014, 19mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
2120simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
22 prmz 13782 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
24 eldifi 3493 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
269sselda 3371 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
2726elpwid 3885 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
28 ssfi 7548 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
3024, 29sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  z  e.  Fin )
31 hashcl 12141 . . . 4  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3332nn0zd 10760 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  ZZ )
34 eldif 3353 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )
35 eqid 2443 . . . . 5  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
36 sseq1 3392 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
37 selpw 3882 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
3836, 37syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
3938notbid 294 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( -.  [
w ]  .~  C_  Z  <->  -.  z  e.  ~P Z
) )
40 fveq2 5706 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( # `  z
) )
4140breq2d 4319 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  <->  P  ||  ( # `
 z ) ) )
4239, 41imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( -. 
[ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) ) )
4321adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  Prime )
448adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
4644, 45erref 7136 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
47 vex 2990 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
4847, 47elec 7155 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
4946, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
50 ne0i 3658 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  [ w ]  .~  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
528ecss 7157 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  C_  Y )
53 ssfi 7548 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  [ w ]  .~  C_  Y
)  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
541, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
56 hashnncl 12149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( ( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
5851, 57mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )
59 pceq0 13952 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [
w ]  .~  )
) )
6043, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  ) ) )
61 oveq2 6114 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 ) )
62 hashcl 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6354, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6463nn0zd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ )
65 ssrab2 3452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X
66 ssfi 7548 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X )  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
6717, 65, 66sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
68 hashcl 12141 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
7069nn0zd 10760 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  ZZ )
71 dvdsmul1 13569 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ  /\  ( # `  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7264, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
744adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
7517adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  X  e.  Fin )
76 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  =  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }
77 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G ~QG  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  =  ( G ~QG  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w } )
786, 76, 77, 5orbsta2 15847 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  w  e.  Y )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
7974, 45, 75, 78syl21anc 1217 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
8073, 79breqtrrd 4333 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( # `  X ) )
8120simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
83 breq2 4311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  X )  =  ( P ^
n )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) ) )
8483biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  -> 
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8584reximdv 2842 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8680, 82, 85sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) )
87 pcprmpw2 13963 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
)  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
8843, 58, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
8986, 88mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) ) )
9089eqcomd 2448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) )  =  ( # `  [
w ]  .~  )
)
9123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  ZZ )
9291zcnd 10763 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  CC )
9392exp0d 12017 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  1 )
94 hash1 12177 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
9593, 94syl6eqr 2493 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  ( # `  1o ) )
9690, 95eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <-> 
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )
) )
97 df1o2 6947 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =  { (/) }
98 snfi 7405 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) }  e.  Fin
9997, 98eqeltri 2513 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  Fin
100 hashen 12133 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ w ]  .~  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( (
# `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10155, 99, 100sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10296, 101bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
103 en1b 7392 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  ~~  1o 
<->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
104102, 103syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )
10545adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  Y )
1064ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1076gaf 15828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
109 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  h  e.  X )
110108, 109, 105fovrnd 6250 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  Y )
111 eqid 2443 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h 
.(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
112 oveq1 6113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  h  ->  (
k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
113112eqeq1d 2451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  h  ->  (
( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )  <->  ( h  .(+)  w )  =  ( h 
.(+)  w ) ) )
114113rspcev 3088 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h  e.  X  /\  ( h  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
)
115109, 111, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
1165gaorb 15840 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  .~  ( h  .(+)  w )  <->  ( w  e.  Y  /\  ( h 
.(+)  w )  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) ) )
117105, 110, 115, 116syl3anbrc 1172 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
118 ovex 6131 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h 
.(+)  w )  e.  _V
119118, 47elec 7155 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  <->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
120117, 119sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  )
121 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
122120, 121eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
123118elsnc 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  { U. [ w ]  .~  }  <->  ( h  .(+) 
w )  =  U. [ w ]  .~  )
124122, 123sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  U. [ w ]  .~  )
12549adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
126125, 121eleqtrd 2519 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
12747elsnc 3916 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { U. [
w ]  .~  }  <->  w  =  U. [ w ]  .~  )
128126, 127sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  =  U. [ w ]  .~  )
129124, 128eqtr4d 2478 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  w )
130129expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  h  e.  X )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  (
h  .(+)  w )  =  w ) )
131130ralrimdva 2821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
132104, 131sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13361, 132syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13460, 133sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
135 oveq2 6114 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( h  .(+)  w ) )
136 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  u  =  w )
137135, 136eqeq12d 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  w  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
138137ralbidv 2750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  ( A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
139 sylow2a.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
140138, 139elrab2 3134 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  Z  <->  ( w  e.  Y  /\  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
141140baib 896 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Y  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
142141adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
143134, 142sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  w  e.  Z
) )
1446, 4, 14, 17, 1, 139, 5sylow2alem1 16131 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
145 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
146145snssd 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  C_  Z )
147144, 146eqsstrd 3405 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  C_  Z )
148147ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
149148adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
150143, 149syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
151150con1d 124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  [ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) )
15235, 42, 151ectocld 7182 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) )
153152impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )  ->  P  ||  ( # `
 z ) )
15434, 153sylan2b 475 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  P  ||  ( # `  z
) )
15513, 23, 33, 154fsumdvds 13591 1  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756    =/= wne 2620   A.wral 2730   E.wrex 2731   {crab 2734    \ cdif 3340    C_ wss 3343   (/)c0 3652   ~Pcpw 3875   {csn 3892   {cpr 3894   U.cuni 4106   class class class wbr 4307   {copab 4364    X. cxp 4853   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   1oc1o 6928    Er wer 7113   [cec 7114   /.cqs 7115    ~~ cen 7322   Fincfn 7325   0cc0 9297   1c1 9298    x. cmul 9302   NNcn 10337   NN0cn0 10594   ZZcz 10661   ^cexp 11880   #chash 12118   sum_csu 13178    || cdivides 13550   Primecprime 13778    pCnt cpc 13918   Basecbs 14189   Grpcgrp 15425   ~QG cqg 15692    GrpAct cga 15822   pGrp cpgp 16045
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-omul 6940  df-er 7116  df-ec 7118  df-qs 7122  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-acn 8127  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-prm 13779  df-pc 13919  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-eqg 15695  df-ga 15823  df-od 16047  df-pgp 16049
This theorem is referenced by:  sylow2a  16133
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