Theorem sylow2alem2 16132

Description: Lemma for sylow2a 16133. All the orbits which are not for fixed points have size | G | / | G x | (where G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow2a.x	|- X = ( Base ` G )
sylow2a.m	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
sylow2a.p	|- ( ph -> P pGrp G )
sylow2a.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow2a.y	|- ( ph -> Y e. Fin )
sylow2a.z	|- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
sylow2a.r	|- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }

Assertion

Ref	Expression
sylow2alem2	|- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Distinct variable groups:   z, h, .~   g, h, u, x, y   g, G, x, y   z, P   .(+) , g, h, u, x, y   g, X, h, u, x, y   z, Z   ph, h, z   z, g, Y, h, u, x, y

Allowed substitution hints:   ph( x, y, u, g)   P( x, y, u, g, h)   .(+) ( z)   .~ ( x, y, u, g)   G( z, u, h)   X( z)   Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2

Dummy variables k n w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow2a.y	. . . . 5 |- ( ph -> Y e. Fin )
2		pwfi 7621	. . . . 5 |- ( Y e. Fin <-> ~P Y e. Fin )
3	1, 2	sylib 196	. . . 4 |- ( ph -> ~P Y e. Fin )
4		sylow2a.m	. . . . . 6 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
5		sylow2a.r	. . . . . . 7 |- .~ = { <. x , y >. | ( { x , y } C_ Y /\ E. g e. X ( g .(+) x ) = y ) }
6		sylow2a.x	. . . . . . 7 |- X = ( Base ` G )
7	5, 6	gaorber 15841	. . . . . 6 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .~ Er Y )
8	4, 7	syl 16	. . . . 5 |- ( ph -> .~ Er Y )
9	8	qsss 7176	. . . 4 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) C_ ~P Y )
10		ssfi 7548	. . . 4 |- ( ( ~P Y e. Fin /\ ( Y /. .~ ) C_ ~P Y ) -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
11	3, 9, 10	syl2anc 661	. . 3 |- ( ph -> ( Y /. .~ ) e. Fin )
12		diffi 7558	. . 3 |- ( ( Y /. .~ ) e. Fin -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
13	11, 12	syl 16	. 2 |- ( ph -> ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) e. Fin )
14		sylow2a.p	. . . . 5 |- ( ph -> P pGrp G )
15		gagrp 15825	. . . . . . 7 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> G e. Grp )
16	4, 15	syl 16	. . . . . 6 |- ( ph -> G e. Grp )
17		sylow2a.f	. . . . . 6 |- ( ph -> X e. Fin )
18	6	pgpfi 16119	. . . . . 6 |- ( ( G e. Grp /\ X e. Fin ) -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
19	16, 17, 18	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ph -> ( P pGrp G <-> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) ) )
20	14, 19	mpbid 210	. . . 4 |- ( ph -> ( P e. Prime /\ E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) ) )
21	20	simpld 459	. . 3 |- ( ph -> P e. Prime )
22		prmz 13782	. . 3 |- ( P e. Prime -> P e. ZZ )
23	21, 22	syl 16	. 2 |- ( ph -> P e. ZZ )
24		eldifi 3493	. . . . 5 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) -> z e. ( Y /. .~ ) )
25	1	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> Y e. Fin )
26	9	sselda 3371	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. ~P Y )
27	26	elpwid 3885	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z C_ Y )
28		ssfi 7548	. . . . . 6 |- ( ( Y e. Fin /\ z C_ Y ) -> z e. Fin )
29	25, 27, 28	syl2anc 661	. . . . 5 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> z e. Fin )
30	24, 29	sylan2 474	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> z e. Fin )
31		hashcl 12141	. . . 4 |- ( z e. Fin -> ( # ` z ) e. NN0 )
32	30, 31	syl 16	. . 3 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. NN0 )
33	32	nn0zd 10760	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> ( # ` z ) e. ZZ )
34		eldif 3353	. . 3 |- ( z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) <-> ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) )
35		eqid 2443	. . . . 5 |- ( Y /. .~ ) = ( Y /. .~ )
36		sseq1 3392	. . . . . . . 8 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z C_ Z ) )
37		selpw 3882	. . . . . . . 8 |- ( z e. ~P Z <-> z C_ Z )
38	36, 37	syl6bbr 263	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( [ w ] .~ C_ Z <-> z e. ~P Z ) )
39	38	notbid 294	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( -. [ w ] .~ C_ Z <-> -. z e. ~P Z ) )
40		fveq2 5706	. . . . . . 7 |- ( [ w ] .~ = z -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` z ) )
41	40	breq2d 4319	. . . . . 6 |- ( [ w ] .~ = z -> ( P || ( # ` [ w ] .~ ) <-> P || ( # ` z ) ) )
42	39, 41	imbi12d 320	. . . . 5 |- ( [ w ] .~ = z -> ( ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) <-> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) ) )
43	21	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. Prime )
44	8	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .~ Er Y )
45		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. Y )
46	44, 45	erref 7136	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w .~ w )
47		vex 2990	. . . . . . . . . . . . . 14 |- w e. _V
48	47, 47	elec 7155	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( w e. [ w ] .~ <-> w .~ w )
49	46, 48	sylibr 212	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> w e. [ w ] .~ )
50		ne0i 3658	. . . . . . . . . . . 12 |- ( w e. [ w ] .~ -> [ w ] .~ =/= (/) )
51	49, 50	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ =/= (/) )
52	8	ecss 7157	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> [ w ] .~ C_ Y )
53		ssfi 7548	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( Y e. Fin /\ [ w ] .~ C_ Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
54	1, 52, 53	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ph -> [ w ] .~ e. Fin )
55	54	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> [ w ] .~ e. Fin )
56		hashnncl 12149	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
57	55, 56	syl 16	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) e. NN <-> [ w ] .~ =/= (/) ) )
58	51, 57	mpbird 232	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN )
59		pceq0 13952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
60	43, 58, 59	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 <-> -. P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
61		oveq2 6114	. . . . . . . . . 10 |- ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) )
62		hashcl 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( [ w ] .~ e. Fin -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
63	54, 62	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. NN0 )
64	63	nn0zd 10760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ )
65		ssrab2 3452	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X
66		ssfi 7548	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 |- ( ( X e. Fin /\ { v e. X | ( v .(+) w ) = w } C_ X ) -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
67	17, 65, 66	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( ph -> { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin )
68		hashcl 12141	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 |- ( { v e. X | ( v .(+) w ) = w } e. Fin -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
69	67, 68	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. NN0 )
70	69	nn0zd 10760	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ph -> ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ )
71		dvdsmul1 13569	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( # ` [ w ] .~ ) e. ZZ /\ ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) e. ZZ ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
72	64, 70, 71	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
73	72	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
74	4	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
75	17	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> X e. Fin )
76		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- { v e. X | ( v .(+) w ) = w } = { v e. X | ( v .(+) w ) = w }
77		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) = ( G ~QG { v e. X | ( v .(+) w ) = w } )
78	6, 76, 77, 5	orbsta2 15847	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) /\ w e. Y ) /\ X e. Fin ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
79	74, 45, 75, 78	syl21anc 1217	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` X ) = ( ( # ` [ w ] .~ ) x. ( # ` { v e. X | ( v .(+) w ) = w } ) ) )
80	73, 79	breqtrrd 4333	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) )
81	20	simprd 463	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
82	81	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) )
83		breq2 4311	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
84	83	biimpcd 224	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
85	84	reximdv 2842	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( # ` [ w ] .~ ) || ( # ` X ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` X ) = ( P ^ n ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) ) )
86	80, 82, 85	sylc 60	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) )
87		pcprmpw2 13963	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( P e. Prime /\ ( # ` [ w ] .~ ) e. NN ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
88	43, 58, 87	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( E. n e. NN0 ( # ` [ w ] .~ ) || ( P ^ n ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) ) )
89	86, 88	mpbid 210	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( # ` [ w ] .~ ) = ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) )
90	89	eqcomd 2448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( # ` [ w ] .~ ) )
91	23	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. ZZ )
92	91	zcnd 10763	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> P e. CC )
93	92	exp0d 12017	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = 1 )
94		hash1 12177	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( # ` 1o ) = 1
95	93, 94	syl6eqr 2493	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( P ^ 0 ) = ( # ` 1o ) )
96	90, 95	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) ) )
97		df1o2 6947	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- 1o = { (/) }
98		snfi 7405	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { (/) } e. Fin
99	97, 98	eqeltri 2513	. . . . . . . . . . . . . 14 |- 1o e. Fin
100		hashen 12133	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( [ w ] .~ e. Fin /\ 1o e. Fin ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
101	55, 99, 100	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( # ` [ w ] .~ ) = ( # ` 1o ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
102	96, 101	bitrd 253	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ ~~ 1o ) )
103		en1b 7392	. . . . . . . . . . . 12 |- ( [ w ] .~ ~~ 1o <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
104	102, 103	syl6bb 261	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) <-> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) )
105	45	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. Y )
106	4	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) e. ( G GrpAct Y ) )
107	6	gaf 15828	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( .(+) e. ( G GrpAct Y ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
108	106, 107	syl 16	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> .(+) : ( X X. Y ) --> Y )
109		simprl 755	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> h e. X )
110	108, 109, 105	fovrnd 6250	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. Y )
111		eqid 2443	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( h .(+) w ) = ( h .(+) w )
112		oveq1 6113	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 |- ( k = h -> ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
113	112	eqeq1d 2451	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 |- ( k = h -> ( ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) <-> ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
114	113	rspcev 3088	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ( h e. X /\ ( h .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
115	109, 111, 114	sylancl 662	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) )
116	5	gaorb 15840	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( w .~ ( h .(+) w ) <-> ( w e. Y /\ ( h .(+) w ) e. Y /\ E. k e. X ( k .(+) w ) = ( h .(+) w ) ) )
117	105, 110, 115, 116	syl3anbrc 1172	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w .~ ( h .(+) w ) )
118		ovex 6131	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( h .(+) w ) e. _V
119	118, 47	elec 7155	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ <-> w .~ ( h .(+) w ) )
120	117, 119	sylibr 212	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. [ w ] .~ )
121		simprr 756	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } )
122	120, 121	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } )
123	118	elsnc 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( h .(+) w ) e. { U. [ w ] .~ } <-> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
124	122, 123	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = U. [ w ] .~ )
125	49	adantr 465	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. [ w ] .~ )
126	125, 121	eleqtrd 2519	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w e. { U. [ w ] .~ } )
127	47	elsnc 3916	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( w e. { U. [ w ] .~ } <-> w = U. [ w ] .~ )
128	126, 127	sylib 196	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> w = U. [ w ] .~ )
129	124, 128	eqtr4d 2478	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ ( h e. X /\ [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } ) ) -> ( h .(+) w ) = w )
130	129	expr 615	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ w e. Y ) /\ h e. X ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> ( h .(+) w ) = w ) )
131	130	ralrimdva 2821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( [ w ] .~ = { U. [ w ] .~ } -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
132	104, 131	sylbid 215	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P ^ ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) ) = ( P ^ 0 ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
133	61, 132	syl5 32	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( ( P pCnt ( # ` [ w ] .~ ) ) = 0 -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
134	60, 133	sylbird 235	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
135		oveq2 6114	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> ( h .(+) u ) = ( h .(+) w ) )
136		id 22	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( u = w -> u = w )
137	135, 136	eqeq12d 2457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( u = w -> ( ( h .(+) u ) = u <-> ( h .(+) w ) = w ) )
138	137	ralbidv 2750	. . . . . . . . . . 11 |- ( u = w -> ( A. h e. X ( h .(+) u ) = u <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
139		sylow2a.z	. . . . . . . . . . 11 |- Z = { u e. Y | A. h e. X ( h .(+) u ) = u }
140	138, 139	elrab2 3134	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. Z <-> ( w e. Y /\ A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
141	140	baib 896	. . . . . . . . 9 |- ( w e. Y -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
142	141	adantl 466	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z <-> A. h e. X ( h .(+) w ) = w ) )
143	134, 142	sylibrd 234	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> w e. Z ) )
144	6, 4, 14, 17, 1, 139, 5	sylow2alem1 16131	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ = { w } )
145		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> w e. Z )
146	145	snssd 4033	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> { w } C_ Z )
147	144, 146	eqsstrd 3405	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ w e. Z ) -> [ w ] .~ C_ Z )
148	147	ex 434	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
149	148	adantr 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( w e. Z -> [ w ] .~ C_ Z ) )
150	143, 149	syld 44	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. P || ( # ` [ w ] .~ ) -> [ w ] .~ C_ Z ) )
151	150	con1d 124	. . . . 5 |- ( ( ph /\ w e. Y ) -> ( -. [ w ] .~ C_ Z -> P || ( # ` [ w ] .~ ) ) )
152	35, 42, 151	ectocld 7182	. . . 4 |- ( ( ph /\ z e. ( Y /. .~ ) ) -> ( -. z e. ~P Z -> P || ( # ` z ) ) )
153	152	impr 619	. . 3 |- ( ( ph /\ ( z e. ( Y /. .~ ) /\ -. z e. ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
154	34, 153	sylan2b 475	. 2 |- ( ( ph /\ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ) -> P || ( # ` z ) )
155	13, 23, 33, 154	fsumdvds 13591	1 |- ( ph -> P || sum_ z e. ( ( Y /. .~ ) \ ~P Z ) ( # ` z ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1369   e. wcel 1756   =/= wne 2620   A.wral 2730   E.wrex 2731   {crab 2734   \ cdif 3340   C_ wss 3343   (/)c0 3652   ~Pcpw 3875   {csn 3892   {cpr 3894   U.cuni 4106   class class class wbr 4307   {copab 4364   X. cxp 4853   -->wf 5429   ` cfv 5433  (class class class)co 6106   1oc1o 6928   Er wer 7113   [cec 7114   /.cqs 7115   ~~ cen 7322   Fincfn 7325   0cc0 9297   1c1 9298   x. cmul 9302   NNcn 10337   NN0cn0 10594   ZZcz 10661   ^cexp 11880   #chash 12118   sum_csu 13178   || cdivides 13550   Primecprime 13778   pCnt cpc 13918   Basecbs 14189   Grpcgrp 15425   ~_QG cqg 15692   GrpAct cga 15822   pGrp cpgp 16045

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2423  ax-rep 4418  ax-sep 4428  ax-nul 4436  ax-pow 4485  ax-pr 4546  ax-un 6387  ax-inf2 7862  ax-cnex 9353  ax-resscn 9354  ax-1cn 9355  ax-icn 9356  ax-addcl 9357  ax-addrcl 9358  ax-mulcl 9359  ax-mulrcl 9360  ax-mulcom 9361  ax-addass 9362  ax-mulass 9363  ax-distr 9364  ax-i2m1 9365  ax-1ne0 9366  ax-1rid 9367  ax-rnegex 9368  ax-rrecex 9369  ax-cnre 9370  ax-pre-lttri 9371  ax-pre-lttrn 9372  ax-pre-ltadd 9373  ax-pre-mulgt0 9374  ax-pre-sup 9375

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2257  df-mo 2258  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2577  df-ne 2622  df-nel 2623  df-ral 2735  df-rex 2736  df-reu 2737  df-rmo 2738  df-rab 2739  df-v 2989  df-sbc 3202  df-csb 3304  df-dif 3346  df-un 3348  df-in 3350  df-ss 3357  df-pss 3359  df-nul 3653  df-if 3807  df-pw 3877  df-sn 3893  df-pr 3895  df-tp 3897  df-op 3899  df-uni 4107  df-int 4144  df-iun 4188  df-disj 4278  df-br 4308  df-opab 4366  df-mpt 4367  df-tr 4401  df-eprel 4647  df-id 4651  df-po 4656  df-so 4657  df-fr 4694  df-se 4695  df-we 4696  df-ord 4737  df-on 4738  df-lim 4739  df-suc 4740  df-xp 4861  df-rel 4862  df-cnv 4863  df-co 4864  df-dm 4865  df-rn 4866  df-res 4867  df-ima 4868  df-iota 5396  df-fun 5435  df-fn 5436  df-f 5437  df-f1 5438  df-fo 5439  df-f1o 5440  df-fv 5441  df-isom 5442  df-riota 6067  df-ov 6109  df-oprab 6110  df-mpt2 6111  df-om 6492  df-1st 6592  df-2nd 6593  df-recs 6847  df-rdg 6881  df-1o 6935  df-2o 6936  df-oadd 6939  df-omul 6940  df-er 7116  df-ec 7118  df-qs 7122  df-map 7231  df-en 7326  df-dom 7327  df-sdom 7328  df-fin 7329  df-sup 7706  df-oi 7739  df-card 8124  df-acn 8127  df-cda 8352  df-pnf 9435  df-mnf 9436  df-xr 9437  df-ltxr 9438  df-le 9439  df-sub 9612  df-neg 9613  df-div 10009  df-nn 10338  df-2 10395  df-3 10396  df-n0 10595  df-z 10662  df-uz 10877  df-q 10969  df-rp 11007  df-fz 11453  df-fzo 11564  df-fl 11657  df-mod 11724  df-seq 11822  df-exp 11881  df-fac 12067  df-bc 12094  df-hash 12119  df-cj 12603  df-re 12604  df-im 12605  df-sqr 12739  df-abs 12740  df-clim 12981  df-sum 13179  df-dvds 13551  df-gcd 13706  df-prm 13779  df-pc 13919  df-ndx 14192  df-slot 14193  df-base 14194  df-sets 14195  df-ress 14196  df-plusg 14266  df-0g 14395  df-mnd 15430  df-submnd 15480  df-grp 15560  df-minusg 15561  df-sbg 15562  df-mulg 15563  df-subg 15693  df-eqg 15695  df-ga 15823  df-od 16047  df-pgp 16049

This theorem is referenced by:  sylow2a  16133