Theorem sylow2alem2 17257

Description: Lemma for sylow2a 17258. All the orbits which are not for fixed points have size | G | / | G x | (where G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2a.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2a.m	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
sylow2a.p	|- ( ph -> P pGrp G )
sylow2a.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2a.y	|- ( ph -> Y e. Fin )
sylow2a.z	|- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
sylow2a.r	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow2alem2	|- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Distinct variable groups:   z, h, .~   g, h, u, x, y   g, G, x, y   z, P   .(+) , g, h, u, x, y   g, X, h, u, x, y   z, Z   ph, h, z   z, g, Y, h, u, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, u, g)   P( x, y, u, g, h)   .(+) ( z)   .~ ( x, y, u, g)   G( z, u, h)   X( z)   Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2

Dummy variables k n w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2a.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. Fin )
2		pwfi 7871	. . . . 5 |- ( Y e. Fin <-> ~P Y e. Fin )
3	1, 2	sylib 199	. . . 4 |- ( ph -> ~P Y e. Fin )
4		sylow2a.m	. . . . . 6 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
5		sylow2a.r	. . . . . . 7 |- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
6		sylow2a.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
7	5, 6	gaorber 16949	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .~ Er Y )
8	4, 7	syl 17	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er Y )
9	8	qsss 7428	. . . 4 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) C_ ~P Y )
10		ssfi 7794	. . . 4 |- ( ( ~P Y e. Fin /\ ( Y /. .~ ) C_ ~P Y ) -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
11	3, 9, 10	syl2anc 665	. . 3 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
12		diffi 7805	. . 3 |- ( ( Y /. .~ ) e. Fin -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
13	11, 12	syl 17	. 2 |- ( ph -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
14		sylow2a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P pGrp G )
15		gagrp 16933	. . . . . . 7 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
16	4, 15	syl 17	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
17		sylow2a.f	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
18	6	pgpfi 17244	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin ) -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 213	. . . 4 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) )
21	20	simpld 460	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
22		prmz 14613	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
23	21, 22	syl 17	. 2 |- ( ph -> P e. ZZ )
24		eldifi 3587	. . . . 5 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) -> z e. ( Y /. .~ ) )
25	1	adantr 466	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> Y e. Fin )
26	9	sselda 3464	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. ~P Y )
27	26	elpwid 3989	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z C_ Y )
28		ssfi 7794	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Fin /\ z C_ Y ) -> z e. Fin )
29	25, 27, 28	syl2anc 665	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. Fin )
30	24, 29	sylan2 476	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> z e. Fin )
31		hashcl 12537	. . . 4 |- ( z e. Fin -> ( # ` z ) e. NN0 )
32	30, 31	syl 17	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 11038	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. ZZ )
34		eldif 3446	. . 3 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) <-> ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) )
35		eqid 2422	. . . . 5 |- ( Y /. .~ ) = ( Y /. .~ )
36		sseq1 3485	. . . . . . . 8 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z C_ Z ) )
37		selpw 3986	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~P Z <-> z C_ Z )
38	36, 37	syl6bbr 266	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z e. ~P Z ) )
39	38	notbid 295	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( -. [ w ] .~ C_ Z <-> -. z e. ~P Z ) )
40		fveq2 5877	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` z ) )
41	40	breq2d 4432	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( P || ( # ` [ w ] .~ ) <-> P || ( # ` z ) ) )
42	39, 41	imbi12d 321	. . . . 5 |- ( [ w ] .~ = z -> ( ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) <-> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) ) )
43	21	adantr 466	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. Prime )
44	8	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .~ Er Y )
45		simpr 462	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. Y )
46	44, 45	erref 7387	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w .~ w )
47		vex 3084	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
48	47, 47	elec 7407	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. [ w ] .~ <-> w .~ w )
49	46, 48	sylibr 215	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. [ w ] .~ )
50		ne0i 3767	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. [ w ] .~ -> [ w ] .~ =/= (/) )
51	49, 50	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ =/= (/) )
52	8	ecss 7409	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> [ w ] .~ C_ Y )
53		ssfi 7794	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. Fin /\ [ w ] .~ C_ Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
54	1, 52, 53	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> [ w ] .~ e. Fin )
55	54	adantr 466	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
56		hashnncl 12546	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
57	55, 56	syl 17	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
58	51, 57	mpbird 235	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN )
59		pceq0 14807	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
60	43, 58, 59	syl2anc 665	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
61		oveq2 6309	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) )
62		hashcl 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
63	54, 62	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
64	63	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ )
65		ssrab2 3546	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X
66		ssfi 7794	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( X e. Fin /\ { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X ) -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
67	17, 65, 66	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
68		hashcl 12537	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
69	67, 68	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
70	69	nn0zd 11038	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ )
71		dvdsmul1 14311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ /\ ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
72	64, 70, 71	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
73	72	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
74	4	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
75	17	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> X e. Fin )
76		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } = { v e. X | ( v .(+) w ) = w }
77		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) = ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } )
78	6, 76, 77, 5	orbsta2 16955	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ w e. Y ) /\ X e. Fin ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
79	74, 45, 75, 78	syl21anc 1263	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
80	73, 79	breqtrrd 4447	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) )
81	20	simprd 464	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
82	81	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
83		breq2 4424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
84	83	biimpcd 227	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
85	84	reximdv 2899	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
86	80, 82, 85	sylc 62	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) )
87		pcprmpw2 14818	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
88	43, 58, 87	syl2anc 665	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 213	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) )
90	89	eqcomd 2430	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( # ` [ w ] .~ ) )
91	23	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. ZZ )
92	91	zcnd 11041	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. CC )
93	92	exp0d 12409	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
94		hash1 12580	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( # ` 1o ) = 1
95	93, 94	syl6eqr 2481	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = ( # ` 1o ) )
96	90, 95	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) ) )
97		df1o2 7198	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o = { (/) }
98		snfi 7653	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } e. Fin
99	97, 98	eqeltri 2506	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. Fin
100		hashen 12529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [ w ] .~ e. Fin /\ 1o e. Fin ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
101	55, 99, 100	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
102	96, 101	bitrd 256	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
103		en1b 7640	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ ~~ 1o <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
104	102, 103	syl6bb 264	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) )
105	45	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. Y )
106	4	ad2antrr 730	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
107	6	gaf 16936	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
108	106, 107	syl 17	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
109		simprl 762	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> h e. X )
110	108, 109, 105	fovrnd 6451	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. Y )
111		eqid 2422	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h .(+) w ) = ( h .(+) w )
112		oveq1 6308	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = h -> ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
113	112	eqeq1d 2424	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = h -> ( ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) <-> ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
114	113	rspcev 3182	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h e. X /\ ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
115	109, 111, 114	sylancl 666	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
116	5	gaorb 16948	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w .~ ( h .(+) w ) <-> ( w e. Y /\ ( h .(+) w ) e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
117	105, 110, 115, 116	syl3anbrc 1189	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w .~ ( h .(+) w ) )
118		ovex 6329	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h .(+) w ) e. _V
119	118, 47	elec 7407	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ <-> w .~ ( h .(+) w ) )
120	117, 119	sylibr 215	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ )
121		simprr 764	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
122	120, 121	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } )
123	118	elsnc 4020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } <-> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
124	122, 123	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
125	49	adantr 466	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. [ w ] .~ )
126	125, 121	eleqtrd 2512	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. { U. [ w ] .~ } )
127	47	elsnc 4020	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { U. [ w ] .~ } <-> w = U. [ w ] .~ )
128	126, 127	sylib 199	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w = U. [ w ] .~ )
129	124, 128	eqtr4d 2466	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = w )
130	129	expr 618	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ h e. X ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> ( h .(+) w ) = w ) )
131	130	ralrimdva 2843	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
132	104, 131	sylbid 218	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
133	61, 132	syl5 33	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
134	60, 133	sylbird 238	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
135		oveq2 6309	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( h .(+) u ) = ( h .(+) w ) )
136		id 23	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> u = w )
137	135, 136	eqeq12d 2444	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = w -> ( ( h .(+) u ) = u <-> ( h .(+) w ) = w ) )
138	137	ralbidv 2864	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = w -> ( A. h e. X ( h .(+) u ) = u <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
139		sylow2a.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
140	138, 139	elrab2 3231	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Z <-> ( w e. Y /\ A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
141	140	baib 911	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Y -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
142	141	adantl 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
143	134, 142	sylibrd 237	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> w e. Z ) )
144	6, 4, 14, 17, 1, 139, 5	sylow2alem1 17256	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ = { w } )
145		simpr 462	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. Z )
146	145	snssd 4142	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { w } C_ Z )
147	144, 146	eqsstrd 3498	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ C_ Z )
148	147	ex 435	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
149	148	adantr 466	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
150	143, 149	syld 45	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> [ w ] .~ C_ Z ) )
151	150	con1d 127	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
152	35, 42, 151	ectocld 7434	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) )
153	152	impr 623	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
154	34, 153	sylan2b 477	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
155	13, 23, 33, 154	fsumdvds 14335	1 |- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 187   /\ wa 370   = wceq 1437   e. wcel 1868   =/= wne 2618   A.wral 2775   E.wrex 2776   {crab 2779   \ cdif 3433   C_ wss 3436   (/)c0 3761   ~Pcpw 3979   {csn 3996   {cpr 3998   U.cuni 4216   class class class wbr 4420   {copab 4478   X. cxp 4847   -->wf 5593   ` cfv 5597  (class class class)co 6301   1oc1o 7179   Er wer 7364   [cec 7365   /.cqs 7366   ~~ cen 7570   Fincfn 7573   0cc0 9539   1c1 9540   x. cmul 9544   NNcn 10609   NN0cn0 10869   ZZcz 10937   ^cexp 12271   #chash 12514   sum_csu 13739   || cdvds 14292   Primecprime 14609   pCnt cpc 14773   Basecbs 15108   Grpcgrp 16656   ~_QG cqg 16800   GrpAct cga 16930   pGrp cpgp 17156

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617

This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-ec 7369  df-qs 7373  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-cj 13150  df-re 13151  df-im 13152  df-sqrt 13286  df-abs 13287  df-clim 13539  df-sum 13740  df-dvds 14293  df-gcd 14456  df-prm 14610  df-pc 14774  df-ndx 15111  df-slot 15112  df-base 15113  df-sets 15114  df-ress 15115  df-plusg 15190  df-0g 15327  df-mgm 16475  df-sgrp 16514  df-mnd 16524  df-submnd 16570  df-grp 16660  df-minusg 16661  df-sbg 16662  df-mulg 16663  df-subg 16801  df-eqg 16803  df-ga 16931  df-od 17159  df-pgp 17163

This theorem is referenced by:  sylow2a  17258