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Theorem sylow1lem2 16746
Description: Lemma for sylow1 16750. The function  .(+) is a group action on  S. (Contributed by Mario Carneiro, 15-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
sylow1.x  |-  X  =  ( Base `  G
)
sylow1.g  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
sylow1.f  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
sylow1.p  |-  ( ph  ->  P  e.  Prime )
sylow1.n  |-  ( ph  ->  N  e.  NN0 )
sylow1.d  |-  ( ph  ->  ( P ^ N
)  ||  ( # `  X
) )
sylow1lem.a  |-  .+  =  ( +g  `  G )
sylow1lem.s  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
sylow1lem.m  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
Assertion
Ref Expression
sylow1lem2  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
Distinct variable groups:    x, s,
y, z    x, S, y, z    N, s, x, y, z    X, s, x, y, z    .+ , s, x, y, z    x,  .(+) , y, z    G, s, x, y, z    P, s, x, y, z    ph, x, y, z
Allowed substitution hints:    ph( s)    .(+) ( s)    S( s)

Proof of Theorem sylow1lem2
Dummy variables  a 
b  c  u  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sylow1.g . . 3  |-  ( ph  ->  G  e.  Grp )
2 sylow1lem.s . . . 4  |-  S  =  { s  e.  ~P X  |  ( # `  s
)  =  ( P ^ N ) }
3 sylow1.x . . . . . 6  |-  X  =  ( Base `  G
)
4 fvex 5882 . . . . . 6  |-  ( Base `  G )  e.  _V
53, 4eqeltri 2541 . . . . 5  |-  X  e. 
_V
65pwex 4639 . . . 4  |-  ~P X  e.  _V
72, 6rabex2 4609 . . 3  |-  S  e. 
_V
81, 7jctir 538 . 2  |-  ( ph  ->  ( G  e.  Grp  /\  S  e.  _V )
)
91adantr 465 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  G  e.  Grp )
10 simprl 756 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  x  e.  X )
11 sylow1lem.a . . . . . . . . . . . . 13  |-  .+  =  ( +g  `  G )
12 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  X  |->  ( x 
.+  z ) )  =  ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )
133, 11, 12grplmulf1o 16239 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  x  e.  X )  ->  ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
149, 10, 13syl2anc 661 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-onto-> X
)
15 f1of1 5821 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) ) : X -1-1-onto-> X  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
1614, 15syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X )
17 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  S )
18 fveq2 5872 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( s  =  y  ->  ( # `
 s )  =  ( # `  y
) )
1918eqeq1d 2459 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  =  y  ->  (
( # `  s )  =  ( P ^ N )  <->  ( # `  y
)  =  ( P ^ N ) ) )
2019, 2elrab2 3259 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  S  <->  ( y  e.  ~P X  /\  ( # `
 y )  =  ( P ^ N
) ) )
2117, 20sylib 196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( y  e.  ~P X  /\  ( # `  y
)  =  ( P ^ N ) ) )
2221simpld 459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  ~P X
)
2322elpwid 4025 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  C_  X )
24 f1ssres 5794 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) ) : X -1-1-> X  /\  y  C_  X
)  ->  ( (
z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y -1-1-> X )
2516, 23, 24syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y
-1-1-> X )
26 resmpt 5333 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  X  ->  (
( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) )  |`  y
)  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
27 f1eq1 5782 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z
) )  |`  y
)  =  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( ( ( z  e.  X  |->  ( x  .+  z ) )  |`  y ) : y -1-1-> X  <->  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) : y -1-1-> X ) )
2823, 26, 273syl 20 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( ( z  e.  X  |->  ( x 
.+  z ) )  |`  y ) : y
-1-1-> X  <->  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X ) )
2925, 28mpbid 210 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y
-1-1-> X )
30 f1f 5787 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y --> X )
31 frn 5743 . . . . . . . 8  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y --> X  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) 
C_  X )
3229, 30, 313syl 20 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  C_  X
)
335elpw2 4620 . . . . . . 7  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  ~P X 
<->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  C_  X )
3432, 33sylibr 212 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  ~P X )
35 f1f1orn 5833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-> X  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) : y -1-1-onto-> ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
36 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
3736f1oen 7555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) : y -1-1-onto-> ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  ->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
3829, 35, 373syl 20 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )
39 sylow1.f . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  Fin )
4039adantr 465 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  X  e.  Fin )
41 ssfi 7759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  y  C_  X )  -> 
y  e.  Fin )
4240, 23, 41syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
y  e.  Fin )
43 ssfi 7759 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( X  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  C_  X
)  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  e.  Fin )
4440, 32, 43syl2anc 661 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  Fin )
45 hashen 12423 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  Fin  /\  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  Fin )  ->  ( ( # `  y )  =  (
# `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )  <->  y  ~~  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) ) )
4642, 44, 45syl2anc 661 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( ( # `  y
)  =  ( # `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  <-> 
y  ~~  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) ) )
4738, 46mpbird 232 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  y )  =  ( # `  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) ) )
4821simprd 463 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  y )  =  ( P ^ N ) )
4947, 48eqtr3d 2500 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  -> 
( # `  ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) )
50 fveq2 5872 . . . . . . . 8  |-  ( s  =  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( # `  s
)  =  ( # `  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) ) )
5150eqeq1d 2459 . . . . . . 7  |-  ( s  =  ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) )  ->  ( ( # `  s )  =  ( P ^ N )  <-> 
( # `  ran  (
z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) ) )
5251, 2elrab2 3259 . . . . . 6  |-  ( ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S  <->  ( ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  e. 
~P X  /\  ( # `
 ran  ( z  e.  y  |->  ( x 
.+  z ) ) )  =  ( P ^ N ) ) )
5334, 49, 52sylanbrc 664 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  ( x  e.  X  /\  y  e.  S ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S
)
5453ralrimivva 2878 . . . 4  |-  ( ph  ->  A. x  e.  X  A. y  e.  S  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S
)
55 sylow1lem.m . . . . 5  |-  .(+)  =  ( x  e.  X , 
y  e.  S  |->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) ) )
5655fmpt2 6866 . . . 4  |-  ( A. x  e.  X  A. y  e.  S  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  e.  S  <->  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
5754, 56sylib 196 . . 3  |-  ( ph  -> 
.(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
581adantr 465 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  G  e.  Grp )
59 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( 0g
`  G )  =  ( 0g `  G
)
603, 59grpidcl 16205 . . . . . . . 8  |-  ( G  e.  Grp  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
6158, 60syl 16 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ( 0g `  G )  e.  X )
62 simpr 461 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  S )
63 simpr 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
64 simpl 457 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( 0g
`  G ) )
6564oveq1d 6311 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )
6663, 65mpteq12dv 4535 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
) )
6766rneqd 5240 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( 0g
`  G )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g
`  G )  .+  z ) ) )
68 vex 3112 . . . . . . . . . 10  |-  a  e. 
_V
6968mptex 6144 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) )  e.  _V
7069rnex 6733 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  e.  _V
7167, 55, 70ovmpt2a 6432 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 0g `  G
)  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G ) 
.+  z ) ) )
7261, 62, 71syl2anc 661 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( 0g
`  G )  .+  z ) ) )
73 ssrab2 3581 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  { s  e.  ~P X  | 
( # `  s )  =  ( P ^ N ) }  C_  ~P X
742, 73eqsstri 3529 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  S  C_  ~P X
7574, 62sseldi 3497 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  e.  ~P X )
7675elpwid 4025 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  a  C_  X )
7776sselda 3499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
783, 11, 59grplid 16207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  z  e.  X )  ->  ( ( 0g `  G )  .+  z
)  =  z )
7958, 78sylan 471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  X )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  z )  =  z )
8077, 79syldan 470 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  z  e.  a )  ->  (
( 0g `  G
)  .+  z )  =  z )
8180mpteq2dva 4543 . . . . . . . . 9  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  =  ( z  e.  a  |->  z ) )
82 mptresid 5338 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  z )  =  (  _I  |`  a
)
8381, 82syl6eq 2514 . . . . . . . 8  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
z  e.  a  |->  ( ( 0g `  G
)  .+  z )
)  =  (  _I  |`  a ) )
8483rneqd 5240 . . . . . . 7  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( 0g `  G )  .+  z
) )  =  ran  (  _I  |`  a ) )
85 rnresi 5360 . . . . . . 7  |-  ran  (  _I  |`  a )  =  a
8684, 85syl6eq 2514 . . . . . 6  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( 0g `  G )  .+  z
) )  =  a )
8772, 86eqtrd 2498 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( 0g `  G
)  .(+)  a )  =  a )
88 ovex 6324 . . . . . . . . . 10  |-  ( c 
.+  z )  e. 
_V
89 oveq2 6304 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  =  ( c  .+  z )  ->  (
b  .+  w )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
9088, 89abrexco 6157 . . . . . . . . 9  |-  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) }  =  {
u  |  E. z  e.  a  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) }
91 simprr 757 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  c  e.  X )
9262adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  a  e.  S )
93 simpr 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
94 simpl 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  x  =  c )
9594oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( c 
.+  z ) )
9693, 95mpteq12dv 4535 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) ) )
9796rneqd 5240 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( x  =  c  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) ) )
9868mptex 6144 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) )  e.  _V
9998rnex 6733 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )  e.  _V
10097, 55, 99ovmpt2a 6432 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( c  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) ) )
10191, 92, 100syl2anc 661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( c  .+  z
) ) )
102 eqid 2457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( z  e.  a  |->  ( c 
.+  z ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )
103102rnmpt 5258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( c  .+  z ) )  =  { v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z ) }
104101, 103syl6eq 2514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  =  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } )
105104rexeqdv 3061 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( E. w  e.  ( c  .(+)  a ) u  =  ( b  .+  w
)  <->  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) ) )
106105abbidv 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }  =  { u  |  E. w  e.  {
v  |  E. z  e.  a  v  =  ( c  .+  z
) } u  =  ( b  .+  w
) } )
10758ad2antrr 725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  G  e.  Grp )
108 simprl 756 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  b  e.  X )
109108adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  b  e.  X )
11091adantr 465 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  c  e.  X )
11177adantlr 714 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  z  e.  X )
1123, 11grpass 16191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X  /\  z  e.  X
) )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
113107, 109, 110, 111, 112syl13anc 1230 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  (
( b  .+  c
)  .+  z )  =  ( b  .+  ( c  .+  z
) ) )
114113eqeq2d 2471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  ( b  e.  X  /\  c  e.  X
) )  /\  z  e.  a )  ->  (
u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z )  <->  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) ) )
115114rexbidva 2965 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( E. z  e.  a  u  =  ( ( b 
.+  c )  .+  z )  <->  E. z  e.  a  u  =  ( b  .+  (
c  .+  z )
) ) )
116115abbidv 2593 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( b 
.+  ( c  .+  z ) ) } )
11790, 106, 1163eqtr4a 2524 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) } )
118 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w
) )
119118rnmpt 5258 . . . . . . . 8  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  { u  |  E. w  e.  ( c  .(+)  a )
u  =  ( b 
.+  w ) }
120 eqid 2457 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) )
121120rnmpt 5258 . . . . . . . 8  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
)  =  { u  |  E. z  e.  a  u  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) }
122117, 119, 1213eqtr4g 2523 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) ) )
12357ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S )
124123, 91, 92fovrnd 6446 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( c  .(+)  a )  e.  S
)
125 simpr 461 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
y  =  ( c 
.(+)  a ) )
126 simpl 457 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  x  =  b )
127126oveq1d 6311 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( x  .+  z
)  =  ( b 
.+  z ) )
128125, 127mpteq12dv 4535 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  z ) ) )
129 oveq2 6304 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( z  =  w  ->  (
b  .+  z )  =  ( b  .+  w ) )
130129cbvmptv 4548 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  z ) )  =  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w
) )
131128, 130syl6eq 2514 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  -> 
( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
132131rneqd 5240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  b  /\  y  =  ( c  .(+)  a ) )  ->  ran  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ran  ( w  e.  (
c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
133 ovex 6324 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c 
.(+)  a )  e. 
_V
134133mptex 6144 . . . . . . . . . 10  |-  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  e. 
_V
135134rnex 6733 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) )  e.  _V
136132, 55, 135ovmpt2a 6432 . . . . . . . 8  |-  ( ( b  e.  X  /\  ( c  .(+)  a )  e.  S )  -> 
( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) )  =  ran  ( w  e.  ( c  .(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
137108, 124, 136syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) )  =  ran  (
w  e.  ( c 
.(+)  a )  |->  ( b  .+  w ) ) )
1381ad2antrr 725 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  G  e.  Grp )
1393, 11grpcl 16190 . . . . . . . . 9  |-  ( ( G  e.  Grp  /\  b  e.  X  /\  c  e.  X )  ->  ( b  .+  c
)  e.  X )
140138, 108, 91, 139syl3anc 1228 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( b  .+  c )  e.  X
)
141 simpr 461 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  y  =  a )
142 simpl 457 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  x  =  ( b 
.+  c ) )
143142oveq1d 6311 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( x  .+  z
)  =  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )
144141, 143mpteq12dv 4535 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ( z  e.  y 
|->  ( x  .+  z
) )  =  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
) )
145144rneqd 5240 . . . . . . . . 9  |-  ( ( x  =  ( b 
.+  c )  /\  y  =  a )  ->  ran  ( z  e.  y  |->  ( x  .+  z ) )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b 
.+  c )  .+  z ) ) )
14668mptex 6144 . . . . . . . . . 10  |-  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) )  e.  _V
147146rnex 6733 . . . . . . . . 9  |-  ran  (
z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c
)  .+  z )
)  e.  _V
148145, 55, 147ovmpt2a 6432 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( b  .+  c
)  e.  X  /\  a  e.  S )  ->  ( ( b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a  |->  ( ( b  .+  c ) 
.+  z ) ) )
149140, 92, 148syl2anc 661 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ran  ( z  e.  a 
|->  ( ( b  .+  c )  .+  z
) ) )
150122, 137, 1493eqtr4rd 2509 . . . . . 6  |-  ( ( ( ph  /\  a  e.  S )  /\  (
b  e.  X  /\  c  e.  X )
)  ->  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
151150ralrimivva 2878 . . . . 5  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) )
15287, 151jca 532 . . . 4  |-  ( (
ph  /\  a  e.  S )  ->  (
( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
153152ralrimiva 2871 . . 3  |-  ( ph  ->  A. a  e.  S  ( ( ( 0g
`  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) )
15457, 153jca 532 . 2  |-  ( ph  ->  (  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S  /\  A. a  e.  S  ( ( ( 0g `  G ) 
.(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  ( (
b  .+  c )  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c  .(+)  a ) ) ) ) )
1553, 11, 59isga 16456 . 2  |-  (  .(+)  e.  ( G  GrpAct  S )  <-> 
( ( G  e. 
Grp  /\  S  e.  _V )  /\  (  .(+)  : ( X  X.  S ) --> S  /\  A. a  e.  S  ( ( ( 0g `  G )  .(+)  a )  =  a  /\  A. b  e.  X  A. c  e.  X  (
( b  .+  c
)  .(+)  a )  =  ( b  .(+)  ( c 
.(+)  a ) ) ) ) ) )
1568, 154, 155sylanbrc 664 1  |-  ( ph  -> 
.(+)  e.  ( G  GrpAct  S ) )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 184    /\ wa 369    = wceq 1395    e. wcel 1819   {cab 2442   A.wral 2807   E.wrex 2808   {crab 2811   _Vcvv 3109    C_ wss 3471   ~Pcpw 4015   class class class wbr 4456    |-> cmpt 4515    _I cid 4799    X. cxp 5006   ran crn 5009    |` cres 5010   -->wf 5590   -1-1->wf1 5591   -1-1-onto->wf1o 5593   ` cfv 5594  (class class class)co 6296    |-> cmpt2 6298    ~~ cen 7532   Fincfn 7535   NN0cn0 10816   ^cexp 12169   #chash 12408    || cdvds 13998   Primecprime 14229   Basecbs 14644   +g cplusg 14712   0gc0g 14857   Grpcgrp 16180    GrpAct cga 16454
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1619  ax-4 1632  ax-5 1705  ax-6 1748  ax-7 1791  ax-8 1821  ax-9 1823  ax-10 1838  ax-11 1843  ax-12 1855  ax-13 2000  ax-ext 2435  ax-rep 4568  ax-sep 4578  ax-nul 4586  ax-pow 4634  ax-pr 4695  ax-un 6591  ax-cnex 9565  ax-resscn 9566  ax-1cn 9567  ax-icn 9568  ax-addcl 9569  ax-addrcl 9570  ax-mulcl 9571  ax-mulrcl 9572  ax-mulcom 9573  ax-addass 9574  ax-mulass 9575  ax-distr 9576  ax-i2m1 9577  ax-1ne0 9578  ax-1rid 9579  ax-rnegex 9580  ax-rrecex 9581  ax-cnre 9582  ax-pre-lttri 9583  ax-pre-lttrn 9584  ax-pre-ltadd 9585  ax-pre-mulgt0 9586
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 974  df-3an 975  df-tru 1398  df-ex 1614  df-nf 1618  df-sb 1741  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2443  df-cleq 2449  df-clel 2452  df-nfc 2607  df-ne 2654  df-nel 2655  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3111  df-sbc 3328  df-csb 3431  df-dif 3474  df-un 3476  df-in 3478  df-ss 3485  df-pss 3487  df-nul 3794  df-if 3945  df-pw 4017  df-sn 4033  df-pr 4035  df-tp 4037  df-op 4039  df-uni 4252  df-int 4289  df-iun 4334  df-br 4457  df-opab 4516  df-mpt 4517  df-tr 4551  df-eprel 4800  df-id 4804  df-po 4809  df-so 4810  df-fr 4847  df-we 4849  df-ord 4890  df-on 4891  df-lim 4892  df-suc 4893  df-xp 5014  df-rel 5015  df-cnv 5016  df-co 5017  df-dm 5018  df-rn 5019  df-res 5020  df-ima 5021  df-iota 5557  df-fun 5596  df-fn 5597  df-f 5598  df-f1 5599  df-fo 5600  df-f1o 5601  df-fv 5602  df-riota 6258  df-ov 6299  df-oprab 6300  df-mpt2 6301  df-om 6700  df-1st 6799  df-2nd 6800  df-recs 7060  df-rdg 7094  df-er 7329  df-map 7440  df-en 7536  df-dom 7537  df-sdom 7538  df-fin 7539  df-card 8337  df-pnf 9647  df-mnf 9648  df-xr 9649  df-ltxr 9650  df-le 9651  df-sub 9826  df-neg 9827  df-nn 10557  df-n0 10817  df-z 10886  df-uz 11107  df-hash 12409  df-0g 14859  df-mgm 15999  df-sgrp 16038  df-mnd 16048  df-grp 16184  df-minusg 16185  df-ga 16455
This theorem is referenced by:  sylow1lem3  16747  sylow1lem5  16749
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