Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow2 Structured version   Unicode version

Theorem sylow2 17263
 Description: Sylow's second theorem. See also sylow2b 17260 for the "hard" part of the proof. Any two Sylow -subgroups are conjugate to one another, and hence the same size, namely (see fislw 17262). This is part of Metamath 100 proof #72. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow2.x
sylow2.f
sylow2.h pSyl
sylow2.k pSyl
sylow2.a
sylow2.d
Assertion
Ref Expression
sylow2
Distinct variable groups:   ,   ,,   ,,   ,,   ,,   ,   ,,
Allowed substitution hints:   ()   (,)   ()

Proof of Theorem sylow2
StepHypRef Expression
1 sylow2.f . . . . 5
21adantr 466 . . . 4
3 sylow2.k . . . . . . . 8 pSyl
4 slwsubg 17247 . . . . . . . 8 pSyl SubGrp
53, 4syl 17 . . . . . . 7 SubGrp
65adantr 466 . . . . . 6 SubGrp
7 simprl 762 . . . . . 6
8 sylow2.x . . . . . . 7
9 sylow2.a . . . . . . 7
10 sylow2.d . . . . . . 7
11 eqid 2422 . . . . . . 7
128, 9, 10, 11conjsubg 16899 . . . . . 6 SubGrp SubGrp
136, 7, 12syl2anc 665 . . . . 5 SubGrp
148subgss 16803 . . . . 5 SubGrp
1513, 14syl 17 . . . 4
16 ssfi 7794 . . . 4
172, 15, 16syl2anc 665 . . 3
18 simprr 764 . . 3
19 sylow2.h . . . . . . . 8 pSyl
208, 1, 19slwhash 17261 . . . . . . 7
218, 1, 3slwhash 17261 . . . . . . 7
2220, 21eqtr4d 2466 . . . . . 6
23 slwsubg 17247 . . . . . . . . . 10 pSyl SubGrp
2419, 23syl 17 . . . . . . . . 9 SubGrp
258subgss 16803 . . . . . . . . 9 SubGrp
2624, 25syl 17 . . . . . . . 8
27 ssfi 7794 . . . . . . . 8
281, 26, 27syl2anc 665 . . . . . . 7
298subgss 16803 . . . . . . . . 9 SubGrp
305, 29syl 17 . . . . . . . 8
31 ssfi 7794 . . . . . . . 8
321, 30, 31syl2anc 665 . . . . . . 7
33 hashen 12529 . . . . . . 7
3428, 32, 33syl2anc 665 . . . . . 6
3522, 34mpbid 213 . . . . 5
3635adantr 466 . . . 4
378, 9, 10, 11conjsubgen 16900 . . . . 5 SubGrp
386, 7, 37syl2anc 665 . . . 4
39 entr 7624 . . . 4
4036, 38, 39syl2anc 665 . . 3
41 fisseneq 7785 . . 3
4217, 18, 40, 41syl3anc 1264 . 2
43 eqid 2422 . . . . 5 s s
4443slwpgp 17250 . . . 4 pSyl pGrp s
4519, 44syl 17 . . 3 pGrp s
468, 1, 24, 5, 9, 45, 21, 10sylow2b 17260 . 2
4742, 46reximddv 2901 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wi 4   wb 187   wa 370   wceq 1437   wcel 1868  wrex 2776   wss 3436   class class class wbr 4420   cmpt 4479   crn 4850  cfv 5597  (class class class)co 6301   cen 7570  cfn 7573  cexp 12271  chash 12514   cpc 14771  cbs 15106   ↾s cress 15107   cplusg 15175  csg 16656  SubGrpcsubg 16796   pGrp cpgp 17154   pSyl cslw 17156 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1665  ax-4 1678  ax-5 1748  ax-6 1794  ax-7 1839  ax-8 1870  ax-9 1872  ax-10 1887  ax-11 1892  ax-12 1905  ax-13 2053  ax-ext 2400  ax-rep 4533  ax-sep 4543  ax-nul 4551  ax-pow 4598  ax-pr 4656  ax-un 6593  ax-inf2 8148  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617 This theorem depends on definitions:  df-bi 188  df-or 371  df-an 372  df-3or 983  df-3an 984  df-tru 1440  df-fal 1443  df-ex 1660  df-nf 1664  df-sb 1787  df-eu 2269  df-mo 2270  df-clab 2408  df-cleq 2414  df-clel 2417  df-nfc 2572  df-ne 2620  df-nel 2621  df-ral 2780  df-rex 2781  df-reu 2782  df-rmo 2783  df-rab 2784  df-v 3083  df-sbc 3300  df-csb 3396  df-dif 3439  df-un 3441  df-in 3443  df-ss 3450  df-pss 3452  df-nul 3762  df-if 3910  df-pw 3981  df-sn 3997  df-pr 3999  df-tp 4001  df-op 4003  df-uni 4217  df-int 4253  df-iun 4298  df-disj 4392  df-br 4421  df-opab 4480  df-mpt 4481  df-tr 4516  df-eprel 4760  df-id 4764  df-po 4770  df-so 4771  df-fr 4808  df-se 4809  df-we 4810  df-xp 4855  df-rel 4856  df-cnv 4857  df-co 4858  df-dm 4859  df-rn 4860  df-res 4861  df-ima 4862  df-pred 5395  df-ord 5441  df-on 5442  df-lim 5443  df-suc 5444  df-iota 5561  df-fun 5599  df-fn 5600  df-f 5601  df-f1 5602  df-fo 5603  df-f1o 5604  df-fv 5605  df-isom 5606  df-riota 6263  df-ov 6304  df-oprab 6305  df-mpt2 6306  df-om 6703  df-1st 6803  df-2nd 6804  df-wrecs 7032  df-recs 7094  df-rdg 7132  df-1o 7186  df-2o 7187  df-oadd 7190  df-omul 7191  df-er 7367  df-ec 7369  df-qs 7373  df-map 7478  df-en 7574  df-dom 7575  df-sdom 7576  df-fin 7577  df-sup 7958  df-inf 7959  df-oi 8027  df-card 8374  df-acn 8377  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-n0 10870  df-z 10938  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12027  df-mod 12096  df-seq 12213  df-exp 12272  df-fac 12459  df-bc 12487  df-hash 12515  df-cj 13148  df-re 13149  df-im 13150  df-sqrt 13284  df-abs 13285  df-clim 13537  df-sum 13738  df-dvds 14291  df-gcd 14454  df-prm 14608  df-pc 14772  df-ndx 15109  df-slot 15110  df-base 15111  df-sets 15112  df-ress 15113  df-plusg 15188  df-0g 15325  df-mgm 16473  df-sgrp 16512  df-mnd 16522  df-submnd 16568  df-grp 16658  df-minusg 16659  df-sbg 16660  df-mulg 16661  df-subg 16799  df-eqg 16801  df-ghm 16866  df-ga 16929  df-od 17157  df-pgp 17161  df-slw 17163 This theorem is referenced by:  sylow3lem3  17266  sylow3lem6  17269
 Copyright terms: Public domain W3C validator