Theorem sylow1lem2 17263

Description: Lemma for sylow1 17267. The function .(+) is a group action on S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	|- X = ( Base ` G )
sylow1.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow1.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow1.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sylow1.d	|- ( ph -> ( P ^ N ) || ( # ` X ) )
sylow1lem.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow1lem.s	|- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
sylow1lem.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem2	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Distinct variable groups:   x, s, y, z   x, S, y, z   N, s, x, y, z   X, s, x, y, z   .+ , s, x, y, z   x, .(+) , y, z   G, s, x, y, z   P, s, x, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( s)   .(+) ( s)   S( s)

Proof of Theorem sylow1lem2

Dummy variables a b c u w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		sylow1lem.s	. . . 4 |- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
3		sylow1.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		fvex 5880	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2527	. . . . 5 |- X e. _V
6	5	pwex 4589	. . . 4 |- ~P X e. _V
7	2, 6	rabex2 4559	. . 3 |- S e. _V
8	1, 7	jctir 541	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ S e. _V ) )
9	1	adantr 467	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> G e. Grp )
10		simprl 765	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> x e. X )
11		sylow1lem.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` G )
12		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. X |-> ( x .+ z ) )
13	3, 11, 12	grplmulf1o 16740	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
14	9, 10, 13	syl2anc 667	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
15		f1of1 5818	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
16	14, 15	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
17		simprr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. S )
18		fveq2 5870	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = y -> ( # ` s ) = ( # ` y ) )
19	18	eqeq1d 2455	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = y -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
20	19, 2	elrab2 3200	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S <-> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
21	17, 20	sylib 200	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
22	21	simpld 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. ~P X )
23	22	elpwid 3963	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y C_ X )
24		f1ssres 5791	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X /\ y C_ X ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
25	16, 23, 24	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
26		resmpt 5157	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ X -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
27		f1eq1 5779	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
28	23, 26, 27	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
29	25, 28	mpbid 214	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X )
30		f1f 5784	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X )
31		frn 5740	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
32	29, 30, 31	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
33	5	elpw2 4570	. . . . . . 7 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X <-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
34	32, 33	sylibr 216	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X )
35		f1f1orn 5830	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
36		vex 3050	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
37	36	f1oen 7595	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
38	29, 35, 37	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
39		sylow1.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
40	39	adantr 467	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> X e. Fin )
41		ssfi 7797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
42	40, 23, 41	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. Fin )
43		ssfi 7797	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
44	40, 32, 43	syl2anc 667	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
45		hashen 12537	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 667	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
47	38, 46	mpbird 236	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
48	21	simprd 465	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ N ) )
49	47, 48	eqtr3d 2489	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) )
50		fveq2 5870	. . . . . . . 8 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( # ` s ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
51	50	eqeq1d 2455	. . . . . . 7 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
52	51, 2	elrab2 3200	. . . . . 6 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
53	34, 49, 52	sylanbrc 671	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
54	53	ralrimivva 2811	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
55		sylow1lem.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
56	55	fmpt2 6865	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> .(+) : ( X X. S ) --> S )
57	54, 56	sylib 200	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
58	1	adantr 467	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> G e. Grp )
59		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
60	3, 59	grpidcl 16706	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
61	58, 60	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0g ` G ) e. X )
62		simpr 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
63		simpr 463	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
64		simpl 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
65	64	oveq1d 6310	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
66	63, 65	mpteq12dv 4484	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
67	66	rneqd 5065	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
68		vex 3050	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
69	68	mptex 6141	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
70	69	rnex 6732	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
71	67, 55, 70	ovmpt2a 6432	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
72	61, 62, 71	syl2anc 667	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
73		ssrab2 3516	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) } C_ ~P X
74	2, 73	eqsstri 3464	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S C_ ~P X
75	74, 62	sseldi 3432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. ~P X )
76	75	elpwid 3963	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ X )
77	76	sselda 3434	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> z e. X )
78	3, 11, 59	grplid 16708	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
79	58, 78	sylan 474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
80	77, 79	syldan 473	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
81	80	mpteq2dva 4492	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> z ) )
82		mptresid 5162	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
83	81, 82	syl6eq 2503	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( _I |` a ) )
84	83	rneqd 5065	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ran ( _I |` a ) )
85		rnresi 5184	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
86	84, 85	syl6eq 2503	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = a )
87	72, 86	eqtrd 2487	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
88		ovex 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( c .+ z ) e. _V
89		oveq2 6303	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( c .+ z ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
90	88, 89	abrexco 6154	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) }
91		simprr 767	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
92	62	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. S )
93		simpr 463	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
94		simpl 459	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
95	94	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
96	93, 95	mpteq12dv 4484	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
97	96	rneqd 5065	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
98	68	mptex 6141	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
99	98	rnex 6732	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
100	97, 55, 99	ovmpt2a 6432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. S ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
101	91, 92, 100	syl2anc 667	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
102		eqid 2453	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) )
103	102	rnmpt 5083	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) }
104	101, 103	syl6eq 2503	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } )
105	104	rexeqdv 2996	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) ) )
106	105	abbidv 2571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } )
107	58	ad2antrr 733	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
108		simprl 765	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
109	108	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
110	91	adantr 467	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
111	77	adantlr 722	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
112	3, 11	grpass 16692	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
113	107, 109, 110, 111, 112	syl13anc 1271	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
114	113	eqeq2d 2463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
115	114	rexbidva 2900	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
116	115	abbidv 2571	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) } )
117	90, 106, 116	3eqtr4a 2513	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } )
118		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
119	118	rnmpt 5083	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) }
120		eqid 2453	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) )
121	120	rnmpt 5083	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) }
122	117, 119, 121	3eqtr4g 2512	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
123	57	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
124	123, 91, 92	fovrnd 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. S )
125		simpr 463	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
126		simpl 459	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
127	126	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
128	125, 127	mpteq12dv 4484	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) )
129		oveq2 6303	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
130	129	cbvmptv 4498	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
131	128, 130	syl6eq 2503	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
132	131	rneqd 5065	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
133		ovex 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
134	133	mptex 6141	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
135	134	rnex 6732	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
136	132, 55, 135	ovmpt2a 6432	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. S ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
137	108, 124, 136	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
138	1	ad2antrr 733	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
139	3, 11	grpcl 16691	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
140	138, 108, 91, 139	syl3anc 1269	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
141		simpr 463	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
142		simpl 459	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
143	142	oveq1d 6310	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
144	141, 143	mpteq12dv 4484	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
145	144	rneqd 5065	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
146	68	mptex 6141	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
147	146	rnex 6732	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
148	145, 55, 147	ovmpt2a 6432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
149	140, 92, 148	syl2anc 667	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
150	122, 137, 149	3eqtr4rd 2498	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
151	150	ralrimivva 2811	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
152	87, 151	jca 535	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
153	152	ralrimiva 2804	. . 3 |- ( ph -> A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
154	57, 153	jca 535	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
155	3, 11, 59	isga 16957	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct S ) <-> ( ( G e. Grp /\ S e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
156	8, 154, 155	sylanbrc 671	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 188   /\ wa 371   = wceq 1446   e. wcel 1889   {cab 2439   A.wral 2739   E.wrex 2740   {crab 2743   _Vcvv 3047   C_ wss 3406   ~Pcpw 3953   class class class wbr 4405   |-> cmpt 4464   _I cid 4747   X. cxp 4835   ran crn 4838   |` cres 4839   -->wf 5581   -1-1->wf1 5582   -1-1-onto->wf1o 5584   ` cfv 5585  (class class class)co 6295   |-> cmpt2 6297   ~~ cen 7571   Fincfn 7574   NN0cn0 10876   ^cexp 12279   #chash 12522   || cdvds 14317   Primecprime 14634   Basecbs 15133   +g cplusg 15202   0gc0g 15350   Grpcgrp 16681   GrpAct cga 16955

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1671  ax-4 1684  ax-5 1760  ax-6 1807  ax-7 1853  ax-8 1891  ax-9 1898  ax-10 1917  ax-11 1922  ax-12 1935  ax-13 2093  ax-ext 2433  ax-rep 4518  ax-sep 4528  ax-nul 4537  ax-pow 4584  ax-pr 4642  ax-un 6588  ax-cnex 9600  ax-resscn 9601  ax-1cn 9602  ax-icn 9603  ax-addcl 9604  ax-addrcl 9605  ax-mulcl 9606  ax-mulrcl 9607  ax-mulcom 9608  ax-addass 9609  ax-mulass 9610  ax-distr 9611  ax-i2m1 9612  ax-1ne0 9613  ax-1rid 9614  ax-rnegex 9615  ax-rrecex 9616  ax-cnre 9617  ax-pre-lttri 9618  ax-pre-lttrn 9619  ax-pre-ltadd 9620  ax-pre-mulgt0 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 987  df-3an 988  df-tru 1449  df-ex 1666  df-nf 1670  df-sb 1800  df-eu 2305  df-mo 2306  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2583  df-ne 2626  df-nel 2627  df-ral 2744  df-rex 2745  df-reu 2746  df-rmo 2747  df-rab 2748  df-v 3049  df-sbc 3270  df-csb 3366  df-dif 3409  df-un 3411  df-in 3413  df-ss 3420  df-pss 3422  df-nul 3734  df-if 3884  df-pw 3955  df-sn 3971  df-pr 3973  df-tp 3975  df-op 3977  df-uni 4202  df-int 4238  df-iun 4283  df-br 4406  df-opab 4465  df-mpt 4466  df-tr 4501  df-eprel 4748  df-id 4752  df-po 4758  df-so 4759  df-fr 4796  df-we 4798  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-pred 5383  df-ord 5429  df-on 5430  df-lim 5431  df-suc 5432  df-iota 5549  df-fun 5587  df-fn 5588  df-f 5589  df-f1 5590  df-fo 5591  df-f1o 5592  df-fv 5593  df-riota 6257  df-ov 6298  df-oprab 6299  df-mpt2 6300  df-om 6698  df-1st 6798  df-2nd 6799  df-wrecs 7033  df-recs 7095  df-rdg 7133  df-er 7368  df-map 7479  df-en 7575  df-dom 7576  df-sdom 7577  df-fin 7578  df-card 8378  df-pnf 9682  df-mnf 9683  df-xr 9684  df-ltxr 9685  df-le 9686  df-sub 9867  df-neg 9868  df-nn 10617  df-n0 10877  df-z 10945  df-uz 11167  df-hash 12523  df-0g 15352  df-mgm 16500  df-sgrp 16539  df-mnd 16549  df-grp 16685  df-minusg 16686  df-ga 16956

This theorem is referenced by:  sylow1lem3  17264  sylow1lem5  17266