Theorem sxbrsigalem1 26834

Description: The Borel algebra on ( RR X. RR ) is a subset of the sigma algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of ( RR X. RR ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4 (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem1	|- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, n, v   R, n, x   x, J

Allowed substitution hints:   R( v, u)   I( n)   J( v, u, n)

Proof of Theorem sxbrsigalem1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . 4 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		dya2ioc.1	. . . 4 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
3		dya2ioc.2	. . . 4 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 26833	. . 3 |- U. ran R = ( RR X. RR )
5		retop 20456	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
6	1, 5	eqeltri 2535	. . . 4 |- J e. Top
7		uniretop 20457	. . . . 5 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
8	1	unieqi 4198	. . . . 5 |- U. J = U. ( topGen ` ran (,) )
9	7, 8	eqtr4i 2483	. . . 4 |- RR = U. J
10	6, 6, 9, 9	txunii 19282	. . 3 |- ( RR X. RR ) = U. ( J tX J )
11	4, 10	eqtr2i 2481	. 2 |- U. ( J tX J ) = U. ran R
12	1, 2, 3	dya2iocuni 26832	. . . 4 |- ( x e. ( J tX J ) -> E. y e. ~P ran R U. y = x )
13		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> U. y = x )
14	1, 2, 3	dya2iocct 26829	. . . . . . . . 9 |- ran R ~<_ om
15		ctex 26142	. . . . . . . . 9 |- ( ran R ~<_ om -> ran R e. _V )
16	14, 15	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> ran R e. _V )
17		elpwi 3967	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> y C_ ran R )
18		ssct 26143	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ran R /\ ran R ~<_ om ) -> y ~<_ om )
19	17, 14, 18	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> y ~<_ om )
20		elsigagen2 26725	. . . . . . . 8 |- ( ( ran R e. _V /\ y C_ ran R /\ y ~<_ om ) -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1219	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P ran R -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
22	21	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
23	13, 22	eqeltrrd 2540	. . . . 5 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
24	23	rexlimiva 2932	. . . 4 |- ( E. y e. ~P ran R U. y = x -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
25	12, 24	syl 16	. . 3 |- ( x e. ( J tX J ) -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
26	25	ssriv 3458	. 2 |- ( J tX J ) C_ (sigaGen ` ran R )
27	14, 15	ax-mp 5	. 2 |- ran R e. _V
28		sigagenss2 26727	. 2 |- ( ( U. ( J tX J ) = U. ran R /\ ( J tX J ) C_ (sigaGen ` ran R ) /\ ran R e. _V ) -> (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R ) )
29	11, 26, 27, 28	mp3an 1315	1 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1370   e. wcel 1758   E.wrex 2796   _Vcvv 3068   C_ wss 3426   ~Pcpw 3958   U.cuni 4189   class class class wbr 4390   X. cxp 4936   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190   |-> cmpt2 6192   omcom 6576   ~<_ cdom 7408   RRcr 9382   1c1 9384   + caddc 9386   / cdiv 10094   2c2 10472   ZZcz 10747   (,)cioo 11401   [,)cico 11403   ^cexp 11966   topGenctg 14478   Topctop 18614   tX ctx 19249  sigaGencsigagen 26715

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-ac2 8733  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-acn 8213  df-ac 8387  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-refld 18144  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-fcls 19630  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-cfil 20882  df-cmet 20884  df-cms 20962  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124  df-cxp 22125  df-logb 26584  df-siga 26685  df-sigagen 26716

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  26836