Theorem sylow1lem2 16746

Description: Lemma for sylow1 16750. The function .(+) is a group action on S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	|- X = ( Base ` G )
sylow1.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow1.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow1.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sylow1.d	|- ( ph -> ( P ^ N ) || ( # ` X ) )
sylow1lem.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow1lem.s	|- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
sylow1lem.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem2	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Distinct variable groups:   x, s, y, z   x, S, y, z   N, s, x, y, z   X, s, x, y, z   .+ , s, x, y, z   x, .(+) , y, z   G, s, x, y, z   P, s, x, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( s)   .(+) ( s)   S( s)

Proof of Theorem sylow1lem2

Dummy variables a b c u w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		sylow1lem.s	. . . 4 |- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
3		sylow1.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		fvex 5882	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2541	. . . . 5 |- X e. _V
6	5	pwex 4639	. . . 4 |- ~P X e. _V
7	2, 6	rabex2 4609	. . 3 |- S e. _V
8	1, 7	jctir 538	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ S e. _V ) )
9	1	adantr 465	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> G e. Grp )
10		simprl 756	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> x e. X )
11		sylow1lem.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` G )
12		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. X |-> ( x .+ z ) )
13	3, 11, 12	grplmulf1o 16239	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
14	9, 10, 13	syl2anc 661	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
15		f1of1 5821	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
16	14, 15	syl 16	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
17		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. S )
18		fveq2 5872	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = y -> ( # ` s ) = ( # ` y ) )
19	18	eqeq1d 2459	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = y -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
20	19, 2	elrab2 3259	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S <-> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
21	17, 20	sylib 196	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
22	21	simpld 459	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. ~P X )
23	22	elpwid 4025	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y C_ X )
24		f1ssres 5794	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X /\ y C_ X ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
25	16, 23, 24	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
26		resmpt 5333	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ X -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
27		f1eq1 5782	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
28	23, 26, 27	3syl 20	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
29	25, 28	mpbid 210	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X )
30		f1f 5787	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X )
31		frn 5743	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
32	29, 30, 31	3syl 20	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
33	5	elpw2 4620	. . . . . . 7 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X <-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
34	32, 33	sylibr 212	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X )
35		f1f1orn 5833	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
36		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
37	36	f1oen 7555	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
38	29, 35, 37	3syl 20	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
39		sylow1.f	. . . . . . . . . . 11 |- ( ph -> X e. Fin )
40	39	adantr 465	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> X e. Fin )
41		ssfi 7759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
42	40, 23, 41	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. Fin )
43		ssfi 7759	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
44	40, 32, 43	syl2anc 661	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
45		hashen 12423	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
46	42, 44, 45	syl2anc 661	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
47	38, 46	mpbird 232	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
48	21	simprd 463	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ N ) )
49	47, 48	eqtr3d 2500	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) )
50		fveq2 5872	. . . . . . . 8 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( # ` s ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
51	50	eqeq1d 2459	. . . . . . 7 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
52	51, 2	elrab2 3259	. . . . . 6 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
53	34, 49, 52	sylanbrc 664	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
54	53	ralrimivva 2878	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
55		sylow1lem.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
56	55	fmpt2 6866	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> .(+) : ( X X. S ) --> S )
57	54, 56	sylib 196	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
58	1	adantr 465	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> G e. Grp )
59		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
60	3, 59	grpidcl 16205	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
61	58, 60	syl 16	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0g ` G ) e. X )
62		simpr 461	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
63		simpr 461	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
64		simpl 457	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
65	64	oveq1d 6311	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
66	63, 65	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
67	66	rneqd 5240	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
68		vex 3112	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
69	68	mptex 6144	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
70	69	rnex 6733	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
71	67, 55, 70	ovmpt2a 6432	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
72	61, 62, 71	syl2anc 661	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
73		ssrab2 3581	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) } C_ ~P X
74	2, 73	eqsstri 3529	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S C_ ~P X
75	74, 62	sseldi 3497	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. ~P X )
76	75	elpwid 4025	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ X )
77	76	sselda 3499	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> z e. X )
78	3, 11, 59	grplid 16207	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
79	58, 78	sylan 471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
80	77, 79	syldan 470	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
81	80	mpteq2dva 4543	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> z ) )
82		mptresid 5338	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
83	81, 82	syl6eq 2514	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( _I |` a ) )
84	83	rneqd 5240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ran ( _I |` a ) )
85		rnresi 5360	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
86	84, 85	syl6eq 2514	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = a )
87	72, 86	eqtrd 2498	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
88		ovex 6324	. . . . . . . . . 10 |- ( c .+ z ) e. _V
89		oveq2 6304	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( c .+ z ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
90	88, 89	abrexco 6157	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) }
91		simprr 757	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
92	62	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. S )
93		simpr 461	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
94		simpl 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
95	94	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
96	93, 95	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
97	96	rneqd 5240	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
98	68	mptex 6144	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
99	98	rnex 6733	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
100	97, 55, 99	ovmpt2a 6432	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. S ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
101	91, 92, 100	syl2anc 661	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
102		eqid 2457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) )
103	102	rnmpt 5258	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) }
104	101, 103	syl6eq 2514	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } )
105	104	rexeqdv 3061	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) ) )
106	105	abbidv 2593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } )
107	58	ad2antrr 725	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
108		simprl 756	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
109	108	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
110	91	adantr 465	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
111	77	adantlr 714	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
112	3, 11	grpass 16191	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
113	107, 109, 110, 111, 112	syl13anc 1230	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
114	113	eqeq2d 2471	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
115	114	rexbidva 2965	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
116	115	abbidv 2593	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) } )
117	90, 106, 116	3eqtr4a 2524	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } )
118		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
119	118	rnmpt 5258	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) }
120		eqid 2457	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) )
121	120	rnmpt 5258	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) }
122	117, 119, 121	3eqtr4g 2523	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
123	57	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
124	123, 91, 92	fovrnd 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. S )
125		simpr 461	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
126		simpl 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
127	126	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
128	125, 127	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) )
129		oveq2 6304	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
130	129	cbvmptv 4548	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
131	128, 130	syl6eq 2514	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
132	131	rneqd 5240	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
133		ovex 6324	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
134	133	mptex 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
135	134	rnex 6733	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
136	132, 55, 135	ovmpt2a 6432	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. S ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
137	108, 124, 136	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
138	1	ad2antrr 725	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
139	3, 11	grpcl 16190	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
140	138, 108, 91, 139	syl3anc 1228	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
141		simpr 461	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
142		simpl 457	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
143	142	oveq1d 6311	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
144	141, 143	mpteq12dv 4535	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
145	144	rneqd 5240	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
146	68	mptex 6144	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
147	146	rnex 6733	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
148	145, 55, 147	ovmpt2a 6432	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
149	140, 92, 148	syl2anc 661	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
150	122, 137, 149	3eqtr4rd 2509	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
151	150	ralrimivva 2878	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
152	87, 151	jca 532	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
153	152	ralrimiva 2871	. . 3 |- ( ph -> A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
154	57, 153	jca 532	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
155	3, 11, 59	isga 16456	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct S ) <-> ( ( G e. Grp /\ S e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
156	8, 154, 155	sylanbrc 664	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 184   /\ wa 369   = wceq 1395   e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109   C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456   |-> cmpt 4515   _I cid 4799   X. cxp 5006   ran crn 5009   |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296   |-> cmpt2 6298   ~~ cen 7532   Fincfn 7535   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   #chash 12408   || cdvds 13998   Primecprime 14229   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180   GrpAct cga 16454

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-hash 12409  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-ga 16455

This theorem is referenced by:  sylow1lem3  16747  sylow1lem5  16749