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Theorem sylow1lem4 16427
Description: Lemma for sylow1 16429. The stabilizer subgroup of any element of  S is at most  P ^ N in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
sylow1lem4.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
sylow1lem4.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Distinct variable groups:    g, s, u, x, y, z, B   
g, H, x, y    S, g, u, x, y, z    g, N, s, u, x, y, z   
g, X, s, u, x, y, z    .+ , s, u, x, y, z    z,  .~   
.(+) , g, u, x, y, z    g, G, s, u, x, y, z    P, g, s, u, x, y, z    ph, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, u, g, s)    S( s)    H( z, u, s)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
2 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  B  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  B
) )
32eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  B  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
53, 4elrab2 3263 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `
 B )  =  ( P ^ N
) ) )
61, 5sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
76simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) )
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 14079 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
11 sylow1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1210, 11nnexpcld 12299 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN )
137, 12eqeltrd 2555 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1413nnne0d 10580 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =/=  0 )
15 hasheq0 12401 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =  0  <->  B  =  (/) ) )
1615necon3bid 2725 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
1814, 17mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
19 n0 3794 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  B )
2018, 19sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  B )
211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  S )
22 simplr 754 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  a  e.  B )
23 oveq2 6292 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  a ) )
24 eqid 2467 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )
25 ovex 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b 
.+  a )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5950 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  B  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
2722, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
28 ovex 6309 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b 
.+  z )  e. 
_V
2928, 24fnmpti 5709 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  Fn  B
30 fnfvelrn 6018 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  Fn  B  /\  a  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) `  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) ) )
3129, 22, 30sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  e.  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
3227, 31eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
34 ssrab2 3585 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  B )  =  B }  C_  X
3533, 34eqsstri 3534 . . . . . . . . . . 11  |-  H  C_  X
36 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  H )
3735, 36sseldi 3502 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  X )
381ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  B  e.  S )
39 mptexg 6130 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  S  ->  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V )
40 rnexg 6716 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
43 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  x  =  b )
4443oveq1d 6299 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
4542, 44mpteq12dv 4525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4645rneqd 5230 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
4846, 47ovmpt2ga 6416 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  X  /\  B  e.  S  /\  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )  ->  ( b  .(+)  B )  =  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4937, 38, 41, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
5032, 49eleqtrrd 2558 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ( b  .(+)  B ) )
51 oveq1 6291 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  b  ->  (
u  .(+)  B )  =  ( b  .(+)  B ) )
5251eqeq1d 2469 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  b  ->  (
( u  .(+)  B )  =  B  <->  ( b  .(+)  B )  =  B ) )
5352, 33elrab2 3263 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  H  <->  ( b  e.  X  /\  (
b  .(+)  B )  =  B ) )
5453simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  H  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5554adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5650, 55eleqtrd 2557 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  B )
5756ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  H  -> 
( b  .+  a
)  e.  B ) )
58 sylow1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  G  e.  Grp )
60 simprl 755 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  H )
6135, 60sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  X )
62 simprr 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  H )
6335, 62sseldi 3502 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  X )
646simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P X
)
6564elpwid 4020 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
6665sselda 3504 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  X )
6766adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  a  e.  X )
68 sylow1.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
69 sylow1lem.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7068, 69grprcan 15893 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  a
)  =  ( c 
.+  a )  <->  b  =  c ) )
7159, 61, 63, 67, 70syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) )
7271ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  H  /\  c  e.  H
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) ) )
7357, 72dom2d 7556 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  e.  S  ->  H  ~<_  B ) )
7421, 73mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  H  ~<_  B )
7520, 74exlimddv 1702 . . 3  |-  ( ph  ->  H  ~<_  B )
76 sylow1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
77 ssfi 7740 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
7876, 35, 77sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
79 ssfi 7740 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  Fin )
8076, 65, 79syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
81 hashdom 12415 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8278, 80, 81syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8375, 82mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( # `  B
) )
8483, 7breqtrd 4471 1  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379   E.wex 1596    e. wcel 1767    =/= wne 2662   E.wrex 2815   {crab 2818   _Vcvv 3113    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505   ran crn 5000    Fn wfn 5583   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286    ~<_ cdom 7514   Fincfn 7516   0cc0 9492    <_ cle 9629   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ^cexp 12134   #chash 12373    || cdivides 13847   Primecprime 14076   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   Grpcgrp 15727
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-oadd 7134  df-er 7311  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-card 8320  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-nn 10537  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-fz 11673  df-seq 12076  df-exp 12135  df-hash 12374  df-prm 14077  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  16428
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