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Theorem sylow1lem3 16212
Description: Lemma for sylow1 16215. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set  S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Distinct variable groups:    g, s, x, y, z, w    S, g    x, w, y, z, S    g, N    w, s, N, x, y, z   
g, X, s, w, x, y, z    .+ , s, w, x, y, z    w,  .~ , z    .(+) , g, w, x, y, z    g, G, s, x, y, z    P, g, s, w, x, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, g, s)    S( s)    G( w)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 sylow1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 sylow1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 sylow1.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 sylow1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 16210 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
109simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
11 pcndvds 14043 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 S )  e.  NN )  ->  -.  ( P ^ ( ( P  pCnt  ( # `  S
) )  +  1 ) )  ||  ( # `
 S ) )
121, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S ) )
139simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
1413oveq1d 6208 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 )  =  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )
1514oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( P  pCnt  ( # `
 S ) )  +  1 ) )  =  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) ) )
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 16211 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
1918, 2gaorber 15937 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  S )  ->  .~  Er  S
)
2017, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  S )
21 pwfi 7710 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
224, 21sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
23 ssrab2 3538 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  C_  ~P X
248, 23eqsstri 3487 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ~P X
25 ssfi 7637 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  S  C_  ~P X
)  ->  S  e.  Fin )
2622, 24, 25sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
2720, 26qshash 13401 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
2815, 27breq12d 4406 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) ) )
2912, 28mtbid 300 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
30 pwfi 7710 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  <->  ~P S  e.  Fin )
3126, 30sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P S  e.  Fin )
3220qsss 7264 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )
33 ssfi 7637 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P S  e.  Fin  /\  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( S /.  .~  )  e. 
Fin )
36 prmnn 13877 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
371, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
381, 10pccld 14028 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  e.  NN0 )
3913, 38eqeltrrd 2540 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  NN0 )
40 peano2nn0 10724 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  e. 
NN0  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4237, 41nnexpcld 12139 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  NN )
4342nnzd 10850 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  ZZ )
4443adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  e.  ZZ )
45 erdm 7214 . . . . . . . . . 10  |-  (  .~  Er  S  ->  dom  .~  =  S )
4620, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  S )
47 elqsn0 7272 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  .~  =  S  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4846, 47sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4926adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  S  e.  Fin )
5032sselda 3457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P S )
5150elpwid 3971 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  C_  S )
52 ssfi 7637 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  z  C_  S )  -> 
z  e.  Fin )
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
54 hashnncl 12244 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Fin  ->  (
( # `  z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( # `
 z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5648, 55mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5756adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5857nnzd 10850 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  ZZ )
59 fveq2 5792 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  z  ->  ( # `
 a )  =  ( # `  z
) )
6059oveq2d 6209 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  =  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
6160breq1d 4403 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  z )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
6261notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  z  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
6362rspccva 3171 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
6463adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
652grpbn0 15678 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
67 hashnncl 12244 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
684, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
6966, 68mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
701, 69pccld 14028 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0 )
7170nn0zd 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  ZZ )
725nn0zd 10849 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7371, 72zsubcld 10856 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  ZZ )
7574zred 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  RR )
761ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  P  e.  Prime )
7776, 57pccld 14028 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  NN0 )
7877nn0zd 10849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )
7978zred 10851 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  RR )
8075, 79ltnled 9625 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
8164, 80mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
82 zltp1le 10798 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) ) )
8374, 78, 82syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  <_  ( P  pCnt  (
# `  z )
) ) )
8481, 83mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
8541ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )
86 pcdvdsb 14046 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 z )  e.  ZZ  /\  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) ) )
8776, 58, 85, 86syl3anc 1219 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) ) 
||  ( # `  z
) ) )
8884, 87mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) )
8935, 44, 58, 88fsumdvds 13687 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
9029, 89mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
91 dfrex2 2850 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
9290, 91sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( S /.  .~  )
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
93 eqid 2451 . . . 4  |-  ( S /.  .~  )  =  ( S /.  .~  )
94 fveq2 5792 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( # `  [
z ]  .~  )  =  ( # `  a
) )
9594oveq2d 6209 . . . . . 6  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( P  pCnt  (
# `  [ z ]  .~  ) )  =  ( P  pCnt  ( # `
 a ) ) )
9695breq1d 4403 . . . . 5  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
9796imbi1d 317 . . . 4  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  <->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) ) )
98 eceq1 7240 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  [ w ]  .~  =  [ z ]  .~  )
9998fveq2d 5796 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( # `
 [ z ]  .~  ) )
10099oveq2d 6209 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
) )
101100breq1d 4403 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
102101rspcev 3172 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  /\  ( P  pCnt  ( # `  [ z ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
103102ex 434 . . . . 5  |-  ( z  e.  S  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
104103adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
10593, 97, 104ectocld 7270 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
106105rexlimdva 2940 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
10792, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758    =/= wne 2644   A.wral 2795   E.wrex 2796   {crab 2799    C_ wss 3429   (/)c0 3738   ~Pcpw 3961   {cpr 3980   class class class wbr 4393   {copab 4450    |-> cmpt 4451   dom cdm 4941   ran crn 4942   ` cfv 5519  (class class class)co 6193    |-> cmpt2 6195    Er wer 7201   [cec 7202   /.cqs 7203   Fincfn 7413   1c1 9387    + caddc 9389    < clt 9522    <_ cle 9523    - cmin 9699   NNcn 10426   NN0cn0 10683   ZZcz 10750   ^cexp 11975   #chash 12213   sum_csu 13274    || cdivides 13646   Primecprime 13874    pCnt cpc 14014   Basecbs 14285   +g cplusg 14349   Grpcgrp 15521    GrpAct cga 15918
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4504  ax-sep 4514  ax-nul 4522  ax-pow 4571  ax-pr 4632  ax-un 6475  ax-inf2 7951  ax-cnex 9442  ax-resscn 9443  ax-1cn 9444  ax-icn 9445  ax-addcl 9446  ax-addrcl 9447  ax-mulcl 9448  ax-mulrcl 9449  ax-mulcom 9450  ax-addass 9451  ax-mulass 9452  ax-distr 9453  ax-i2m1 9454  ax-1ne0 9455  ax-1rid 9456  ax-rnegex 9457  ax-rrecex 9458  ax-cnre 9459  ax-pre-lttri 9460  ax-pre-lttrn 9461  ax-pre-ltadd 9462  ax-pre-mulgt0 9463  ax-pre-sup 9464
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3073  df-sbc 3288  df-csb 3390  df-dif 3432  df-un 3434  df-in 3436  df-ss 3443  df-pss 3445  df-nul 3739  df-if 3893  df-pw 3963  df-sn 3979  df-pr 3981  df-tp 3983  df-op 3985  df-uni 4193  df-int 4230  df-iun 4274  df-disj 4364  df-br 4394  df-opab 4452  df-mpt 4453  df-tr 4487  df-eprel 4733  df-id 4737  df-po 4742  df-so 4743  df-fr 4780  df-se 4781  df-we 4782  df-ord 4823  df-on 4824  df-lim 4825  df-suc 4826  df-xp 4947  df-rel 4948  df-cnv 4949  df-co 4950  df-dm 4951  df-rn 4952  df-res 4953  df-ima 4954  df-iota 5482  df-fun 5521  df-fn 5522  df-f 5523  df-f1 5524  df-fo 5525  df-f1o 5526  df-fv 5527  df-isom 5528  df-riota 6154  df-ov 6196  df-oprab 6197  df-mpt2 6198  df-om 6580  df-1st 6680  df-2nd 6681  df-recs 6935  df-rdg 6969  df-1o 7023  df-2o 7024  df-oadd 7027  df-er 7204  df-ec 7206  df-qs 7210  df-map 7319  df-en 7414  df-dom 7415  df-sdom 7416  df-fin 7417  df-sup 7795  df-oi 7828  df-card 8213  df-cda 8441  df-pnf 9524  df-mnf 9525  df-xr 9526  df-ltxr 9527  df-le 9528  df-sub 9701  df-neg 9702  df-div 10098  df-nn 10427  df-2 10484  df-3 10485  df-n0 10684  df-z 10751  df-uz 10966  df-q 11058  df-rp 11096  df-fz 11548  df-fzo 11659  df-fl 11752  df-mod 11819  df-seq 11917  df-exp 11976  df-fac 12162  df-bc 12189  df-hash 12214  df-cj 12699  df-re 12700  df-im 12701  df-sqr 12835  df-abs 12836  df-clim 13077  df-sum 13275  df-dvds 13647  df-gcd 13802  df-prm 13875  df-pc 14015  df-0g 14491  df-mnd 15526  df-grp 15656  df-minusg 15657  df-ga 15919
This theorem is referenced by:  sylow1  16215
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