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Theorem sylow1lem4 16747
Description: Lemma for sylow1 16749. The stabilizer subgroup of any element of  S is at most  P ^ N in size. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
sylow1lem4.b  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
sylow1lem4.h  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem4  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Distinct variable groups:    g, s, u, x, y, z, B   
g, H, x, y    S, g, u, x, y, z    g, N, s, u, x, y, z   
g, X, s, u, x, y, z    .+ , s, u, x, y, z    z,  .~   
.(+) , g, u, x, y, z    g, G, s, u, x, y, z    P, g, s, u, x, y, z    ph, u, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, u, g, s)    S( s)    H( z, u, s)

Proof of Theorem sylow1lem4
Dummy variables  a 
b  c are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1lem4.b . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  e.  S )
2 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  B  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  B
) )
32eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  B  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
4 sylow1lem.s . . . . . . . . . . 11  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
53, 4elrab2 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( B  e.  S  <->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `
 B )  =  ( P ^ N
) ) )
61, 5sylib 196 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  e.  ~P X  /\  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) ) )
76simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =  ( P ^ N ) )
8 sylow1.p . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
9 prmnn 14231 . . . . . . . . . 10  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
108, 9syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
11 sylow1.n . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
1210, 11nnexpcld 12333 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  e.  NN )
137, 12eqeltrd 2545 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  e.  NN )
1413nnne0d 10601 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  B
)  =/=  0 )
15 hasheq0 12435 . . . . . . . 8  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =  0  <->  B  =  (/) ) )
1615necon3bid 2715 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  S  ->  (
( # `  B )  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
171, 16syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( # `  B
)  =/=  0  <->  B  =/=  (/) ) )
1814, 17mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ph  ->  B  =/=  (/) )
19 n0 3803 . . . . 5  |-  ( B  =/=  (/)  <->  E. a  a  e.  B )
2018, 19sylib 196 . . . 4  |-  ( ph  ->  E. a  a  e.  B )
211adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  B  e.  S )
22 simplr 755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  a  e.  B )
23 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  a  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  a ) )
24 eqid 2457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )
25 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b 
.+  a )  e. 
_V
2623, 24, 25fvmpt 5956 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  e.  B  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
2722, 26syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  =  ( b 
.+  a ) )
28 ovex 6324 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( b 
.+  z )  e. 
_V
2928, 24fnmpti 5715 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) )  Fn  B
30 fnfvelrn 6029 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  Fn  B  /\  a  e.  B
)  ->  ( (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) `  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b 
.+  z ) ) )
3129, 22, 30sylancr 663 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) ) `  a
)  e.  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
3227, 31eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
33 sylow1lem4.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  { u  e.  X  |  ( u  .(+)  B )  =  B }
34 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . 12  |-  { u  e.  X  |  (
u  .(+)  B )  =  B }  C_  X
3533, 34eqsstri 3529 . . . . . . . . . . 11  |-  H  C_  X
36 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  H )
3735, 36sseldi 3497 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  b  e.  X )
381ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  B  e.  S )
39 mptexg 6143 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  e.  S  ->  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V )
40 rnexg 6731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) )  e.  _V  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
4138, 39, 403syl 20 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )
42 simpr 461 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  y  =  B )
43 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  x  =  b )
4443oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
4542, 44mpteq12dv 4535 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4645rneqd 5240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  B )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
47 sylow1lem.m . . . . . . . . . . 11  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
4846, 47ovmpt2ga 6431 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( b  e.  X  /\  B  e.  S  /\  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z
) )  e.  _V )  ->  ( b  .(+)  B )  =  ran  (
z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
4937, 38, 41, 48syl3anc 1228 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  ran  ( z  e.  B  |->  ( b  .+  z ) ) )
5032, 49eleqtrrd 2548 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  ( b  .(+)  B ) )
51 oveq1 6303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( u  =  b  ->  (
u  .(+)  B )  =  ( b  .(+)  B ) )
5251eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( u  =  b  ->  (
( u  .(+)  B )  =  B  <->  ( b  .(+)  B )  =  B ) )
5352, 33elrab2 3259 . . . . . . . . . 10  |-  ( b  e.  H  <->  ( b  e.  X  /\  (
b  .(+)  B )  =  B ) )
5453simprbi 464 . . . . . . . . 9  |-  ( b  e.  H  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5554adantl 466 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .(+)  B )  =  B )
5650, 55eleqtrd 2547 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  b  e.  H )  ->  (
b  .+  a )  e.  B )
5756ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
b  e.  H  -> 
( b  .+  a
)  e.  B ) )
58 sylow1.g . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
5958ad2antrr 725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  G  e.  Grp )
60 simprl 756 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  H )
6135, 60sseldi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  b  e.  X )
62 simprr 757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  H )
6335, 62sseldi 3497 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  c  e.  X )
646simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  e.  ~P X
)
6564elpwid 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  B  C_  X )
6665sselda 3499 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  a  e.  X )
6766adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  a  e.  X )
68 sylow1.x . . . . . . . . 9  |-  X  =  ( Base `  G
)
69 sylow1lem.a . . . . . . . . 9  |-  .+  =  ( +g  `  G )
7068, 69grprcan 16209 . . . . . . . 8  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  a  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  a
)  =  ( c 
.+  a )  <->  b  =  c ) )
7159, 61, 63, 67, 70syl13anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  B )  /\  (
b  e.  H  /\  c  e.  H )
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) )
7271ex 434 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  (
( b  e.  H  /\  c  e.  H
)  ->  ( (
b  .+  a )  =  ( c  .+  a )  <->  b  =  c ) ) )
7357, 72dom2d 7575 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  ( B  e.  S  ->  H  ~<_  B ) )
7421, 73mpd 15 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  B )  ->  H  ~<_  B )
7520, 74exlimddv 1727 . . 3  |-  ( ph  ->  H  ~<_  B )
76 sylow1.f . . . . 5  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
77 ssfi 7759 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  H  C_  X )  ->  H  e.  Fin )
7876, 35, 77sylancl 662 . . . 4  |-  ( ph  ->  H  e.  Fin )
79 ssfi 7759 . . . . 5  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  B  C_  X )  ->  B  e.  Fin )
8076, 65, 79syl2anc 661 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  e.  Fin )
81 hashdom 12449 . . . 4  |-  ( ( H  e.  Fin  /\  B  e.  Fin )  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8278, 80, 81syl2anc 661 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( # `  H
)  <_  ( # `  B
)  <->  H  ~<_  B )
)
8375, 82mpbird 232 . 2  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( # `  B
) )
8483, 7breqtrd 4480 1  |-  ( ph  ->  ( # `  H
)  <_  ( P ^ N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395   E.wex 1613    e. wcel 1819    =/= wne 2652   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   (/)c0 3793   ~Pcpw 4015   {cpr 4034   class class class wbr 4456   {copab 4514    |-> cmpt 4515   ran crn 5009    Fn wfn 5589   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ~<_ cdom 7533   Fincfn 7535   0cc0 9509    <_ cle 9646   NNcn 10556   NN0cn0 10816   ^cexp 12168   #chash 12407    || cdvds 13997   Primecprime 14228   Basecbs 14643   +g cplusg 14711   Grpcgrp 16179
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-oadd 7152  df-er 7329  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-fz 11698  df-seq 12110  df-exp 12169  df-hash 12408  df-prm 14229  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183
This theorem is referenced by:  sylow1lem5  16748
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