Theorem sxbrsigalem1 27746

Description: The Borel algebra on ( RR X. RR ) is a subset of the sigma algebra generated by the dyadic closed-below, open-above rectangular subsets of ( RR X. RR ). This is a step of the proof of Proposition 1.1.5 of [Cohn] p. 4 (Contributed by Thierry Arnoux, 17-Sep-2017.)

Hypotheses

Ref	Expression
sxbrsiga.0	|- J = ( topGen ` ran (,) )
dya2ioc.1	|- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
dya2ioc.2	|- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )

Assertion

Ref	Expression
sxbrsigalem1	|- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R )

Distinct variable groups:   x, n   x, I   v, u, I, x   u, n, v   R, n, x   x, J

Allowed substitution hints:   R( v, u)   I( n)   J( v, u, n)

Proof of Theorem sxbrsigalem1

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		sxbrsiga.0	. . . 4 |- J = ( topGen ` ran (,) )
2		dya2ioc.1	. . . 4 |- I = ( x e. ZZ , n e. ZZ |-> ( ( x / ( 2 ^ n ) ) [,) ( ( x + 1 ) / ( 2 ^ n ) ) ) )
3		dya2ioc.2	. . . 4 |- R = ( u e. ran I , v e. ran I |-> ( u X. v ) )
4	1, 2, 3	dya2iocucvr 27745	. . 3 |- U. ran R = ( RR X. RR )
5		retop 20996	. . . . 5 |- ( topGen ` ran (,) ) e. Top
6	1, 5	eqeltri 2544	. . . 4 |- J e. Top
7		uniretop 20997	. . . . 5 |- RR = U. ( topGen ` ran (,) )
8	1	unieqi 4247	. . . . 5 |- U. J = U. ( topGen ` ran (,) )
9	7, 8	eqtr4i 2492	. . . 4 |- RR = U. J
10	6, 6, 9, 9	txunii 19822	. . 3 |- ( RR X. RR ) = U. ( J tX J )
11	4, 10	eqtr2i 2490	. 2 |- U. ( J tX J ) = U. ran R
12	1, 2, 3	dya2iocuni 27744	. . . 4 |- ( x e. ( J tX J ) -> E. y e. ~P ran R U. y = x )
13		simpr 461	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> U. y = x )
14	1, 2, 3	dya2iocct 27741	. . . . . . . . 9 |- ran R ~<_ om
15		ctex 27053	. . . . . . . . 9 |- ( ran R ~<_ om -> ran R e. _V )
16	14, 15	mp1i 12	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> ran R e. _V )
17		elpwi 4012	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> y C_ ran R )
18		ssct 27054	. . . . . . . . 9 |- ( ( y C_ ran R /\ ran R ~<_ om ) -> y ~<_ om )
19	17, 14, 18	sylancl 662	. . . . . . . 8 |- ( y e. ~P ran R -> y ~<_ om )
20		elsigagen2 27638	. . . . . . . 8 |- ( ( ran R e. _V /\ y C_ ran R /\ y ~<_ om ) -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
21	16, 17, 19, 20	syl3anc 1223	. . . . . . 7 |- ( y e. ~P ran R -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
22	21	adantr 465	. . . . . 6 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> U. y e. (sigaGen ` ran R ) )
23	13, 22	eqeltrrd 2549	. . . . 5 |- ( ( y e. ~P ran R /\ U. y = x ) -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
24	23	rexlimiva 2944	. . . 4 |- ( E. y e. ~P ran R U. y = x -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
25	12, 24	syl 16	. . 3 |- ( x e. ( J tX J ) -> x e. (sigaGen ` ran R ) )
26	25	ssriv 3501	. 2 |- ( J tX J ) C_ (sigaGen ` ran R )
27	14, 15	ax-mp 5	. 2 |- ran R e. _V
28		sigagenss2 27640	. 2 |- ( ( U. ( J tX J ) = U. ran R /\ ( J tX J ) C_ (sigaGen ` ran R ) /\ ran R e. _V ) -> (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R ) )
29	11, 26, 27, 28	mp3an 1319	1 |- (sigaGen ` ( J tX J ) ) C_ (sigaGen ` ran R )

Syntax hints:   /\ wa 369   = wceq 1374   e. wcel 1762   E.wrex 2808   _Vcvv 3106   C_ wss 3469   ~Pcpw 4003   U.cuni 4238   class class class wbr 4440   X. cxp 4990   ran crn 4993   ` cfv 5579  (class class class)co 6275   |-> cmpt2 6277   omcom 6671   ~<_ cdom 7504   RRcr 9480   1c1 9482   + caddc 9484   / cdiv 10195   2c2 10574   ZZcz 10853   (,)cioo 11518   [,)cico 11520   ^cexp 12122   topGenctg 14682   Topctop 19154   tX ctx 19789  sigaGencsigagen 27628

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1596  ax-4 1607  ax-5 1675  ax-6 1714  ax-7 1734  ax-8 1764  ax-9 1766  ax-10 1781  ax-11 1786  ax-12 1798  ax-13 1961  ax-ext 2438  ax-rep 4551  ax-sep 4561  ax-nul 4569  ax-pow 4618  ax-pr 4679  ax-un 6567  ax-inf2 8047  ax-ac2 8832  ax-cnex 9537  ax-resscn 9538  ax-1cn 9539  ax-icn 9540  ax-addcl 9541  ax-addrcl 9542  ax-mulcl 9543  ax-mulrcl 9544  ax-mulcom 9545  ax-addass 9546  ax-mulass 9547  ax-distr 9548  ax-i2m1 9549  ax-1ne0 9550  ax-1rid 9551  ax-rnegex 9552  ax-rrecex 9553  ax-cnre 9554  ax-pre-lttri 9555  ax-pre-lttrn 9556  ax-pre-ltadd 9557  ax-pre-mulgt0 9558  ax-pre-sup 9559  ax-addf 9560  ax-mulf 9561

This theorem depends on definitions:  df-bi 185  df-or 370  df-an 371  df-3or 969  df-3an 970  df-tru 1377  df-fal 1380  df-ex 1592  df-nf 1595  df-sb 1707  df-eu 2272  df-mo 2273  df-clab 2446  df-cleq 2452  df-clel 2455  df-nfc 2610  df-ne 2657  df-nel 2658  df-ral 2812  df-rex 2813  df-reu 2814  df-rmo 2815  df-rab 2816  df-v 3108  df-sbc 3325  df-csb 3429  df-dif 3472  df-un 3474  df-in 3476  df-ss 3483  df-pss 3485  df-nul 3779  df-if 3933  df-pw 4005  df-sn 4021  df-pr 4023  df-tp 4025  df-op 4027  df-uni 4239  df-int 4276  df-iun 4320  df-iin 4321  df-br 4441  df-opab 4499  df-mpt 4500  df-tr 4534  df-eprel 4784  df-id 4788  df-po 4793  df-so 4794  df-fr 4831  df-se 4832  df-we 4833  df-ord 4874  df-on 4875  df-lim 4876  df-suc 4877  df-xp 4998  df-rel 4999  df-cnv 5000  df-co 5001  df-dm 5002  df-rn 5003  df-res 5004  df-ima 5005  df-iota 5542  df-fun 5581  df-fn 5582  df-f 5583  df-f1 5584  df-fo 5585  df-f1o 5586  df-fv 5587  df-isom 5588  df-riota 6236  df-ov 6278  df-oprab 6279  df-mpt2 6280  df-of 6515  df-om 6672  df-1st 6774  df-2nd 6775  df-supp 6892  df-recs 7032  df-rdg 7066  df-1o 7120  df-2o 7121  df-oadd 7124  df-omul 7125  df-er 7301  df-map 7412  df-pm 7413  df-ixp 7460  df-en 7507  df-dom 7508  df-sdom 7509  df-fin 7510  df-fsupp 7819  df-fi 7860  df-sup 7890  df-oi 7924  df-card 8309  df-acn 8312  df-ac 8486  df-cda 8537  df-pnf 9619  df-mnf 9620  df-xr 9621  df-ltxr 9622  df-le 9623  df-sub 9796  df-neg 9797  df-div 10196  df-nn 10526  df-2 10583  df-3 10584  df-4 10585  df-5 10586  df-6 10587  df-7 10588  df-8 10589  df-9 10590  df-10 10591  df-n0 10785  df-z 10854  df-dec 10966  df-uz 11072  df-q 11172  df-rp 11210  df-xneg 11307  df-xadd 11308  df-xmul 11309  df-ioo 11522  df-ioc 11523  df-ico 11524  df-icc 11525  df-fz 11662  df-fzo 11782  df-fl 11886  df-mod 11953  df-seq 12064  df-exp 12123  df-fac 12309  df-bc 12336  df-hash 12361  df-shft 12850  df-cj 12882  df-re 12883  df-im 12884  df-sqr 13018  df-abs 13019  df-limsup 13243  df-clim 13260  df-rlim 13261  df-sum 13458  df-ef 13654  df-sin 13656  df-cos 13657  df-pi 13659  df-struct 14481  df-ndx 14482  df-slot 14483  df-base 14484  df-sets 14485  df-ress 14486  df-plusg 14557  df-mulr 14558  df-starv 14559  df-sca 14560  df-vsca 14561  df-ip 14562  df-tset 14563  df-ple 14564  df-ds 14566  df-unif 14567  df-hom 14568  df-cco 14569  df-rest 14667  df-topn 14668  df-0g 14686  df-gsum 14687  df-topgen 14688  df-pt 14689  df-prds 14692  df-xrs 14746  df-qtop 14751  df-imas 14752  df-xps 14754  df-mre 14830  df-mrc 14831  df-acs 14833  df-mnd 15721  df-submnd 15771  df-mulg 15854  df-cntz 16143  df-cmn 16589  df-psmet 18175  df-xmet 18176  df-met 18177  df-bl 18178  df-mopn 18179  df-fbas 18180  df-fg 18181  df-cnfld 18185  df-refld 18401  df-top 19159  df-bases 19161  df-topon 19162  df-topsp 19163  df-cld 19279  df-ntr 19280  df-cls 19281  df-nei 19358  df-lp 19396  df-perf 19397  df-cn 19487  df-cnp 19488  df-haus 19575  df-cmp 19646  df-tx 19791  df-hmeo 19984  df-fil 20075  df-fm 20167  df-flim 20168  df-flf 20169  df-fcls 20170  df-xms 20551  df-ms 20552  df-tms 20553  df-cncf 21110  df-cfil 21422  df-cmet 21424  df-cms 21502  df-limc 21998  df-dv 21999  df-log 22665  df-cxp 22666  df-logb 27497  df-siga 27598  df-sigagen 27629

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem4  27748