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Theorem sylow1lem2 17329
Description: Lemma for sylow1 17333. The function  .(+) is a group action on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
sylow1lem2  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, z    x, S, y, z    N, s, x, y, z    X, s, x, y, z    .+ , s, x, y, z    x,  .(+) , y, z    G, s, x, y, z    P, s, x, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( s)    .(+) ( s)    S( s)

Proof of Theorem sylow1lem2
Dummy variables  a 
b  c  u  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 sylow1lem.s . . . 4  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
3 sylow1.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 fvex 5889 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
53, 4eqeltri 2545 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
65pwex 4584 . . . 4  |-  ~P X  e.  _V
72, 6rabex2 4552 . . 3  |-  S  e. 
_V
81, 7jctir 547 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\  S  e.  _V )
)
9 simprl 772 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  X )
10 sylow1lem.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  G )
11 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  X  |->  ( x 
.+  z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )
123, 10, 11grplmulf1o 16806 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
131, 9, 12syl2an2r 849 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
14 f1of1 5827 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) ) : X -1-1-onto-> X  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
1513, 14syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
16 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
17 fveq2 5879 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  y  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  y
) )
1817eqeq1d 2473 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  y  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  y
)  =  ( P ^ N ) ) )
1918, 2elrab2 3186 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ~P X  /\  ( # `
 y )  =  ( P ^ N
) ) )
2016, 19sylib 201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( y  e.  ~P X  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ N ) ) )
2120simpld 466 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ~P X
)
2221elpwid 3952 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  C_  X )
23 f1ssres 5799 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X  /\  y  C_  X
)  ->  ( (
z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y -1-1-> X )
2415, 22, 23syl2anc 673 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y
-1-1-> X )
25 resmpt 5160 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) )  |`  y
)  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
26 f1eq1 5787 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) )  |`  y
)  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y -1-1-> X  <->  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) : y -1-1-> X ) )
2722, 25, 263syl 18 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( z  e.  X  |->  ( x 
.+  z ) )  |`  y ) : y
-1-1-> X  <->  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X ) )
2824, 27mpbid 215 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y
-1-1-> X )
29 f1f 5792 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y --> X )
30 frn 5747 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y --> X  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) 
C_  X )
3128, 29, 303syl 18 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  C_  X
)
325elpw2 4565 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  ~P X 
<->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  C_  X )
3331, 32sylibr 217 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  ~P X )
34 f1f1orn 5839 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y -1-1-onto-> ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
35 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3635f1oen 7608 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-onto-> ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  ->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
3728, 34, 363syl 18 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
38 sylow1.f . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
39 ssfi 7810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  C_  X )  -> 
y  e.  Fin )
4038, 22, 39syl2an2r 849 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  Fin )
41 ssfi 7810 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  C_  X
)  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  e.  Fin )
4238, 31, 41syl2an2r 849 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  Fin )
43 hashen 12568 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  y )  =  (
# `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )  <->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) ) )
4440, 42, 43syl2anc 673 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( # `  y
)  =  ( # `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  <-> 
y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) ) )
4537, 44mpbird 240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  y )  =  ( # `  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) ) )
4620simprd 470 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  y )  =  ( P ^ N ) )
4745, 46eqtr3d 2507 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) )
48 fveq2 5879 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( # `  s
)  =  ( # `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) ) )
4948eqeq1d 2473 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( ( # `  s )  =  ( P ^ N )  <-> 
( # `  ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) ) )
5049, 2elrab2 3186 . . . . . 6  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S  <->  ( ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  e. 
~P X  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) ) )
5133, 47, 50sylanbrc 677 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S
)
5251ralrimivva 2814 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S
)
53 sylow1lem.m . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
5453fmpt2 6879 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  S  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S  <->  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
5552, 54sylib 201 . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
561adantr 472 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
57 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
583, 57grpidcl 16772 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
5956, 58syl 17 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
60 simpr 468 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
61 simpr 468 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
62 simpl 464 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( 0g
`  G ) )
6362oveq1d 6323 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )
6461, 63mpteq12dv 4474 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
) )
6564rneqd 5068 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g
`  G )  .+  z ) ) )
66 vex 3034 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
6766mptex 6152 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )  e.  _V
6867rnex 6746 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  e.  _V
6965, 53, 68ovmpt2a 6446 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) ) )
7059, 60, 69syl2anc 673 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g
`  G )  .+  z ) ) )
71 ssrab2 3500 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  C_  ~P X
722, 71eqsstri 3448 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  C_  ~P X
7372, 60sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ~P X )
7473elpwid 3952 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_  X )
7574sselda 3418 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
763, 10, 57grplid 16774 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
7756, 75, 76syl2an2r 849 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  a )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  z )  =  z )
7877mpteq2dva 4482 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  =  ( z  e.  a  |->  z ) )
79 mptresid 5165 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  z )  =  (  _I  |`  a
)
8078, 79syl6eq 2521 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  =  (  _I  |`  a ) )
8180rneqd 5068 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( 0g `  G )  .+  z
) )  =  ran  (  _I  |`  a ) )
82 rnresi 5187 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  a )  =  a
8381, 82syl6eq 2521 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( 0g `  G )  .+  z
) )  =  a )
8470, 83eqtrd 2505 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  a )
85 ovex 6336 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.+  z )  e. 
_V
86 oveq2 6316 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( c  .+  z )  ->  (
b  .+  w )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
8785, 86abrexco 6167 . . . . . . . . 9  |-  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) }  =  {
u  |  E. z  e.  a  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) }
88 simprr 774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  c  e.  X )
8960adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  a  e.  S )
90 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
91 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  x  =  c )
9291oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( c 
.+  z ) )
9390, 92mpteq12dv 4474 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) ) )
9493rneqd 5068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) ) )
9566mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) )  e.  _V
9695rnex 6746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )  e.  _V
9794, 53, 96ovmpt2a 6446 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) ) )
9888, 89, 97syl2anc 673 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( c  .+  z
) ) )
99 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )
10099rnmpt 5086 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )  =  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z ) }
10198, 100syl6eq 2521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  =  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } )
102101rexeqdv 2980 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( b  .+  w
)  <->  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) ) )
103102abbidv 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }  =  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) } )
10456ad2antrr 740 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  G  e.  Grp )
105 simprl 772 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  b  e.  X )
106105adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  b  e.  X )
10788adantr 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  c  e.  X )
10875adantlr 729 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
1093, 10grpass 16758 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
110104, 106, 107, 108, 109syl13anc 1294 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
111110eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  (
u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  <->  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) ) )
112111rexbidva 2889 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( E. z  e.  a  u  =  ( ( b 
.+  c )  .+  z )  <->  E. z  e.  a  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) ) )
113112abbidv 2589 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( b 
.+  ( c  .+  z ) ) } )
11487, 103, 1133eqtr4a 2531 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) } )
115 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w
) )
116115rnmpt 5086 . . . . . . . 8  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }
117 eqid 2471 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) )
118117rnmpt 5086 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
)  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) }
119114, 116, 1183eqtr4g 2530 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) ) )
12055ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
121120, 88, 89fovrnd 6460 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  e.  S
)
122 simpr 468 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
y  =  ( c 
.(+)  a ) )
123 simpl 464 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  x  =  b )
124123oveq1d 6323 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
125122, 124mpteq12dv 4474 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  z ) ) )
126 oveq2 6316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  w ) )
127126cbvmptv 4488 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  z ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w
) )
128125, 127syl6eq 2521 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
129128rneqd 5068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ran  ( w  e.  (
c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
130 ovex 6336 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
.(+)  a )  e. 
_V
131130mptex 6152 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  e. 
_V
132131rnex 6746 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  e.  _V
133129, 53, 132ovmpt2a 6446 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  X  /\  ( c  .(+)  a )  e.  S )  -> 
( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) )  =  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
134105, 121, 133syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) )  =  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
1351ad2antrr 740 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
1363, 10grpcl 16757 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .+  c
)  e.  X )
137135, 105, 88, 136syl3anc 1292 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( b  .+  c )  e.  X
)
138 simpr 468 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
139 simpl 464 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( b 
.+  c ) )
140139oveq1d 6323 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )
141138, 140mpteq12dv 4474 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
) )
142141rneqd 5068 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) ) )
14366mptex 6152 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )  e.  _V
144143rnex 6746 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
)  e.  _V
145142, 53, 144ovmpt2a 6446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( ( b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) ) )
146137, 89, 145syl2anc 673 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( b  .+  c )  .+  z
) ) )
147119, 134, 1463eqtr4rd 2516 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
148147ralrimivva 2814 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
14984, 148jca 541 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
150149ralrimiva 2809 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( ( ( 0g
`  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
15155, 150jca 541 . 2  |-  ( ph  ->  (  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S  /\  A. a  e.  S  ( ( ( 0g `  G ) 
.(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) ) )
1523, 10, 57isga 17023 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  S )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  S  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S  /\  A. a  e.  S  ( ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) ) ) )
1538, 151, 152sylanbrc 677 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 189    /\ wa 376    = wceq 1452    e. wcel 1904   {cab 2457   A.wral 2756   E.wrex 2757   {crab 2760   _Vcvv 3031    C_ wss 3390   ~Pcpw 3942   class class class wbr 4395    |-> cmpt 4454    _I cid 4749    X. cxp 4837   ran crn 4840    |` cres 4841   -->wf 5585   -1-1->wf1 5586   -1-1-onto->wf1o 5588   ` cfv 5589  (class class class)co 6308    |-> cmpt2 6310    ~~ cen 7584   Fincfn 7587   NN0cn0 10893   ^cexp 12310   #chash 12553    || cdvds 14382   Primecprime 14701   Basecbs 15199   +g cplusg 15268   0gc0g 15416   Grpcgrp 16747    GrpAct cga 17021
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634
This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-er 7381  df-map 7492  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-card 8391  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-nn 10632  df-n0 10894  df-z 10962  df-uz 11183  df-hash 12554  df-0g 15418  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-grp 16751  df-minusg 16752  df-ga 17022
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