Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  sylow1lem3 Structured version   Unicode version

Theorem sylow1lem3 16746
 Description: Lemma for sylow1 16749. One of the orbits of the group action has p-adic valuation less than the prime count of the set . (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x
sylow1.g
sylow1.f
sylow1.p
sylow1.n
sylow1.d
sylow1lem.a
sylow1lem.s
sylow1lem.m
sylow1lem3.1
Assertion
Ref Expression
sylow1lem3
Distinct variable groups:   ,,,,,   ,   ,,,,   ,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,,,   , ,   ,,,,,   ,,,,,   ,,,,,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)   ()   ()   (,,,)   ()   ()

Proof of Theorem sylow1lem3
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.p . . . . . 6
2 sylow1.x . . . . . . . 8
3 sylow1.g . . . . . . . 8
4 sylow1.f . . . . . . . 8
5 sylow1.n . . . . . . . 8
6 sylow1.d . . . . . . . 8
7 sylow1lem.a . . . . . . . 8
8 sylow1lem.s . . . . . . . 8
92, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8sylow1lem1 16744 . . . . . . 7
109simpld 459 . . . . . 6
11 pcndvds 14400 . . . . . 6
121, 10, 11syl2anc 661 . . . . 5
139simprd 463 . . . . . . . 8
1413oveq1d 6311 . . . . . . 7
1514oveq2d 6312 . . . . . 6
16 sylow1lem.m . . . . . . . . 9
172, 3, 4, 1, 5, 6, 7, 8, 16sylow1lem2 16745 . . . . . . . 8
18 sylow1lem3.1 . . . . . . . . 9
1918, 2gaorber 16472 . . . . . . . 8
2017, 19syl 16 . . . . . . 7
21 pwfi 7833 . . . . . . . . 9
224, 21sylib 196 . . . . . . . 8
23 ssrab2 3581 . . . . . . . . 9
248, 23eqsstri 3529 . . . . . . . 8
25 ssfi 7759 . . . . . . . 8
2622, 24, 25sylancl 662 . . . . . . 7
2720, 26qshash 13650 . . . . . 6
2815, 27breq12d 4469 . . . . 5
2912, 28mtbid 300 . . . 4
30 pwfi 7833 . . . . . . . 8
3126, 30sylib 196 . . . . . . 7
3220qsss 7390 . . . . . . 7
33 ssfi 7759 . . . . . . 7
3431, 32, 33syl2anc 661 . . . . . 6
3534adantr 465 . . . . 5
36 prmnn 14231 . . . . . . . . 9
371, 36syl 16 . . . . . . . 8
381, 10pccld 14385 . . . . . . . . . 10
3913, 38eqeltrrd 2546 . . . . . . . . 9
40 peano2nn0 10857 . . . . . . . . 9
4139, 40syl 16 . . . . . . . 8
4237, 41nnexpcld 12333 . . . . . . 7
4342nnzd 10989 . . . . . 6
4443adantr 465 . . . . 5
45 erdm 7339 . . . . . . . . . 10
4620, 45syl 16 . . . . . . . . 9
47 elqsn0 7398 . . . . . . . . 9
4846, 47sylan 471 . . . . . . . 8
4926adantr 465 . . . . . . . . . 10
5032sselda 3499 . . . . . . . . . . 11
5150elpwid 4025 . . . . . . . . . 10
52 ssfi 7759 . . . . . . . . . 10
5349, 51, 52syl2anc 661 . . . . . . . . 9
54 hashnncl 12438 . . . . . . . . 9
5553, 54syl 16 . . . . . . . 8
5648, 55mpbird 232 . . . . . . 7
5756adantlr 714 . . . . . 6
5857nnzd 10989 . . . . 5
59 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . 13
6059oveq2d 6312 . . . . . . . . . . . 12
6160breq1d 4466 . . . . . . . . . . 11
6261notbid 294 . . . . . . . . . 10
6362rspccva 3209 . . . . . . . . 9
6463adantll 713 . . . . . . . 8
652grpbn0 16205 . . . . . . . . . . . . . . . 16
663, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
67 hashnncl 12438 . . . . . . . . . . . . . . . 16
684, 67syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15
6966, 68mpbird 232 . . . . . . . . . . . . . 14
701, 69pccld 14385 . . . . . . . . . . . . 13
7170nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . 12
725nn0zd 10988 . . . . . . . . . . . 12
7371, 72zsubcld 10995 . . . . . . . . . . 11
7473ad2antrr 725 . . . . . . . . . 10
7574zred 10990 . . . . . . . . 9
761ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . 12
7776, 57pccld 14385 . . . . . . . . . . 11
7877nn0zd 10988 . . . . . . . . . 10
7978zred 10990 . . . . . . . . 9
8075, 79ltnled 9749 . . . . . . . 8
8164, 80mpbird 232 . . . . . . 7
82 zltp1le 10934 . . . . . . . 8
8374, 78, 82syl2anc 661 . . . . . . 7
8481, 83mpbid 210 . . . . . 6
8541ad2antrr 725 . . . . . . 7
86 pcdvdsb 14403 . . . . . . 7
8776, 58, 85, 86syl3anc 1228 . . . . . 6
8884, 87mpbid 210 . . . . 5
8935, 44, 58, 88fsumdvds 14040 . . . 4
9029, 89mtand 659 . . 3
91 dfrex2 2908 . . 3
9290, 91sylibr 212 . 2
93 eqid 2457 . . . 4
94 fveq2 5872 . . . . . . 7
9594oveq2d 6312 . . . . . 6
9695breq1d 4466 . . . . 5
9796imbi1d 317 . . . 4
98 eceq1 7365 . . . . . . . . . 10
9998fveq2d 5876 . . . . . . . . 9
10099oveq2d 6312 . . . . . . . 8
101100breq1d 4466 . . . . . . 7
102101rspcev 3210 . . . . . 6
103102ex 434 . . . . 5
104103adantl 466 . . . 4
10593, 97, 104ectocld 7396 . . 3
106105rexlimdva 2949 . 2
10792, 106mpd 15 1
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 184   wa 369   wceq 1395   wcel 1819   wne 2652  wral 2807  wrex 2808  crab 2811   wss 3471  c0 3793  cpw 4015  cpr 4034   class class class wbr 4456  copab 4514   cmpt 4515   cdm 5008   crn 5009  cfv 5594  (class class class)co 6296   cmpt2 6298   wer 7326  cec 7327  cqs 7328  cfn 7535  c1 9510   caddc 9512   clt 9645   cle 9646   cmin 9824  cn 10556  cn0 10816  cz 10885  cexp 12168  chash 12407  csu 13519   cdvds 13997  cprime 14228   cpc 14371  cbs 14643   cplusg 14711  cgrp 16179   cga 16453 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-inf2 8075  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586  ax-pre-sup 9587 This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-fal 1401  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-disj 4428  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-se 4848  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-isom 5603  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-1o 7148  df-2o 7149  df-oadd 7152  df-er 7329  df-ec 7331  df-qs 7335  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-sup 7919  df-oi 7953  df-card 8337  df-cda 8565  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-div 10228  df-nn 10557  df-2 10615  df-3 10616  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-q 11208  df-rp 11246  df-fz 11698  df-fzo 11821  df-fl 11931  df-mod 11999  df-seq 12110  df-exp 12169  df-fac 12356  df-bc 12383  df-hash 12408  df-cj 12943  df-re 12944  df-im 12945  df-sqrt 13079  df-abs 13080  df-clim 13322  df-sum 13520  df-dvds 13998  df-gcd 14156  df-prm 14229  df-pc 14372  df-0g 14858  df-mgm 15998  df-sgrp 16037  df-mnd 16047  df-grp 16183  df-minusg 16184  df-ga 16454 This theorem is referenced by:  sylow1  16749
 Copyright terms: Public domain W3C validator