Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem5 Structured version   Unicode version

Theorem sxbrsigalem5 28496
Description: First direction for sxbrsiga 28498. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem5  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (𝔅 ×s 𝔅 )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, n, v    R, n, x    x, J, u, v
Allowed substitution hints:    R( v, u)    I( n)    J( n)

Proof of Theorem sxbrsigalem5
Dummy variables  e 
f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . . . 5  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
3 dya2ioc.2 . . . . 5  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
41, 2, 3dya2iocucvr 28492 . . . 4  |-  U. ran  R  =  ( RR  X.  RR )
5 br2base 28477 . . . 4  |-  U. ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ( RR  X.  RR )
64, 5eqtr4i 2486 . . 3  |-  U. ran  R  =  U. ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
7 brsigarn 28392 . . . . . . 7  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
87elexi 3116 . . . . . 6  |- 𝔅  e.  _V
98, 8mpt2ex 6850 . . . . 5  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V
109rnex 6707 . . . 4  |-  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V
111, 2dya2icobrsiga 28484 . . . . . . . . . 10  |-  ran  I  C_ 𝔅
1211sseli 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  I  ->  u  e. 𝔅 )
1311sseli 3485 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ran  I  -> 
v  e. 𝔅 )
1412, 13anim12i 564 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  ->  (
u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 ) )
1514anim1i 566 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) )  -> 
( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) )
1615ssoprab2i 6364 . . . . . 6  |-  { <. <.
u ,  v >. ,  g >.  |  ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) } 
C_  { <. <. u ,  v >. ,  g
>.  |  ( (
u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v
) ) }
17 df-mpt2 6275 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 
ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
183, 17eqtri 2483 . . . . . 6  |-  R  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 
ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
19 xpeq1 5002 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  u  ->  (
e  X.  f )  =  ( u  X.  f ) )
20 xpeq2 5003 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  v  ->  (
u  X.  f )  =  ( u  X.  v ) )
2119, 20cbvmpt2v 6350 . . . . . . 7  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ( u  e. 𝔅 ,  v  e. 𝔅 
|->  ( u  X.  v
) )
22 df-mpt2 6275 . . . . . . 7  |-  ( u  e. 𝔅 ,  v  e. 𝔅 
|->  ( u  X.  v
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
2321, 22eqtri 2483 . . . . . 6  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
2416, 18, 233sstr4i 3528 . . . . 5  |-  R  C_  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
25 rnss 5220 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  ->  ran  R 
C_  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ran  R  C_ 
ran  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
27 sssigagen2 28376 . . . 4  |-  ( ( ran  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V  /\ 
ran  R  C_  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )  ->  ran  R  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
2810, 26, 27mp2an 670 . . 3  |-  ran  R  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
29 sigagenss2 28380 . . 3  |-  ( ( U. ran  R  = 
U. ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  /\  ran  R 
C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )  /\  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V )  ->  (sigaGen `  ran  R ) 
C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
306, 28, 10, 29mp3an 1322 . 2  |-  (sigaGen `  ran  R )  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
311, 2, 3sxbrsigalem4 28495 . 2  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) )  =  (sigaGen `  ran  R )
32 eqid 2454 . . . 4  |-  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
3332sxval 28398 . . 3  |-  ( (𝔅  e.  (sigAlgebra `
 RR )  /\ 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR ) )  -> 
(𝔅 ×s 𝔅 )  =  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
347, 7, 33mp2an 670 . 2  |-  (𝔅 ×s 𝔅 )  =  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
3530, 31, 343sstr4i 3528 1  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (𝔅 ×s 𝔅 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1398    e. wcel 1823   _Vcvv 3106    C_ wss 3461   U.cuni 4235    X. cxp 4986   ran crn 4989   ` cfv 5570  (class class class)co 6270   {coprab 6271    |-> cmpt2 6272   RRcr 9480   1c1 9482    + caddc 9484    / cdiv 10202   2c2 10581   ZZcz 10860   (,)cioo 11532   [,)cico 11534   ^cexp 12148   topGenctg 14927    tX ctx 20227  sigAlgebracsiga 28337  sigaGencsigagen 28368  𝔅cbrsiga 28389   ×s csx 28396
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1623  ax-4 1636  ax-5 1709  ax-6 1752  ax-7 1795  ax-8 1825  ax-9 1827  ax-10 1842  ax-11 1847  ax-12 1859  ax-13 2004  ax-ext 2432  ax-rep 4550  ax-sep 4560  ax-nul 4568  ax-pow 4615  ax-pr 4676  ax-un 6565  ax-inf2 8049  ax-ac2 8834  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 972  df-3an 973  df-tru 1401  df-fal 1404  df-ex 1618  df-nf 1622  df-sb 1745  df-eu 2288  df-mo 2289  df-clab 2440  df-cleq 2446  df-clel 2449  df-nfc 2604  df-ne 2651  df-nel 2652  df-ral 2809  df-rex 2810  df-reu 2811  df-rmo 2812  df-rab 2813  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3421  df-dif 3464  df-un 3466  df-in 3468  df-ss 3475  df-pss 3477  df-nul 3784  df-if 3930  df-pw 4001  df-sn 4017  df-pr 4019  df-tp 4021  df-op 4023  df-uni 4236  df-int 4272  df-iun 4317  df-iin 4318  df-br 4440  df-opab 4498  df-mpt 4499  df-tr 4533  df-eprel 4780  df-id 4784  df-po 4789  df-so 4790  df-fr 4827  df-se 4828  df-we 4829  df-ord 4870  df-on 4871  df-lim 4872  df-suc 4873  df-xp 4994  df-rel 4995  df-cnv 4996  df-co 4997  df-dm 4998  df-rn 4999  df-res 5000  df-ima 5001  df-iota 5534  df-fun 5572  df-fn 5573  df-f 5574  df-f1 5575  df-fo 5576  df-f1o 5577  df-fv 5578  df-isom 5579  df-riota 6232  df-ov 6273  df-oprab 6274  df-mpt2 6275  df-of 6513  df-om 6674  df-1st 6773  df-2nd 6774  df-supp 6892  df-recs 7034  df-rdg 7068  df-1o 7122  df-2o 7123  df-oadd 7126  df-omul 7127  df-er 7303  df-map 7414  df-pm 7415  df-ixp 7463  df-en 7510  df-dom 7511  df-sdom 7512  df-fin 7513  df-fsupp 7822  df-fi 7863  df-sup 7893  df-oi 7927  df-card 8311  df-acn 8314  df-ac 8488  df-cda 8539  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9798  df-neg 9799  df-div 10203  df-nn 10532  df-2 10590  df-3 10591  df-4 10592  df-5 10593  df-6 10594  df-7 10595  df-8 10596  df-9 10597  df-10 10598  df-n0 10792  df-z 10861  df-dec 10977  df-uz 11083  df-q 11184  df-rp 11222  df-xneg 11321  df-xadd 11322  df-xmul 11323  df-ioo 11536  df-ioc 11537  df-ico 11538  df-icc 11539  df-fz 11676  df-fzo 11800  df-fl 11910  df-mod 11979  df-seq 12090  df-exp 12149  df-fac 12336  df-bc 12363  df-hash 12388  df-shft 12982  df-cj 13014  df-re 13015  df-im 13016  df-sqrt 13150  df-abs 13151  df-limsup 13376  df-clim 13393  df-rlim 13394  df-sum 13591  df-ef 13885  df-sin 13887  df-cos 13888  df-pi 13890  df-struct 14718  df-ndx 14719  df-slot 14720  df-base 14721  df-sets 14722  df-ress 14723  df-plusg 14797  df-mulr 14798  df-starv 14799  df-sca 14800  df-vsca 14801  df-ip 14802  df-tset 14803  df-ple 14804  df-ds 14806  df-unif 14807  df-hom 14808  df-cco 14809  df-rest 14912  df-topn 14913  df-0g 14931  df-gsum 14932  df-topgen 14933  df-pt 14934  df-prds 14937  df-xrs 14991  df-qtop 14996  df-imas 14997  df-xps 14999  df-mre 15075  df-mrc 15076  df-acs 15078  df-mgm 16071  df-sgrp 16110  df-mnd 16120  df-submnd 16166  df-mulg 16259  df-cntz 16554  df-cmn 16999  df-psmet 18606  df-xmet 18607  df-met 18608  df-bl 18609  df-mopn 18610  df-fbas 18611  df-fg 18612  df-cnfld 18616  df-refld 18814  df-top 19566  df-bases 19568  df-topon 19569  df-topsp 19570  df-cld 19687  df-ntr 19688  df-cls 19689  df-nei 19766  df-lp 19804  df-perf 19805  df-cn 19895  df-cnp 19896  df-haus 19983  df-cmp 20054  df-tx 20229  df-hmeo 20422  df-fil 20513  df-fm 20605  df-flim 20606  df-flf 20607  df-fcls 20608  df-xms 20989  df-ms 20990  df-tms 20991  df-cncf 21548  df-cfil 21860  df-cmet 21862  df-cms 21940  df-limc 22436  df-dv 22437  df-log 23110  df-cxp 23111  df-logb 23304  df-siga 28338  df-sigagen 28369  df-brsiga 28390  df-sx 28397
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  28497
  Copyright terms: Public domain W3C validator