Theorem sxbrsigalem5 29110

Description: First direction for sxbrsiga 29112. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem5	|- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, n, v   R, n, x   x, J, u, v

Allowed substitution hints:   R( v, u)   I( n)   J( n)

Proof of Theorem sxbrsigalem5

Dummy variables e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . . 5 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		dya2ioc.1	. . . . 5 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
3		dya2ioc.2	. . . . 5 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 29106	. . . 4 |- U. ran R = ( RR X. RR )
5		br2base 29091	. . . 4 |- U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ( RR X. RR )
6	4, 5	eqtr4i 2476	. . 3 |- U. ran R = U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
7		brsigarn 29006	. . . . . . 7 |- 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR )
8	7	elexi 3055	. . . . . 6 |- 𝔅ℝ e. _V
9	8, 8	mpt2ex 6870	. . . . 5 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V
10	9	rnex 6727	. . . 4 |- ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V
11	1, 2	dya2icobrsiga 29098	. . . . . . . . . 10 |- ran I C_ 𝔅ℝ
12	11	sseli 3428	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran I -> u e. 𝔅ℝ )
13	11	sseli 3428	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ran I -> v e. 𝔅ℝ )
14	12, 13	anim12i 570	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) -> ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) )
15	14	anim1i 572	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) -> ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) )
16	15	ssoprab2i 6385	. . . . . 6 |- { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) } C_ { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
17		df-mpt2 6295	. . . . . . 7 |- ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) }
18	3, 17	eqtri 2473	. . . . . 6 |- R = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) }
19		xpeq1 4848	. . . . . . . 8 |- ( e = u -> ( e X. f ) = ( u X. f ) )
20		xpeq2 4849	. . . . . . . 8 |- ( f = v -> ( u X. f ) = ( u X. v ) )
21	19, 20	cbvmpt2v 6371	. . . . . . 7 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ( u e. 𝔅ℝ , v e. 𝔅ℝ |-> ( u X. v ) )
22		df-mpt2 6295	. . . . . . 7 |- ( u e. 𝔅ℝ , v e. 𝔅ℝ |-> ( u X. v ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
23	21, 22	eqtri 2473	. . . . . 6 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
24	16, 18, 23	3sstr4i 3471	. . . . 5 |- R C_ ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
25		rnss 5063	. . . . 5 |- ( R C_ ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) -> ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
27		sssigagen2 28968	. . . 4 |- ( ( ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V /\ ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) -> ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
28	10, 26, 27	mp2an 678	. . 3 |- ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
29		sigagenss2 28972	. . 3 |- ( ( U. ran R = U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) /\ ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) /\ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V ) -> (sigaGen ` ran R ) C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
30	6, 28, 10, 29	mp3an 1364	. 2 |- (sigaGen ` ran R ) C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
31	1, 2, 3	sxbrsigalem4 29109	. 2 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) = (sigaGen ` ran R )
32		eqid 2451	. . . 4 |- ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
33	32	sxval 29012	. . 3 |- ( (𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) /\ 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) ) -> (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ ) = (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
34	7, 7, 33	mp2an 678	. 2 |- (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ ) = (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
35	30, 31, 34	3sstr4i 3471	1 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ )

Syntax hints:   /\ wa 371   = wceq 1444   e. wcel 1887   _Vcvv 3045   C_ wss 3404   U.cuni 4198   X. cxp 4832   ran crn 4835   ` cfv 5582  (class class class)co 6290   {coprab 6291   |-> cmpt2 6292   RRcr 9538   1c1 9540   + caddc 9542   / cdiv 10269   2c2 10659   ZZcz 10937   (,)cioo 11635   [,)cico 11637   ^cexp 12272   topGenctg 15336   tX ctx 20575  sigAlgebracsiga 28929  sigaGencsigagen 28960  𝔅_ℝcbrsiga 29003   ×_s csx 29010

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1669  ax-4 1682  ax-5 1758  ax-6 1805  ax-7 1851  ax-8 1889  ax-9 1896  ax-10 1915  ax-11 1920  ax-12 1933  ax-13 2091  ax-ext 2431  ax-rep 4515  ax-sep 4525  ax-nul 4534  ax-pow 4581  ax-pr 4639  ax-un 6583  ax-inf2 8146  ax-ac2 8893  ax-cnex 9595  ax-resscn 9596  ax-1cn 9597  ax-icn 9598  ax-addcl 9599  ax-addrcl 9600  ax-mulcl 9601  ax-mulrcl 9602  ax-mulcom 9603  ax-addass 9604  ax-mulass 9605  ax-distr 9606  ax-i2m1 9607  ax-1ne0 9608  ax-1rid 9609  ax-rnegex 9610  ax-rrecex 9611  ax-cnre 9612  ax-pre-lttri 9613  ax-pre-lttrn 9614  ax-pre-ltadd 9615  ax-pre-mulgt0 9616  ax-pre-sup 9617  ax-addf 9618  ax-mulf 9619

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 986  df-3an 987  df-tru 1447  df-fal 1450  df-ex 1664  df-nf 1668  df-sb 1798  df-eu 2303  df-mo 2304  df-clab 2438  df-cleq 2444  df-clel 2447  df-nfc 2581  df-ne 2624  df-nel 2625  df-ral 2742  df-rex 2743  df-reu 2744  df-rmo 2745  df-rab 2746  df-v 3047  df-sbc 3268  df-csb 3364  df-dif 3407  df-un 3409  df-in 3411  df-ss 3418  df-pss 3420  df-nul 3732  df-if 3882  df-pw 3953  df-sn 3969  df-pr 3971  df-tp 3973  df-op 3975  df-uni 4199  df-int 4235  df-iun 4280  df-iin 4281  df-br 4403  df-opab 4462  df-mpt 4463  df-tr 4498  df-eprel 4745  df-id 4749  df-po 4755  df-so 4756  df-fr 4793  df-se 4794  df-we 4795  df-xp 4840  df-rel 4841  df-cnv 4842  df-co 4843  df-dm 4844  df-rn 4845  df-res 4846  df-ima 4847  df-pred 5380  df-ord 5426  df-on 5427  df-lim 5428  df-suc 5429  df-iota 5546  df-fun 5584  df-fn 5585  df-f 5586  df-f1 5587  df-fo 5588  df-f1o 5589  df-fv 5590  df-isom 5591  df-riota 6252  df-ov 6293  df-oprab 6294  df-mpt2 6295  df-of 6531  df-om 6693  df-1st 6793  df-2nd 6794  df-supp 6915  df-wrecs 7028  df-recs 7090  df-rdg 7128  df-1o 7182  df-2o 7183  df-oadd 7186  df-omul 7187  df-er 7363  df-map 7474  df-pm 7475  df-ixp 7523  df-en 7570  df-dom 7571  df-sdom 7572  df-fin 7573  df-fsupp 7884  df-fi 7925  df-sup 7956  df-inf 7957  df-oi 8025  df-card 8373  df-acn 8376  df-ac 8547  df-cda 8598  df-pnf 9677  df-mnf 9678  df-xr 9679  df-ltxr 9680  df-le 9681  df-sub 9862  df-neg 9863  df-div 10270  df-nn 10610  df-2 10668  df-3 10669  df-4 10670  df-5 10671  df-6 10672  df-7 10673  df-8 10674  df-9 10675  df-10 10676  df-n0 10870  df-z 10938  df-dec 11052  df-uz 11160  df-q 11265  df-rp 11303  df-xneg 11409  df-xadd 11410  df-xmul 11411  df-ioo 11639  df-ioc 11640  df-ico 11641  df-icc 11642  df-fz 11785  df-fzo 11916  df-fl 12028  df-mod 12097  df-seq 12214  df-exp 12273  df-fac 12460  df-bc 12488  df-hash 12516  df-shft 13130  df-cj 13162  df-re 13163  df-im 13164  df-sqrt 13298  df-abs 13299  df-limsup 13526  df-clim 13552  df-rlim 13553  df-sum 13753  df-ef 14121  df-sin 14123  df-cos 14124  df-pi 14126  df-struct 15123  df-ndx 15124  df-slot 15125  df-base 15126  df-sets 15127  df-ress 15128  df-plusg 15203  df-mulr 15204  df-starv 15205  df-sca 15206  df-vsca 15207  df-ip 15208  df-tset 15209  df-ple 15210  df-ds 15212  df-unif 15213  df-hom 15214  df-cco 15215  df-rest 15321  df-topn 15322  df-0g 15340  df-gsum 15341  df-topgen 15342  df-pt 15343  df-prds 15346  df-xrs 15400  df-qtop 15406  df-imas 15407  df-xps 15410  df-mre 15492  df-mrc 15493  df-acs 15495  df-mgm 16488  df-sgrp 16527  df-mnd 16537  df-submnd 16583  df-mulg 16676  df-cntz 16971  df-cmn 17432  df-psmet 18962  df-xmet 18963  df-met 18964  df-bl 18965  df-mopn 18966  df-fbas 18967  df-fg 18968  df-cnfld 18971  df-refld 19173  df-top 19921  df-bases 19922  df-topon 19923  df-topsp 19924  df-cld 20034  df-ntr 20035  df-cls 20036  df-nei 20114  df-lp 20152  df-perf 20153  df-cn 20243  df-cnp 20244  df-haus 20331  df-cmp 20402  df-tx 20577  df-hmeo 20770  df-fil 20861  df-fm 20953  df-flim 20954  df-flf 20955  df-fcls 20956  df-xms 21335  df-ms 21336  df-tms 21337  df-cncf 21910  df-cfil 22225  df-cmet 22227  df-cms 22303  df-limc 22821  df-dv 22822  df-log 23506  df-cxp 23507  df-logb 23702  df-siga 28930  df-sigagen 28961  df-brsiga 29004  df-sx 29011

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  29111