Users' Mathboxes Mathbox for Thierry Arnoux < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sxbrsigalem1 Structured version   Unicode version

Theorem sxbrsigalem1 28733
Description: The Borel algebra on  ( RR 
X.  RR ) is a subset of the sigma algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of  ( RR  X.  RR ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4 (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
sxbrsiga.0  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
dya2ioc.1  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
Assertion
Ref Expression
sxbrsigalem1  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (sigaGen `  ran  R )
Distinct variable groups:    x, n    x, I    v, u, I, x    u, n, v    R, n, x    x, J
Allowed substitution hints:    R( v, u)    I( n)    J( v, u, n)

Proof of Theorem sxbrsigalem1
Dummy variable  y is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sxbrsiga.0 . . . 4  |-  J  =  ( topGen `  ran  (,) )
2 dya2ioc.1 . . . 4  |-  I  =  ( x  e.  ZZ ,  n  e.  ZZ  |->  ( ( x  / 
( 2 ^ n
) ) [,) (
( x  +  1 )  /  ( 2 ^ n ) ) ) )
3 dya2ioc.2 . . . 4  |-  R  =  ( u  e.  ran  I ,  v  e.  ran  I  |->  ( u  X.  v ) )
41, 2, 3dya2iocucvr 28732 . . 3  |-  U. ran  R  =  ( RR  X.  RR )
5 retop 21560 . . . . 5  |-  ( topGen ` 
ran  (,) )  e.  Top
61, 5eqeltri 2486 . . . 4  |-  J  e. 
Top
7 uniretop 21561 . . . . 5  |-  RR  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
81unieqi 4200 . . . . 5  |-  U. J  =  U. ( topGen `  ran  (,) )
97, 8eqtr4i 2434 . . . 4  |-  RR  =  U. J
106, 6, 9, 9txunii 20386 . . 3  |-  ( RR 
X.  RR )  = 
U. ( J  tX  J )
114, 10eqtr2i 2432 . 2  |-  U. ( J  tX  J )  = 
U. ran  R
121, 2, 3dya2iocuni 28731 . . . 4  |-  ( x  e.  ( J  tX  J )  ->  E. y  e.  ~P  ran  R U. y  =  x )
13 simpr 459 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ran  R  /\  U. y  =  x )  ->  U. y  =  x )
141, 2, 3dya2iocct 28728 . . . . . . . . 9  |-  ran  R  ~<_  om
15 ctex 27977 . . . . . . . . 9  |-  ( ran 
R  ~<_  om  ->  ran  R  e.  _V )
1614, 15mp1i 13 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  ran  R  e.  _V )
17 elpwi 3964 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  y  C_  ran  R )
18 ssct 27978 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  ran  R  /\  ran  R  ~<_  om )  ->  y  ~<_  om )
1917, 14, 18sylancl 660 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  y  ~<_  om )
20 elsigagen2 28596 . . . . . . . 8  |-  ( ( ran  R  e.  _V  /\  y  C_  ran  R  /\  y  ~<_  om )  ->  U. y  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2116, 17, 19, 20syl3anc 1230 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ~P ran  R  ->  U. y  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2221adantr 463 . . . . . 6  |-  ( ( y  e.  ~P ran  R  /\  U. y  =  x )  ->  U. y  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2313, 22eqeltrrd 2491 . . . . 5  |-  ( ( y  e.  ~P ran  R  /\  U. y  =  x )  ->  x  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2423rexlimiva 2892 . . . 4  |-  ( E. y  e.  ~P  ran  R U. y  =  x  ->  x  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2512, 24syl 17 . . 3  |-  ( x  e.  ( J  tX  J )  ->  x  e.  (sigaGen `  ran  R ) )
2625ssriv 3446 . 2  |-  ( J 
tX  J )  C_  (sigaGen `  ran  R )
2714, 15ax-mp 5 . 2  |-  ran  R  e.  _V
28 sigagenss2 28598 . 2  |-  ( ( U. ( J  tX  J )  =  U. ran  R  /\  ( J 
tX  J )  C_  (sigaGen `  ran  R )  /\  ran  R  e. 
_V )  ->  (sigaGen `  ( J  tX  J
) )  C_  (sigaGen ` 
ran  R ) )
2911, 26, 27, 28mp3an 1326 1  |-  (sigaGen `  ( J  tX  J ) ) 
C_  (sigaGen `  ran  R )
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:    /\ wa 367    = wceq 1405    e. wcel 1842   E.wrex 2755   _Vcvv 3059    C_ wss 3414   ~Pcpw 3955   U.cuni 4191   class class class wbr 4395    X. cxp 4821   ran crn 4824   ` cfv 5569  (class class class)co 6278    |-> cmpt2 6280   omcom 6683    ~<_ cdom 7552   RRcr 9521   1c1 9523    + caddc 9525    / cdiv 10247   2c2 10626   ZZcz 10905   (,)cioo 11582   [,)cico 11584   ^cexp 12210   topGenctg 15052   Topctop 19686    tX ctx 20353  sigaGencsigagen 28586
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1639  ax-4 1652  ax-5 1725  ax-6 1771  ax-7 1814  ax-8 1844  ax-9 1846  ax-10 1861  ax-11 1866  ax-12 1878  ax-13 2026  ax-ext 2380  ax-rep 4507  ax-sep 4517  ax-nul 4525  ax-pow 4572  ax-pr 4630  ax-un 6574  ax-inf2 8091  ax-ac2 8875  ax-cnex 9578  ax-resscn 9579  ax-1cn 9580  ax-icn 9581  ax-addcl 9582  ax-addrcl 9583  ax-mulcl 9584  ax-mulrcl 9585  ax-mulcom 9586  ax-addass 9587  ax-mulass 9588  ax-distr 9589  ax-i2m1 9590  ax-1ne0 9591  ax-1rid 9592  ax-rnegex 9593  ax-rrecex 9594  ax-cnre 9595  ax-pre-lttri 9596  ax-pre-lttrn 9597  ax-pre-ltadd 9598  ax-pre-mulgt0 9599  ax-pre-sup 9600  ax-addf 9601  ax-mulf 9602
This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 368  df-an 369  df-3or 975  df-3an 976  df-tru 1408  df-fal 1411  df-ex 1634  df-nf 1638  df-sb 1764  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2388  df-cleq 2394  df-clel 2397  df-nfc 2552  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2759  df-rex 2760  df-reu 2761  df-rmo 2762  df-rab 2763  df-v 3061  df-sbc 3278  df-csb 3374  df-dif 3417  df-un 3419  df-in 3421  df-ss 3428  df-pss 3430  df-nul 3739  df-if 3886  df-pw 3957  df-sn 3973  df-pr 3975  df-tp 3977  df-op 3979  df-uni 4192  df-int 4228  df-iun 4273  df-iin 4274  df-br 4396  df-opab 4454  df-mpt 4455  df-tr 4490  df-eprel 4734  df-id 4738  df-po 4744  df-so 4745  df-fr 4782  df-se 4783  df-we 4784  df-xp 4829  df-rel 4830  df-cnv 4831  df-co 4832  df-dm 4833  df-rn 4834  df-res 4835  df-ima 4836  df-pred 5367  df-ord 5413  df-on 5414  df-lim 5415  df-suc 5416  df-iota 5533  df-fun 5571  df-fn 5572  df-f 5573  df-f1 5574  df-fo 5575  df-f1o 5576  df-fv 5577  df-isom 5578  df-riota 6240  df-ov 6281  df-oprab 6282  df-mpt2 6283  df-of 6521  df-om 6684  df-1st 6784  df-2nd 6785  df-supp 6903  df-wrecs 7013  df-recs 7075  df-rdg 7113  df-1o 7167  df-2o 7168  df-oadd 7171  df-omul 7172  df-er 7348  df-map 7459  df-pm 7460  df-ixp 7508  df-en 7555  df-dom 7556  df-sdom 7557  df-fin 7558  df-fsupp 7864  df-fi 7905  df-sup 7935  df-oi 7969  df-card 8352  df-acn 8355  df-ac 8529  df-cda 8580  df-pnf 9660  df-mnf 9661  df-xr 9662  df-ltxr 9663  df-le 9664  df-sub 9843  df-neg 9844  df-div 10248  df-nn 10577  df-2 10635  df-3 10636  df-4 10637  df-5 10638  df-6 10639  df-7 10640  df-8 10641  df-9 10642  df-10 10643  df-n0 10837  df-z 10906  df-dec 11020  df-uz 11128  df-q 11228  df-rp 11266  df-xneg 11371  df-xadd 11372  df-xmul 11373  df-ioo 11586  df-ioc 11587  df-ico 11588  df-icc 11589  df-fz 11727  df-fzo 11855  df-fl 11966  df-mod 12035  df-seq 12152  df-exp 12211  df-fac 12398  df-bc 12425  df-hash 12453  df-shft 13049  df-cj 13081  df-re 13082  df-im 13083  df-sqrt 13217  df-abs 13218  df-limsup 13443  df-clim 13460  df-rlim 13461  df-sum 13658  df-ef 14012  df-sin 14014  df-cos 14015  df-pi 14017  df-struct 14843  df-ndx 14844  df-slot 14845  df-base 14846  df-sets 14847  df-ress 14848  df-plusg 14922  df-mulr 14923  df-starv 14924  df-sca 14925  df-vsca 14926  df-ip 14927  df-tset 14928  df-ple 14929  df-ds 14931  df-unif 14932  df-hom 14933  df-cco 14934  df-rest 15037  df-topn 15038  df-0g 15056  df-gsum 15057  df-topgen 15058  df-pt 15059  df-prds 15062  df-xrs 15116  df-qtop 15121  df-imas 15122  df-xps 15124  df-mre 15200  df-mrc 15201  df-acs 15203  df-mgm 16196  df-sgrp 16235  df-mnd 16245  df-submnd 16291  df-mulg 16384  df-cntz 16679  df-cmn 17124  df-psmet 18731  df-xmet 18732  df-met 18733  df-bl 18734  df-mopn 18735  df-fbas 18736  df-fg 18737  df-cnfld 18741  df-refld 18939  df-top 19691  df-bases 19693  df-topon 19694  df-topsp 19695  df-cld 19812  df-ntr 19813  df-cls 19814  df-nei 19892  df-lp 19930  df-perf 19931  df-cn 20021  df-cnp 20022  df-haus 20109  df-cmp 20180  df-tx 20355  df-hmeo 20548  df-fil 20639  df-fm 20731  df-flim 20732  df-flf 20733  df-fcls 20734  df-xms 21115  df-ms 21116  df-tms 21117  df-cncf 21674  df-cfil 21986  df-cmet 21988  df-cms 22066  df-limc 22562  df-dv 22563  df-log 23236  df-cxp 23237  df-logb 23432  df-siga 28556  df-sigagen 28587
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  28735
  Copyright terms: Public domain W3C validator