Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem5 Structured version   Visualization version   Unicode version

Theorem sxbrsigalem5 29110
Description: First direction for sxbrsiga 29112. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem5  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (𝔅 ×s 𝔅 )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, n, v    R, n, x    x, J, u, v
Allowed substitution hints:    R( v, u)    I( n)    J( n)

Proof of Theorem sxbrsigalem5
Dummy variables  e 
f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . . . 5  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
3 dya2ioc.2 . . . . 5  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
41, 2, 3dya2iocucvr 29106 . . . 4  |-  U. ran  R  =  ( RR  X.  RR )
5 br2base 29091 . . . 4  |-  U. ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ( RR  X.  RR )
64, 5eqtr4i 2476 . . 3  |-  U. ran  R  =  U. ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
7 brsigarn 29006 . . . . . . 7  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
87elexi 3055 . . . . . 6  |- 𝔅  e.  _V
98, 8mpt2ex 6870 . . . . 5  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V
109rnex 6727 . . . 4  |-  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V
111, 2dya2icobrsiga 29098 . . . . . . . . . 10  |-  ran  I  C_ 𝔅
1211sseli 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  I  ->  u  e. 𝔅 )
1311sseli 3428 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ran  I  -> 
v  e. 𝔅 )
1412, 13anim12i 570 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  ->  (
u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 ) )
1514anim1i 572 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) )  -> 
( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) )
1615ssoprab2i 6385 . . . . . 6  |-  { <. <.
u ,  v >. ,  g >.  |  ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) } 
C_  { <. <. u ,  v >. ,  g
>.  |  ( (
u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v
) ) }
17 df-mpt2 6295 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 
ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
183, 17eqtri 2473 . . . . . 6  |-  R  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 
ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
19 xpeq1 4848 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  u  ->  (
e  X.  f )  =  ( u  X.  f ) )
20 xpeq2 4849 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  v  ->  (
u  X.  f )  =  ( u  X.  v ) )
2119, 20cbvmpt2v 6371 . . . . . . 7  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ( u  e. 𝔅 ,  v  e. 𝔅 
|->  ( u  X.  v
) )
22 df-mpt2 6295 . . . . . . 7  |-  ( u  e. 𝔅 ,  v  e. 𝔅 
|->  ( u  X.  v
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
2321, 22eqtri 2473 . . . . . 6  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
2416, 18, 233sstr4i 3471 . . . . 5  |-  R  C_  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
25 rnss 5063 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  ->  ran  R 
C_  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ran  R  C_ 
ran  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
27 sssigagen2 28968 . . . 4  |-  ( ( ran  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V  /\ 
ran  R  C_  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )  ->  ran  R  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
2810, 26, 27mp2an 678 . . 3  |-  ran  R  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
29 sigagenss2 28972 . . 3  |-  ( ( U. ran  R  = 
U. ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  /\  ran  R 
C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )  /\  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V )  ->  (sigaGen `  ran  R ) 
C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
306, 28, 10, 29mp3an 1364 . 2  |-  (sigaGen `  ran  R )  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
311, 2, 3sxbrsigalem4 29109 . 2  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) )  =  (sigaGen `  ran  R )
32 eqid 2451 . . . 4  |-  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
3332sxval 29012 . . 3  |-  ( (𝔅  e.  (sigAlgebra `
 RR )  /\ 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR ) )  -> 
(𝔅 ×s 𝔅 )  =  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
347, 7, 33mp2an 678 . 2  |-  (𝔅 ×s 𝔅 )  =  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
3530, 31, 343sstr4i 3471 1  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (𝔅 ×s 𝔅 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 371    = wceq 1444    e. wcel 1887   _Vcvv 3045    C_ wss 3404   U.cuni 4198    X. cxp 4832   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   {coprab 6291    |-> cmpt2 6292   RRcr 9538   1c1 9540    + caddc 9542    / cdiv 10269   2c2 10659   ZZcz 10937   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ^cexp 12272   topGenctg 15336    tX ctx 20575  sigAlgebracsiga 28929  sigaGencsigagen 28960  𝔅cbrsiga 29003   ×s csx 29010
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619
This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-refld 19173  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-fcls 20956  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-cfil 22225  df-cmet 22227  df-cms 22303  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-logb 23702  df-siga 28930  df-sigagen 28961  df-brsiga 29004  df-sx 29011
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  29111
  Copyright terms: Public domain W3C validator