Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem5 Structured version   Unicode version

Theorem sxbrsigalem5 26655
Description: First direction for sxbrsiga 26657. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem5  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (𝔅 ×s 𝔅 )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, n, v    R, n, x    x, J, u, v
Allowed substitution hints:    R( v, u)    I( n)    J( n)

Proof of Theorem sxbrsigalem5
Dummy variables  e 
f  g are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . . 5  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . . . 5  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
3 dya2ioc.2 . . . . 5  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
41, 2, 3dya2iocucvr 26651 . . . 4  |-  U. ran  R  =  ( RR  X.  RR )
5 br2base 26636 . . . 4  |-  U. ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ( RR  X.  RR )
64, 5eqtr4i 2461 . . 3  |-  U. ran  R  =  U. ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
7 brsigarn 26550 . . . . . . 7  |- 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR )
87elexi 2977 . . . . . 6  |- 𝔅  e.  _V
98, 8mpt2ex 6645 . . . . 5  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V
109rnex 6507 . . . 4  |-  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V
111, 2dya2icobrsiga 26643 . . . . . . . . . 10  |-  ran  I  C_ 𝔅
1211sseli 3347 . . . . . . . . 9  |-  ( u  e.  ran  I  ->  u  e. 𝔅 )
1311sseli 3347 . . . . . . . . 9  |-  ( v  e.  ran  I  -> 
v  e. 𝔅 )
1412, 13anim12i 566 . . . . . . . 8  |-  ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  ->  (
u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 ) )
1514anim1i 568 . . . . . . 7  |-  ( ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) )  -> 
( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) )
1615ssoprab2i 6174 . . . . . 6  |-  { <. <.
u ,  v >. ,  g >.  |  ( ( u  e.  ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) } 
C_  { <. <. u ,  v >. ,  g
>.  |  ( (
u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v
) ) }
17 df-mpt2 6091 . . . . . . 7  |-  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 
ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
183, 17eqtri 2458 . . . . . 6  |-  R  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 
ran  I  /\  v  e.  ran  I )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
19 xpeq1 4849 . . . . . . . 8  |-  ( e  =  u  ->  (
e  X.  f )  =  ( u  X.  f ) )
20 xpeq2 4850 . . . . . . . 8  |-  ( f  =  v  ->  (
u  X.  f )  =  ( u  X.  v ) )
2119, 20cbvmpt2v 6161 . . . . . . 7  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ( u  e. 𝔅 ,  v  e. 𝔅 
|->  ( u  X.  v
) )
22 df-mpt2 6091 . . . . . . 7  |-  ( u  e. 𝔅 ,  v  e. 𝔅 
|->  ( u  X.  v
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
2321, 22eqtri 2458 . . . . . 6  |-  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  { <. <. u ,  v
>. ,  g >.  |  ( ( u  e. 𝔅  /\  v  e. 𝔅 )  /\  g  =  ( u  X.  v ) ) }
2416, 18, 233sstr4i 3390 . . . . 5  |-  R  C_  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
25 rnss 5063 . . . . 5  |-  ( R 
C_  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  ->  ran  R 
C_  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
2624, 25ax-mp 5 . . . 4  |-  ran  R  C_ 
ran  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
27 sssigagen2 26541 . . . 4  |-  ( ( ran  ( e  e. 𝔅 , 
f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V  /\ 
ran  R  C_  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )  ->  ran  R  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
2810, 26, 27mp2an 672 . . 3  |-  ran  R  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
29 sigagenss2 26545 . . 3  |-  ( ( U. ran  R  = 
U. ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  /\  ran  R 
C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )  /\  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  e.  _V )  ->  (sigaGen `  ran  R ) 
C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
306, 28, 10, 29mp3an 1314 . 2  |-  (sigaGen `  ran  R )  C_  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
311, 2, 3sxbrsigalem4 26654 . 2  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) )  =  (sigaGen `  ran  R )
32 eqid 2438 . . . 4  |-  ran  (
e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )  =  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) )
3332sxval 26556 . . 3  |-  ( (𝔅  e.  (sigAlgebra `
 RR )  /\ 𝔅  e.  (sigAlgebra `  RR ) )  -> 
(𝔅 ×s 𝔅 )  =  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) ) )
347, 7, 33mp2an 672 . 2  |-  (𝔅 ×s 𝔅 )  =  (sigaGen `  ran  ( e  e. 𝔅 ,  f  e. 𝔅 
|->  ( e  X.  f
) ) )
3530, 31, 343sstr4i 3390 1  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (𝔅 ×s 𝔅 )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1369    e. wcel 1756   _Vcvv 2967    C_ wss 3323   U.cuni 4086    X. cxp 4833   ran crn 4836   ` cfv 5413  (class class class)co 6086   {coprab 6087    e. cmpt2 6088   RRcr 9273   1c1 9275    + caddc 9277    / cdiv 9985   2c2 10363   ZZcz 10638   (,)cioo 11292   [,)cico 11294   ^cexp 11857   topGenctg 14368    tX ctx 19108  sigAlgebracsiga 26502  sigaGencsigagen 26533  𝔅cbrsiga 26547   ×s csx 26554
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1591  ax-4 1602  ax-5 1670  ax-6 1708  ax-7 1728  ax-8 1758  ax-9 1760  ax-10 1775  ax-11 1780  ax-12 1792  ax-13 1943  ax-ext 2419  ax-rep 4398  ax-sep 4408  ax-nul 4416  ax-pow 4465  ax-pr 4526  ax-un 6367  ax-inf2 7839  ax-ac2 8624  ax-cnex 9330  ax-resscn 9331  ax-1cn 9332  ax-icn 9333  ax-addcl 9334  ax-addrcl 9335  ax-mulcl 9336  ax-mulrcl 9337  ax-mulcom 9338  ax-addass 9339  ax-mulass 9340  ax-distr 9341  ax-i2m1 9342  ax-1ne0 9343  ax-1rid 9344  ax-rnegex 9345  ax-rrecex 9346  ax-cnre 9347  ax-pre-lttri 9348  ax-pre-lttrn 9349  ax-pre-ltadd 9350  ax-pre-mulgt0 9351  ax-pre-sup 9352  ax-addf 9353  ax-mulf 9354
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1372  df-fal 1375  df-ex 1587  df-nf 1590  df-sb 1701  df-eu 2256  df-mo 2257  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2715  df-rex 2716  df-reu 2717  df-rmo 2718  df-rab 2719  df-v 2969  df-sbc 3182  df-csb 3284  df-dif 3326  df-un 3328  df-in 3330  df-ss 3337  df-pss 3339  df-nul 3633  df-if 3787  df-pw 3857  df-sn 3873  df-pr 3875  df-tp 3877  df-op 3879  df-uni 4087  df-int 4124  df-iun 4168  df-iin 4169  df-br 4288  df-opab 4346  df-mpt 4347  df-tr 4381  df-eprel 4627  df-id 4631  df-po 4636  df-so 4637  df-fr 4674  df-se 4675  df-we 4676  df-ord 4717  df-on 4718  df-lim 4719  df-suc 4720  df-xp 4841  df-rel 4842  df-cnv 4843  df-co 4844  df-dm 4845  df-rn 4846  df-res 4847  df-ima 4848  df-iota 5376  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-riota 6047  df-ov 6089  df-oprab 6090  df-mpt2 6091  df-of 6315  df-om 6472  df-1st 6572  df-2nd 6573  df-supp 6686  df-recs 6824  df-rdg 6858  df-1o 6912  df-2o 6913  df-oadd 6916  df-omul 6917  df-er 7093  df-map 7208  df-pm 7209  df-ixp 7256  df-en 7303  df-dom 7304  df-sdom 7305  df-fin 7306  df-fsupp 7613  df-fi 7653  df-sup 7683  df-oi 7716  df-card 8101  df-acn 8104  df-ac 8278  df-cda 8329  df-pnf 9412  df-mnf 9413  df-xr 9414  df-ltxr 9415  df-le 9416  df-sub 9589  df-neg 9590  df-div 9986  df-nn 10315  df-2 10372  df-3 10373  df-4 10374  df-5 10375  df-6 10376  df-7 10377  df-8 10378  df-9 10379  df-10 10380  df-n0 10572  df-z 10639  df-dec 10748  df-uz 10854  df-q 10946  df-rp 10984  df-xneg 11081  df-xadd 11082  df-xmul 11083  df-ioo 11296  df-ioc 11297  df-ico 11298  df-icc 11299  df-fz 11430  df-fzo 11541  df-fl 11634  df-mod 11701  df-seq 11799  df-exp 11858  df-fac 12044  df-bc 12071  df-hash 12096  df-shft 12548  df-cj 12580  df-re 12581  df-im 12582  df-sqr 12716  df-abs 12717  df-limsup 12941  df-clim 12958  df-rlim 12959  df-sum 13156  df-ef 13345  df-sin 13347  df-cos 13348  df-pi 13350  df-struct 14168  df-ndx 14169  df-slot 14170  df-base 14171  df-sets 14172  df-ress 14173  df-plusg 14243  df-mulr 14244  df-starv 14245  df-sca 14246  df-vsca 14247  df-ip 14248  df-tset 14249  df-ple 14250  df-ds 14252  df-unif 14253  df-hom 14254  df-cco 14255  df-rest 14353  df-topn 14354  df-0g 14372  df-gsum 14373  df-topgen 14374  df-pt 14375  df-prds 14378  df-xrs 14432  df-qtop 14437  df-imas 14438  df-xps 14440  df-mre 14516  df-mrc 14517  df-acs 14519  df-mnd 15407  df-submnd 15457  df-mulg 15539  df-cntz 15826  df-cmn 16270  df-psmet 17784  df-xmet 17785  df-met 17786  df-bl 17787  df-mopn 17788  df-fbas 17789  df-fg 17790  df-cnfld 17794  df-refld 18010  df-top 18478  df-bases 18480  df-topon 18481  df-topsp 18482  df-cld 18598  df-ntr 18599  df-cls 18600  df-nei 18677  df-lp 18715  df-perf 18716  df-cn 18806  df-cnp 18807  df-haus 18894  df-cmp 18965  df-tx 19110  df-hmeo 19303  df-fil 19394  df-fm 19486  df-flim 19487  df-flf 19488  df-fcls 19489  df-xms 19870  df-ms 19871  df-tms 19872  df-cncf 20429  df-cfil 20741  df-cmet 20743  df-cms 20821  df-limc 21316  df-dv 21317  df-log 21983  df-cxp 21984  df-logb 26402  df-siga 26503  df-sigagen 26534  df-brsiga 26548  df-sx 26555
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  26656
  Copyright terms: Public domain W3C validator