Theorem sxbrsigalem5 29112

Description: First direction for sxbrsiga 29114. (Contributed by Thierry Arnoux, 22-Sep-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem5	|- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, n, v   R, n, x   x, J, u, v

Allowed substitution hints:   R( v, u)   I( n)   J( n)

Proof of Theorem sxbrsigalem5

Dummy variables e f g are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . . 5 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		dya2ioc.1	. . . . 5 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
3		dya2ioc.2	. . . . 5 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 29108	. . . 4 |- U. ran R = ( RR X. RR )
5		br2base 29093	. . . 4 |- U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ( RR X. RR )
6	4, 5	eqtr4i 2455	. . 3 |- U. ran R = U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
7		brsigarn 29008	. . . . . . 7 |- 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR )
8	7	elexi 3092	. . . . . 6 |- 𝔅ℝ e. _V
9	8, 8	mpt2ex 6882	. . . . 5 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V
10	9	rnex 6739	. . . 4 |- ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V
11	1, 2	dya2icobrsiga 29100	. . . . . . . . . 10 |- ran I C_ 𝔅ℝ
12	11	sseli 3461	. . . . . . . . 9 |- ( u e. ran I -> u e. 𝔅ℝ )
13	11	sseli 3461	. . . . . . . . 9 |- ( v e. ran I -> v e. 𝔅ℝ )
14	12, 13	anim12i 569	. . . . . . . 8 |- ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) -> ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) )
15	14	anim1i 571	. . . . . . 7 |- ( ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) -> ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) )
16	15	ssoprab2i 6397	. . . . . 6 |- { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) } C_ { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
17		df-mpt2 6308	. . . . . . 7 |- ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) }
18	3, 17	eqtri 2452	. . . . . 6 |- R = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. ran I /\ v e. ran I ) /\ g = ( u X. v ) ) }
19		xpeq1 4865	. . . . . . . 8 |- ( e = u -> ( e X. f ) = ( u X. f ) )
20		xpeq2 4866	. . . . . . . 8 |- ( f = v -> ( u X. f ) = ( u X. v ) )
21	19, 20	cbvmpt2v 6383	. . . . . . 7 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ( u e. 𝔅ℝ , v e. 𝔅ℝ |-> ( u X. v ) )
22		df-mpt2 6308	. . . . . . 7 |- ( u e. 𝔅ℝ , v e. 𝔅ℝ |-> ( u X. v ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
23	21, 22	eqtri 2452	. . . . . 6 |- ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = { <. <. u , v >. , g >. | ( ( u e. 𝔅ℝ /\ v e. 𝔅ℝ ) /\ g = ( u X. v ) ) }
24	16, 18, 23	3sstr4i 3504	. . . . 5 |- R C_ ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
25		rnss 5080	. . . . 5 |- ( R C_ ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) -> ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
26	24, 25	ax-mp 5	. . . 4 |- ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
27		sssigagen2 28970	. . . 4 |- ( ( ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V /\ ran R C_ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) -> ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
28	10, 26, 27	mp2an 677	. . 3 |- ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
29		sigagenss2 28974	. . 3 |- ( ( U. ran R = U. ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) /\ ran R C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) /\ ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) e. _V ) -> (sigaGen ` ran R ) C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
30	6, 28, 10, 29	mp3an 1361	. 2 |- (sigaGen ` ran R ) C_ (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
31	1, 2, 3	sxbrsigalem4 29111	. 2 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) = (sigaGen ` ran R )
32		eqid 2423	. . . 4 |- ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) = ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) )
33	32	sxval 29014	. . 3 |- ( (𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) /\ 𝔅ℝ e. (sigAlgebra ` RR ) ) -> (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ ) = (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) ) )
34	7, 7, 33	mp2an 677	. 2 |- (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ ) = (sigaGen ` ran ( e e. 𝔅ℝ , f e. 𝔅ℝ |-> ( e X. f ) ) )
35	30, 31, 34	3sstr4i 3504	1 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (𝔅ℝ ×s 𝔅ℝ )

Syntax hints:   /\ wa 371   = wceq 1438   e. wcel 1869   _Vcvv 3082   C_ wss 3437   U.cuni 4217   X. cxp 4849   ran crn 4852   ` cfv 5599  (class class class)co 6303   {coprab 6304   |-> cmpt2 6305   RRcr 9540   1c1 9542   + caddc 9544   / cdiv 10271   2c2 10661   ZZcz 10939   (,)cioo 11637   [,)cico 11639   ^cexp 12273   topGenctg 15329   tX ctx 20567  sigAlgebracsiga 28931  sigaGencsigagen 28962  𝔅_ℝcbrsiga 29005   ×_s csx 29012

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1666  ax-4 1679  ax-5 1749  ax-6 1795  ax-7 1840  ax-8 1871  ax-9 1873  ax-10 1888  ax-11 1893  ax-12 1906  ax-13 2054  ax-ext 2401  ax-rep 4534  ax-sep 4544  ax-nul 4553  ax-pow 4600  ax-pr 4658  ax-un 6595  ax-inf2 8150  ax-ac2 8895  ax-cnex 9597  ax-resscn 9598  ax-1cn 9599  ax-icn 9600  ax-addcl 9601  ax-addrcl 9602  ax-mulcl 9603  ax-mulrcl 9604  ax-mulcom 9605  ax-addass 9606  ax-mulass 9607  ax-distr 9608  ax-i2m1 9609  ax-1ne0 9610  ax-1rid 9611  ax-rnegex 9612  ax-rrecex 9613  ax-cnre 9614  ax-pre-lttri 9615  ax-pre-lttrn 9616  ax-pre-ltadd 9617  ax-pre-mulgt0 9618  ax-pre-sup 9619  ax-addf 9620  ax-mulf 9621

This theorem depends on definitions:  df-bi 189  df-or 372  df-an 373  df-3or 984  df-3an 985  df-tru 1441  df-fal 1444  df-ex 1661  df-nf 1665  df-sb 1788  df-eu 2270  df-mo 2271  df-clab 2409  df-cleq 2415  df-clel 2418  df-nfc 2573  df-ne 2621  df-nel 2622  df-ral 2781  df-rex 2782  df-reu 2783  df-rmo 2784  df-rab 2785  df-v 3084  df-sbc 3301  df-csb 3397  df-dif 3440  df-un 3442  df-in 3444  df-ss 3451  df-pss 3453  df-nul 3763  df-if 3911  df-pw 3982  df-sn 3998  df-pr 4000  df-tp 4002  df-op 4004  df-uni 4218  df-int 4254  df-iun 4299  df-iin 4300  df-br 4422  df-opab 4481  df-mpt 4482  df-tr 4517  df-eprel 4762  df-id 4766  df-po 4772  df-so 4773  df-fr 4810  df-se 4811  df-we 4812  df-xp 4857  df-rel 4858  df-cnv 4859  df-co 4860  df-dm 4861  df-rn 4862  df-res 4863  df-ima 4864  df-pred 5397  df-ord 5443  df-on 5444  df-lim 5445  df-suc 5446  df-iota 5563  df-fun 5601  df-fn 5602  df-f 5603  df-f1 5604  df-fo 5605  df-f1o 5606  df-fv 5607  df-isom 5608  df-riota 6265  df-ov 6306  df-oprab 6307  df-mpt2 6308  df-of 6543  df-om 6705  df-1st 6805  df-2nd 6806  df-supp 6924  df-wrecs 7034  df-recs 7096  df-rdg 7134  df-1o 7188  df-2o 7189  df-oadd 7192  df-omul 7193  df-er 7369  df-map 7480  df-pm 7481  df-ixp 7529  df-en 7576  df-dom 7577  df-sdom 7578  df-fin 7579  df-fsupp 7888  df-fi 7929  df-sup 7960  df-inf 7961  df-oi 8029  df-card 8376  df-acn 8379  df-ac 8549  df-cda 8600  df-pnf 9679  df-mnf 9680  df-xr 9681  df-ltxr 9682  df-le 9683  df-sub 9864  df-neg 9865  df-div 10272  df-nn 10612  df-2 10670  df-3 10671  df-4 10672  df-5 10673  df-6 10674  df-7 10675  df-8 10676  df-9 10677  df-10 10678  df-n0 10872  df-z 10940  df-dec 11054  df-uz 11162  df-q 11267  df-rp 11305  df-xneg 11411  df-xadd 11412  df-xmul 11413  df-ioo 11641  df-ioc 11642  df-ico 11643  df-icc 11644  df-fz 11787  df-fzo 11918  df-fl 12029  df-mod 12098  df-seq 12215  df-exp 12274  df-fac 12461  df-bc 12489  df-hash 12517  df-shft 13124  df-cj 13156  df-re 13157  df-im 13158  df-sqrt 13292  df-abs 13293  df-limsup 13519  df-clim 13545  df-rlim 13546  df-sum 13746  df-ef 14114  df-sin 14116  df-cos 14117  df-pi 14119  df-struct 15116  df-ndx 15117  df-slot 15118  df-base 15119  df-sets 15120  df-ress 15121  df-plusg 15196  df-mulr 15197  df-starv 15198  df-sca 15199  df-vsca 15200  df-ip 15201  df-tset 15202  df-ple 15203  df-ds 15205  df-unif 15206  df-hom 15207  df-cco 15208  df-rest 15314  df-topn 15315  df-0g 15333  df-gsum 15334  df-topgen 15335  df-pt 15336  df-prds 15339  df-xrs 15393  df-qtop 15399  df-imas 15400  df-xps 15403  df-mre 15485  df-mrc 15486  df-acs 15488  df-mgm 16481  df-sgrp 16520  df-mnd 16530  df-submnd 16576  df-mulg 16669  df-cntz 16964  df-cmn 17425  df-psmet 18955  df-xmet 18956  df-met 18957  df-bl 18958  df-mopn 18959  df-fbas 18960  df-fg 18961  df-cnfld 18964  df-refld 19165  df-top 19913  df-bases 19914  df-topon 19915  df-topsp 19916  df-cld 20026  df-ntr 20027  df-cls 20028  df-nei 20106  df-lp 20144  df-perf 20145  df-cn 20235  df-cnp 20236  df-haus 20323  df-cmp 20394  df-tx 20569  df-hmeo 20762  df-fil 20853  df-fm 20945  df-flim 20946  df-flf 20947  df-fcls 20948  df-xms 21327  df-ms 21328  df-tms 21329  df-cncf 21902  df-cfil 22217  df-cmet 22219  df-cms 22295  df-limc 22813  df-dv 22814  df-log 23498  df-cxp 23499  df-logb 23694  df-siga 28932  df-sigagen 28963  df-brsiga 29006  df-sx 29013

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem6  29113