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Theorem sylow1lem3 16426
Description: Lemma for sylow1 16429. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set  S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
sylow1lem3.1  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Distinct variable groups:    g, s, x, y, z, w    S, g    x, w, y, z, S    g, N    w, s, N, x, y, z   
g, X, s, w, x, y, z    .+ , s, w, x, y, z    w,  .~ , z    .(+) , g, w, x, y, z    g, G, s, x, y, z    P, g, s, w, x, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( w, g, s)    .+ ( g)    .(+) ( s)    .~ ( x, y, g, s)    S( s)    G( w)

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable  a is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
2 sylow1.x . . . . . . . 8  |-  X  =  ( Base `  G
)
3 sylow1.g . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
4 sylow1.f . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
5 sylow1.n . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
6 sylow1.d . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8  |-  .+  =  ( +g  `  G )
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 16424 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( # `  S
)  e.  NN  /\  ( P  pCnt  ( # `  S ) )  =  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N ) ) )
109simpld 459 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  e.  NN )
11 pcndvds 14248 . . . . . 6  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 S )  e.  NN )  ->  -.  ( P ^ ( ( P  pCnt  ( # `  S
) )  +  1 ) )  ||  ( # `
 S ) )
121, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S ) )
139simprd 463 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  =  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
1413oveq1d 6299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 )  =  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )
1514oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( P  pCnt  ( # `
 S ) )  +  1 ) )  =  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) ) )
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 16425 . . . . . . . 8  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9  |-  .~  =  { <. x ,  y
>.  |  ( {
x ,  y } 
C_  S  /\  E. g  e.  X  (
g  .(+)  x )  =  y ) }
1918, 2gaorber 16151 . . . . . . . 8  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  S )  ->  .~  Er  S
)
2017, 19syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  .~  Er  S )
21 pwfi 7815 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  Fin  <->  ~P X  e.  Fin )
224, 21sylib 196 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ~P X  e.  Fin )
23 ssrab2 3585 . . . . . . . . 9  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  C_  ~P X
248, 23eqsstri 3534 . . . . . . . 8  |-  S  C_  ~P X
25 ssfi 7740 . . . . . . . 8  |-  ( ( ~P X  e.  Fin  /\  S  C_  ~P X
)  ->  S  e.  Fin )
2622, 24, 25sylancl 662 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  S  e.  Fin )
2720, 26qshash 13602 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( # `  S
)  =  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
2815, 27breq12d 4460 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( P ^
( ( P  pCnt  (
# `  S )
)  +  1 ) )  ||  ( # `  S )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) ) )
2912, 28mtbid 300 . . . 4  |-  ( ph  ->  -.  ( P ^
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
30 pwfi 7815 . . . . . . . 8  |-  ( S  e.  Fin  <->  ~P S  e.  Fin )
3126, 30sylib 196 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ~P S  e.  Fin )
3220qsss 7372 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )
33 ssfi 7740 . . . . . . 7  |-  ( ( ~P S  e.  Fin  /\  ( S /.  .~  )  C_  ~P S )  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( S /.  .~  )  e.  Fin )
3534adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( S /.  .~  )  e. 
Fin )
36 prmnn 14079 . . . . . . . . 9  |-  ( P  e.  Prime  ->  P  e.  NN )
371, 36syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  NN )
381, 10pccld 14233 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 S ) )  e.  NN0 )
3913, 38eqeltrrd 2556 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  NN0 )
40 peano2nn0 10836 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  e. 
NN0  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  e.  NN0 )
4237, 41nnexpcld 12299 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  NN )
4342nnzd 10965 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) )  e.  ZZ )
4443adantr 465 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  e.  ZZ )
45 erdm 7321 . . . . . . . . . 10  |-  (  .~  Er  S  ->  dom  .~  =  S )
4620, 45syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  dom  .~  =  S )
47 elqsn0 7380 . . . . . . . . 9  |-  ( ( dom  .~  =  S  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4846, 47sylan 471 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  =/=  (/) )
4926adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  S  e.  Fin )
5032sselda 3504 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  ~P S )
5150elpwid 4020 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  C_  S )
52 ssfi 7740 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( S  e.  Fin  /\  z  C_  S )  -> 
z  e.  Fin )
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  z  e.  Fin )
54 hashnncl 12404 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  Fin  ->  (
( # `  z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( # `
 z )  e.  NN  <->  z  =/=  (/) ) )
5648, 55mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5756adantlr 714 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  NN )
5857nnzd 10965 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( # `  z
)  e.  ZZ )
59 fveq2 5866 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( a  =  z  ->  ( # `
 a )  =  ( # `  z
) )
6059oveq2d 6300 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( a  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  =  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
6160breq1d 4457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( a  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  z )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
6261notbid 294 . . . . . . . . . 10  |-  ( a  =  z  ->  ( -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
6362rspccva 3213 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
6463adantll 713 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  -.  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
652grpbn0 15889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( G  e.  Grp  ->  X  =/=  (/) )
663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  X  =/=  (/) )
67 hashnncl 12404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( X  e.  Fin  ->  (
( # `  X )  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
684, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  ( ( # `  X
)  e.  NN  <->  X  =/=  (/) ) )
6966, 68mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( # `  X
)  e.  NN )
701, 69pccld 14233 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  NN0 )
7170nn0zd 10964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  e.  ZZ )
725nn0zd 10964 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  N  e.  ZZ )
7371, 72zsubcld 10971 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ )
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  ZZ )
7574zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  e.  RR )
761ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  P  e.  Prime )
7776, 57pccld 14233 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  NN0 )
7877nn0zd 10964 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )
7978zred 10966 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  RR )
8075, 79ltnled 9731 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <->  -.  ( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
8164, 80mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
82 zltp1le 10912 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  e.  ZZ  /\  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  e.  ZZ )  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) ) )
8374, 78, 82syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  < 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 )  <_  ( P  pCnt  (
# `  z )
) ) )
8481, 83mpbid 210 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) ) )
8541ad2antrr 725 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )
86 pcdvdsb 14251 . . . . . . 7  |-  ( ( P  e.  Prime  /\  ( # `
 z )  e.  ZZ  /\  ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  e.  NN0 )  ->  ( ( ( ( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  +  1 )  <_  ( P  pCnt  ( # `  z
) )  <->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) ) )
8776, 58, 85, 86syl3anc 1228 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 )  <_ 
( P  pCnt  ( # `
 z ) )  <-> 
( P ^ (
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  +  1 ) ) 
||  ( # `  z
) ) )
8884, 87mpbid 210 . . . . 5  |-  ( ( ( ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  /\  z  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  ( # `  z ) )
8935, 44, 58, 88fsumdvds 13888 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  ->  ( P ^ ( ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  +  1 ) )  ||  sum_ z  e.  ( S /.  .~  ) ( # `  z
) )
9029, 89mtand 659 . . 3  |-  ( ph  ->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
91 dfrex2 2915 . . 3  |-  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  -.  A. a  e.  ( S /.  .~  )  -.  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
9290, 91sylibr 212 . 2  |-  ( ph  ->  E. a  e.  ( S /.  .~  )
( P  pCnt  ( # `
 a ) )  <_  ( ( P 
pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )
93 eqid 2467 . . . 4  |-  ( S /.  .~  )  =  ( S /.  .~  )
94 fveq2 5866 . . . . . . 7  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( # `  [
z ]  .~  )  =  ( # `  a
) )
9594oveq2d 6300 . . . . . 6  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( P  pCnt  (
# `  [ z ]  .~  ) )  =  ( P  pCnt  ( # `
 a ) ) )
9695breq1d 4457 . . . . 5  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  <->  ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
9796imbi1d 317 . . . 4  |-  ( [ z ]  .~  =  a  ->  ( ( ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) )  <->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) ) )
98 eceq1 7347 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  z  ->  [ w ]  .~  =  [ z ]  .~  )
9998fveq2d 5870 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  z  ->  ( # `
 [ w ]  .~  )  =  ( # `
 [ z ]  .~  ) )
10099oveq2d 6300 . . . . . . . 8  |-  ( w  =  z  ->  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  =  ( P 
pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
) )
101100breq1d 4457 . . . . . . 7  |-  ( w  =  z  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  <->  ( P  pCnt  ( # `  [
z ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
102101rspcev 3214 . . . . . 6  |-  ( ( z  e.  S  /\  ( P  pCnt  ( # `  [ z ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
103102ex 434 . . . . 5  |-  ( z  e.  S  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
104103adantl 466 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  z  e.  S )  ->  (
( P  pCnt  ( # `
 [ z ]  .~  ) )  <_ 
( ( P  pCnt  (
# `  X )
)  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
10593, 97, 104ectocld 7378 . . 3  |-  ( (
ph  /\  a  e.  ( S /.  .~  )
)  ->  ( ( P  pCnt  ( # `  a
) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N )  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) ) )
106105rexlimdva 2955 . 2  |-  ( ph  ->  ( E. a  e.  ( S /.  .~  ) ( P  pCnt  (
# `  a )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
)  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [
w ]  .~  )
)  <_  ( ( P  pCnt  ( # `  X
) )  -  N
) ) )
10792, 106mpd 15 1  |-  ( ph  ->  E. w  e.  S  ( P  pCnt  ( # `  [ w ]  .~  ) )  <_  (
( P  pCnt  ( # `
 X ) )  -  N ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1379    e. wcel 1767    =/= wne 2662   A.wral 2814   E.wrex 2815   {crab 2818    C_ wss 3476   (/)c0 3785   ~Pcpw 4010   {cpr 4029   class class class wbr 4447   {copab 4504    |-> cmpt 4505   dom cdm 4999   ran crn 5000   ` cfv 5588  (class class class)co 6284    |-> cmpt2 6286    Er wer 7308   [cec 7309   /.cqs 7310   Fincfn 7516   1c1 9493    + caddc 9495    < clt 9628    <_ cle 9629    - cmin 9805   NNcn 10536   NN0cn0 10795   ZZcz 10864   ^cexp 12134   #chash 12373   sum_csu 13471    || cdivides 13847   Primecprime 14076    pCnt cpc 14219   Basecbs 14490   +g cplusg 14555   Grpcgrp 15727    GrpAct cga 16132
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1601  ax-4 1612  ax-5 1680  ax-6 1719  ax-7 1739  ax-8 1769  ax-9 1771  ax-10 1786  ax-11 1791  ax-12 1803  ax-13 1968  ax-ext 2445  ax-rep 4558  ax-sep 4568  ax-nul 4576  ax-pow 4625  ax-pr 4686  ax-un 6576  ax-inf2 8058  ax-cnex 9548  ax-resscn 9549  ax-1cn 9550  ax-icn 9551  ax-addcl 9552  ax-addrcl 9553  ax-mulcl 9554  ax-mulrcl 9555  ax-mulcom 9556  ax-addass 9557  ax-mulass 9558  ax-distr 9559  ax-i2m1 9560  ax-1ne0 9561  ax-1rid 9562  ax-rnegex 9563  ax-rrecex 9564  ax-cnre 9565  ax-pre-lttri 9566  ax-pre-lttrn 9567  ax-pre-ltadd 9568  ax-pre-mulgt0 9569  ax-pre-sup 9570
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1382  df-fal 1385  df-ex 1597  df-nf 1600  df-sb 1712  df-eu 2279  df-mo 2280  df-clab 2453  df-cleq 2459  df-clel 2462  df-nfc 2617  df-ne 2664  df-nel 2665  df-ral 2819  df-rex 2820  df-reu 2821  df-rmo 2822  df-rab 2823  df-v 3115  df-sbc 3332  df-csb 3436  df-dif 3479  df-un 3481  df-in 3483  df-ss 3490  df-pss 3492  df-nul 3786  df-if 3940  df-pw 4012  df-sn 4028  df-pr 4030  df-tp 4032  df-op 4034  df-uni 4246  df-int 4283  df-iun 4327  df-disj 4418  df-br 4448  df-opab 4506  df-mpt 4507  df-tr 4541  df-eprel 4791  df-id 4795  df-po 4800  df-so 4801  df-fr 4838  df-se 4839  df-we 4840  df-ord 4881  df-on 4882  df-lim 4883  df-suc 4884  df-xp 5005  df-rel 5006  df-cnv 5007  df-co 5008  df-dm 5009  df-rn 5010  df-res 5011  df-ima 5012  df-iota 5551  df-fun 5590  df-fn 5591  df-f 5592  df-f1 5593  df-fo 5594  df-f1o 5595  df-fv 5596  df-isom 5597  df-riota 6245  df-ov 6287  df-oprab 6288  df-mpt2 6289  df-om 6685  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-recs 7042  df-rdg 7076  df-1o 7130  df-2o 7131  df-oadd 7134  df-er 7311  df-ec 7313  df-qs 7317  df-map 7422  df-en 7517  df-dom 7518  df-sdom 7519  df-fin 7520  df-sup 7901  df-oi 7935  df-card 8320  df-cda 8548  df-pnf 9630  df-mnf 9631  df-xr 9632  df-ltxr 9633  df-le 9634  df-sub 9807  df-neg 9808  df-div 10207  df-nn 10537  df-2 10594  df-3 10595  df-n0 10796  df-z 10865  df-uz 11083  df-q 11183  df-rp 11221  df-fz 11673  df-fzo 11793  df-fl 11897  df-mod 11965  df-seq 12076  df-exp 12135  df-fac 12322  df-bc 12349  df-hash 12374  df-cj 12895  df-re 12896  df-im 12897  df-sqrt 13031  df-abs 13032  df-clim 13274  df-sum 13472  df-dvds 13848  df-gcd 14004  df-prm 14077  df-pc 14220  df-0g 14697  df-mnd 15732  df-grp 15867  df-minusg 15868  df-ga 16133
This theorem is referenced by:  sylow1  16429
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