Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem1 Structured version   Unicode version

Theorem sxbrsigalem1 26834
Description: The Borel algebra on  ( RR 
X.  RR ) is a subset of the sigma algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of  ( RR  X.  RR ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4 (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem1  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (sigaGen `  ran  R )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, n, v    R, n, x    x, J
Allowed substitution hints:    R( v, u)    I( n)    J( v, u, n)

Proof of Theorem sxbrsigalem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
3 dya2ioc.2 . . . 4  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
41, 2, 3dya2iocucvr 26833 . . 3  |-  U. ran  R  =  ( RR  X.  RR )
5 retop 20456 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
61, 5eqeltri 2535 . . . 4  |-  J  e. 
Top
7 uniretop 20457 . . . . 5  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
81unieqi 4198 . . . . 5  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
97, 8eqtr4i 2483 . . . 4  |-  RR  =  U. J
106, 6, 9, 9txunii 19282 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  = 
U. ( J  tX  J )
114, 10eqtr2i 2481 . 2  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ran  R
121, 2, 3dya2iocuni 26832 . . . 4  |-  ( x  e.  ( J  tX  J )  ->  E. y  e.  ~P  ran  R U. y  =  x )
13 simpr 461 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ran  R  /\  U. y  =  x )  ->  U. y  =  x )
141, 2, 3dya2iocct 26829 . . . . . . . . 9  |-  ran  R  ~<_  om
15 ctex 26142 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
R  ~<_  om  ->  ran  R  e.  _V )
1614, 15mp1i 12 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  ran  R  e.  _V )
17 elpwi 3967 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  y  C_  ran  R )
18 ssct 26143 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ran  R  /\  ran  R  ~<_  om )  ->  y  ~<_  om )
1917, 14, 18sylancl 662 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  y  ~<_  om )
20 elsigagen2 26725 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  R  e.  _V  /\  y  C_  ran  R  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2116, 17, 19, 20syl3anc 1219 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  U. y  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2221adantr 465 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ran  R  /\  U. y  =  x )  ->  U. y  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2313, 22eqeltrrd 2540 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P ran  R  /\  U. y  =  x )  ->  x  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2423rexlimiva 2932 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~P  ran  R U. y  =  x  ->  x  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2512, 24syl 16 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  tX  J )  ->  x  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2625ssriv 3458 . 2  |-  ( J 
tX  J )  C_  (sigaGen `  ran  R )
2714, 15ax-mp 5 . 2  |-  ran  R  e.  _V
28 sigagenss2 26727 . 2  |-  ( ( U. ( J  tX  J )  =  U. ran  R  /\  ( J 
tX  J )  C_  (sigaGen `  ran  R )  /\  ran  R  e. 
_V )  ->  (sigaGen `  ( J  tX  J
) )  C_  (sigaGen ` 
ran  R ) )
2911, 26, 27, 28mp3an 1315 1  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (sigaGen `  ran  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 369    = wceq 1370    e. wcel 1758   E.wrex 2796   _Vcvv 3068    C_ wss 3426   ~Pcpw 3958   U.cuni 4189   class class class wbr 4390    X. cxp 4936   ran crn 4939   ` cfv 5516  (class class class)co 6190    |-> cmpt2 6192   omcom 6576    ~<_ cdom 7408   RRcr 9382   1c1 9384    + caddc 9386    / cdiv 10094   2c2 10472   ZZcz 10747   (,)cioo 11401   [,)cico 11403   ^cexp 11966   topGenctg 14478   Topctop 18614    tX ctx 19249  sigaGencsigagen 26715
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1592  ax-4 1603  ax-5 1671  ax-6 1710  ax-7 1730  ax-8 1760  ax-9 1762  ax-10 1777  ax-11 1782  ax-12 1794  ax-13 1952  ax-ext 2430  ax-rep 4501  ax-sep 4511  ax-nul 4519  ax-pow 4568  ax-pr 4629  ax-un 6472  ax-inf2 7948  ax-ac2 8733  ax-cnex 9439  ax-resscn 9440  ax-1cn 9441  ax-icn 9442  ax-addcl 9443  ax-addrcl 9444  ax-mulcl 9445  ax-mulrcl 9446  ax-mulcom 9447  ax-addass 9448  ax-mulass 9449  ax-distr 9450  ax-i2m1 9451  ax-1ne0 9452  ax-1rid 9453  ax-rnegex 9454  ax-rrecex 9455  ax-cnre 9456  ax-pre-lttri 9457  ax-pre-lttrn 9458  ax-pre-ltadd 9459  ax-pre-mulgt0 9460  ax-pre-sup 9461  ax-addf 9462  ax-mulf 9463
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 966  df-3an 967  df-tru 1373  df-fal 1376  df-ex 1588  df-nf 1591  df-sb 1703  df-eu 2264  df-mo 2265  df-clab 2437  df-cleq 2443  df-clel 2446  df-nfc 2601  df-ne 2646  df-nel 2647  df-ral 2800  df-rex 2801  df-reu 2802  df-rmo 2803  df-rab 2804  df-v 3070  df-sbc 3285  df-csb 3387  df-dif 3429  df-un 3431  df-in 3433  df-ss 3440  df-pss 3442  df-nul 3736  df-if 3890  df-pw 3960  df-sn 3976  df-pr 3978  df-tp 3980  df-op 3982  df-uni 4190  df-int 4227  df-iun 4271  df-iin 4272  df-br 4391  df-opab 4449  df-mpt 4450  df-tr 4484  df-eprel 4730  df-id 4734  df-po 4739  df-so 4740  df-fr 4777  df-se 4778  df-we 4779  df-ord 4820  df-on 4821  df-lim 4822  df-suc 4823  df-xp 4944  df-rel 4945  df-cnv 4946  df-co 4947  df-dm 4948  df-rn 4949  df-res 4950  df-ima 4951  df-iota 5479  df-fun 5518  df-fn 5519  df-f 5520  df-f1 5521  df-fo 5522  df-f1o 5523  df-fv 5524  df-isom 5525  df-riota 6151  df-ov 6193  df-oprab 6194  df-mpt2 6195  df-of 6420  df-om 6577  df-1st 6677  df-2nd 6678  df-supp 6791  df-recs 6932  df-rdg 6966  df-1o 7020  df-2o 7021  df-oadd 7024  df-omul 7025  df-er 7201  df-map 7316  df-pm 7317  df-ixp 7364  df-en 7411  df-dom 7412  df-sdom 7413  df-fin 7414  df-fsupp 7722  df-fi 7762  df-sup 7792  df-oi 7825  df-card 8210  df-acn 8213  df-ac 8387  df-cda 8438  df-pnf 9521  df-mnf 9522  df-xr 9523  df-ltxr 9524  df-le 9525  df-sub 9698  df-neg 9699  df-div 10095  df-nn 10424  df-2 10481  df-3 10482  df-4 10483  df-5 10484  df-6 10485  df-7 10486  df-8 10487  df-9 10488  df-10 10489  df-n0 10681  df-z 10748  df-dec 10857  df-uz 10963  df-q 11055  df-rp 11093  df-xneg 11190  df-xadd 11191  df-xmul 11192  df-ioo 11405  df-ioc 11406  df-ico 11407  df-icc 11408  df-fz 11539  df-fzo 11650  df-fl 11743  df-mod 11810  df-seq 11908  df-exp 11967  df-fac 12153  df-bc 12180  df-hash 12205  df-shft 12658  df-cj 12690  df-re 12691  df-im 12692  df-sqr 12826  df-abs 12827  df-limsup 13051  df-clim 13068  df-rlim 13069  df-sum 13266  df-ef 13455  df-sin 13457  df-cos 13458  df-pi 13460  df-struct 14278  df-ndx 14279  df-slot 14280  df-base 14281  df-sets 14282  df-ress 14283  df-plusg 14353  df-mulr 14354  df-starv 14355  df-sca 14356  df-vsca 14357  df-ip 14358  df-tset 14359  df-ple 14360  df-ds 14362  df-unif 14363  df-hom 14364  df-cco 14365  df-rest 14463  df-topn 14464  df-0g 14482  df-gsum 14483  df-topgen 14484  df-pt 14485  df-prds 14488  df-xrs 14542  df-qtop 14547  df-imas 14548  df-xps 14550  df-mre 14626  df-mrc 14627  df-acs 14629  df-mnd 15517  df-submnd 15567  df-mulg 15650  df-cntz 15937  df-cmn 16383  df-psmet 17918  df-xmet 17919  df-met 17920  df-bl 17921  df-mopn 17922  df-fbas 17923  df-fg 17924  df-cnfld 17928  df-refld 18144  df-top 18619  df-bases 18621  df-topon 18622  df-topsp 18623  df-cld 18739  df-ntr 18740  df-cls 18741  df-nei 18818  df-lp 18856  df-perf 18857  df-cn 18947  df-cnp 18948  df-haus 19035  df-cmp 19106  df-tx 19251  df-hmeo 19444  df-fil 19535  df-fm 19627  df-flim 19628  df-flf 19629  df-fcls 19630  df-xms 20011  df-ms 20012  df-tms 20013  df-cncf 20570  df-cfil 20882  df-cmet 20884  df-cms 20962  df-limc 21457  df-dv 21458  df-log 22124  df-cxp 22125  df-logb 26584  df-siga 26685  df-sigagen 26716
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  26836
  Copyright terms: Public domain W3C validator