Theorem sylow2alem2 17348

Description: Lemma for sylow2a 17349. All the orbits which are not for fixed points have size | G | / | G x | (where G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2a.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2a.m	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
sylow2a.p	|- ( ph -> P pGrp G )
sylow2a.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2a.y	|- ( ph -> Y e. Fin )
sylow2a.z	|- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
sylow2a.r	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow2alem2	|- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Distinct variable groups:   z, h, .~   g, h, u, x, y   g, G, x, y   z, P   .(+) , g, h, u, x, y   g, X, h, u, x, y   z, Z   ph, h, z   z, g, Y, h, u, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, u, g)   P( x, y, u, g, h)   .(+) ( z)   .~ ( x, y, u, g)   G( z, u, h)   X( z)   Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2

Dummy variables k n w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2a.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. Fin )
2		pwfi 7887	. . . . 5 |- ( Y e. Fin <-> ~P Y e. Fin )
3	1, 2	sylib 201	. . . 4 |- ( ph -> ~P Y e. Fin )
4		sylow2a.m	. . . . . 6 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
5		sylow2a.r	. . . . . . 7 |- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
6		sylow2a.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
7	5, 6	gaorber 17040	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .~ Er Y )
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er Y )
9	8	qsss 7442	. . . 4 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) C_ ~P Y )
10		ssfi 7810	. . . 4 |- ( ( ~P Y e. Fin /\ ( Y /. .~ ) C_ ~P Y ) -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
11	3, 9, 10	syl2anc 673	. . 3 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
12		diffi 7821	. . 3 |- ( ( Y /. .~ ) e. Fin -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
13	11, 12	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
14		sylow2a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P pGrp G )
15		gagrp 17024	. . . . . . 7 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
16	4, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
17		sylow2a.f	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
18	6	pgpfi 17335	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin ) -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 215	. . . 4 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) )
21	20	simpld 466	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
22		prmz 14705	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
23	21, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> P e. ZZ )
24		eldifi 3544	. . . . 5 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) -> z e. ( Y /. .~ ) )
25	1	adantr 472	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> Y e. Fin )
26	9	sselda 3418	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. ~P Y )
27	26	elpwid 3952	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z C_ Y )
28		ssfi 7810	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Fin /\ z C_ Y ) -> z e. Fin )
29	25, 27, 28	syl2anc 673	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. Fin )
30	24, 29	sylan2 482	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> z e. Fin )
31		hashcl 12576	. . . 4 |- ( z e. Fin -> ( # ` z ) e. NN0 )
32	30, 31	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 11061	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. ZZ )
34		eldif 3400	. . 3 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) <-> ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) )
35		eqid 2471	. . . . 5 |- ( Y /. .~ ) = ( Y /. .~ )
36		sseq1 3439	. . . . . . . 8 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z C_ Z ) )
37		selpw 3949	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~P Z <-> z C_ Z )
38	36, 37	syl6bbr 271	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z e. ~P Z ) )
39	38	notbid 301	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( -. [ w ] .~ C_ Z <-> -. z e. ~P Z ) )
40		fveq2 5879	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` z ) )
41	40	breq2d 4407	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( P || ( # ` [ w ] .~ ) <-> P || ( # ` z ) ) )
42	39, 41	imbi12d 327	. . . . 5 |- ( [ w ] .~ = z -> ( ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) <-> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) ) )
43	21	adantr 472	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. Prime )
44	8	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .~ Er Y )
45		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. Y )
46	44, 45	erref 7401	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w .~ w )
47		vex 3034	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
48	47, 47	elec 7421	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. [ w ] .~ <-> w .~ w )
49	46, 48	sylibr 217	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. [ w ] .~ )
50		ne0i 3728	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. [ w ] .~ -> [ w ] .~ =/= (/) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ =/= (/) )
52	8	ecss 7423	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> [ w ] .~ C_ Y )
53		ssfi 7810	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. Fin /\ [ w ] .~ C_ Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
54	1, 52, 53	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> [ w ] .~ e. Fin )
55	54	adantr 472	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
56		hashnncl 12585	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
58	51, 57	mpbird 240	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN )
59		pceq0 14899	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
60	43, 58, 59	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
61		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) )
62		hashcl 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
63	54, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
64	63	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ )
65		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X
66		ssfi 7810	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( X e. Fin /\ { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X ) -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
67	17, 65, 66	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
68		hashcl 12576	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
70	69	nn0zd 11061	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ )
71		dvdsmul1 14401	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ /\ ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
72	64, 70, 71	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
73	72	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
74	4	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
75	17	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> X e. Fin )
76		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } = { v e. X | ( v .(+) w ) = w }
77		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) = ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } )
78	6, 76, 77, 5	orbsta2 17046	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ w e. Y ) /\ X e. Fin ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
79	74, 45, 75, 78	syl21anc 1291	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
80	73, 79	breqtrrd 4422	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) )
81	20	simprd 470	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
82	81	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
83		breq2 4399	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
84	83	biimpcd 232	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
85	84	reximdv 2857	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
86	80, 82, 85	sylc 61	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) )
87		pcprmpw2 14910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
88	43, 58, 87	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 215	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) )
90	89	eqcomd 2477	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( # ` [ w ] .~ ) )
91	23	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. ZZ )
92	91	zcnd 11064	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. CC )
93	92	exp0d 12448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
94		hash1 12619	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( # ` 1o ) = 1
95	93, 94	syl6eqr 2523	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = ( # ` 1o ) )
96	90, 95	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) ) )
97		df1o2 7212	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o = { (/) }
98		snfi 7668	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } e. Fin
99	97, 98	eqeltri 2545	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. Fin
100		hashen 12568	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [ w ] .~ e. Fin /\ 1o e. Fin ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
101	55, 99, 100	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
102	96, 101	bitrd 261	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
103		en1b 7655	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ ~~ 1o <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
104	102, 103	syl6bb 269	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) )
105	45	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. Y )
106	4	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
107	6	gaf 17027	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
109		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> h e. X )
110	108, 109, 105	fovrnd 6460	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. Y )
111		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h .(+) w ) = ( h .(+) w )
112		oveq1 6315	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = h -> ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
113	112	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = h -> ( ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) <-> ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
114	113	rspcev 3136	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h e. X /\ ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
115	109, 111, 114	sylancl 675	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
116	5	gaorb 17039	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w .~ ( h .(+) w ) <-> ( w e. Y /\ ( h .(+) w ) e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
117	105, 110, 115, 116	syl3anbrc 1214	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w .~ ( h .(+) w ) )
118		ovex 6336	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h .(+) w ) e. _V
119	118, 47	elec 7421	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ <-> w .~ ( h .(+) w ) )
120	117, 119	sylibr 217	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ )
121		simprr 774	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
122	120, 121	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } )
123	118	elsnc 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } <-> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
124	122, 123	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
125	49	adantr 472	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. [ w ] .~ )
126	125, 121	eleqtrd 2551	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. { U. [ w ] .~ } )
127	47	elsnc 3984	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { U. [ w ] .~ } <-> w = U. [ w ] .~ )
128	126, 127	sylib 201	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w = U. [ w ] .~ )
129	124, 128	eqtr4d 2508	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = w )
130	129	expr 626	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ h e. X ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> ( h .(+) w ) = w ) )
131	130	ralrimdva 2812	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
132	104, 131	sylbid 223	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
133	61, 132	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
134	60, 133	sylbird 243	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
135		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( h .(+) u ) = ( h .(+) w ) )
136		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> u = w )
137	135, 136	eqeq12d 2486	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = w -> ( ( h .(+) u ) = u <-> ( h .(+) w ) = w ) )
138	137	ralbidv 2829	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = w -> ( A. h e. X ( h .(+) u ) = u <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
139		sylow2a.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
140	138, 139	elrab2 3186	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Z <-> ( w e. Y /\ A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
141	140	baib 919	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Y -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
142	141	adantl 473	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
143	134, 142	sylibrd 242	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> w e. Z ) )
144	6, 4, 14, 17, 1, 139, 5	sylow2alem1 17347	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ = { w } )
145		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. Z )
146	145	snssd 4108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { w } C_ Z )
147	144, 146	eqsstrd 3452	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ C_ Z )
148	147	ex 441	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
149	148	adantr 472	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
150	143, 149	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> [ w ] .~ C_ Z ) )
151	150	con1d 129	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
152	35, 42, 151	ectocld 7448	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) )
153	152	impr 631	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
154	34, 153	sylan2b 483	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
155	13, 23, 33, 154	fsumdvds 14425	1 |- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   =/= wne 2641   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   \ cdif 3387   C_ wss 3390   (/)c0 3722   ~Pcpw 3942   {csn 3959   {cpr 3961   U.cuni 4190   class class class wbr 4395   {copab 4453   X. cxp 4837   -->wf 5585   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   1oc1o 7193   Er wer 7378   [cec 7379   /.cqs 7380   ~~ cen 7584   Fincfn 7587   0cc0 9557   1c1 9558   x. cmul 9562   NNcn 10631   NN0cn0 10893   ZZcz 10961   ^cexp 12310   #chash 12553   sum_csu 13829   || cdvds 14382   Primecprime 14701   pCnt cpc 14865   Basecbs 15199   Grpcgrp 16747   ~_QG cqg 16891   GrpAct cga 17021   pGrp cpgp 17247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ga 17022  df-od 17250  df-pgp 17254

This theorem is referenced by:  sylow2a  17349