Theorem sxbrsigalem5 28496

Description: First direction for sxbrsiga 28498. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem5	|- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, n, v   R, n, x   x, J, u, v

Allowed substitution hints:   R( v, u)   I( n)   J( n)

Proof of Theorem sxbrsigalem5

Dummy variables e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . . 5 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		dya2ioc.1	. . . . 5 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
3		dya2ioc.2	. . . . 5 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 28492	. . . 4 |- U. ran R = ( RR X. RR )
5		br2base 28477	. . . 4 |- U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ( RR X. RR )
6	4, 5	eqtr4i 2486	. . 3 |- U. ran R = U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
7		brsigarn 28392	. . . . . . 7 |- 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR )
8	7	elexi 3116	. . . . . 6 |- 𝔅ℝ e. _V
9	8, 8	mpt2ex 6850	. . . . 5 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V
10	9	rnex 6707	. . . 4 |- ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V
11	1, 2	dya2icobrsiga 28484	. . . . . . . . . 10 |- ran I C_ 𝔅ℝ
12	11	sseli 3485	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran I -> u e. 𝔅ℝ )
13	11	sseli 3485	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ran I -> v e. 𝔅ℝ )
14	12, 13	anim12i 564	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) -> ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) )
15	14	anim1i 566	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) -> ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) )
16	15	ssoprab2i 6364	. . . . . 6 |- { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) } C_ { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
17		df-mpt2 6275	. . . . . . 7 |- ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) }
18	3, 17	eqtri 2483	. . . . . 6 |- R = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) }
19		xpeq1 5002	. . . . . . . 8 |- ( e = u -> ( e X. f ) = ( u X. f ) )
20		xpeq2 5003	. . . . . . . 8 |- ( f = v -> ( u X. f ) = ( u X. v ) )
21	19, 20	cbvmpt2v 6350	. . . . . . 7 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ( u e. 𝔅ℝ , v e. 𝔅ℝ |-> ( u X. v ) )
22		df-mpt2 6275	. . . . . . 7 |- ( u e. 𝔅ℝ , v e. 𝔅ℝ |-> ( u X. v ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
23	21, 22	eqtri 2483	. . . . . 6 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
24	16, 18, 23	3sstr4i 3528	. . . . 5 |- R C_ ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
25		rnss 5220	. . . . 5 |- ( R C_ ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) -> ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
27		sssigagen2 28376	. . . 4 |- ( ( ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V /\ ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) -> ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
28	10, 26, 27	mp2an 670	. . 3 |- ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
29		sigagenss2 28380	. . 3 |- ( ( U. ran R = U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) /\ ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) /\ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V ) -> (sigaGen ` ran R ) C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
30	6, 28, 10, 29	mp3an 1322	. 2 |- (sigaGen ` ran R ) C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
31	1, 2, 3	sxbrsigalem4 28495	. 2 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) = (sigaGen ` ran R )
32		eqid 2454	. . . 4 |- ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
33	32	sxval 28398	. . 3 |- ( (𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) /\ 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) ) -> (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ ) = (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
34	7, 7, 33	mp2an 670	. 2 |- (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ ) = (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
35	30, 31, 34	3sstr4i 3528	1 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ )

Syntax hints:   /\ wa 367   = wceq 1398   e. wcel 1823   _Vcvv 3106   C_ wss 3461   U.cuni 4235   X. cxp 4986   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   {coprab 6271   |-> cmpt2 6272   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   [,)cico 11534   ^cexp 12148   topGenctg 14927   tX ctx 20227  sigAlgebracsiga 28337  sigaGencsigagen 28368  𝔅_ℝcbrsiga 28389   ×_s csx 28396

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-refld 18814  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-fcls 20608  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-cfil 21860  df-cmet 21862  df-cms 21940  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-cxp 23111  df-logb 23304  df-siga 28338  df-sigagen 28369  df-brsiga 28390  df-sx 28397

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  28497