Theorem sylow1lem2 17329

Description: Lemma for sylow1 17333. The function .(+) is a group action on S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
sylow1.x	|- X = ( Base ` G )
sylow1.g	|- ( ph -> G e. Grp )
sylow1.f	|- ( ph -> X e. Fin )
sylow1.p	|- ( ph -> P e. Prime )
sylow1.n	|- ( ph -> N e. NN0 )
sylow1.d	|- ( ph -> ( P ^ N ) || ( # ` X ) )
sylow1lem.a	|- .+ = ( +g ` G )
sylow1lem.s	|- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
sylow1lem.m	|- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )

Assertion

Ref	Expression
sylow1lem2	|- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Distinct variable groups:   x, s, y, z   x, S, y, z   N, s, x, y, z   X, s, x, y, z   .+ , s, x, y, z   x, .(+) , y, z   G, s, x, y, z   P, s, x, y, z   ph, x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( s)   .(+) ( s)   S( s)

Proof of Theorem sylow1lem2

Dummy variables a b c u w v are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sylow1.g	. . 3 |- ( ph -> G e. Grp )
2		sylow1lem.s	. . . 4 |- S = { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) }
3		sylow1.x	. . . . . 6 |- X = ( Base ` G )
4		fvex 5889	. . . . . 6 |- ( Base ` G ) e. _V
5	3, 4	eqeltri 2545	. . . . 5 |- X e. _V
6	5	pwex 4584	. . . 4 |- ~P X e. _V
7	2, 6	rabex2 4552	. . 3 |- S e. _V
8	1, 7	jctir 547	. 2 |- ( ph -> ( G e. Grp /\ S e. _V ) )
9		simprl 772	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> x e. X )
10		sylow1lem.a	. . . . . . . . . . . . 13 |- .+ = ( +g ` G )
11		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. X |-> ( x .+ z ) )
12	3, 10, 11	grplmulf1o 16806	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( G e. Grp /\ x e. X ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
13	1, 9, 12	syl2an2r 849	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X )
14		f1of1 5827	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-onto-> X -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
15	13, 14	syl 17	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X )
16		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. S )
17		fveq2 5879	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( s = y -> ( # ` s ) = ( # ` y ) )
18	17	eqeq1d 2473	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( s = y -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
19	18, 2	elrab2 3186	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( y e. S <-> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
20	16, 19	sylib 201	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( y e. ~P X /\ ( # ` y ) = ( P ^ N ) ) )
21	20	simpld 466	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. ~P X )
22	21	elpwid 3952	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y C_ X )
23		f1ssres 5799	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) : X -1-1-> X /\ y C_ X ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
24	15, 22, 23	syl2anc 673	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X )
25		resmpt 5160	. . . . . . . . . 10 |- ( y C_ X -> ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
26		f1eq1 5787	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) = ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
27	22, 25, 26	3syl 18	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( ( z e. X |-> ( x .+ z ) ) |` y ) : y -1-1-> X <-> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X ) )
28	24, 27	mpbid 215	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X )
29		f1f 5792	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X )
30		frn 5747	. . . . . . . 8 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y --> X -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
31	28, 29, 30	3syl 18	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
32	5	elpw2 4565	. . . . . . 7 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X <-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X )
33	31, 32	sylibr 217	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X )
34		f1f1orn 5839	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-> X -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
35		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
36	35	f1oen 7608	. . . . . . . . 9 |- ( ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) : y -1-1-onto-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
37	28, 34, 36	3syl 18	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
38		sylow1.f	. . . . . . . . . 10 |- ( ph -> X e. Fin )
39		ssfi 7810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ y C_ X ) -> y e. Fin )
40	38, 22, 39	syl2an2r 849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> y e. Fin )
41		ssfi 7810	. . . . . . . . . 10 |- ( ( X e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) C_ X ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
42	38, 31, 41	syl2an2r 849	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin )
43		hashen 12568	. . . . . . . . 9 |- ( ( y e. Fin /\ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. Fin ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
44	40, 42, 43	syl2anc 673	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) <-> y ~~ ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
45	37, 44	mpbird 240	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
46	20	simprd 470	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` y ) = ( P ^ N ) )
47	45, 46	eqtr3d 2507	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) )
48		fveq2 5879	. . . . . . . 8 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( # ` s ) = ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) )
49	48	eqeq1d 2473	. . . . . . 7 |- ( s = ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) -> ( ( # ` s ) = ( P ^ N ) <-> ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
50	49, 2	elrab2 3186	. . . . . 6 |- ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> ( ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. ~P X /\ ( # ` ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) ) = ( P ^ N ) ) )
51	33, 47, 50	sylanbrc 677	. . . . 5 |- ( ( ph /\ ( x e. X /\ y e. S ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
52	51	ralrimivva 2814	. . . 4 |- ( ph -> A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S )
53		sylow1lem.m	. . . . 5 |- .(+) = ( x e. X , y e. S |-> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) )
54	53	fmpt2 6879	. . . 4 |- ( A. x e. X A. y e. S ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) e. S <-> .(+) : ( X X. S ) --> S )
55	52, 54	sylib 201	. . 3 |- ( ph -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
56	1	adantr 472	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> G e. Grp )
57		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( 0g ` G ) = ( 0g ` G )
58	3, 57	grpidcl 16772	. . . . . . . 8 |- ( G e. Grp -> ( 0g ` G ) e. X )
59	56, 58	syl 17	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( 0g ` G ) e. X )
60		simpr 468	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. S )
61		simpr 468	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> y = a )
62		simpl 464	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> x = ( 0g ` G ) )
63	62	oveq1d 6323	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( 0g ` G ) .+ z ) )
64	61, 63	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
65	64	rneqd 5068	. . . . . . . 8 |- ( ( x = ( 0g ` G ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
66		vex 3034	. . . . . . . . . 10 |- a e. _V
67	66	mptex 6152	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
68	67	rnex 6746	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) e. _V
69	65, 53, 68	ovmpt2a 6446	. . . . . . 7 |- ( ( ( 0g ` G ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
70	59, 60, 69	syl2anc 673	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) )
71		ssrab2 3500	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- { s e. ~P X | ( # ` s ) = ( P ^ N ) } C_ ~P X
72	2, 71	eqsstri 3448	. . . . . . . . . . . . . 14 |- S C_ ~P X
73	72, 60	sseldi 3416	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a e. ~P X )
74	73	elpwid 3952	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> a C_ X )
75	74	sselda 3418	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> z e. X )
76	3, 10, 57	grplid 16774	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( G e. Grp /\ z e. X ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
77	56, 75, 76	syl2an2r 849	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ z e. a ) -> ( ( 0g ` G ) .+ z ) = z )
78	77	mpteq2dva 4482	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> z ) )
79		mptresid 5165	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> z ) = ( _I |` a )
80	78, 79	syl6eq 2521	. . . . . . . 8 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ( _I |` a ) )
81	80	rneqd 5068	. . . . . . 7 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = ran ( _I |` a ) )
82		rnresi 5187	. . . . . . 7 |- ran ( _I |` a ) = a
83	81, 82	syl6eq 2521	. . . . . 6 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ran ( z e. a |-> ( ( 0g ` G ) .+ z ) ) = a )
84	70, 83	eqtrd 2505	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a )
85		ovex 6336	. . . . . . . . . 10 |- ( c .+ z ) e. _V
86		oveq2 6316	. . . . . . . . . 10 |- ( w = ( c .+ z ) -> ( b .+ w ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
87	85, 86	abrexco 6167	. . . . . . . . 9 |- { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) }
88		simprr 774	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> c e. X )
89	60	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> a e. S )
90		simpr 468	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> y = a )
91		simpl 464	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> x = c )
92	91	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( c .+ z ) )
93	90, 92	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
94	93	rneqd 5068	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( x = c /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
95	66	mptex 6152	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
96	95	rnex 6746	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) e. _V
97	94, 53, 96	ovmpt2a 6446	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( c e. X /\ a e. S ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
98	88, 89, 97	syl2anc 673	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) )
99		eqid 2471	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( c .+ z ) )
100	99	rnmpt 5086	. . . . . . . . . . . 12 |- ran ( z e. a |-> ( c .+ z ) ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) }
101	98, 100	syl6eq 2521	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) = { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } )
102	101	rexeqdv 2980	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) <-> E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) ) )
103	102	abbidv 2589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. w e. { v | E. z e. a v = ( c .+ z ) } u = ( b .+ w ) } )
104	56	ad2antrr 740	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> G e. Grp )
105		simprl 772	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> b e. X )
106	105	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> b e. X )
107	88	adantr 472	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> c e. X )
108	75	adantlr 729	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> z e. X )
109	3, 10	grpass 16758	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( G e. Grp /\ ( b e. X /\ c e. X /\ z e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
110	104, 106, 107, 108, 109	syl13anc 1294	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( ( b .+ c ) .+ z ) = ( b .+ ( c .+ z ) ) )
111	110	eqeq2d 2481	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) /\ z e. a ) -> ( u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
112	111	rexbidva 2889	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) <-> E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) ) )
113	112	abbidv 2589	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } = { u | E. z e. a u = ( b .+ ( c .+ z ) ) } )
114	87, 103, 113	3eqtr4a 2531	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) } = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) } )
115		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
116	115	rnmpt 5086	. . . . . . . 8 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = { u | E. w e. ( c .(+) a ) u = ( b .+ w ) }
117		eqid 2471	. . . . . . . . 9 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) )
118	117	rnmpt 5086	. . . . . . . 8 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) = { u | E. z e. a u = ( ( b .+ c ) .+ z ) }
119	114, 116, 118	3eqtr4g 2530	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
120	55	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> .(+) : ( X X. S ) --> S )
121	120, 88, 89	fovrnd 6460	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( c .(+) a ) e. S )
122		simpr 468	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> y = ( c .(+) a ) )
123		simpl 464	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> x = b )
124	123	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( x .+ z ) = ( b .+ z ) )
125	122, 124	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) )
126		oveq2 6316	. . . . . . . . . . . 12 |- ( z = w -> ( b .+ z ) = ( b .+ w ) )
127	126	cbvmptv 4488	. . . . . . . . . . 11 |- ( z e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) )
128	125, 127	syl6eq 2521	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
129	128	rneqd 5068	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = b /\ y = ( c .(+) a ) ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
130		ovex 6336	. . . . . . . . . . 11 |- ( c .(+) a ) e. _V
131	130	mptex 6152	. . . . . . . . . 10 |- ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
132	131	rnex 6746	. . . . . . . . 9 |- ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) e. _V
133	129, 53, 132	ovmpt2a 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( b e. X /\ ( c .(+) a ) e. S ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
134	105, 121, 133	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .(+) ( c .(+) a ) ) = ran ( w e. ( c .(+) a ) |-> ( b .+ w ) ) )
135	1	ad2antrr 740	. . . . . . . . 9 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> G e. Grp )
136	3, 10	grpcl 16757	. . . . . . . . 9 |- ( ( G e. Grp /\ b e. X /\ c e. X ) -> ( b .+ c ) e. X )
137	135, 105, 88, 136	syl3anc 1292	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( b .+ c ) e. X )
138		simpr 468	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> y = a )
139		simpl 464	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> x = ( b .+ c ) )
140	139	oveq1d 6323	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( x .+ z ) = ( ( b .+ c ) .+ z ) )
141	138, 140	mpteq12dv 4474	. . . . . . . . . 10 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
142	141	rneqd 5068	. . . . . . . . 9 |- ( ( x = ( b .+ c ) /\ y = a ) -> ran ( z e. y |-> ( x .+ z ) ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
143	66	mptex 6152	. . . . . . . . . 10 |- ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
144	143	rnex 6746	. . . . . . . . 9 |- ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) e. _V
145	142, 53, 144	ovmpt2a 6446	. . . . . . . 8 |- ( ( ( b .+ c ) e. X /\ a e. S ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
146	137, 89, 145	syl2anc 673	. . . . . . 7 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ran ( z e. a |-> ( ( b .+ c ) .+ z ) ) )
147	119, 134, 146	3eqtr4rd 2516	. . . . . 6 |- ( ( ( ph /\ a e. S ) /\ ( b e. X /\ c e. X ) ) -> ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
148	147	ralrimivva 2814	. . . . 5 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) )
149	84, 148	jca 541	. . . 4 |- ( ( ph /\ a e. S ) -> ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
150	149	ralrimiva 2809	. . 3 |- ( ph -> A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) )
151	55, 150	jca 541	. 2 |- ( ph -> ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) )
152	3, 10, 57	isga 17023	. 2 |- ( .(+) e. ( G GrpAct S ) <-> ( ( G e. Grp /\ S e. _V ) /\ ( .(+) : ( X X. S ) --> S /\ A. a e. S ( ( ( 0g ` G ) .(+) a ) = a /\ A. b e. X A. c e. X ( ( b .+ c ) .(+) a ) = ( b .(+) ( c .(+) a ) ) ) ) ) )
153	8, 151, 152	sylanbrc 677	1 |- ( ph -> .(+) e. ( G GrpAct S ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 189   /\ wa 376   = wceq 1452   e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031   C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395   |-> cmpt 4454   _I cid 4749   X. cxp 4837   ran crn 4840   |` cres 4841   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308   |-> cmpt2 6310   ~~ cen 7584   Fincfn 7587   NN0cn0 10893   ^cexp 12310   #chash 12553   || cdvds 14382   Primecprime 14701   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747   GrpAct cga 17021

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634

This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-hash 12554  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-ga 17022

This theorem is referenced by:  sylow1lem3  17330  sylow1lem5  17332