Theorem sxbrsigalem1 28733

Description: The Borel algebra on ( RR X. RR ) is a subset of the sigma algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of ( RR X. RR ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4 (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem1	|- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, n, v   R, n, x   x, J

Allowed substitution hints:   R( v, u)   I( n)   J( v, u, n)

Proof of Theorem sxbrsigalem1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . 4 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		dya2ioc.1	. . . 4 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
3		dya2ioc.2	. . . 4 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 28732	. . 3 |- U. ran R = ( RR X. RR )
5		retop 21560	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
6	1, 5	eqeltri 2486	. . . 4 |- J e. Top
7		uniretop 21561	. . . . 5 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
8	1	unieqi 4200	. . . . 5 |- U. J = U. ( topGen ` ran (,) )
9	7, 8	eqtr4i 2434	. . . 4 |- RR = U. J
10	6, 6, 9, 9	txunii 20386	. . 3 |- ( RR X. RR ) = U. ( J tX J )
11	4, 10	eqtr2i 2432	. 2 |- U. ( J tX J ) = U. ran R
12	1, 2, 3	dya2iocuni 28731	. . . 4 |- ( x e. ( J tX J ) -> E. y e. ~P ran R U. y = x )
13		simpr 459	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> U. y = x )
14	1, 2, 3	dya2iocct 28728	. . . . . . . . 9 |- ran R ~<_ om
15		ctex 27977	. . . . . . . . 9 |- ( ran R ~<_ om -> ran R e. _V )
16	14, 15	mp1i 13	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> ran R e. _V )
17		elpwi 3964	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> y C_ ran R )
18		ssct 27978	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ran R /\ ran R ~<_ om ) -> y ~<_ om )
19	17, 14, 18	sylancl 660	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> y ~<_ om )
20		elsigagen2 28596	. . . . . . . 8 |- ( ( ran R e. _V /\ y C_ ran R /\ y ~<_ om ) -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1230	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P ran R -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
22	21	adantr 463	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
23	13, 22	eqeltrrd 2491	. . . . 5 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
24	23	rexlimiva 2892	. . . 4 |- ( E. y e. ~P ran R U. y = x -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
25	12, 24	syl 17	. . 3 |- ( x e. ( J tX J ) -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
26	25	ssriv 3446	. 2 |- ( J tX J ) C_ (sigaGen ` ran R )
27	14, 15	ax-mp 5	. 2 |- ran R e. _V
28		sigagenss2 28598	. 2 |- ( ( U. ( J tX J ) = U. ran R /\ ( J tX J ) C_ (sigaGen ` ran R ) /\ ran R e. _V ) -> (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R ) )
29	11, 26, 27, 28	mp3an 1326	1 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R )

Syntax hints:   /\ wa 367   = wceq 1405   e. wcel 1842   E.wrex 2755   _Vcvv 3059   C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395   X. cxp 4821   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278   |-> cmpt2 6280   omcom 6683   ~<_ cdom 7552   RRcr 9521   1c1 9523   + caddc 9525   / cdiv 10247   2c2 10626   ZZcz 10905   (,)cioo 11582   [,)cico 11584   ^cexp 12210   topGenctg 15052   Topctop 19686   tX ctx 20353  sigaGencsigagen 28586

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-ac2 8875  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-ac 8529  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-refld 18939  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-fcls 20734  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-cfil 21986  df-cmet 21988  df-cms 22066  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-cxp 23237  df-logb 23432  df-siga 28556  df-sigagen 28587

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  28735