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Theorem sylow2alem2 16509
Description: Lemma for sylow2a 16510. All the orbits which are not for fixed points have size  |  G  |  /  |  G x  | (where  G x is the stabilizer subgroup) and thus are powers of  P. And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide  P, and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow2a.m  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
sylow2a.p  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
sylow2a.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow2a.y  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
sylow2a.z  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
sylow2a.r  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow2alem2  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Distinct variable groups:    z, h,  .~    g, h, u, x, y    g, G, x, y    z, P    .(+) , g, h, u, x, y    g, X, h, u, x, y   
z, Z    ph, h, z   
z, g, Y, h, u, x, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y, u, g)    P( x, y, u, g, h)    .(+) (
z)    .~ ( x, y, u, g)    G( z, u, h)    X( z)    Z( x, y, u, g, h)

Proof of Theorem sylow2alem2
Dummy variables  k  n  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.y . . . . 5  |-  ( ph  ->  Y  e.  Fin )
2 pwfi 7827 . . . . 5  |-  ( Y  e.  Fin  <->  ~P Y  e.  Fin )
31, 2sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  ~P Y  e.  Fin )
4 sylow2a.m . . . . . 6  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
5 sylow2a.r . . . . . . 7  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  Y  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
6 sylow2a.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( Base `  G
)
75, 6gaorber 16217 . . . . . 6  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .~  Er  Y
)
84, 7syl 16 . . . . 5  |-  ( ph  ->  .~  Er  Y )
98qsss 7384 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )
10 ssfi 7752 . . . 4  |-  ( ( ~P Y  e.  Fin  /\  ( Y /.  .~  )  C_  ~P Y )  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
113, 9, 10syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Y /.  .~  )  e.  Fin )
12 diffi 7763 . . 3  |-  ( ( Y /.  .~  )  e.  Fin  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  e.  Fin )
1311, 12syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
)  e.  Fin )
14 sylow2a.p . . . . 5  |-  ( ph  ->  P pGrp  G )
15 gagrp 16201 . . . . . . 7  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  G  e.  Grp )
164, 15syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
17 sylow2a.f . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
186pgpfi 16496 . . . . . 6  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  X  e.  Fin )  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
1916, 17, 18syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( P pGrp  G  <->  ( P  e.  Prime  /\  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) ) ) )
2014, 19mpbid 210 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( P  e.  Prime  /\ 
E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) ) )
2120simpld 459 . . 3  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
22 prmz 14096 . . 3  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  ZZ )
2321, 22syl 16 . 2  |-  ( ph  ->  P  e.  ZZ )
24 eldifi 3631 . . . . 5  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  ->  z  e.  ( Y /.  .~  ) )
251adantr 465 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  Y  e.  Fin )
269sselda 3509 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P Y )
2726elpwid 4026 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  C_  Y )
28 ssfi 7752 . . . . . 6  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  z  C_  Y )  -> 
z  e.  Fin )
2925, 27, 28syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
3024, 29sylan2 474 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  z  e.  Fin )
31 hashcl 12408 . . . 4  |-  ( z  e.  Fin  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3230, 31syl 16 . . 3  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e. 
NN0 )
3332nn0zd 10976 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  ( # `
 z )  e.  ZZ )
34 eldif 3491 . . 3  |-  ( z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z )  <->  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )
35 eqid 2467 . . . . 5  |-  ( Y /.  .~  )  =  ( Y /.  .~  )
36 sseq1 3530 . . . . . . . 8  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  C_  Z ) )
37 selpw 4023 . . . . . . . 8  |-  ( z  e.  ~P Z  <->  z  C_  Z )
3836, 37syl6bbr 263 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( [ w ]  .~  C_  Z  <->  z  e.  ~P Z ) )
3938notbid 294 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( -.  [
w ]  .~  C_  Z  <->  -.  z  e.  ~P Z
) )
40 fveq2 5872 . . . . . . 7  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( # `  z
) )
4140breq2d 4465 . . . . . 6  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  <->  P  ||  ( # `
 z ) ) )
4239, 41imbi12d 320 . . . . 5  |-  ( [ w ]  .~  =  z  ->  ( ( -. 
[ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) ) )
4321adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  Prime )
448adantr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .~  Er  Y )
45 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  Y )
4644, 45erref 7343 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  .~  w )
47 vex 3121 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  w  e. 
_V
4847, 47elec 7363 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( w  e.  [ w ]  .~ 
<->  w  .~  w )
4946, 48sylibr 212 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
50 ne0i 3796 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( w  e.  [ w ]  .~  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
5149, 50syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  =/=  (/) )
528ecss 7365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  C_  Y )
53 ssfi 7752 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( Y  e.  Fin  /\  [ w ]  .~  C_  Y
)  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
541, 52, 53syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
5554adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  [ w ]  .~  e.  Fin )
56 hashnncl 12416 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( ( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
5755, 56syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  e.  NN  <->  [ w ]  .~  =/=  (/) ) )
5851, 57mpbird 232 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )
59 pceq0 14269 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [
w ]  .~  )
) )
6043, 58, 59syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  <->  -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  ) ) )
61 oveq2 6303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  0  -> 
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 ) )
62 hashcl 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( [ w ]  .~  e.  Fin  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6354, 62syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  NN0 )
6463nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ )
65 ssrab2 3590 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X
66 ssfi 7752 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  C_  X )  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
6717, 65, 66sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ph  ->  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin )
68 hashcl 12408 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( { v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }  e.  Fin  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
6967, 68syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  NN0 )
7069nn0zd 10976 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ph  ->  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  e.  ZZ )
71 dvdsmul1 13882 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( # `  [
w ]  .~  )  e.  ZZ  /\  ( # `  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }
)  e.  ZZ )  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7264, 70, 71syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ph  ->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
7372adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
744adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
7517adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  X  e.  Fin )
76 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w }  =  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w }
77 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( G ~QG  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } )  =  ( G ~QG  { v  e.  X  |  ( v  .(+)  w )  =  w } )
786, 76, 77, 5orbsta2 16223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  /\  w  e.  Y )  /\  X  e.  Fin )  ->  ( # `  X
)  =  ( (
# `  [ w ]  .~  )  x.  ( # `
 { v  e.  X  |  ( v 
.(+)  w )  =  w } ) ) )
7974, 45, 75, 78syl21anc 1227 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 X )  =  ( ( # `  [
w ]  .~  )  x.  ( # `  {
v  e.  X  | 
( v  .(+)  w )  =  w } ) ) )
8073, 79breqtrrd 4479 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  ||  ( # `  X ) )
8120simprd 463 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ph  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X )  =  ( P ^
n ) )
8281adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n ) )
83 breq2 4457 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( (
# `  X )  =  ( P ^
n )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) ) )
8483biimpcd 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  -> 
( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8584reximdv 2941 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
# `  [ w ]  .~  )  ||  ( # `
 X )  -> 
( E. n  e. 
NN0  ( # `  X
)  =  ( P ^ n )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n ) ) )
8680, 82, 85sylc 60 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
) )
87 pcprmpw2 14280 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 [ w ]  .~  )  e.  NN )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [
w ]  .~  )  ||  ( P ^ n
)  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
8843, 58, 87syl2anc 661 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( E. n  e.  NN0  ( # `  [ w ]  .~  )  ||  ( P ^ n )  <->  ( # `  [
w ]  .~  )  =  ( P ^
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) ) ) )
8986, 88mpbid 210 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) ) )
9089eqcomd 2475 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ ( P  pCnt  (
# `  [ w ]  .~  ) ) )  =  ( # `  [
w ]  .~  )
)
9123adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  ZZ )
9291zcnd 10979 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  P  e.  CC )
9392exp0d 12284 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  1 )
94 hash1 12449 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( # `  1o )  =  1
9593, 94syl6eqr 2526 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( P ^ 0 )  =  ( # `  1o ) )
9690, 95eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <-> 
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )
) )
97 df1o2 7154 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  1o  =  { (/) }
98 snfi 7608 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { (/) }  e.  Fin
9997, 98eqeltri 2551 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  1o  e.  Fin
100 hashen 12400 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( [ w ]  .~  e.  Fin  /\  1o  e.  Fin )  ->  ( (
# `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10155, 99, 100sylancl 662 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( # `  [ w ]  .~  )  =  (
# `  1o )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
10296, 101bitrd 253 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  ~~  1o ) )
103 en1b 7595 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( [ w ]  .~  ~~  1o 
<->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
104102, 103syl6bb 261 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  <->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )
10545adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  Y )
1064ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y ) )
1076gaf 16204 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  Y )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
108106, 107syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  .(+)  : ( X  X.  Y ) --> Y )
109 simprl 755 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  h  e.  X )
110108, 109, 105fovrnd 6442 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  Y )
111 eqid 2467 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( h 
.(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
112 oveq1 6302 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( k  =  h  ->  (
k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
113112eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( k  =  h  ->  (
( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )  <->  ( h  .(+)  w )  =  ( h 
.(+)  w ) ) )
114113rspcev 3219 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( h  e.  X  /\  ( h  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w )
)
115109, 111, 114sylancl 662 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) )
1165gaorb 16216 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( w  .~  ( h  .(+)  w )  <->  ( w  e.  Y  /\  ( h 
.(+)  w )  e.  Y  /\  E. k  e.  X  ( k  .(+)  w )  =  ( h  .(+)  w ) ) )
117105, 110, 115, 116syl3anbrc 1180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
118 ovex 6320 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( h 
.(+)  w )  e.  _V
119118, 47elec 7363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  <->  w  .~  ( h  .(+)  w ) )
120117, 119sylibr 212 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  [ w ]  .~  )
121 simprr 756 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } )
122120, 121eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
123118elsnc 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( h  .(+)  w )  e.  { U. [ w ]  .~  }  <->  ( h  .(+) 
w )  =  U. [ w ]  .~  )
124122, 123sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  U. [ w ]  .~  )
12549adantr 465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  [ w ]  .~  )
126125, 121eleqtrd 2557 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  e.  { U. [
w ]  .~  }
)
12747elsnc 4057 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( w  e.  { U. [
w ]  .~  }  <->  w  =  U. [ w ]  .~  )
128126, 127sylib 196 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  ->  w  =  U. [ w ]  .~  )
129124, 128eqtr4d 2511 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  (
h  e.  X  /\  [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  } ) )  -> 
( h  .(+)  w )  =  w )
130129expr 615 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  w  e.  Y )  /\  h  e.  X )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  (
h  .(+)  w )  =  w ) )
131130ralrimdva 2885 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( [ w ]  .~  =  { U. [ w ]  .~  }  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
132104, 131sylbid 215 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P ^ ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
) )  =  ( P ^ 0 )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13361, 132syl5 32 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  =  0  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
13460, 133sylbird 235 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  A. h  e.  X  ( h  .(+)  w )  =  w ) )
135 oveq2 6303 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  (
h  .(+)  u )  =  ( h  .(+)  w ) )
136 id 22 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( u  =  w  ->  u  =  w )
137135, 136eqeq12d 2489 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  w  ->  (
( h  .(+)  u )  =  u  <->  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
138137ralbidv 2906 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  w  ->  ( A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
139 sylow2a.z . . . . . . . . . . 11  |-  Z  =  { u  e.  Y  |  A. h  e.  X  ( h  .(+)  u )  =  u }
140138, 139elrab2 3268 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  Z  <->  ( w  e.  Y  /\  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
141140baib 901 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  Y  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
142141adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  <->  A. h  e.  X  ( h  .(+) 
w )  =  w ) )
143134, 142sylibrd 234 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  w  e.  Z
) )
1446, 4, 14, 17, 1, 139, 5sylow2alem1 16508 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  =  { w } )
145 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  w  e.  Z )
146145snssd 4178 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  { w }  C_  Z )
147144, 146eqsstrd 3543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Z )  ->  [ w ]  .~  C_  Z )
148147ex 434 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
149148adantr 465 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  (
w  e.  Z  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
150143, 149syld 44 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  P  ||  ( # `  [ w ]  .~  )  ->  [ w ]  .~  C_  Z ) )
151150con1d 124 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  w  e.  Y )  ->  ( -.  [ w ]  .~  C_  Z  ->  P  ||  ( # `
 [ w ]  .~  ) ) )
15235, 42, 151ectocld 7390 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( Y /.  .~  )
)  ->  ( -.  z  e.  ~P Z  ->  P  ||  ( # `  z ) ) )
153152impr 619 . . 3  |-  ( (
ph  /\  ( z  e.  ( Y /.  .~  )  /\  -.  z  e. 
~P Z ) )  ->  P  ||  ( # `
 z ) )
15434, 153sylan2b 475 . 2  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) )  ->  P  ||  ( # `  z
) )
15513, 23, 33, 154fsumdvds 13904 1  |-  ( ph  ->  P  ||  sum_ z  e.  ( ( Y /.  .~  )  \  ~P Z
) ( # `  z
) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2817   E.wrex 2818   {crab 2821    \ cdif 3478    C_ wss 3481   (/)c0 3790   ~Pcpw 4016   {csn 4033   {cpr 4035   U.cuni 4251   class class class wbr 4453   {copab 4510    X. cxp 5003   -->wf 5590   ` cfv 5594  (class class class)co 6295   1oc1o 7135    Er wer 7320   [cec 7321   /.cqs 7322    ~~ cen 7525   Fincfn 7528   0cc0 9504   1c1 9505    x. cmul 9509   NNcn 10548   NN0cn0 10807   ZZcz 10876   ^cexp 12146   #chash 12385   sum_csu 13487    || cdivides 13863   Primecprime 14092    pCnt cpc 14235   Basecbs 14506   Grpcgrp 15924   ~QG cqg 16068    GrpAct cga 16198   pGrp cpgp 16422
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4564  ax-sep 4574  ax-nul 4582  ax-pow 4631  ax-pr 4692  ax-un 6587  ax-inf2 8070  ax-cnex 9560  ax-resscn 9561  ax-1cn 9562  ax-icn 9563  ax-addcl 9564  ax-addrcl 9565  ax-mulcl 9566  ax-mulrcl 9567  ax-mulcom 9568  ax-addass 9569  ax-mulass 9570  ax-distr 9571  ax-i2m1 9572  ax-1ne0 9573  ax-1rid 9574  ax-rnegex 9575  ax-rrecex 9576  ax-cnre 9577  ax-pre-lttri 9578  ax-pre-lttrn 9579  ax-pre-ltadd 9580  ax-pre-mulgt0 9581  ax-pre-sup 9582
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2822  df-rex 2823  df-reu 2824  df-rmo 2825  df-rab 2826  df-v 3120  df-sbc 3337  df-csb 3441  df-dif 3484  df-un 3486  df-in 3488  df-ss 3495  df-pss 3497  df-nul 3791  df-if 3946  df-pw 4018  df-sn 4034  df-pr 4036  df-tp 4038  df-op 4040  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4333  df-disj 4424  df-br 4454  df-opab 4512  df-mpt 4513  df-tr 4547  df-eprel 4797  df-id 4801  df-po 4806  df-so 4807  df-fr 4844  df-se 4845  df-we 4846  df-ord 4887  df-on 4888  df-lim 4889  df-suc 4890  df-xp 5011  df-rel 5012  df-cnv 5013  df-co 5014  df-dm 5015  df-rn 5016  df-res 5017  df-ima 5018  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6256  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6696  df-1st 6795  df-2nd 6796  df-recs 7054  df-rdg 7088  df-1o 7142  df-2o 7143  df-oadd 7146  df-omul 7147  df-er 7323  df-ec 7325  df-qs 7329  df-map 7434  df-en 7529  df-dom 7530  df-sdom 7531  df-fin 7532  df-sup 7913  df-oi 7947  df-card 8332  df-acn 8335  df-cda 8560  df-pnf 9642  df-mnf 9643  df-xr 9644  df-ltxr 9645  df-le 9646  df-sub 9819  df-neg 9820  df-div 10219  df-nn 10549  df-2 10606  df-3 10607  df-n0 10808  df-z 10877  df-uz 11095  df-q 11195  df-rp 11233  df-fz 11685  df-fzo 11805  df-fl 11909  df-mod 11977  df-seq 12088  df-exp 12147  df-fac 12334  df-bc 12361  df-hash 12386  df-cj 12911  df-re 12912  df-im 12913  df-sqrt 13047  df-abs 13048  df-clim 13290  df-sum 13488  df-dvds 13864  df-gcd 14020  df-prm 14093  df-pc 14236  df-ndx 14509  df-slot 14510  df-base 14511  df-sets 14512  df-ress 14513  df-plusg 14584  df-0g 14713  df-mgm 15745  df-sgrp 15784  df-mnd 15794  df-submnd 15839  df-grp 15928  df-minusg 15929  df-sbg 15930  df-mulg 15931  df-subg 16069  df-eqg 16071  df-ga 16199  df-od 16424  df-pgp 16426
This theorem is referenced by:  sylow2a  16510
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