Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem3 Unicode version

Theorem sxbrsigalem3 24575
 Description: The sigma-algebra generated by the closed half-spaces of is a subset of the sigma-algebra generated by the closed sets of . (Contributed by Thierry Arnoux, 11-Oct-2017.)
Hypothesis
Ref Expression
sxbrsiga.0
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem3 sigaGen sigaGen
Distinct variable group:   ,
Allowed substitution hints:   (,)

Proof of Theorem sxbrsigalem3
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsigalem0 24574 . . 3
2 sxbrsiga.0 . . . . . 6
3 retop 18748 . . . . . 6
42, 3eqeltri 2474 . . . . 5
54, 4txtopi 17575 . . . 4
6 uniretop 18749 . . . . . 6
72unieqi 3985 . . . . . 6
86, 7eqtr4i 2427 . . . . 5
94, 4, 8, 8txunii 17578 . . . 4
105, 9unicls 24254 . . 3
111, 10eqtr4i 2427 . 2
12 ovex 6065 . . . . . . 7
13 reex 9037 . . . . . . 7
1412, 13xpex 4949 . . . . . 6
15 eqid 2404 . . . . . 6
1614, 15fnmpti 5532 . . . . 5
17 oveq1 6047 . . . . . . . . 9
1817xpeq1d 4860 . . . . . . . 8
19 ovex 6065 . . . . . . . . 9
2019, 13xpex 4949 . . . . . . . 8
2118, 15, 20fvmpt 5765 . . . . . . 7
22 icopnfcld 18755 . . . . . . . . 9
232fveq2i 5690 . . . . . . . . 9
2422, 23syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8
25 dif0 3658 . . . . . . . . 9
26 0opn 16932 . . . . . . . . . . 11
274, 26ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
288opncld 17052 . . . . . . . . . 10
294, 27, 28mp2an 654 . . . . . . . . 9
3025, 29eqeltrri 2475 . . . . . . . 8
31 txcld 17588 . . . . . . . 8
3224, 30, 31sylancl 644 . . . . . . 7
3321, 32eqeltrd 2478 . . . . . 6
3433rgen 2731 . . . . 5
35 fnfvrnss 5855 . . . . 5
3616, 34, 35mp2an 654 . . . 4
37 ovex 6065 . . . . . . 7
3813, 37xpex 4949 . . . . . 6
39 eqid 2404 . . . . . 6
4038, 39fnmpti 5532 . . . . 5
41 oveq1 6047 . . . . . . . . 9
4241xpeq2d 4861 . . . . . . . 8
43 ovex 6065 . . . . . . . . 9
4413, 43xpex 4949 . . . . . . . 8
4542, 39, 44fvmpt 5765 . . . . . . 7
46 icopnfcld 18755 . . . . . . . . 9
4746, 23syl6eleqr 2495 . . . . . . . 8
48 txcld 17588 . . . . . . . 8
4930, 47, 48sylancr 645 . . . . . . 7
5045, 49eqeltrd 2478 . . . . . 6
5150rgen 2731 . . . . 5
52 fnfvrnss 5855 . . . . 5
5340, 51, 52mp2an 654 . . . 4
5436, 53unssi 3482 . . 3
55 fvex 5701 . . . 4
56 sssigagen 24481 . . . 4 sigaGen
5755, 56ax-mp 8 . . 3 sigaGen
5854, 57sstri 3317 . 2 sigaGen
59 sigagenss2 24486 . 2 sigaGen sigaGen sigaGen
6011, 58, 55, 59mp3an 1279 1 sigaGen sigaGen
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wceq 1649   wcel 1721  wral 2666  cvv 2916   cdif 3277   cun 3278   wss 3280  c0 3588  cuni 3975   cmpt 4226   cxp 4835   crn 4838   wfn 5408  cfv 5413  (class class class)co 6040  cr 8945   cpnf 9073  cioo 10872  cico 10874  ctg 13620  ctop 16913  ccld 17035   ctx 17545  sigaGencsigagen 24474 This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  24590 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660  ax-cnex 9002  ax-resscn 9003  ax-1cn 9004  ax-icn 9005  ax-addcl 9006  ax-addrcl 9007  ax-mulcl 9008  ax-mulrcl 9009  ax-mulcom 9010  ax-addass 9011  ax-mulass 9012  ax-distr 9013  ax-i2m1 9014  ax-1ne0 9015  ax-1rid 9016  ax-rnegex 9017  ax-rrecex 9018  ax-cnre 9019  ax-pre-lttri 9020  ax-pre-lttrn 9021  ax-pre-ltadd 9022  ax-pre-mulgt0 9023  ax-pre-sup 9024 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-lim 4546  df-suc 4547  df-om 4805  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-recs 6592  df-rdg 6627  df-er 6864  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-sup 7404  df-pnf 9078  df-mnf 9079  df-xr 9080  df-ltxr 9081  df-le 9082  df-sub 9249  df-neg 9250  df-div 9634  df-nn 9957  df-n0 10178  df-z 10239  df-uz 10445  df-q 10531  df-ioo 10876  df-ico 10878  df-topgen 13622  df-top 16918  df-bases 16920  df-topon 16921  df-cld 17038  df-tx 17547  df-siga 24444  df-sigagen 24475
 Copyright terms: Public domain W3C validator