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Theorem sxbrsigalem2 29181
 Description: The sigma-algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of is a subset of the sigma-algebra generated by the closed half-spaces of . The proof goes by noting the fact that the dyadic rectangles are intersections of a 'vertical band' and an 'horizontal band', which themselves are differences of closed half-spaces. (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0
dya2ioc.1
dya2ioc.2
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem2 sigaGen sigaGen
Distinct variable groups:   ,   ,   ,,,   ,,   ,,   ,   ,,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,,)   (,,,,)

Proof of Theorem sxbrsigalem2
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . 4
2 dya2ioc.1 . . . 4
3 dya2ioc.2 . . . 4
41, 2, 3dya2iocucvr 29179 . . 3
5 sxbrsigalem0 29166 . . 3
64, 5eqtr4i 2496 . 2
7 vex 3034 . . . . . 6
8 vex 3034 . . . . . 6
97, 8xpex 6614 . . . . 5
103, 9elrnmpt2 6428 . . . 4
11 simpr 468 . . . . . . 7
121, 2dya2icobrsiga 29171 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅
13 brsigasspwrn 29081 . . . . . . . . . . . . 13 𝔅
1412, 13sstri 3427 . . . . . . . . . . . 12
1514sseli 3414 . . . . . . . . . . 11
1615elpwid 3952 . . . . . . . . . 10
1714sseli 3414 . . . . . . . . . . 11
1817elpwid 3952 . . . . . . . . . 10
19 xpinpreima2 28787 . . . . . . . . . 10
2016, 18, 19syl2an 485 . . . . . . . . 9
21 reex 9648 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2221mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2322rnex 6746 . . . . . . . . . . . . . . 15
2421mptex 6152 . . . . . . . . . . . . . . . 16
2524rnex 6746 . . . . . . . . . . . . . . 15
2623, 25unex 6608 . . . . . . . . . . . . . 14
2726a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
2827sgsiga 29038 . . . . . . . . . . . 12 sigaGen sigAlgebra
2928trud 1461 . . . . . . . . . . 11 sigaGen sigAlgebra
3029a1i 11 . . . . . . . . . 10 sigaGen sigAlgebra
31 1stpreima 28362 . . . . . . . . . . . . 13
3216, 31syl 17 . . . . . . . . . . . 12
33 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . 14
342, 33elrnmpt2 6428 . . . . . . . . . . . . 13
35 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
3635xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . 16
37 difxp1 5268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
38 simpl 464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3938zred 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
40 2rp 11330 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
4140a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
42 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4341, 42rpexpcld 12477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4439, 43rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4544rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
46 1red 9676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
4739, 46readdcld 9688 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
4847, 43rerpdivcld 11392 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
4948rexrd 9708 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
50 pnfxr 11435 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5150a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5239lep1d 10560 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5339, 47, 43, 52lediv1dd 11419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
54 pnfge 11455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
5549, 54syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
56 difico 28440 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5745, 49, 51, 53, 55, 56syl32anc 1300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
5857xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
5937, 58syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
6029a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen sigAlgebra
61 ssun1 3588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
62 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
63 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
6463xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6564eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
6665rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6744, 62, 66sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
68 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
69 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
7069, 21xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
7168, 70elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
7267, 71sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
7361, 72sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
74 elsigagen 29043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 sigaGen
7526, 73, 74sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen
76 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
77 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
7877xpeq1d 4862 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
7978eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
8079rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
8148, 76, 80sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8268, 70elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
8381, 82sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
8461, 83sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
85 elsigagen 29043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 sigaGen
8626, 84, 85sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen
87 difelsiga 29029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen sigAlgebra sigaGen sigaGen sigaGen
8860, 75, 86, 87syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sigaGen
8959, 88eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 sigaGen
9089adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sigaGen
9136, 90eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigaGen
9291ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14 sigaGen
9392rexlimivv 2876 . . . . . . . . . . . . 13 sigaGen
9434, 93sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12 sigaGen
9532, 94eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11 sigaGen
9695adantr 472 . . . . . . . . . 10 sigaGen
97 2ndpreima 28363 . . . . . . . . . . . . 13
9818, 97syl 17 . . . . . . . . . . . 12
992, 33elrnmpt2 6428 . . . . . . . . . . . . 13
100 simpr 468 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
101100xpeq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . 16
102 difxp2 5269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10357xpeq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
104102, 103syl5reqr 2520 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
105 ssun2 3589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
106 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
107 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
108107xpeq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
109108eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
110109rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
11144, 106, 110sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
112 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
113 ovex 6336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
11421, 113xpex 6614 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
115112, 114elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
116111, 115sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
117105, 116sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
118 elsigagen 29043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 sigaGen
11926, 117, 118sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen
120 eqid 2471 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
121 oveq1 6315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
122121xpeq2d 4863 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
123122eqeq2d 2481 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
124123rspcev 3136 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
12548, 120, 124sylancl 675 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
126112, 114elrnmpti 5091 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
127125, 126sylibr 217 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
128105, 127sseldi 3416 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
129 elsigagen 29043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 sigaGen
13026, 128, 129sylancr 676 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen
131 difelsiga 29029 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 sigaGen sigAlgebra sigaGen sigaGen sigaGen
13260, 119, 130, 131syl3anc 1292 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 sigaGen
133104, 132eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 sigaGen
134133adantr 472 . . . . . . . . . . . . . . . 16 sigaGen
135101, 134eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . . . . . 15 sigaGen
136135ex 441 . . . . . . . . . . . . . 14 sigaGen
137136rexlimivv 2876 . . . . . . . . . . . . 13 sigaGen
13899, 137sylbi 200 . . . . . . . . . . . 12 sigaGen
13998, 138eqeltrd 2549 . . . . . . . . . . 11 sigaGen
140139adantl 473 . . . . . . . . . 10 sigaGen
141 inelsiga 29031 . . . . . . . . . 10 sigaGen sigAlgebra sigaGen sigaGen sigaGen
14230, 96, 140, 141syl3anc 1292 . . . . . . . . 9 sigaGen
14320, 142eqeltrd 2549 . . . . . . . 8 sigaGen
144143adantr 472 . . . . . . 7 sigaGen
14511, 144eqeltrd 2549 . . . . . 6 sigaGen
146145ex 441 . . . . 5 sigaGen
147146rexlimivv 2876 . . . 4 sigaGen
14810, 147sylbi 200 . . 3 sigaGen
149148ssriv 3422 . 2 sigaGen
150 sigagenss2 29046 . 2 sigaGen sigaGen sigaGen
1516, 149, 26, 150mp3an 1390 1 sigaGen sigaGen
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   wa 376   wceq 1452   wtru 1453   wcel 1904  wrex 2757  cvv 3031   cdif 3387   cun 3388   cin 3389   wss 3390  cpw 3942  cuni 4190   class class class wbr 4395   cmpt 4454   cxp 4837  ccnv 4838   crn 4840   cres 4841  cima 4842  cfv 5589  (class class class)co 6308   cmpt2 6310  c1st 6810  c2nd 6811  cr 9556  c1 9558   caddc 9560   cpnf 9690  cxr 9692   cle 9694   cdiv 10291  c2 10681  cz 10961  crp 11325  cioo 11660  cico 11662  cexp 12310  ctg 15414  sigAlgebracsiga 29003  sigaGencsigagen 29034  𝔅ℝcbrsiga 29077 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1677  ax-4 1690  ax-5 1766  ax-6 1813  ax-7 1859  ax-8 1906  ax-9 1913  ax-10 1932  ax-11 1937  ax-12 1950  ax-13 2104  ax-ext 2451  ax-rep 4508  ax-sep 4518  ax-nul 4527  ax-pow 4579  ax-pr 4639  ax-un 6602  ax-inf2 8164  ax-ac2 8911  ax-cnex 9613  ax-resscn 9614  ax-1cn 9615  ax-icn 9616  ax-addcl 9617  ax-addrcl 9618  ax-mulcl 9619  ax-mulrcl 9620  ax-mulcom 9621  ax-addass 9622  ax-mulass 9623  ax-distr 9624  ax-i2m1 9625  ax-1ne0 9626  ax-1rid 9627  ax-rnegex 9628  ax-rrecex 9629  ax-cnre 9630  ax-pre-lttri 9631  ax-pre-lttrn 9632  ax-pre-ltadd 9633  ax-pre-mulgt0 9634  ax-pre-sup 9635  ax-addf 9636  ax-mulf 9637 This theorem depends on definitions:  df-bi 190  df-or 377  df-an 378  df-3or 1008  df-3an 1009  df-tru 1455  df-fal 1458  df-ex 1672  df-nf 1676  df-sb 1806  df-eu 2323  df-mo 2324  df-clab 2458  df-cleq 2464  df-clel 2467  df-nfc 2601  df-ne 2643  df-nel 2644  df-ral 2761  df-rex 2762  df-reu 2763  df-rmo 2764  df-rab 2765  df-v 3033  df-sbc 3256  df-csb 3350  df-dif 3393  df-un 3395  df-in 3397  df-ss 3404  df-pss 3406  df-nul 3723  df-if 3873  df-pw 3944  df-sn 3960  df-pr 3962  df-tp 3964  df-op 3966  df-uni 4191  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4396  df-opab 4455  df-mpt 4456  df-tr 4491  df-eprel 4750  df-id 4754  df-po 4760  df-so 4761  df-fr 4798  df-se 4799  df-we 4800  df-xp 4845  df-rel 4846  df-cnv 4847  df-co 4848  df-dm 4849  df-rn 4850  df-res 4851  df-ima 4852  df-pred 5387  df-ord 5433  df-on 5434  df-lim 5435  df-suc 5436  df-iota 5553  df-fun 5591  df-fn 5592  df-f 5593  df-f1 5594  df-fo 5595  df-f1o 5596  df-fv 5597  df-isom 5598  df-riota 6270  df-ov 6311  df-oprab 6312  df-mpt2 6313  df-of 6550  df-om 6712  df-1st 6812  df-2nd 6813  df-supp 6934  df-wrecs 7046  df-recs 7108  df-rdg 7146  df-1o 7200  df-2o 7201  df-oadd 7204  df-er 7381  df-map 7492  df-pm 7493  df-ixp 7541  df-en 7588  df-dom 7589  df-sdom 7590  df-fin 7591  df-fsupp 7902  df-fi 7943  df-sup 7974  df-inf 7975  df-oi 8043  df-card 8391  df-acn 8394  df-ac 8565  df-cda 8616  df-pnf 9695  df-mnf 9696  df-xr 9697  df-ltxr 9698  df-le 9699  df-sub 9882  df-neg 9883  df-div 10292  df-nn 10632  df-2 10690  df-3 10691  df-4 10692  df-5 10693  df-6 10694  df-7 10695  df-8 10696  df-9 10697  df-10 10698  df-n0 10894  df-z 10962  df-dec 11075  df-uz 11183  df-q 11288  df-rp 11326  df-xneg 11432  df-xadd 11433  df-xmul 11434  df-ioo 11664  df-ioc 11665  df-ico 11666  df-icc 11667  df-fz 11811  df-fzo 11943  df-fl 12061  df-mod 12130  df-seq 12252  df-exp 12311  df-fac 12498  df-bc 12526  df-hash 12554  df-shft 13207  df-cj 13239  df-re 13240  df-im 13241  df-sqrt 13375  df-abs 13376  df-limsup 13603  df-clim 13629  df-rlim 13630  df-sum 13830  df-ef 14198  df-sin 14200  df-cos 14201  df-pi 14203  df-struct 15201  df-ndx 15202  df-slot 15203  df-base 15204  df-sets 15205  df-ress 15206  df-plusg 15281  df-mulr 15282  df-starv 15283  df-sca 15284  df-vsca 15285  df-ip 15286  df-tset 15287  df-ple 15288  df-ds 15290  df-unif 15291  df-hom 15292  df-cco 15293  df-rest 15399  df-topn 15400  df-0g 15418  df-gsum 15419  df-topgen 15420  df-pt 15421  df-prds 15424  df-xrs 15478  df-qtop 15484  df-imas 15485  df-xps 15488  df-mre 15570  df-mrc 15571  df-acs 15573  df-mgm 16566  df-sgrp 16605  df-mnd 16615  df-submnd 16661  df-mulg 16754  df-cntz 17049  df-cmn 17510  df-psmet 19039  df-xmet 19040  df-met 19041  df-bl 19042  df-mopn 19043  df-fbas 19044  df-fg 19045  df-cnfld 19048  df-refld 19250  df-top 19998  df-bases 19999  df-topon 20000  df-topsp 20001  df-cld 20111  df-ntr 20112  df-cls 20113  df-nei 20191  df-lp 20229  df-perf 20230  df-cn 20320  df-cnp 20321  df-haus 20408  df-cmp 20479  df-tx 20654  df-hmeo 20847  df-fil 20939  df-fm 21031  df-flim 21032  df-flf 21033  df-fcls 21034  df-xms 21413  df-ms 21414  df-tms 21415  df-cncf 21988  df-cfil 22303  df-cmet 22305  df-cms 22381  df-limc 22900  df-dv 22901  df-log 23585  df-cxp 23586  df-logb 23781  df-siga 29004  df-sigagen 29035  df-brsiga 29078 This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  29182
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