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Theorem sylow2alem2 17348
 Description: Lemma for sylow2a 17349. All the orbits which are not for fixed points have size (where is the stabilizer subgroup) and thus are powers of . And since they are all nontrivial (because any orbit which is a singleton is a fixed point), they all divide , and so does the sum of all of them. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x
sylow2a.m
sylow2a.p pGrp
sylow2a.f
sylow2a.y
sylow2a.z
sylow2a.r
Assertion
Ref Expression
sylow2alem2
Distinct variable groups:   ,,   ,,,,   ,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,   ,,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,)   ()   (,,,)   (,,)   ()   (,,,,)

Proof of Theorem sylow2alem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.y . . . . 5
2 pwfi 7887 . . . . 5
31, 2sylib 201 . . . 4
4 sylow2a.m . . . . . 6
5 sylow2a.r . . . . . . 7
6 sylow2a.x . . . . . . 7
75, 6gaorber 17040 . . . . . 6
84, 7syl 17 . . . . 5
98qsss 7442 . . . 4
10 ssfi 7810 . . . 4
113, 9, 10syl2anc 673 . . 3
12 diffi 7821 . . 3
1311, 12syl 17 . 2
14 sylow2a.p . . . . 5 pGrp
15 gagrp 17024 . . . . . . 7
164, 15syl 17 . . . . . 6
17 sylow2a.f . . . . . 6
186pgpfi 17335 . . . . . 6 pGrp
1916, 17, 18syl2anc 673 . . . . 5 pGrp
2014, 19mpbid 215 . . . 4
2120simpld 466 . . 3
22 prmz 14705 . . 3
2321, 22syl 17 . 2
24 eldifi 3544 . . . . 5
251adantr 472 . . . . . 6
269sselda 3418 . . . . . . 7
2726elpwid 3952 . . . . . 6
28 ssfi 7810 . . . . . 6
2925, 27, 28syl2anc 673 . . . . 5
3024, 29sylan2 482 . . . 4
31 hashcl 12576 . . . 4
3230, 31syl 17 . . 3
3332nn0zd 11061 . 2
34 eldif 3400 . . 3
35 eqid 2471 . . . . 5
36 sseq1 3439 . . . . . . . 8
37 selpw 3949 . . . . . . . 8
3836, 37syl6bbr 271 . . . . . . 7
3938notbid 301 . . . . . 6
40 fveq2 5879 . . . . . . 7
4140breq2d 4407 . . . . . 6
4239, 41imbi12d 327 . . . . 5
4321adantr 472 . . . . . . . . . 10
448adantr 472 . . . . . . . . . . . . . 14
45 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . 14
4644, 45erref 7401 . . . . . . . . . . . . 13
47 vex 3034 . . . . . . . . . . . . . 14
4847, 47elec 7421 . . . . . . . . . . . . 13
4946, 48sylibr 217 . . . . . . . . . . . 12
50 ne0i 3728 . . . . . . . . . . . 12
5149, 50syl 17 . . . . . . . . . . 11
528ecss 7423 . . . . . . . . . . . . . 14
53 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . 14
541, 52, 53syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . 13
5554adantr 472 . . . . . . . . . . . 12
56 hashnncl 12585 . . . . . . . . . . . 12
5755, 56syl 17 . . . . . . . . . . 11
5851, 57mpbird 240 . . . . . . . . . 10
59 pceq0 14899 . . . . . . . . . 10
6043, 58, 59syl2anc 673 . . . . . . . . 9
61 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10
62 hashcl 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6354, 62syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
6463nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
65 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
66 ssfi 7810 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6717, 65, 66sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68 hashcl 12576 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
6967, 68syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7069nn0zd 11061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
71 dvdsmul1 14401 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
7264, 70, 71syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7372adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
744adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7517adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
76 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
77 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ~QG ~QG
786, 76, 77, 5orbsta2 17046 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
7974, 45, 75, 78syl21anc 1291 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8073, 79breqtrrd 4422 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8120simprd 470 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8281adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
83 breq2 4399 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
8483biimpcd 232 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
8584reximdv 2857 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8680, 82, 85sylc 61 . . . . . . . . . . . . . . . 16
87 pcprmpw2 14910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
8843, 58, 87syl2anc 673 . . . . . . . . . . . . . . . 16
8986, 88mpbid 215 . . . . . . . . . . . . . . 15
9089eqcomd 2477 . . . . . . . . . . . . . 14
9123adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9291zcnd 11064 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9392exp0d 12448 . . . . . . . . . . . . . . 15
94 hash1 12619 . . . . . . . . . . . . . . 15
9593, 94syl6eqr 2523 . . . . . . . . . . . . . 14
9690, 95eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . . 13
97 df1o2 7212 . . . . . . . . . . . . . . 15
98 snfi 7668 . . . . . . . . . . . . . . 15
9997, 98eqeltri 2545 . . . . . . . . . . . . . 14
100 hashen 12568 . . . . . . . . . . . . . 14
10155, 99, 100sylancl 675 . . . . . . . . . . . . 13
10296, 101bitrd 261 . . . . . . . . . . . 12
103 en1b 7655 . . . . . . . . . . . 12
104102, 103syl6bb 269 . . . . . . . . . . 11
10545adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1064ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
1076gaf 17027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
108106, 107syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
109 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110108, 109, 105fovrnd 6460 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
111 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
112 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
113112eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
114113rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
115109, 111, 114sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1165gaorb 17039 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
117105, 110, 115, 116syl3anbrc 1214 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
118 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
119118, 47elec 7421 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
120117, 119sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . 16
121 simprr 774 . . . . . . . . . . . . . . . 16
122120, 121eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15
123118elsnc 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15
124122, 123sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
12549adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126125, 121eleqtrd 2551 . . . . . . . . . . . . . . 15
12747elsnc 3984 . . . . . . . . . . . . . . 15
128126, 127sylib 201 . . . . . . . . . . . . . 14
129124, 128eqtr4d 2508 . . . . . . . . . . . . 13
130129expr 626 . . . . . . . . . . . 12
131130ralrimdva 2812 . . . . . . . . . . 11
132104, 131sylbid 223 . . . . . . . . . 10
13361, 132syl5 32 . . . . . . . . 9
13460, 133sylbird 243 . . . . . . . 8
135 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . . 13
136 id 22 . . . . . . . . . . . . 13
137135, 136eqeq12d 2486 . . . . . . . . . . . 12
138137ralbidv 2829 . . . . . . . . . . 11
139 sylow2a.z . . . . . . . . . . 11
140138, 139elrab2 3186 . . . . . . . . . 10
141140baib 919 . . . . . . . . 9
142141adantl 473 . . . . . . . 8
143134, 142sylibrd 242 . . . . . . 7
1446, 4, 14, 17, 1, 139, 5sylow2alem1 17347 . . . . . . . . . 10
145 simpr 468 . . . . . . . . . . 11
146145snssd 4108 . . . . . . . . . 10
147144, 146eqsstrd 3452 . . . . . . . . 9
148147ex 441 . . . . . . . 8
149148adantr 472 . . . . . . 7
150143, 149syld 44 . . . . . 6
151150con1d 129 . . . . 5
15235, 42, 151ectocld 7448 . . . 4
153152impr 631 . . 3
15434, 153sylan2b 483 . 2
15513, 23, 33, 154fsumdvds 14425 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 189   wa 376   wceq 1452   wcel 1904   wne 2641  wral 2756  wrex 2757  crab 2760   cdif 3387   wss 3390  c0 3722  cpw 3942  csn 3959  cpr 3961  cuni 4190   class class class wbr 4395  copab 4453   cxp 4837  wf 5585  cfv 5589  (class class class)co 6308  c1o 7193   wer 7378  cec 7379  cqs 7380   cen 7584  cfn 7587  cc0 9557  c1 9558   cmul 9562  cn 10631  cn0 10893  cz 10961  cexp 12310  chash 12553  csu 13829   cdvds 14382  cprime 14701   cpc 14865  cbs 15199  cgrp 16747   ~QG cqg 16891   cga 17021   pGrp cpgp 17247 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-disj 4367  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-omul 7205  df-er 7381  df-ec 7383  df-qs 7387  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-clim 13629  df-sum 13830  df-dvds 14383  df-gcd 14548  df-prm 14702  df-pc 14866  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-sbg 16753  df-mulg 16754  df-subg 16892  df-eqg 16894  df-ga 17022  df-od 17250  df-pgp 17254 This theorem is referenced by:  sylow2a  17349
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