Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2a Unicode version

Theorem sylow2a 15208
 Description: A named lemma of Sylow's second and third theorems. If is a finite -group that acts on the finite set , then the set of all points of fixed by every element of has cardinality equivalent to the cardinality of , . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2a.x
sylow2a.m
sylow2a.p pGrp
sylow2a.f
sylow2a.y
sylow2a.z
sylow2a.r
Assertion
Ref Expression
sylow2a
Distinct variable groups:   ,   ,,,,   ,,,   ,,,,,   ,,,,,   ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,,,)   (,,,)   (,)   (,,,,)

Proof of Theorem sylow2a
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow2a.x . . 3
2 sylow2a.m . . 3
3 sylow2a.p . . 3 pGrp
4 sylow2a.f . . 3
5 sylow2a.y . . 3
6 sylow2a.z . . 3
7 sylow2a.r . . 3
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem2 15207 . 2
9 inass 3511 . . . . . . 7
10 disjdif 3660 . . . . . . . 8
1110ineq2i 3499 . . . . . . 7
12 in0 3613 . . . . . . 7
139, 11, 123eqtri 2428 . . . . . 6
1413a1i 11 . . . . 5
15 inundif 3666 . . . . . . 7
1615eqcomi 2408 . . . . . 6
1716a1i 11 . . . . 5
18 pwfi 7360 . . . . . . 7
195, 18sylib 189 . . . . . 6
207, 1gaorber 15040 . . . . . . . 8
212, 20syl 16 . . . . . . 7
2221qsss 6924 . . . . . 6
23 ssfi 7288 . . . . . 6
2419, 22, 23syl2anc 643 . . . . 5
255adantr 452 . . . . . . . 8
2622sselda 3308 . . . . . . . . 9
2726elpwid 3768 . . . . . . . 8
28 ssfi 7288 . . . . . . . 8
2925, 27, 28syl2anc 643 . . . . . . 7
30 hashcl 11594 . . . . . . 7
3129, 30syl 16 . . . . . 6
3231nn0cnd 10232 . . . . 5
3314, 17, 24, 32fsumsplit 12488 . . . 4
3421, 5qshash 12561 . . . 4
35 inss1 3521 . . . . . . . 8
36 ssfi 7288 . . . . . . . 8
3724, 35, 36sylancl 644 . . . . . . 7
38 ax-1cn 9004 . . . . . . 7
39 fsumconst 12528 . . . . . . 7
4037, 38, 39sylancl 644 . . . . . 6
41 elin 3490 . . . . . . . . . . 11
42 eqid 2404 . . . . . . . . . . . . 13
43 sseq1 3329 . . . . . . . . . . . . . . 15
44 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . 16
4544elpw 3765 . . . . . . . . . . . . . . 15
4643, 45syl6bbr 255 . . . . . . . . . . . . . 14
47 breq1 4175 . . . . . . . . . . . . . 14
4846, 47imbi12d 312 . . . . . . . . . . . . 13
4921adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
50 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5149, 50erref 6884 . . . . . . . . . . . . . . . 16
52 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5352, 52elec 6903 . . . . . . . . . . . . . . . 16
5451, 53sylibr 204 . . . . . . . . . . . . . . 15
55 ssel 3302 . . . . . . . . . . . . . . 15
5654, 55syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14
571, 2, 3, 4, 5, 6, 7sylow2alem1 15206 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5852ensn1 7130 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5957, 58syl6eqbr 4209 . . . . . . . . . . . . . . . 16
6059ex 424 . . . . . . . . . . . . . . 15
6160adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
6256, 61syld 42 . . . . . . . . . . . . 13
6342, 48, 62ectocld 6930 . . . . . . . . . . . 12
6463impr 603 . . . . . . . . . . 11
6541, 64sylan2b 462 . . . . . . . . . 10
66 en1b 7134 . . . . . . . . . 10
6765, 66sylib 189 . . . . . . . . 9
6867fveq2d 5691 . . . . . . . 8
6944uniex 4664 . . . . . . . . 9
70 hashsng 11602 . . . . . . . . 9
7169, 70ax-mp 8 . . . . . . . 8
7268, 71syl6eq 2452 . . . . . . 7
7372sumeq2dv 12452 . . . . . 6
74 ssrab2 3388 . . . . . . . . . . . 12
756, 74eqsstri 3338 . . . . . . . . . . 11
76 ssfi 7288 . . . . . . . . . . 11
775, 75, 76sylancl 644 . . . . . . . . . 10
78 hashcl 11594 . . . . . . . . . 10
7977, 78syl 16 . . . . . . . . 9
8079nn0cnd 10232 . . . . . . . 8
8180mulid1d 9061 . . . . . . 7
82 elex 2924 . . . . . . . . . . 11
8377, 82syl 16 . . . . . . . . . 10
84 inss2 3522 . . . . . . . . . . 11
85 pwexg 4343 . . . . . . . . . . . 12
8677, 85syl 16 . . . . . . . . . . 11
87 ssexg 4309 . . . . . . . . . . 11
8884, 86, 87sylancr 645 . . . . . . . . . 10
897relopabi 4959 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
90 relssdmrn 5349 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9189, 90ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16
92 erdm 6874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9321, 92syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9493, 5eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
95 errn 6886 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9621, 95syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9796, 5eqeltrd 2478 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
98 xpexg 4948 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9994, 97, 98syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . . 16
100 ssexg 4309 . . . . . . . . . . . . . . . 16
10191, 99, 100sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15
102101adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14
103 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
10475, 103sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14
105 ecelqsg 6918 . . . . . . . . . . . . . 14
106102, 104, 105syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13
10757, 106eqeltrrd 2479 . . . . . . . . . . . 12
108 snelpwi 4369 . . . . . . . . . . . . 13
109108adantl 453 . . . . . . . . . . . 12
110 elin 3490 . . . . . . . . . . . 12
111107, 109, 110sylanbrc 646 . . . . . . . . . . 11
112111ex 424 . . . . . . . . . 10
113 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . 15
11484, 113sseldi 3306 . . . . . . . . . . . . . 14
115114elpwid 3768 . . . . . . . . . . . . 13
11667, 115eqsstr3d 3343 . . . . . . . . . . . 12
11769snss 3886 . . . . . . . . . . . 12
118116, 117sylibr 204 . . . . . . . . . . 11
119118ex 424 . . . . . . . . . 10
120 sneq 3785 . . . . . . . . . . . . . . 15
121120eqeq2d 2415 . . . . . . . . . . . . . 14
12267, 121syl5ibrcom 214 . . . . . . . . . . . . 13
123122adantrl 697 . . . . . . . . . . . 12
124 unieq 3984 . . . . . . . . . . . . 13
12552unisn 3991 . . . . . . . . . . . . 13
126124, 125syl6req 2453 . . . . . . . . . . . 12
127123, 126impbid1 195 . . . . . . . . . . 11
128127ex 424 . . . . . . . . . 10
12983, 88, 112, 119, 128en3d 7103 . . . . . . . . 9
130 hashen 11586 . . . . . . . . . 10
13177, 37, 130syl2anc 643 . . . . . . . . 9
132129, 131mpbird 224 . . . . . . . 8
133132oveq1d 6055 . . . . . . 7
13481, 133eqtr3d 2438 . . . . . 6
13540, 73, 1343eqtr4rd 2447 . . . . 5
136135oveq1d 6055 . . . 4
13733, 34, 1363eqtr4rd 2447 . . 3
138 hashcl 11594 . . . . . 6
1395, 138syl 16 . . . . 5
140139nn0cnd 10232 . . . 4
141 diffi 7298 . . . . . 6
14224, 141syl 16 . . . . 5
143 eldifi 3429 . . . . . 6
144143, 32sylan2 461 . . . . 5
145142, 144fsumcl 12482 . . . 4
146140, 80, 145subaddd 9385 . . 3
147137, 146mpbird 224 . 2
1488, 147breqtrrd 4198 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  wrex 2667  crab 2670  cvv 2916   cdif 3277   cun 3278   cin 3279   wss 3280  c0 3588  cpw 3759  csn 3774  cpr 3775  cuni 3975   class class class wbr 4172  copab 4225   cxp 4835   cdm 4837   crn 4838   wrel 4842  cfv 5413  (class class class)co 6040  c1o 6676   wer 6861  cec 6862  cqs 6863   cen 7065  cfn 7068  cc 8944  c1 8947   caddc 8949   cmul 8951   cmin 9247  cn0 10177  chash 11573  csu 12434   cdivides 12807  cbs 13424   cga 15021   pGrp cpgp 15120 This theorem is referenced by:  sylow2blem3  15211  sylow3lem6  15221 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-inf2 7552  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-disj 4143  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-1o 6683  df-2o 6684  df-oadd 6687  df-omul 6688  df-er 6864  df-ec 6866  df-qs 6870  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-fin 7072  df-sup 7404  df-oi 7435  df-card 7782  df-acn 7785  df-cda 8004  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-2 10014  df-3 10015  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-rp 10569  df-fz 11000  df-fzo 11091  df-fl 11157  df-mod 11206  df-seq 11279  df-exp 11338  df-fac 11522  df-bc 11549  df-hash 11574  df-cj 11859  df-re 11860  df-im 11861  df-sqr 11995  df-abs 11996  df-clim 12237  df-sum 12435  df-dvds 12808  df-gcd 12962  df-prm 13035  df-pc 13166  df-ndx 13427  df-slot 13428  df-base 13429  df-sets 13430  df-ress 13431  df-plusg 13497  df-0g 13682  df-mnd 14645  df-submnd 14694  df-grp 14767  df-minusg 14768  df-sbg 14769  df-mulg 14770  df-subg 14896  df-eqg 14898  df-ga 15022  df-od 15122  df-pgp 15124
 Copyright terms: Public domain W3C validator